2022-2023学年北京师大附属实验中学九年级（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年北京师大附属实验中学九年级（下）开学数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有一个根为0，则m的值为( )
A. 2B. 1C. 0D. −1
2.下列图形中，是中心对称图形的是( )
A. 圆B. 等边三角形
C. 直角三角形D. 正五边形
3.关于二次函数y=2(x−4)2+6，下列说法正确的是( )
A. 最大值为4B. 最小值为4C. 最大值为6D. 最小值为6
4.一只不透明的袋子中装有3个黑球和2个白球，这些除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球，下列事件是必然事件的为( )
A. 至少有1个球是黑球B. 至少有1个球是白球
C. 至少有2个球是黑球D. 至少有2个球是白球
5.把抛物线y=12x2+1向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为( )
A. y=12(x−1)2+2B. y=12(x−1)2−2
C. y=12(x+1)2+2D. y=12(x+1)2−2
6.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，OD⊥AB于点E，若OE=1，∠ACB=45°，则AB=( )
A. 2
B. 1
C. 2
D. 4
7.如图，过点A作⊙O的切线AB，AC，切点分别是B，C，连接BC.过BC上一点D作的⊙O切线，交AB，AC于点E，F.若∠A=90°，△AEF的周长为2，则BC的长为( )
A. 1
B. 2
C. 2
D. 2 2
8.如图，AB、AC、AD分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边.若AB=2，下面结论中正确的是( )
①该圆的半径为2；
②AC的长为π2；
③AC平分∠BAD；
④连接BC，CD，则△ABC与ACD的面积比为1： 3．
A. ①③B. ①④C. ①②③D. ①③④
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.在平面直角坐标系中，点(−5,1)关于原点对称的点的坐标是______．
10.若扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则这个扇形的面积为______cm2．
11.2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是 .(结果精确到0.1)
12.若M(0,5)，N(2,5)在抛物线y=2(x−m)2+3上，则m的值为______．
13.请写出一个常数c的值，使得关于x的方程x2−2x+c=0有两个不相等的实数根，则c的值可以是 ．
14.如图，矩形绿地的长和宽分别为30m和20m.若将该绿地的长、宽各增加xm，扩充后的绿地的面积为ym2，则y与x之间的函数关系是 .(填“正比例函数关系”、“一次函数关系”或“二次函数关系”)
15.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC=CD，∠A=50°，则∠B= ______．
16.有A，B，C，D，E，F六种类型的卡牌，每位同学有三张不同类型的卡牌，作一个“卡牌组合”(不考虑顺序).将n位同学拥有的卡牌按类型分别统计，得到下表：
根据以上信息，可知：
①n= ______；
②拥有“卡牌组合”______的人数最少(横线上填出三张卡牌的类型)．
三、解答题：本题共6小题，共44分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
解方程：x2−4x−3=0．
18.(本小题6分)
已知a是方程2x2−3x−7=0的一个根，求代数式(a+1)(a−1)+3a(a−2)的值．
19.(本小题6分)
2022年3月23日，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号飞行乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富讲了又一堂精彩的太空科普课．这场充满奇思妙想的太空授课，让科学的种子在亿万青少年的心里生根发芽．小明和小亮对航天知识产生了极大兴趣，他们在中国载人航天网站了解到，航天知识分为“梦圆天路”、“飞天英雄”、“探秘太空”、“巡天飞船”等模块．他们决定先从“梦圆天路”、“飞天英雄”、“探秘太空”三个模块中随机选择一个进行学习，分别设这三个模块为A，B，C，用画树状图或列表的方法求出小明和小亮选择相同模块的概率．
20.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上.过点C作⊙O的切线l，过点B作BD⊥l于点D．
(1)求证：BC平分∠ABD；
(2)连接OD，若∠ABD=60°，CD=3，求OD的长．
21.(本小题9分)
已知二次函数y=ax2−4ax+3(a≠0)．
(1)求该二次函数的图象与y轴交点的坐标及对称轴．
(2)已知点(3,y1)，(1,y2)，(−1,y3)，(−2,y4)都在该二次函数图象上，
①请判断y1与y2的大小关系：y1______y2(用“>”“=”“<”填空)；
②若y1，y2，y3，y4四个函数值中有且只有一个小于零，求a的取值范围．
22.(本小题9分)
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°.D是AB边上一点，DE⊥AC交CA的延长线于点E．
(1)用等式表示AD与AE的数量关系，并证明；
(2)连接BE，延长BE至F，使EF=BE.连接DC，CF，DF．
①依题意补全图形；
②判断△DCF的形状，并证明．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有一个根为0，
∴m=0，
故选：C．
将x=0代入方程x2−2x+m=0，即可求解．
本题考查了一元二次方程的解的定义，将x=0代入方程是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：A、是中心对称图形，本选项正确；
B、不是中心对称图形，本选项错误；
C、不是中心对称图形，本选项错误；
D、不是中心对称图形，本选项错误．
故选：A．
根据中心对称图形的概念求解即可．
本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图形重合．
3.【答案】D
【解析】解：∵二次函数y=2(x−4)2+6，a=2>0，
∴该函数图象开口向上，有最小值，当x=4时取得最小值6．
故选：D．
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数有最小值，最小值为6，然后即可判断哪个选项是正确的．
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确二次函数的性质，会求函数的最值．
4.【答案】A
【解析】解：至少有1个球是黑球是必然事件，A正确；
至少有1个球是白球是随机事件，B不正确；
至少有2个球是黑球是随机事件，C不正确；
至少有2个球是白球是随机事件，D不正确；
故选：A．
根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念解答．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件，是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5.【答案】B
【解析】解：把抛物线y=12x2+1向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为y=12(x−1)2+1−3，即y=12(x−1)2−2，
故选：B．
根据二次函数图象的平移规律进行求解即可．
本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：如图所示，连接OA，OB，
∵∠ACB=45°，
∴∠AOB=2∠ACB=90°，
∵OD⊥AB，
∴∠AOE=∠BOE=45°，AB=2AE，
在Rt△OAE中，AE=OE⋅tan∠AOE=1，
∴AB=2AE=2，
故选：A．
如图所示，连接OA，OB，由圆周角定理得到∠AOB=90°，由垂径定理得到∠AOE=∠BOE=45°，AB=2AE，再解Rt△OAE求出AE=1，则AB=2AE=2．
本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵AB，AC是⊙O的切线，切点分别是B，C，
∴AB=AC，
∵DF、DE是⊙O的切线，切点是D，
∴DF=FC，DE=EB，
∵△AEF的周长为2，即AF+EF+AE=AF+DF+DE+AE=AC+AB=2，
∴AB=AC=1，
∵∠A=90°，
∴BC= AB2+AC2= 12+12= 2，
故选：C．
利用切线长定理得出AB=AC，DF=FC，DE=EB，再根据三角形周长等于2，可求得AB=AC=1，从而利用勾股定理可求解．
本题主要考查了切线长定理，勾股定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：根据题干补全图形，连接BC，CD，OA，OB，OC，OD，OE，
根据内接正六边形的性质可知：∠AOB=60°，OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=AB=2，即圆的半径为2，故①正确；
根据内接正方形的性质可知：∠AOC=90°，
∴AC的长为：90π×2180=π，故②错误；
∵OA=OD，∠AOD=120°，
∴∠OAD=30°，
∵OA=OC，∠AOC=90°，
∴∠OAC=45°，
∵∠OAB=60°，
∴∠BAC=60°−45°=15°，
∴∠BAC=∠DAC，
∴AC平分∠BAD，故③正确；
过点A作AH⊥BC交CB延长线于点H，AG⊥CD交DC延长线于点G，
∵∠ACB=12∠AOB=30°，
∴AH=12AC，
∵AC= OA2+OC2=2 2，
∴AH= 2，
∠ADC=12∠AOC=45°，
∴AG= 22AD，
设OB交AD于点M，
∵∠AOM=60°，
∴OM⊥AD，AD=2AM，
∵∠OAM=30°，
∴MO=12OA=1，
∴AM= OA2−OM2= 3，
∴AD=2AM=2 3，
∴AG= 6，
∵∠BAC=∠CAD，
∴CD=BC，
∴S△ABCS△ACD=12BC⋅AH12DC⋅AG=AHAG= 2 6=1 3，故④正确；
因此正确的结论：①③④，
故选：D．
先求出∠AOB=60°，进而证明△AOB是等边三角形，则OA=OB=AB=2，由此即可判断①；求出∠AOC=90°，则AC的长为：90π×2180=π，即可判断②；求出∠OAD=30°，再求出∠OAC=45°，即可推出∠BAC=∠DAC，由此即可判断③；过点A作AH⊥BC交CB延长线于点H，AG⊥CD交DC延长线于点G，求出AC=2 2，则AH= 2，设OB交AD于点M，求出MO=12OA=1，则AM= 3，AD=2 3，则AG= 6，再证明CD=BC，则S△ABCS△ACD=12BC⋅AH12DC⋅AG=AHAG=1 3，即可判断④．
本题主要考查了正多边形与圆，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，弧长公式，勾股定理，得出圆形的半径是解题的关键．
9.【答案】(5,−1)
【解析】解：在平面直角坐标系中，点(−5,1)关于原点对称的点的坐标是(5,−1)，
故答案为：(5,−1)．
根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数进行求解即可．
本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标，熟知关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数是解题的关键．
10.【答案】3π
【解析】解：∵r=3cm，n=120°，
根据扇形的面积公式S=nπr2360得
S扇=120⋅π×32360=3π(cm2).
故答案为：3π．
根据扇形的面积S=nπr2360进行计算即可．
本题主要考查了扇形的面积公式，正确理解公式是解题关键．
11.【答案】0.9
【解析】解：∵幼树移植数为20000棵时，幼树移植成活的频率为0.902，
∴估计幼树移植成活的概率为0.902，精确到0.1，即为0.9．
故答案为：0.9．
大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
本题考查了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．
12.【答案】1
【解析】解：因为点M(0,5)，N(2,5)的纵坐标相同，都是5，
所以对称轴为直线x=m=0+22=1，
故m的值为1．
故答案为：1．
根据抛物线的对称性即可求解．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数图象的对称性是解题的关键．
13.【答案】0(答案不唯一)．
【解析】解：a=1，b=−2．
∵Δ=b2−4ac=(−2)2−4×1×c>0，
∴c<1．
故答案为：0(答案不唯一)．
根据方程的系数结合根的判别式Δ=b2−4ac>0，即可得出关于c的不等式，解之即可求出c的值．
本题考查了根的判别式，牢记“当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
14.【答案】二次函数关系
【解析】解：由题意得，
y=(20+x)(30+x)=x2+50x+600，
所以y与x是二次函数关系．
故答案为：二次函数关系．
根据题意列出y与x的关系式可得答案．
此题考查了二次函数的实际应用．解题的关键是根据题意列出函数解析式．
15.【答案】65°
【解析】解：如图所示，连接AC．
∵BC=CD，
∴∠DAC=∠BAC．
∵∠DAB=50°，
∴∠BAC=12∠DAB=25°．
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠B=90°−∠BAC=65°，
故答案为：65°．
连接AC.利用等弧所对圆周角相等，得出∠DAC=∠BAC，从而得出∠BAC=12∠DAB=25°，再利用直径所对圆周角是直角，最后由直角 三角形两锐角互余求解即可．
本题主要考查了圆周角定理的推论，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理的推论是解题的关键．
16.【答案】10 BFE
【解析】解：①n=(4+10+3+2+1+10)÷3=10．
故答案为：10；
②∵有10位同学，B，F卡牌的数量都是10，E的数量最少，
∴拥有“卡牌组合”BF的人数最少．
故答案为：BFE．
①将卡牌的数量相加，再除以3即可求解；
②由于有10位同学，B，F卡牌的数量都是10，每位同学有三张不同类型的卡牌，记作一个“卡牌组合”(不考虑顺序)，可得另外1个卡牌数量最少的均为所求．
本题主要考查可能性的大小．用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
17.【答案】解：移项得x2−4x=3，
配方得x2−4x+4=3+4，
即(x−2)2= 7，
开方得x−2=± 7，
∴x1=2+ 7，x2=2− 7．
【解析】本题考查配方法解一元二次方程．
根据配方法即可解．
18.【答案】解：∵a是方程2x2−3x−7=0的一个根，
∴2a2−3a−7=0，
∴2a2−3a=7，
∴(a+1)(a−1)+3a(a−2)
=a2−1+3a2−6a
=4a2−6a−1
=2(2a2−3a)−1
=2×7−1
=13．
【解析】先根据一元二次方程解的定义得到2a2−3a=7，再把所求式子化简为2(2a2−3a)−1，由此求解即可．
本题主要考查了整式的化简求值，一元二次方程解的定义，灵活运用所学知识是解题的关键．
19.【答案】解：画树状图如下：
共有9种等可能性结果，其中小明和小亮选择相同模块的结果有3种，
∴小明和小亮选择相同模块的概率为39=13．
【解析】根据题意画出树状图得出所有等情况数与小明和小亮选择相同模块的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．此题考查的是用树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验，掌握概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：连接OC，

∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵DC是⊙O的切线，OC是⊙O的半径，
∴OC⊥DC，
∵BD⊥DC，
∴OC/​/BD，
∴∠OCB=∠CBD，
∴∠OBC=∠CBD，
∴BC平分∠ABD；
(2)解：连接OD，过点O作OG⊥BD于点G，
得矩形OCDG，
∴OG=CD=3，

在Rt△OBG中，∠ABD=60°，OG=3，
∴sin60°=OGOB，
∴OB=3 32=2 3，
∴OC=OB=2 3，
在Rt△OCD中，根据勾股定理得：
OD= OC2+CD2= (2 3)2+32= 21．
【解析】(1)连接OC，由题意可证OC/​/BD，进而证明BC平分∠ABD；
(2)连接OD，过点O作OG⊥BD于点G，得矩形OCDG，可得OG=CD=3，由锐角三角函数的概念求出OB的长，然后由勾股定理可得出答案．
本题考查的是切线的性质、锐角三角函数的定义，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
21.【答案】解：(1)∵二次函数y=ax2−4ax+3(a≠0)．
∴当x=0时，y=3，函数图象的对称轴为直线x=−−4a2a=2，
∴函数图象与y轴的交点坐标为(0,3)，对称轴为直线x=2．
(2)①=
②∵函数图象的对称轴为直线x=2，−2<−1<1<3，y1=y2，
∴当开口向上时，则y1=y2当开口向下时，则y1=y2>y3>y4，y1，y2，y3，y4四个函数值中可以满足y1=y2>y3>0>y4，
∴y3≥0，y4<0，即当x=−1时，y3=a+4a+3≥0，
x=−2时，y4=4a+8a+3<0，
解得−35≤a<−14，
∴a的取值范围为−35≤a<−14．
【解析】解：(1)见答案；
(2)①∵函数图象的对称轴为直线x=2，
∴点(3,y1)和点(1,y2)关于直线x=2对称，
∴y1=y2；
故答案为：=．
②见答案．
(1)根据对称轴公式和y轴上点的坐标特征即可求得；
(2)①根据二次函数的性质和图象即可判断出答案；
②根据二次函数的性质即可得出y3=a+4a+3≥0，y4=4a+8a+3<0，解得即可．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，利用函数的图象和性质得到关于a的不等式是解题的关键．
22.【答案】解：(1)结论：AD=2AE．
理由：∵DE⊥AE，
∴∠E=90°，
∵∠BAC=120°，
∴∠DAE=60°，
∴∠ADE=30°，
∴AD=2AE；
(2)①图形如图所示：

②结论：△DFC是等边三角形．
理由：延长AE到R，使得ER=AE，连接BR，RF，DR．
∵DE⊥AR.AE=ER，
∴DR=DA，
∵∠DAE=60°，
∴△ADR是等边三角形，
∴∠ADR=∠DRA=60°，
∵AE=RE，∠AEB=∠REF，EB=EF，
∴△AEB≌△REF(SAS)，
∴AB=RF，∠EAB=∠ERF=60°，
∵AB=AC，
∴RF=AC，
∵∠DRF=∠DAC=120°，RD=AD，
∴△RFD≌△ACD(SAS)，
∴DF=DC，∠RDF=∠ADC，
∴∠FDC=∠RDA=60°，
∴△DFC是等边三角形．
【解析】(1)结论：AD=2AE.利用直角三角形30度角的性质证明即可；
(2)①根据要求作出图形即可；
②结论：△DFC是等边三角形．延长AE到R，使得ER=AE，连接BR，RF，DR.证明△RFD≌△ACD(SAS)，推出DF=DC，∠RDF=∠ADC，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．幼树移植数(棵)
100
1000
5000
8000
10000
15000
20000
幼树移植成活数(棵)
87
893
4485
7224
8983
13443
18044
幼树移植成活的频率
0.870
0.893
0.897
0.903
0.898
0.896
0.902
卡牌类型
A
B
C
D
E
F
数量(张)
4
10
3
2
1
10