2022-2023学年北京师大实验中学丰台学校九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2022-2023学年北京师大实验中学丰台学校九年级（下）月考数学试卷（3月份）

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图是某几何体的三视图，该几何体是(    )

A. 圆柱
B. 球
C. 三棱柱
D. 长方体

2.  月日是中国航天日年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点米，将用科学记数法表示应为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在一个不透明纸箱中放有除了数字不同外，其它完全相同的张卡片，分别标有数字、，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之和为奇数的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，点在直线上，若，则的大小为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，如果，那么下列结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列多边形中，内角和最小的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  将函数的图象向下平移两个单位，以下错误的是(    )

A. 开口方向不变 B. 对称轴不变
C. 随的变化情况不变 D. 与轴的交点不变

8.  学习完函数的有关知识之后，强强对函数产生了浓厚的兴趣，他利用绘图软件画出函数的图象并对该函数的性质进行了探究下面推断正确的是(    )

该函数的自变量的取值范围为；
该函数与轴没有交点；
该函数与轴交于点；
若，是该函数上两点，当时，一定有．

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

9.  函数的自变量的取值范围是______．

10.  把分解因式为______ ．

11.  比较大小 ______ 填“”、“”或“”

12.  如图，，分别是的边，的中点，若的面积为，则的面积等于          ．

 

13.  如图，四边形是的内接四边形，，则的度数为____．
 

14.  如图，矩形中，，分别为，的中点，且，，则的长为______ ．

15.  如图所示，的顶点、、在边长为的正方形网格的格点上，于点，则的长为          ．

16.  等边中，，分别是边，上一点，且，若，则 ______ ，的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共12小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解不等式组：．

19.  本小题分
已知，求代数式的值．

20.  本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：方程总有两个实数根；
若该方程有一个根大于，求的取值范围．

21.  本小题分
下面是小明设计的“在已知三角形的一边上取一点，使得这点到这个三角形的另外两边的距离相等”的尺规作图过程：

已知：．
求作：点，使得点在边上，且到，边的距离相等．
作法：如图，
作的平分线，交于点．
则点即为所求．
根据小明设计的尺规作图过程，
使用直尺和圆规，补全图形保留作图痕迹；
完成下面的证明．
证明：作于点，作于点，
平分，
__________________括号里填推理的依据．

22.  本小题分
如图，在中，，为边的中点，连接，过点作，过点作，与相交于点．

求证：四边形是菱形；
若，，求的长．

23.  本小题分
在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向下平移个单位长度得到．
直接写出一次函数的解析式．
当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，求出的取值范围．

24.  本小题分
为了进一步加强中小学国防教育，教育部研究制定了国防教育进中小学课程教材指南某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织七、八年级全体学生参加了国防知识竞赛百分制，并规定分及以上为优秀，分为良好，分为及格．分及以下为不及格．学校随机抽取了七、八年级各名学生的成绩进行了整理与分析，下面给出了部分信息．
抽取七年级名学生的成绩如下：

抽取七年级名学生成绩的频数分布直方图如图数据分成组：，，，，；

抽取八年级名学生成绩的扇形统计图如图：

七年级、八年级各抽取的名学生成绩的平均数、中位数、方差如表：

请根据以上信息，回答下列问题：
补全七年级名学生成绩的频数分布直方图，写出表中的值；
该校目前七年级有学生人，八年级有学生人，估计两个年级此次测试成绩达到优秀的学生各有多少人？
你认为哪个年级的学生成绩较好，并说明理由．

25.  本小题分
如图，是的直径，弦于点，点在上，与交于点，点在的延长线上，且是的切线，延长交的延长线于点．
求证：；
连接，若，，求的长．

26.  本小题分
在平面直角坐标系中，已知抛物线：和直线．
抛物线的对称轴是______ ；
抛物线的顶点为______ ；
若直线与抛物线有两个公共点，它们的横坐标记为，，直线与直线的交点横坐标记为若当时，总有，请结合函数图象，求的取值范围．

27.  本小题分
如图，四边形是正方形，以点为中心，将线段顺时针旋转，得到线段，连接，．
求的度数；
过点作于点，连接，依题意补全图形，用等式表示线段与的数量关系，并证明．

28.  本小题分
对于平面直角坐标系中的定点和图形，给出如下定义：若在图形上存在一点，使得点与点关于直线对称，则称点是点关于图形的定向对称点．
如图，，，，
点关于点的定向对称点的坐标是______ ．
在点，，中，______ 是点关于线段的定向对称点．
直线：分别与轴，轴交于点，，是以点为圆心，为半径的圆当时，若上存在点，使得它关于线段的定向对称点在线段上，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由几何体的主视图和左视图都是宽度相等的长方形，
故该几何体是一个柱体，
又俯视图是一个圆，
故该几何体是一个圆柱．
故选：．
根据一个空间几何体的主视图和左视图都是宽度相等的长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据俯视图的形状，可判断柱体侧面形状，得到答案．
本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查科学记数法的表示方法，属于基础题．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同据此解答即可．
【解答】
解：将用科学记数法表示为．
故选：．  

3.【答案】 

【解析】

【分析】
画树状图，共有种等可能的结果，两次摸出的数字之和为奇数的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题主要考查了画树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
【解答】
解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，两次摸出的数字之和为奇数的结果有种，
两次摸出的数字之和为奇数的概率为，
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
；
，
．
故选：．
利用互余的角的关系和邻补角的关系进行计算即可．
本题考查的是互余两角、邻补角的定义，解题关键是找准互余的两角、互补的两角．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，互为相反数，
；
，因为，所以描述错误；
，因为，，故，结论错误；
，，，结论正确；
，，，结论错误；
故选：．
根据，说明和是互为相反数，确定原点的位置，再根据，，与原点的距离判断选项；
本题考查了数轴上点的位置关系，数轴上右边的点大于左边的点，离原点越远绝对值越大，解决本题的关键是确定原点的位置．
 

6.【答案】 

【解析】解：三角形的内角和等于，
四边形的内角和等于，
五边形的内角和等于，
六边形的内角和等于，
所以三角形的内角和最小，
故选：．
边数为的多边形的内角和，分别求出三角形，四边形，五边形，六边形的内角和，再得出选项即可．
本题考查了多边形的内角与外角，能熟记边数为的多边形的内角和是解此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：、将函数的图象向下平移两个单位，不变，开口方向不变，故不符合题意．
B、将函数的图象向下平移两个单位，顶点的横坐标不变，对称轴不变，故不符合题意．
C、将函数的图象向下平移两个单位，抛物线的开口方向不变，对称轴不变，则随的变化情况不变，故不符合题意．
D、将函数的图象向下平移两个单位，与轴的交点也向下平移两个单位，故符合题意．
故选：．
抛物线平移后的形状不变，对称轴不变，不变，抛物线的增减性不变．
本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，注意：抛物线平移后的形状不变，开口方向不变，顶点坐标改变．
 

8.【答案】 

【解析】解：由分母不为可得，，即该函数的自变量的取值范围为，故正确；
由函数的图象可得，图象与轴无交点，故正确；
当时，，故该函数与轴交于点，故正确；
由函数的图象可知，当时，有，故不正确；
因此正确的结论有：，
故选：．
根据函数的图象以及函数的关系式综合进行判断即可．
本题考查了函数的图象，理解函数图象的意义以及函数的增减性是正确判断的前提．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意得，，
解得．
故答案为：．
根据被开方数大于等于列式计算即可得解．
本题考查函数自变量的取值范围，关键是二次根式的被开方数是非负数．
 

10.【答案】 

【解析】解：
．
故答案为：．
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
那么，
所以填“”；
故答案为：．
因为，所以，所以即可．
本题考查的是实数比较大小内容，关键掌握判断是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，分别是的边，的中点，
是的中位线，
，，
∽，
，
的面积为，
的面积为，
故答案为：．
根据三角形中位线定理得到，，证明∽，根据相似三角形的性质计算，得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
根据圆内接四边形的性质求出的度数，根据圆周角定理计算即可．
【解答】
解：四边形是的内接四边形，
，
由圆周角定理得，，
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
∽，
，
，分别为，的中点，
，，
，
舍去，
．
故答案为：．
根据四边形是矩形，可得，，根据，可得，然后证明∽，接着利用相似三角形的性质可得的长即可求出的长．
本题考查了矩形的性质及相似三角形的性质和判定，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
 

15.【答案】 

【解析】解：由图形可知，，边上的高为，
的面积．
由勾股定理得，，
则，
解得，，
故答案为：．
根据题意求出的面积，根据勾股定理求出的长，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
 

16.【答案】  

【解析】解：是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
作的外接圆连接，交圆于一点即为最小距离点，
，
，，，
，
，，，
，
，，
的最小值为：，
故答案为：，；

根据等边三角形得到，，结合，即可得到，从而得到，即可得到，
作的外接圆连接，交圆于一点即为最小距离点，即可得到答案；
本题考查全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，圆，特殊三角形三角函数，解题的关键是作出辅助线找到最小距离点．
 

17.【答案】解：原式
． 

【解析】直接利用零指数幂的性质和负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别计算出各数，进而计算得出答案．
此题主要考查了零指数幂的性质和负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】解：，
由得：，
由得：，
则不等式组的解集为． 

【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
 

19.【答案】解：


，
，
原式． 

【解析】先通分，因式分解，约分对分式进行化简，后整体代入求值．
本题考查了分式的化简求值，掌握分式的化简方法是关键．
 

20.【答案】证明：关于的一元二次方程，


，
无论为何值，方程总有两个实数根．
解：关于的一元二次方程，
设方程的两个根分别为，，
，
，，
该方程有一个根大于，
，
，
的取值范围． 

【解析】先求出方程的判别式的值，利用配方法得出，根据判别式的意义即可解答；
设方程的两个根分别为，，利用公式法求方程的解，然后根据一元二次方程根与系数的关系即可求得的取值范围．
本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握并正确运用一元二次方程根的判别式是解题的关键．
 

21.【答案】解：补全图形如图所示；

，，角平分线的性质． 

【解析】解：见答案；
证明：作于点，作于点，
平分，
角平分线的性质，
故答案为：，，角平分线的性质．
本题考查了作图基本作图，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的作法．
根据题意补全图形即可；
作于点，作于点，根据角平分线的性质即可得到结论．
 

22.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
在中，，为边的中点，
，
四边形是菱形；
解：四边形是菱形，
，
，
设，，
，
，
． 

【解析】本题考查了菱形的判定与性质，三角函数的定义，勾股定理和直角三角形斜边上的中线，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
根据直角三角形斜边上的中线和菱形的判定定理即可得到结论；
根据菱形的性质得，根据锐角三角函数的定义设，，根据勾股定理即可得到结论．
 

23.【答案】解：函数的图象向下平移个单位长度得到，
一次函数的图象由函的图象向下平移个单位长度得到，
这个一次函数的表达式为．
把代入，求得，
函数与一次函数交点为，
把点代入，求得，
当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，
． 

【解析】根据平移的规律即可求得．
根据点结合图象即可求得．
本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．
 

24.【答案】解：人，补全频数分布直方图如下：

七年级学生成绩的中位数；
七年级优秀人数为：人，
八年级优秀的人数为：人，
答：七年级优秀的有人，八年级优秀的有人；
七年级学生成绩较好，理由：七年级学生成绩的中位数为分，由于七年级学生成绩的中位数比八年级学生的高，得分高的较多，因此七年级学生的成绩较好． 

【解析】根据频数之和等于样本容量可求出“”的频数，进而补全频数分布直方图；根据中位数的定义求解即可；
分别求出七、八年级优秀等级的人数即可；
根据中位数，众数比较即可得出答案．
本题考查中位数、平均数、方差以及频数分布直方图，理解中位数、方差、平均数的定义是解决问题的前提．
 

25.【答案】证明：连接，

，
，
，
，
是的切线，


，
；
解：连接，

由得，，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
负值舍去，
． 

【解析】连接，根据，可得，再由切线的性质，可得，然后根据等腰三角形的性质可得结论；
连接，先证得∽，再根据可得，，从而得的长，然后由勾股定理可得答案．
此题主要考查了圆的综合题目，熟练掌握切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，理解锐角三角函数是解题的关键．
 

26.【答案】直线   

【解析】解：由题意可得，，
抛物线的对称轴是直线，
故答案为：直线；
将代入解析式可得，，
抛物线的顶点为，
故答案为：；
当，时，，
，
抛物线在轴上方，与轴无交点，
，
抛物线与无交点，不存在此种情况；
当，时，，
，
抛物线开口向下与轴有两个交点，
如图所示，

当时，，，
解得：，，，
，
，
解得：，
．
根据对称轴公式即可得到答案；
将对称轴的的值代入解析式即可得到答案；
画出符合条件的函数图象，根据图象列不等式即可得到答案．
本题考查二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、二次函数与不等式的关系是解题的关键．
 

27.【答案】解：四边形是正方形，
，，
将线段顺时针旋转，得到线段，
，，
，，
，
，，
，
；
补全图形如下，线段与的数量关系为，

证明：过作交延长线于，
，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，，
是等腰直角三角形，
，
由知，，
是等腰直角三角形，
，
，
，即，
． 

【解析】由四边形是正方形，将线段顺时针旋转，得到线段，可得，，故；
根据题意补全图形，过作交延长线于，证明≌，得，，有，由得是等腰直角三角形，可得，即得，故DE．
本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形．
 

28.【答案】  ， 

【解析】解：如图中，

，，
点关于的对称点，
故答案为；

如图中，

由题意，满足条件的点在以为圆心为半径的圆上图中弧，
点和是点关于线段的定向对称点．
故答案为：，．

如图中，当时，作关于轴的对称图形，当直线与在第三象限相切时，设切点为，连接

由题意，
，
，，
，
，
，
直线解析式为，
当直线在第二象限与相切时，同法可得直线的解析式为，
当直线经过点时，，
观察图象可知，满足条件的的值为：．
当时，如图中，以为圆心，为半径作，当直线与在第四象限点相切于点时，连接，

同法可得，此时直线的解析式为，
当直线与相切时，同法可得直线的解析式为，
当直线经过时，，
观察图象可知，满足条件的的值为：，
综上所述，满足条件的的值为或．
求出点关于直线的对称点即可；
由题意，满足条件的点在以为圆心为半径的圆上图中弧，由此判断即可；
分，求出两种特殊位置的值即可．如图中，作关于轴的对称图形，当直线与在第三象限相切时，设切点为，连接如图中，以为圆心，为半径作，当直线与在第四象限点相切于点时，连接，分别求出的值即可解决问题．
本题属圆综合题，考查了定向对称点的定义，直线与圆的位置关系，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题．