8.3动能和动能定理-高一物理同步精品讲义（人教必修第二册 ）

第八章 机械能守恒定律

第3课  动能和动能定理

知识点01  动能的表达式

1．表达式：Ek＝mv2.

2．单位：与功的单位相同，国际单位为焦耳，符号为J.

3．标矢性：动能是标量，只有大小，没有方向．

【即学即练1】(多选)对动能的理解，下列说法正确的是(　　)

A．凡是运动的物体都具有动能

B．动能像重力势能一样有正负

C．质量一定的物体，动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化

D．动能不变的物体，一定处于平衡状态

【答案】　AC

【解析】

　运动的物体都有动能，A正确；动能是标量，没有负值，B错误；质量一定的物体，动能变化，则速度的大小一定变化，所以速度一定变化，但速度变化时，如果只是方向改变而大小不变，则动能不变，比如做匀速圆周运动的物体，C正确；动能不变的物体，速度方向可能变化，故不一定处于平衡状态，D错误．

知识点02  动能定理

1．内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化．

2．表达式：W＝mv22－mv12.如果物体受到几个力的共同作用，W即为合力做的功，它等于各个力做功的代数和．

3．动能定理既适用于恒力做功的情况，也适用于变力做功的情况；既适用于直线运动，也适用于曲线运动．

【即学即练2】(多选)一质量为0.3 kg的弹性小球，在光滑的水平面上以大小为6 m/s的速度垂直撞到墙上，碰撞后小球沿相反方向运动，反弹后的速度大小与碰撞前速度的大小相同，则碰撞前后小球速度变化量的大小Δv和碰撞过程中墙对小球做功的大小W为(　　)

A．Δv＝0   B．Δv＝12 m/s

C．W＝0   D．W＝10.8 J

【答案】　BC

【解析】

由于碰撞前后小球速度大小相等、方向相反，所以Δv＝v－(－v0)＝12 m/s，根据动能定理得W＝ΔEk＝mv2－mv02＝0.故选B、C.

考法01  动能和动能定理

1．动能概念的理解

(1)动能的表达式Ek＝mv2.

(2)动能是标量，没有负值．

(3)动能是状态量，与物体的运动状态相对应．

(4)动能具有相对性，选取不同的参考系，物体的速度大小不同，动能也不同，一般以地面为参考系．

2．动能定理

(1)在一个过程中合外力对物体做的功或者外力对物体做的总功等于物体在这个过程中动能的变化．

(2)W与ΔEk的关系：合外力做功是物体动能变化的原因．

①合外力对物体做正功，即W>0，ΔEk>0，表明物体的动能增大；

②合外力对物体做负功，即W<0，ΔEk<0，表明物体的动能减小；

如果合外力对物体做功，物体动能发生变化，速度一定发生变化；而速度变化动能不一定变化，比如做匀速圆周运动的物体所受合外力不做功．

③如果合外力对物体不做功，则动能不变．

(3)物体动能的改变可由合外力做功来度量．

【典例1】(多选)甲、乙两个质量相同的物体，用大小相等的力F分别拉着它们在水平面上从静止开始运动相同的距离s.如图所示，甲在光滑面上，乙在粗糙面上，则下列关于力F对甲、乙两物体做的功和甲、乙两物体获得的动能的说法中正确的是(　　)

A．力F对甲物体做功多

B．力F对甲、乙两个物体做的功一样多

C．甲物体获得的动能比乙大

D．甲、乙两个物体获得的动能相同

【答案】　BC

【解析】

　由W＝Flcos α＝F·s可知，两种情况下力F对甲、乙两个物体做的功一样多，A错误，B正确；根据动能定理，对甲有Fs＝Ek1，对乙有Fs－Ffs＝Ek2，可知Ek1>Ek2，C正确，D错误．

考法02  动能定理的简单应用

应用动能定理解题的一般步骤：

(1)选取研究对象(通常是单个物体)，明确它的运动过程．

(2)对研究对象进行受力分析，明确各力做功的情况，求出外力做功的代数和．

(3)明确物体在初、末状态的动能Ek1、Ek2.

(4)列出动能定理的方程W＝Ek2－Ek1，结合其他必要的辅助方程求解并验算．

【典例2】(多选)如图，A、B质量相等，它们与地面间的动摩擦因数也相等，且FA＝FB，如果A、B由静止开始沿水平面运动相同的距离，那么(　　)

A．FA对A做的功与FB对B做的功相同

B．FA对A做功的平均功率大于FB对B做功的平均功率

C．到终点时物体A获得的动能大于物体B获得的动能

D．到终点时物体A获得的动能小于物体B获得的动能

【答案】　ABC

【解析】

　根据W＝Fscos θ，因两个力的大小相等，与水平方向的夹角相等，位移相等，则做功的大小相等，故A正确；

根据牛顿第二定律可知A的加速度大于B的加速度，根据x＝at2可知A的运动时间小于B的运动时间，根据P＝可知FA对A做功的平均功率大于FB对B做功的平均功率，故B正确；

根据v2＝2ax可知到终点时物体A的速度大于物体B，两物体质量相同，故物体A获得的动能大于物体B获得的动能，故C正确，D错误．

题组A  基础过关练

1．下列说法正确的是（　　）

A．物体所受合外力为0，动能可能改变

B．物体所受合外力不为0，动能一定改变

C．物体的动能不变，所受合外力一定为0

D．物体的动能改变，所受合外力一定不为0

【答案】D

【解析】A．物体所受合外力为0，则合外力做功为零，根据动能定理可知，动能不改变，故A错误；

B．物体所受合外力不为0，但位移可能为零，合外力做功可能为零，根据动能定理可知，动能可能不改变，故B错误；

C．物体的动能不变，但速度方向可能改变，合外力不一定为零，如匀速圆周运动，故C错误；

D．根据动能定理可知，物体的动能改变，一定有合外力做功，所受合外力一定不为0，故D正确。

故选D。

2. 如图所示，粗糙弧形轨道高为h，将质量为m的小球从轨道顶端由静止释放，小球运动到轨道底端时的速度为v，重力加速度为g。该过程中，阻力对小球做的功为（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】小球从顶端静止释放到轨道底端，根据动能定理可得

解得

故选D。

3．如图，竖直平面内的轨道Ⅰ和Ⅱ都由两段细直杆连接而成，两轨道长度相等。用相同的水平恒力将穿在轨道最低点B的静止小球，分别沿Ⅰ和Ⅱ推至最高点A，所需时间分别为t1、t2；动能增量分别为ΔEk1、ΔEk2。假定球在经过轨道转折点前后速度的大小不变，且球与Ⅰ、Ⅱ轨道间的动摩擦因数相等，则（　　）

A．ΔEk1>ΔEk2；t1>t2 B．ΔEk1＝ΔEk2；t1>t2

C．ΔEk1>ΔEk2；t1<t2 D．ΔEk1＝ΔEk2；t1<t2

【答案】B

【解析】因为摩擦力做功

可知沿两轨道运动，摩擦力做功相等，根据动能定理得

知两种情况拉力做功相等，摩擦力做功相等，重力做功相等，则动能的变化量相等。

设物体的加速度a，由牛顿第二定律得

整理得

可知斜面与水平面之间的夹角越大，加速度越小，结合物体运动的轨迹，作出在两个轨道上运动的速度时间图线如图所示∶

由于路程相等，则图线与时间轴围成的面积相等，由图可知

故选B。

4. 滑雪是冬奥会的比赛项目之一。如图所示为一简化后的滑雪雪道示意图，质量为的运动员从高处的a点沿倾斜雪道滑入水平雪道，两雪道在b点平滑连接，运动员与两雪道间的动摩擦因数相同，运动员在a、c两点时的速度大小均为，长度与长度相等，运动员可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度大小g取10，则运动员从a到c的运动过程中（　　）

A．运动员的动能始终保持不变

B．运动员在段克服摩擦力做功小于在段克服摩擦力做功

C．运动员在过程克服阻力做的功等于2001J

D．运动员经b点时的速度大小等于13

【答案】B

【解析】A．由题意知，在运动员从b运动到c的过程中，由于摩擦力做负功，动能在减少，选项A错误；

B．运动员在段正压力小于段的正压力，故运动员在段克服摩擦力做功小于在段克服摩擦力做功，即从a到b克服摩擦力做功

选项B正确；

C．运动员从a到c根据动能定理

可得，全程克服阻力做功

因在段、段摩擦力做功不同，故运动员在过程克服阻力做的功一定不等于

选项C错误；

D．设运动员在b点的速度为，根据动能定理有

所以

选项D错误。

故选B。

5．体育课上，喜欢打篮球的李同学迅速跳起，在最高点时以一定的速度将质量为m的篮球抛出，如图所示，篮球被抛出位置距离地面高度为h，距离篮球框的水平距离为x，篮筐距离地面的高度为H，当篮球竖直速度刚好为零时，篮球刚好到达篮筐，然后篮球与球框碰撞，碰撞后速度大小变为碰前的0.5倍，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）

A．小李同学扔球时对篮球做的功为

B．小李同学扔球时对篮球做的功为

C．篮球落地点距离篮筐的水平距离为

D．篮球从抛出到落地的时间为

【答案】A

【解析】AB．篮球在竖直速度刚好为零时落进篮筐，根据逆向思维，篮球做平抛运动，则

，，

小李对篮球做的功

，

联立解得

故A正确，B错误；

C．篮球与篮筐碰撞后的速度大小为碰前的，碰后至落地的时间

所以篮球落地点距离篮筐的水平距离

故C错误；

D．篮球从抛出到落地的时间为，故D错误。

故选A。

6. 如图所示的水平轨道足够长，只有部分是粗糙的，其长度为，其余部分是光滑的，质量为1kg，长度为的粗细相同的匀质软绳静止在点的左侧（绳的右端在点），软绳与粗糙部分的动摩擦因数为，现用的水平向右的恒力作用在软绳上，软绳始终保持伸直状态且长度不变，重力加速度为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则在软绳运动的过程中，下列说法正确的是（   ）

A．软绳先做匀加速后做匀减速运动 B．软绳的左端能经过点

C．软绳的最大动能为0.5J D．软绳克服摩擦力做功4.0J

【答案】C

【解析】设绳子B端向右运动位移为，当时，绳子所受摩擦力

当时，绳子所受摩擦力

绳子所受摩擦力随位移变化如图所示

又图像与坐标轴围成的面积表示物体克服摩擦力做的功，当时，

①

对绳子由动能定理得

②

当时

又

得

所以设绳子B端向右运动位移为速度为零，停止运动。

A．拉力先比摩擦力大，后比摩擦力小，软绳先做加速运动后做减速运动。时，摩擦力为变力，所以加速度不恒定，A错误；

B．当时，绳子停止运动，软绳的左端不能经过点，B错误；

C．由①②得,当

动能最大

C正确；

D．B端向右运动位移L的过程中，克服摩擦力做功

D错误。

故选C。

题组B  能力提升练

7. 复兴号动车在世界上首次实现速度350km/h自动驾驶功能，成为我国高铁自主创新的又一重大标志性成果。一列质量为m的动车，初速度为，以恒定功率P在平直轨道上运动，经时间t达到该功率下的最大速度，设动车行驶过程所受到的阻力f保持不变，动车在时间t内（　　）

A．做匀加速直线运动

B．牵引力F逐渐增大

C．牵引力的功率

D．牵引力做功

【答案】C

【解析】AB．高铁以恒定功率P在平直轨道上运动，则加速度

则随速度的增加，牵引力减小，加速度减小，即高铁做加速度减小的加速运动，选项AB错误；

C．达到最大速速时F=f，则牵引力的功率

选项C正确；

D．由动能定理可得

牵引力做功

选项D错误。

故选C。

8. 在斜面上O点，将质量相等的甲乙两个小球分别以v和的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上。甲球落至斜面时的动能与乙球落至斜面时的动能之比为（  ）

A．3:1 B．9:1 C．6:1 D．27:1

【答案】B

【解析】设斜面倾角为，小球落在斜面上速度方向偏向角为，甲球以速度抛出，落在斜面上，如图所示

根据平抛运动的推论可得

所以甲、乙两个小球落在斜面上时速度偏向角相等；对甲有

对乙有

联立可得

由于甲、乙两球质量相等，所以甲球落至斜面时的动能与乙球落至斜面时的动能之比为

故选B。

9． （多选）如图所示，水平传送带以大小为v的速度沿逆时针匀速转动，一个物块也以大小为v的速度从传送带的左端滑上传送带，并刚好能从传送带右端滑离，物块在传送带上运动的时间为t。若将物块滑上传送带的速度减小为，则下列判断正确的是（　　）

A．物块能滑到传送带中间的位置 B．物块能运动到传送带的最右端

C．物块在传送带上一直做匀变速运动 D．为物块在传送带上运动的时间也为t

【答案】CD

【解析】A B．设左右两端的距离为L，物体与传送带之间的动摩擦因数为μ，物块的质量为m，则加速度为

物块以大小为v的速度从传送带的左端滑上传送带，根据动能定理可得：

若将物块滑上传送带的速度减小为，则

解得：

故物块不能滑到传送带中间的位置，也不能运动到传送带的最右端。AB错误；

C．物块在传送带上先向右减速，加速度为μg，再反向加速，加速度也为μg，故物块一直做匀变速运动，C正确；

D．物块以大小为v的速度从传送带的左端滑上传送带，运动时间

若将物块滑上传送带的速度减小为，物块在传送带上运动的时间也为

D正确；

故选CD。

10. （多选）一物块以初速度自固定斜面底端沿斜面向上运动，一段时间后回到斜面底端。该物体的动能随位移x的变化关系如图所示，图中、、均己知。根据图中信息可以求出的物理量有（　　）

A．重力加速度大小 B．物体所受滑动摩擦力的大小

C．斜面的倾角 D．沿斜面上滑的时间

【答案】BD

【解析】ABC．由动能定义式得，则可求解质量m；上滑时，由动能定理

下滑时，由动能定理

x0为上滑的最远距离；由图像的斜率可知

，

两式相加可得

相减可知

即可求解gsinθ和所受滑动摩擦力f的大小，但重力加速度大小、斜面的倾角不能求出，故AC错误，B正确；

D．根据牛顿第二定律和运动学关系得

，

故可求解沿斜面上滑的时间，D正确。

故选BD。

题组C  培优拔尖练

11． （多选）如图所示，水平粗糙传送带以恒定速度v0顺时针匀速传送，质量为m的正方形物体abcd置于传送带上，在传送带所在区域有一以PQ与MN为边界的特定区间，当abcd在进入与离开该区间的过程中就会受到水平向左的变力F的作用，且当abcd进入该区间的过程中F的变化规律与abcd离开该区域的过程中F的变化规律相同，PQ、MN与传送带垂直物体在图示位置开始计时，运动过程中ab边始终与PQ平行，其速度与时间的关系如图所示，重力加速度为g，正方体物体的边长为l则下列说法中正确的是（　　）

A．边界PQ与MN的距离为

B．物体与传送带间的动摩擦因数为

C．时间内，克服变力F做的功为

D．从零时刻开始，传送带因传送物体而多做的功为

【答案】CD

【解析】A．根据题意可知，边界PQ与MN的距离为物体在时间内的位移之和，物体在时间内的位移为物体的边长，则有

根据图像，可得物体在时间内的位移

物体在时间内的位移

可得边界PQ与MN的距离为

故A错误；

B．物体在时间内做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律可得

由用像可得

联立可得

所以选项B错误；

C．时间内，克服变力F做的功为

解得

故C正确：

D．从零时刻开始，传送带因传送物体而多做的功为传送带克服摩擦力所做的功，时间内，克服摩擦力做的功为

时间内，克服摩擦力做的功与在时间内克服摩擦力做的功一样多，故

故D正确。

故选CD。

12. 超级高铁是一种以“真空钢管运输”为理论核心的交通工具，具有超高速、高安全、低能耗、噪声小、污染小等特点。一质量为m的超级高铁进行测试，先由静止开始做匀加速直线运动，达到最大速度后匀速运动一段时间，再做匀减速直线运动，已知加速和减速过程中加速度大小相等，在加速过程开始的前t内位移为x1，减速过程开始的前t内位移为x2，运动过程所受阻力恒为f，求：

（1）测试过程中超级高铁的最大速度vm；

（2）由静止开始加速到最大速度的过程中，牵引力所做的功W。

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）超级高铁在加速过程开始的前t内

超级高铁在减速过程开始的前t内

且

解得

（2）设超级高铁在加速过程的总位移为x

在加速过程中，由动能定理得

解得