数学八年级上册20.2 画轴对称图形完美版ppt课件

  20.2  画轴对称图形

第二课时  用坐标表示轴对称

一、教学目标

（一）学习目标

1．能在直角坐标系中画点关于坐标轴的对称点．

2．能表示点关于坐标轴对称的点的坐标；能表示点经历关于x轴、y轴两次轴对称得到的对称点坐标；能表示关于平行于坐标轴的直线的对称点的坐标．

3．能用坐标系中的对称知识解决问题，并在学习和解决问题中培养语言表达能力、观察能力、归纳能力，自觉探索的习惯，体验数形结合的思想，体验学习数学的乐趣．

（二）学习重点

用坐标表示点关于坐标轴对称的点的坐标．★

（三）学习难点

找对称点的坐标之间的关系．▲

二、教学设计

（一）课前设计

1．预习任务

(1)教材图20.2－3是一张老北京城的示意图，其中西直门和东直门是关于中轴线对称的，如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，根据如图所示的东直门的坐标，你能说出西直门的坐标吗？(-3.5，4)

(2)如图，△ABC与△DFE关于y轴对称，已知A(－4，6)，B(－6，2)，E(2，1)，则点D的坐标为( B )

A．(－4，6)    B．(4，6)    C．(－2，1)    D．(6，2).

2．预习自测

(1)如图，△ABC与△DFE关于x轴对称，已知A(－4，6)，B(－6，2)，C(－2，1)，则点D、E、F的坐标分别为____________.

【知识点】轴对称、点的坐标.

【解题过程】观察坐标系中的已知对称图形；利用格点确定(数出)相应点的坐标.

【思路点拨】确定对称点，数格点得坐标.

【答案】D(－4，－6)，E(－6，－2)，F(－2，－1)

(2)在坐标系中描出点A(3，4)及其关于x轴、y轴的对称点A1、A2，并写出A1、A2坐标__________．

【知识点】根据点的坐标描点；轴对称；点的坐标．

【解题过程】描出点A→作出A关于x轴、y轴的对称点→确定A1、A2坐标．

【思路点拨】有坐标网格的坐标系数格子就可以确定点的位置和坐标．

【答案】A1(3，－4)、A2(－3，4)．

(3)已知l过点(1，0)且平行于y轴，作出点A(－1，2)关于l的对称点A1，并写出A1的坐标_____．

【知识点】轴对称；点的坐标．

【解题过程】作出A关于直线l的对称点→确定A1坐标．

【思路点拨】有坐标网格的坐标系数格子就可以确定点的位置和坐标．

【答案】A1(3，2) ．

(4) 作出A(－3，4)绕原点旋转180°得到的点A1，并写出A1的坐标_____________．

【知识点】根据点的坐标描点；旋转；点的坐标．

【解题过程】描出点A→作出A绕原点旋转180°得到的点A1→确定A1坐标．．

【思路点拨】以O为圆心，OA为半径作半圆．

【答案】(3，－4)．

(二)课堂设计

1．知识回顾

画一个图形的轴对称图形的一般步骤：

①过已知点作已知直线的垂线，并确定垂足；

②在直线的另一侧，以垂足为一端点，在垂线上作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；

③连接通过原图形已知点所作的这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．

这个方法可以称为作轴对称图形的“垂线法”．

2．问题探究

探究一  在直角坐标系中画点关于坐标轴的对称点

●活动①  在直角坐标系中画出下列已知点A(2，－3)；B(－1，2)；C(－6，－5)；D(3，5)；E(4，0)；F(0，－3).

师问：怎么描出A点？

生答：……

师总结：坐标系中描点，应通过对应的横纵坐标轴上的数据作坐标轴的垂线，两垂线的交点即为该点.

【设计意图】培养学生语言表达能力；回忆、熟悉、巩固坐标系中点的描法.

●活动②  画出以上点分别关于x轴和y轴的对称点.

师问：怎么作出已知点关于x轴和y轴的对称点．

生答：……

教师总结：在坐标系中作已知点关于坐标轴的对称点有两种办法，一是利用“垂线法”，二是在有网格的坐标系中直接数格点.

【设计意图】培养学生语言表达能力；巩固“垂线法”作对轴称图形；在坐标系中寻求不同于“垂线法”的作轴对称图形的方法．

探究二

(1)关于坐标轴的对称点▲★

●活动①  根据探究一的作图，填写表格.

仔细观察已知点和其对称点的坐标，探索关于坐标轴对称的点的坐标有什么规律．

生答：……

教师总结：点关于什么轴对称，则对应坐标不变，另一个变为相反数．

【设计意图】通过探究，初步得到坐标系中点关于坐标轴对称的规律；培养学生观察、归纳、探索能力；让学生体验数形结合的思想．

●活动②  想办法检验你所发现的规律的正确性，说说你是如何检验的．

生答：……

教师总结：点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，－y），即横坐标相等，纵坐标互为相反数；点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（－x，y），即横坐标互为相反数，纵坐标相等．

【设计意图】通过探究，得到坐标系中点关于坐标轴对称的规律；培养学生质疑、求是的科学精神．

(2)一个点经历关于x轴、y轴两次轴对称得到的对称点

●活动①  在坐标系中作出点A(2，－3)关于x轴的对称点A1，又作出A1关于y轴的对称点A2．

生：(动手作图)

师：(巡视、指导)

教师总结：可以利用前述点关于坐标轴的对称规律快速描点．

【设计意图】检验学生对新知的运用，巩固新知．

●活动②  探究点P(x，y)连续经过x轴、y轴对称后得到的点P'的坐标．

师问：点P(x，y)连续经过x轴、y轴对称后得到的点P'的坐标是怎样的？

学生回答：……

师总结：一个点经历关于x轴、y轴两次轴对称得到的对称点的坐标规律是：横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．我们又称这种对称为两个点(图形)关于原点对称．

【设计意图】拓展延伸，为后继学习做铺垫．

(3)关于平行于坐标轴的直线的对称点的坐标

●活动①  在坐标系中作出点A关于直线a、b的对称点．

生：(动手作图)

师：(巡视、指导)

教师总结：这个不是关于坐标轴的对称点，可以 “垂线法”或“数格点”的办法描点．

【设计意图】巩固所学．

●活动②  探究坐标系中点P(x，y)关于平行于坐标轴的直线a的对称点的坐标规律

生讨论：……

生答：……

教师总结：这种不是关于坐标轴对称的，最好是作图探究，不可停留在“空对空”的思索状态，动手往往比动脑更有实效．

【设计意图】综合应用，拓展延伸，培养探究、综合能力，体会数形结合的重要性，为后继学习作铺垫．

探究三  举例分析

●活动①  巩固基础

【例1】已知A(2，a)，B(－b，4)，分别根据下列条件求a、b的值．

(1)A、B关于y轴对称；    (2) A、B关于x轴对称；

(3) A、C关于x轴对称， B、C关于y轴对称．

生：(解答、交流、展示)

师：(巡视、指导、点评)

【知识点】点与点关于坐标轴对称．

【数学思想】数形结合，方程思想．

【解题过程】(1)第一步，根据点与点关于y轴对称的关系得到2＋(－b)＝0，a＝4；第二步，求出a＝4，b＝2．(2)第一步，根据点与点关于x轴对称的关系得到2=-b，a+4=0；第二步，求出a=-4，b=-2.(3)第一步，设C(m，n)；第二步，由A、C关于x轴对称得m＝2，a＋n＝0；又由B、C关于y轴对称得n＝4，－b＋m＝0；进而求出a＝－4，b＝2．

【思路点拨】展开就近联想，两个点关于坐标轴对称，其坐标对应的是一同一反．如(1) A、B关于y轴对称，说明纵坐标相同，横坐标相反．(2)实际上是两个点(图形)关于原点对称．

【答案】(1) a＝4，b＝2；(2) a＝－4，b＝－2；(3) a＝－4，b＝2．

【巩固练习1】点P(2，3)关于x轴对称的点为P1，P1关于y轴对称的点为P2．则P2的坐标为(    )

A. (2，3)    B. (2，－3)    C. (－2，3)    D. (－2，－3)

生：(解答、交流、展示)

师：(巡视、指导、点评)

【知识点】点与点关于坐标轴对称．

【数学思想】数形结合．

【解题过程】第一步，根据点与点关于x轴对称的关系得到P1(2，－3)；第二步，根据点与点关于y轴对称的关系得到P2(－2，－3)．

【思路点拨】展开就近联想，两个点关于坐标轴对称，其坐标对应的是一同一反．步步为营，一环扣一环，结果自然而然就出来了．当然，最好是画图，来得更快．此题实际上是两个点(图形)关于原点对称．

【答案】选D．

●活动②  能力提升

【例2】如下图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(－5，1)，B(－2，1)，C(－2，5)，D(－5，4)，分别画出与四边形ABCD关于y轴、x轴对称的图形．

生：(解答、作图、交流、展示)

师：(巡视、指导、点评)

【知识点】点与点关于坐标轴对称，坐标系中的对称作图．

【数学思想】数形结合．

【解题过程】作四边形ABCD关于y轴对称的图形，第一步，求四个对称点坐标；第二步，描出四个对称点；第三步，连线．作四边形ABCD关于x轴对称的图形，同上.

【思路点拨】坐标系中的对称作图，按“求对称点坐标→描点→连线”的方式比较好，如果采用课时1的作图方式则不够精确和简洁．

【答案】如下．

【巩固练习2】如下图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(－5，1)，B(－2，1)，C(－2，5)，D(－5，4)．(1)画出四边形ABCD关于原点对称的图形；(2)画出四边形ABCD关于直线l对称的图形．

生：(解答、作图、交流、展示)

师：(巡视、指导、点评)

【知识点】点与点关于原点对称(一个点依次关于x、y轴对称)，点与点关于非坐标轴对称．

【数学思想】数形结合．

【解题过程】(1)第一步，根据点与点关于原点对称的关系得到对称点坐标；第二步，描点；第三步，连线．(2)同上.

【思路点拨】(1)展开就近联想，两个点关于原点对称，其坐标对应的是双反．

            (2)两个点关于与y轴平行的直线对称，纵坐标相等，横坐标与直线横坐标之差的绝对值相等.

【答案】如下

●活动③  自主探究

【例3】如图，梯形ABCD关于y轴对称，点A的坐标为(－3，3)，点B的坐标为(－2，0)，试写出点C和点D的坐标，并求出梯形ABCD的面积．

【知识点】点与点关于坐标轴对称，坐标系中求图形(梯形)面积，平行于坐标轴的线段长．

【数学思想】数形结合．

【解题过程】求出C、D坐标→求AD、BC的长度→求梯形面积．

【思路点拨】平行于x轴的两点之间的距离等于两点横坐标差的绝对值；求规则图形的面积应选用平行于x轴(或y轴)的边为底边，求面积较方便．

【答案】∵点D与点A(－3，3)关于y轴对称，

∴点D的坐标为(3，3)．

同理点C的坐标为(2，0)．

∴AD=|3－(－3)|＝6，BC＝|2－(－2)|＝4，

∴S梯形＝(AD+BC)•OE÷2＝(6+4)×3÷2＝15．

【巩固练习3】在坐标系中描出点A(－4，5)，B(－5，2)，C(－1，－2)，D(3，2)，E(2，5)，连接AB，BC，CD，DE，EA．①请你判断所得图形是轴对称图形吗？如果不是，请你说明理由；如果是，请说出对称轴；②求这个多边形的面积．

【知识点】坐标系中描点；轴对称图形的判断；

【数学思想】数形结合．

【解题过程】作坐标系→描点→判定是否轴对称及其对称轴→确定面积求法→求面积．

【思路点拨】如果图形规则，找准求面积的要素可求；如果图形不规则，可以参照坐标轴割补图形．

【答案】如图，是轴对称图形，对称轴是x＝－1，面积是37个平方单位．

3. 课堂总结

(1)知识梳理

①点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，－y），即横坐标相等，纵坐标互为相反数；点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（－x，y），即横坐标互为相反数，纵坐标相等．即两个点关于什么轴对称，则对应坐标不变，另一个变为相反数．

②一个点经历关于x轴、y轴两次轴对称得到的对称点的坐标规律是：横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．我们又称这种对称为两个点(图形)关于原点对称．

③两个点关于平行于坐标轴的直线对称，最好作图分析．

(2)重难点归纳

①用坐标表示点关于坐标轴对称的点的坐标．

②找对称点的坐标之间的关系，利用方程(组)解决问题．

（三）课后作业

巩固基础，自主突破

1.说出下列各点关于x轴，y轴对称的点的坐标：

(－2，6)，(1，－2)，(－1，3)，(－4，－2)，(1，0)．

【知识点】点与点关于坐标轴对称．

【数学思想】数形结合思想．

【解题过程】按点与点关于坐标轴对称的关系依次写出即可．

【思路点拨】两个点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标相反；关于y轴对称，横坐标相反，纵坐标不变．

【答案】

2.平面直角坐标系中，点P(4，－5)关于x轴的对称点在(    )

A.第一象限    B.第二象限    C.第三象限    D.第四象限

【知识点】点与点关于坐标轴对称；象限内点的坐标符号．

【数学思想】数形结合思想．

【解题过程】第一步，求出P关于x轴的对称点P ' (4，5)；第二步，确定P '所在象限．

【思路点拨】两个点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标相反；四个象限内点的坐标符号依次为(正，正)，(负，正)，(负，负)，(正，负)．

【答案】A．

3.已知点P(－2，3)关于y轴对称的点为Q(a，b) ，则a＋b的值为(    )

A.1    B.－1    C.5    D. －5

【知识点】点与点关于坐标轴对称；方程．

【数学思想】数形结合思想；方程思想．

【解题过程】第一步，求出P关于y轴的对称点Q (2，3)，即a＝2，b＝3；第二步，求出a＋b＝5．

【思路点拨】两个点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标相反．

【答案】C．

4. 点P(a，b)关于x轴对称的点为P1，P1关于y轴对称的点为P2．则P2的坐标为(    )

A. (a，b)    B. (a，－b)    C. (－a，b)    D. (－a，－b)

【知识点】点与点关于坐标轴对称．

【数学思想】数形结合思想．

【解题过程】第一步，求出P关于x轴的对称点P1 (a，－b)；第二步，求出P1关于y轴的对称点P2(－a，－b)．

【思路点拨】两个点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标相反；两个点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标相反．

【答案】D．

5.若点(a，b)与点(m，n)满足a＋m＝0，b－n＝0，则这两点关于(      )对称．

A.x轴    B.y轴    C.x轴或y轴    D.不确定

【知识点】点与点关于坐标轴对称，方程．

【数学思想】数形结合思想，方程思想．

【解题过程】第一步，由a＋m＝0，b－n＝0得到，两个点的横坐标相反，纵坐标相等；第二步，逆用“两点关于坐标轴对称关系”得到两点关于y轴对称．

【思路点拨】顺向分析：如果关于x轴对称，会怎样?如此逐个分析．逆向分析，由方程变形得到a与m，b与n的数量关系，再对照“两点关于坐标轴对称关系”得到结果．

【答案】B．

6.已知点P(a＋1，2a－3)关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是()

A.    B.    C.    D.

【知识点】不等式组．

【数学思想】数形结合思想，方程思想．

【解题过程】第一步，确定P点的坐标符号，得到不等式组；第二步，解不等式组．

【思路点拨】第一象限内点的坐标符号是怎样的？

【答案】B．

交流合作，能力拓展

7. 已知点P(－1－2a，5)关于x轴的对称点和点Q(3，b)关于y轴的对称点相同，则A(a，b)关于x轴对称的点的坐标为()

A.(1，－5)    B.(1，5)    C.(－1，5)     D.(－1，－5)

【知识点】点与点关于坐标轴对称，方程组．

【数学思想】方程思想．

【解题过程】第一步，确定P点和Q点的坐标；第二步，得方程组；第三步，解方程组，得A点；第四步，求A的对称点．

【思路点拨】两个点关于x轴、y轴对称，其坐标是怎样的？

【答案】B．

8.已知点P(x＋1，2x－1)关于x轴对称的点在第一象限，则化简：|x＋2|－|1－x|＝___________．

【知识点】点与点关于坐标轴对称，象限内点的坐标符号，不等式组，去绝对值符号．

【数学思想】数形结合，不等式思想．

【解题过程】第一步，确定P点对称点的符号；第二步，列不等式组；第三步，解不等式组，求出x的取值范围；第四步，去绝对值符号，化简所求代数式．

【思路点拨】第一象限内的点的坐标符号是怎样的？怎样去绝对值符号？

【答案】2x＋1．

合作探究，多维突破

9. 已知点A(a＋2b，1)，B(－2，2a－b)．

①若点A、B关于x轴对称，求a、b的值；

②若点A、B关于y轴对称，求a＋b的值．

【知识点】点与点关于坐标轴对称，方程组．

【数学思想】方程思想．

【解题过程】第一步，确定A、B横纵坐标的数量关系；第二步，列方程组；第三步，解方程组，求出a、b的值；第四步，解决新问题．

【思路点拨】点与点关于坐标轴对称，横纵坐标的关系是怎样的？

【答案】①          ②

10.如图，在平面直角坐标系中，直线l过点M(3，0)，且平行于y轴．

①如果△ABC三个顶点的坐标分别是A(－2，0)，B(－1，0)，C(－1，2)，△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2的三个顶点的坐标；

②如果点P的坐标是(－a，0)，其中a＞0，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求PP2的长．

【知识点】点与点关于坐标轴对称，两个点关于平行于坐标轴的直线的对称．

【数学思想】数形结合，分类思想．

【解题过程】①第一步，确定△A1B1C1各点坐标；第二步，作出△A2B2C2；第三步，确定△A2B2C2各点坐标．②略

【思路点拨】点与点关于坐标轴对称，两个点关于平行于坐标轴的直线的对称，横纵坐标的关系是怎样的？

【答案】①(1)A2(4，0)，B2(5，0)，C2(5，2)；

②如果0＜a≤3，那么点P1在线段OM上．

PP2＝PP1＋P1P2＝2OP1＋2P1M＝2(OP1＋P1M)＝2OM＝6．

如果a＞3，那么点P1在点M的右边．

PP2＝PP1－P1P2＝2OP1－2P1M＝2(OP1－P1M)＝2OM＝6.

故PP2的长是6．

作业自助餐

1. 已知点A(2，3)，则点A关于x轴的对称点的坐标为()

A．(3，2)     B．(2，－3)    C．(－2，3)     D．(－2，－3)

【知识点】点与点关于坐标轴对称．

【数学思想】数形结合．

【解题过程】直接利用点与点关于坐标轴对称的关系得到对称点坐标，抑或作图可得．

【思路点拨】点与点关于坐标轴对称，两个点横纵坐标的关系是怎样的？

【答案】B．

2. 平面内点A(－2，2)和点B(－2，6)的对称轴是()

A．x轴     B．y轴    C．直线y＝4    D．直线x＝－2

【知识点】点与点关于平行于坐标轴的直线对称．

【数学思想】数形结合．

【解题过程】作图，确定坐标．

【思路点拨】作图．

【答案】C．

3.如图，以正方形ABCD的中心O为原点建立平面直角坐标系，点A的坐标为(－2，－2)，则B、C、D的坐标分别为________________________________．

【知识点】正方形的对称性，点与点关于坐标轴对称．

【数学思想】数形结合．

【解题过程】作图可得，确定．

【思路点拨】作图，对称点，求坐标．

【答案】(2，－2) 、 (2，2) 、 (－2，2)．

4.点P(－4，1)关于过点(－2，0)且平行于y轴的直线的对称点的坐标为_____________．

【知识点】点与点关于平行于坐标轴的直线对称．

【数学思想】数形结合．

【解题过程】作图，确定坐标．

【思路点拨】作图．

【答案】(0，1)．

5. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A1(2，5)关于y轴的对称点为A2，点A2关于x轴的对称点为A3．

①画出△A1A2A3，并求△A1A2A3的面积；

②如果将△A1A2A3沿着直线y＝－5翻折可得到△B1B2B3，请写出B1，B2，B3的坐标．

【知识点】点与点关于坐标轴对称．

【数学思想】数形结合．

【解题过程】确定坐标，作图，求面积．

【思路点拨】作图．

【答案】

①    ，20.

②点A1(2，5)关于y＝－5对称的点B1的坐标为(2，－15)；

点A2(－2，5)关于y＝－5对称的点B2的坐标为(－2，－15)；

点A3(－2，－5)关于y＝－5对称的点B3的坐标为(－2，－5)．

6如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A(0，1)，B(3，2)，C(1，4)均在正方形网格的格点上．

①画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；

②将△A1B1C1沿x轴方向向左平移3个单位后得到△A2B2C2，写出顶点A2，B2，C2的坐标．

【知识点】点与点关于坐标轴对称，坐标系中图形的平移．

【数学思想】数形结合．

【解题过程】确定点的坐标，作图．

【思路点拨】作图．

【答案】

解：①如图所示：△A1B1C1即为所求．

②如图所示，△A2B2C2即为所求，点A2(－3，－1)，B2(0，－2)，C2(－2，－4)．