广东省广州市第二中学2022-2023学年高一数学下学期3月月考试题（Word版附解析）

广州市第二中学2022-2023学年第二学期第一次月考试题

高一数学

一､单选题（每小题5分，共8题，总共40分）

1. 设函数，则（    ）

A.  B. 0 C. 1 D. 2

【答案】B

【解析】

【分析】根据分段函数的范围，直接代入求值即可.

【详解】,

.

故答案为：B.

2. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（    ）．

A.  B.

C  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数奇偶性的概念，逐项判断即可.

【详解】A中，由得定义域为，

又，所以是奇函数；

B中，定义域为，

又，所以是奇函数；

C中，定义域为R，又，所以是偶函数；

D中，定义域为R，且，所以非奇非偶.

故选：D.

【点睛】关键点睛：根据函数奇偶性的概念，先判断定义域是否对称，再判断解析式是否满足奇偶性的定义，属于基础题

3. 函数的定义域为（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由对数式的真数大于0，分式的分母不等于0，根式内部的代数式大于等于联立不等式组得答案．

【详解】解：因为，所以，解得且，即函数的定义域为

故选：B

4. 设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据平面向量的线性运算可得答案.

【详解】因为，

所以，

故选：A

5. 在同一直角坐标系中，函数且图象可能是

A.  B.

C.  D.  

【答案】D

【解析】

【分析】

本题通过讨论的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.

【详解】当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.

【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论的不同取值范围，认识函数的单调性.

6. 已知，若，则（    ）

A.  B.  C. 5 D. 6

【答案】C

【解析】

【分析】首先求出的坐标，然后由可得，即可建立方程求解.

【详解】因为，所以，

因为，

所以，所以，解得，

故选：C

7. 函数的零点所在区间为（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用函数是连续函数，结合函数零点存在定理，推出结果即可．

【详解】函数是连续函数，

当时，；

，所以区间内不存在零点；

由于

所以，即，

又，所以，即，

所以

所以，

所以，所以区间上不存在零点；

，所以，

由零点存在定理可知函数的零点在，故C正确；

由于，所以，所以区间上不存在零点，故D错误．

故选：C．

8. 已知函数的图象关于直线对称，则函数的一条对称轴是（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先对函数使用辅助角公式进行化简，根据其对称轴为，可得，两边平方，求出的值，进而得到函数，再采用辅角公式化简，结合正弦函数的对称性即可求出结果．

【详解】∵，（其中），

∵函数的图象关于直线对称，

∴，

所以，即

整理得，所以，

所以函数

，

令得，，

当时，．

故选：A．

二､多选题（每小题5分，共4题，总共20分）

9. 下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.

【详解】由函数图像可知：，则，所以不选A,

不妨令,

当时，，

解得：，

即函数的解析式为：

.

而

故选：BC.

【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：

(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.

(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.

10. 已知为坐标原点，点，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】由向量模长、数量积的坐标运算，结合同角三角函数关系和两角和差公式依次判断各个选项即可.

【详解】对于A，，，

，，故A正确；

对于B，，，

，，

，故B错误；

对于C，，，，

又，

，故C正确；

对于D，，，

，故D正确.

故选：ACD.

11. 关于函数，下列结论中正确的是（    ）

A. 是周期函数

B. 在单调递减

C. 在有4个零点

D. 的最大值为2

【答案】BD

【解析】

【分析】A. 由不是周期函数判断；B.先得到时的解析式判断；C.先判断时的零点，再利用是偶函数判断；D.由，判断.

【详解】A. 因为不是周期函数，所以不是周期函数，故错误；

B.当时，，所以在上递减，故正确；

C. 当时，，当时，，又因为，所以是偶函数，所以在有3个零点，故错误；

D. 因为，所以，又，所以的最大值为2，故正确；

选：BD

12. 已知，且，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据，结合二次函数的性质求解可判断A；结合对勾函数的性质求解可判断B；结合基本不等式求解可判断C，D.

【详解】对于A，记，

由题知，由二次函数的性质可知：时，单调递减；时，单调递增，

从而可得，即，故A正确；

对于B，，

令，因，则，

记，由对勾函数的性质可知，时，单调递减；时，单调递增，，

从而，即，故B正确；

对于C，，当且仅当时，等号成立，故C错误；

对于D，因为，当且仅当时，等号成立；

又，所以，故D正确.

故选：ABD.

三､填空题（每小题5分，共4题，总共20分）

13. 函数f(x)=sin22x的最小正周期是__________．

【答案】.

【解析】

【分析】将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可.

【详解】函数,周期为

【点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式､三角函数的最小正周期公式，属于基础题.

14. 已知，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】利用同角的平方关系，转化为齐次式问题进行求解.

【详解】解：

又原式

故答案为：.

15. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢)．弧田是由圆弧及其所对的弦所围成．公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积最接近的整数是__________．

【答案】9

【解析】

【分析】设弧田的圆心为，弦为，为中点，连交弧于，在中，求出半径及，求出弦AB，即可求出结论．

【详解】设弧田的圆心为，弦为，为中点，连交弧于，如图所示，

由题意可得∠AOB＝，OA＝4，

在Rt△AOC中，易得∠AOC＝，∠CAO＝，

OC＝OA＝，可得矢＝4－2＝2，

由AC＝OA＝，可得弦AB＝2AC＝，

所以弧田面积＝×()＝，

因为，则，从而，

因此，所得弧田面积最接近的整数是9.

故答案为：9.

16. 在中，若且为钝角，则__________.

【答案】##

【解析】

【分析】根据条件和倍角公式、和差公式可得，然后可得答案.

【详解】因为，

所以，所以，

因为，为钝角，所以，即，

故答案为：

三､解答题（第17题10分，其余每题12分，总共70分）

17. 在中，．

（1）求；

（2）若，且的面积为，求的周长．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值；

（2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长.

【小问1详解】

解：因为，则，由已知可得，

可得，因此，.

【小问2详解】

解：由三角形的面积公式可得，解得.

由余弦定理可得，，

所以，的周长为.

18. 已知，.

（1）若，求证：；

（2）设，若，求，的值.

【答案】（1）见解析（2），.

【解析】

【详解】由题意，，即，又因为，∴，即，∴

（2），∴，由此得

，由，得，又，故，

代入得，而，∴，.

【考点定位】本小题主要考查平面向量的加法、减法、数量积、三角函数的基本关系、有道公式等基础只晒，考查运算求解能力和推理论证能力.

19. 某同学用“五点法”画函数（）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：

（1）请求出上表中的的值，并写出函数的解析式；

（2）将的图象向右平移个单位得到函数的图象，若函数在区间（）上的图象的最高点和最低点分别为，求向量与夹角的大小．

【答案】（1），；（2）．

【解析】

【分析】（1）根据时对应的的值求出，然后再求出，由函数求出；

（2）由图象平移知识得，得出点坐标，从而可得与，由向量夹角公式计算可得．

【详解】（1）由条件知，，，∴，，

所以，，

∴，．

（2）∵函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，

∴，

∵函数在区间（）上的图象的最高点和最低点分别为，

∴最高点为，最低点为， ∴， ，

∴，又，∴．

20. 如图，一个直角走廊的宽分别为a，b，一铁棒与廊壁成角，该铁棒欲通过该直角走廊，求：

（1）铁棒长度L（用含表达式表示）；

（2）当时，能够通过这个直角走廊的铁棒的长度的最大值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据示意图及三角函数定义，即可得长度L的表达式；

（2）根据（1）表达式，化简可得，令，根据范围，可得t的范围，根据二次函数性质，可得L的最小值，即可得答案.

【小问1详解】

作出示意图，铁棒，，

在中，，

中，，

所以

小问2详解】

当时，

令，因为，，

所以，，

所以，且在上单调递增，

所以当时，即时，L的最小值为，

所以能够通过这个直角走廊的铁棒的长度的最大值为.

21. 已知.

（1）若，求的值；

（2）若不等式在有解，求实数的取值范围.

【答案】（1）或   

（2）

【解析】

【分析】（1）把函数解析式中的x换为，解方程即可求解；

（2）先令进行换元，然后整理已知不等式，反解出，将已知问题转化为求函数最值的问题，进而可以求解．

【小问1详解】

由已知可得： ，

即，解得或，

则或；

【小问2详解】

令，

则， ，

所以，

所以不等式等价于，

因为在上恒成立，

所以化简可得，即

因为函数在上单调递增，在上单调递减，

所以当时，取得最小值，取得最大值，

故的取值范围为．

22. 对定义在区间上的函数，如果对任意都有成立，那么称函数在区间上可被替代.

（1）若，试判断在区间上，能否可被替代？

（2）若，且函数在上可被函数替代，求实数的取值范围.

【答案】（1）能被替代；证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据定义，列式求出的导数，分析导数在定义域内的取值范围，得出最大值与最小值，最后作出判断即可；

（2）根据定义列式，利用还原法将，再通过对数运算化简式子，分离参数，根据分离后的函数单调性找出参数取值区间.

【小问1详解】

，，

设，，令，解得，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

，，，

所以，在区间上，能被替代.

【小问2详解】

，且函数在上可被函数替代，则对任意恒成立，

即对任意恒成立，

令，则，既有对任意恒成立。

也就是对任意恒成立，

即对任意恒成立，

所以，即对任意恒成立，

变形可得，即对任意恒成立，

对于函数，该函数在上为增函数，则函数有最大值为，所以；

对于函数，该函数在上为增函数，则函数有最小值，所以，

综上，满足条件的实数的取值范围是

【点睛】思路点睛：

常规函数求导问题中，涉及到三角函数的思路一般为两种：一、正常利用求导公式进行计算；二、利用换元法将三角函数换元进行计算。根据函数式子的复杂程度判断使用哪个思路，式子越复杂，复合函数形式越多，越优先考虑换元法思路.