人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程教案

2.2.3　直线的一般式方程

一、提出问题：

1、我们前面几节课学习的直线的点斜式，斜截式，两点式，截距式方程都能表示平面内任意一条直线吗？为什么？

2、能不能用一个关于x,y的二元一次方程来表示平面直角坐标系内任意一条直线呢？

二、学生小组合作讨论，得出新知

直线的一般式方程

把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．

三、概念辨析，正反对照

1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)直线的一般式方程可以表示平面内任意一条直线．(　　)

(2)直线的其他形式的方程都可化为一般式．(　　)

(3)关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)一定表示直线．(　　)

2直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　　)

A．　　　 B．

C．∪　　 D．∪

3．如果A·C<0且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过(　　)

A．第一象限　　 B．第二象限

C．第三象限　　 D．第四象限

4．(教材P65例5改编)过点A(－1,2)，斜率为2的直线的一般式方程为________.

四、知识应用

应用一　直线的一般式方程与其他方程互化

　例1根据下列条件写出直线方程，并化为一般形式．

(1)斜率是，且经过点A(5,3)；

(2)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点；

(3)在x，y轴上的截距分别是－3，－1.

解　(1)由点斜式方程得y－3＝(x－5)，整理得x－y＋3－5＝0.

(2)由两点式方程得＝，整理得2x＋y－3＝0.

(3)由截距式方程得＋＝1，整理得x＋3y＋3＝0.

解题反思：在求直线方程时，根据条件，应先选择适当的直线方程的形式，最后再化成一般式方程．选择直线方程的形式时，应注意各种形式的适用条件．若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零．

变式训练1

(1)求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程；

(2)求经过点A(2,1)且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．

解　(1)法一：设直线l的斜率为k，

∵l与直线3x＋4y＋1＝0平行，∴k＝－.

又∵l经过点(1,2)，可得所求直线方程为y－2＝－(x－1)，即3x＋4y－11＝0.

法二：设与直线3x＋4y＋1＝0平行的直线l的方程为3x＋4y＋m＝0.

∵l经过点(1,2)，∴3×1＋4×2＋m＝0，解得m＝－11.

∴所求直线方程为3x＋4y－11＝0.

(2)法一：设直线l的斜率为k.

∵直线l与直线2x＋y－10＝0垂直，∴k·(－2)＝－1，∴k＝.

又∵l经过点A(2,1)，∴所求直线l的方程为y－1＝(x－2)，即x－2y＝0.

法二：设与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为x－2y＋m＝0.

∵直线l经过点A(2,1)，∴2－2×1＋m＝0，∴m＝0.

∴所求直线l的方程为x－2y＝0.

应用二　直线的平行与垂直问题

例2(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；

(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？

解　(1)法一：由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0.l2：mx＋3y－2＝0.

①当m＝0时，显然l1与l2不平行．

②当m≠0时，l1∥l2，需＝≠.

解得m＝2或m＝－3.∴m的值为2或－3.

法二：令2×3＝m(m＋1)，解得m＝－3或m＝2.

当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，

显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.

同理当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，l1与l2不重合，l1∥l2，∴m的值为2或－3.

(2)法一：由题意，直线l1⊥l2，

①若1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0，显然垂直．

②若2a＋3＝0，即a＝－时，直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直．

③若1－a≠0，且2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－，k2＝－，当l1⊥l2时，k1·k2＝－1，即(－)·(－)＝－1，所以a＝－1.

综上可知，当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.

法二：由直线l1⊥l2，

所以(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1.

将a＝±1代入方程，均满足题意．故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.

　解题反思1．当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．

2．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0，(m≠C)，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.

[训练2]　已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.

(1)当l1⊥l2时，求a的值；

(2)在(1)的条件下，若直线l3∥l2，且l3过点A(1，－3)，求直线l3的方程．

解　(1)由a×1＋2×(a－1)＝0，解得a＝.∴当l1⊥l2时，a的值为.

(2)由(1)知，l2：3x－y－＝0，

∵l3∥l2，∴可设l3的方程为3x－y＋m＝0，

∵l3过点A(1，－3)∴3×1－(－3)＋m＝0，得m＝－6，∴l3的方程为3x－y－6＝0.

五、知识拓展

例3、　已知方程(m＋2)x＋(m－3)y＋4＝0(m∈R)所表示的直线恒过定点，试求该定点的坐标．

【解析】　方法一：令m＝－2，则方程变为－5y＋4＝0，故y＝.

令m＝3，则方程变为5x＋4＝0，故x＝－.依题意可知直线恒过定点.

方法二：将方程变形为m(x＋y)＋2x－3y＋4＝0.依题意定点的坐标与m的取值无关，于是此定点的坐标必然满足x＋y＝0且2x－3y＋4＝0.

解方程组⇒∴定点的坐标为.

变式训练3(1)求证：当a∈R时，直线ax＋y＋a＋2＝0必过定点．

【证明】　方法一：将直线方程改写为y＋2＝－a(x＋1)，

将－a看成直线的斜率，这就是点斜式方程，

所以直线一定过定点(－1，－2)．

方法二：由方程ax＋y＋a＋2＝0，知a(x＋1)＋y＋2＝0.

上式是关于a的恒等式，必有所以将其代入直线满足直线方程，

所以直线ax＋y＋a＋2＝0必过定点(－1，－2)．

方法三：令a＝0，则y＋2＝0.①

令a＝1，则x＋y＋3＝0.②

联立①②，得x＝－1，y＝－2.③将③代入直线方程，经检验满足直线方程．

所以直线方程恒过定点(－1，－2)．

解题反思：　本题是利用运动变化的观点解决问题的．一般地，当读题有困难或题目所给条件比较多时，不妨先找几个特殊情况分析，以活跃你的思维，帮助你顺利破解问题，最终得到求解问题的思路．　解决过定点问题常用的方法：

(1)特殊值法：给方程中的参数取两个特殊值，可得关于x，y的两个方程，从中解出x，y的值，即为所求定点的坐标．

(2)点斜式法：将含参数的直线方程写成点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)．

(3)分离参数法：将含参数的直线方程整理为过交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0的形式，则该方程表示的直线必过直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0的交点，而此交点就是定点．

比较这三种方法可知，方程一计算较烦琐，方法二变形较困难，方法三最简便因而也最常用．