上教版（2020）选修第一册第1章 坐标平面上的直线1.2 直线的方程3 直线的一般式方程教案设计

第二章直线和圆的方程

2.2.3直线的一般式方程

教学设计

一、教学目标

1.掌握直线的一般式方程的形式、特征及适用范围.

2.会选择适当形式求直线方程，并会用直线的一般式方程解答相关问题.

3.掌握直线方程的五种形式之间的转化.

二、教学重难点

1、教学重点

理解并掌握直线的一般式方程.

2、教学难点

直线方程的应用.

三、教学过程

1、新课导入

初中我们学习过二元一次方程，前面我们又学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式，它们都可以化成二元一次方程的形式，那么直线与二元一次方程是否都有这种关系呢？这节课我们就来学习一下直线的一般式方程.

2、探索新知

一、直线与二元一次方程的关系

思考：（1）平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？

（2）任意一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线吗？

任意一条直线l，在其上任取一点，当直线l的斜率为k时（此时直线的倾斜角），其方程为，这是关于x，y的二元一次方程.

当直线l的斜率不存在，即直线l的倾斜角时，直线的方程为，上述方程可以认为是关于x，y的二元一次方程，因此此时方程中y的系数为0.

方程和都是二元一次方程，因此平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示.

反之，对于任意一个二元一次方程（A，B不同时为0），如果能把它化为直线方程的某种形式，那么我们就可以断定它表示一条直线.

当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线.

当时，，方程可变形为，它表示过点，且垂直于x轴的直线.

由上可知，关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.

二、直线的一般式方程

我们把关于x，y的二元一次方程（其中A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式.

探究：在方程中，A，B，C为何值时，方程表示的直线：（1）平行于x轴；（2）平行于y轴；（3）与x轴重合；（4）与y轴重合.

（1）且；

（2）且；

（3）且；

（4）且.

例1已知直线经过点，斜率为，求直线的点斜式和一般式方程.

解：经过点，斜率为的直线的点斜式方程是，

化为一般式，得.

例2把直线l的一般式方程化为斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形.

解：把直线l的一般式方程化为斜截式.

因此，直线l的斜率，它在y轴上的截距是3.

在直线l的方程中，令，得，即直线l在x轴上的截距是.

由上面可得直线l与x轴、y轴的交点分别为，，如图，过A，B两点作直线，得直线l.

3、课堂练习

1.若直线与直线互相垂直，则实数a的值是(   )

A.1 B.-1 C.4 D.-4

2.若方程表示一条直线，则实数m满足(   )

A.  B.

C.  D.，，

3.已知直线l经过点，且斜率为.

（1）求直线l的一般式方程；

（2）求与直线l平行，且过点的直线的一般式方程；

（3）求与直线l垂直，且过点的直线的一般式方程.

4、小结作业

小结：本节课学习了直线的一般式方程及直线方程之间的转化.

作业：完成本节课课后习题.

四、板书设计

2.2.3直线的一般式方程

直线的一般式方程：关于x，y的二元一次方程（其中A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式.