专题01 绝对值的三种化简方法-初中数学7年级上册同步压轴题（教师版含解析）

专题01 绝对值的三种化简方法

绝对值版块的内容在我们这学期比重较大，尤其是绝对值的化简。并且，在压轴题中，常见的题型是利用数轴化简绝对值和利用其几何意义化简绝对值，本专题就这两块难点详细做出分析。

【知识点梳理】

1.绝对值的定义

一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|

2.绝对值的意义

  ①代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；

  ②几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小。

3.绝对值的化简：

类型一、利用数轴化简绝对值

例1．有理数a、b、c在数轴上位置如图，则的值为(       )．

A． B． C．0 D．

【答案】A

【详解】根据数轴上点的位置得：，且，

则，，，

则．

故选A．

例2．有理数，在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式的值是(     )

A．-1 B．1 C．3 D．-3

【答案】D

【详解】解：根据数轴可知：－1<a<0，0<b<1，|a|<|b|，

∴原式．

故选：D．

【变式训练1】已知，数、、的大小关系如图所示：化简____．

【答案】

【详解】由数轴可得：b＜0，0＜a＜c，

∴(a+c)＞0，(b-a)＜0，(a-c)＜0，(b-c)＜0，

∴a+c-(a-b)-2(c-a)+3(c-b)

=a+c-a+b-2c+2a+3c-3b=2a-2b+2c，

故答案为：2a-2b+2c．

【变式训练2】有理数a、b、c在数轴上的位置如图．

(1)判断正负，用“>”或“<”填空：        ，        ，        ．

(2)化简：

【答案】(1)＜，＜，＞；(2)2c-2b-2a

【详解】解：由图可知，a＜0，b＞0，c＞0，且|b|＜|a|＜|c|，

(1)b−c＜0，a＋b＜0，−a＋c＞0；故答案为：＜，＜，＞；

(2)＝c−b−a-b-a+c=2c-2b-2a．

【变式训练3】有理数，在数轴上的对应点如图所示：

(1)填空：______0；______0；______0；(填“＜”、“＞”或“＝”)

(2)化简：

【答案】(1)<，<，>；(2)

【详解】(1)从数轴可知：，，故答案为：<，<，>；

(2)，

．

【变式训练4】有理数a、b、c在数轴上的位置如图：

(1)用“＞”或“＜”填空a_____0，b_____0，c﹣b______0，ab_____0．

(2)化简：|a|+|b+c|﹣|c﹣a|．

【答案】(1)＜，＞，＞，＜；(2)b

【解析】(1)解：由有理数a、b、c在数轴上的位置可知，a＜0＜b＜c，

∴c﹣b＞0，ab＜0

故答案为：＜，＞，＞，＜；

(2)由有理数a、b、c在数轴上的位置可得，

b+c＞0，c﹣a＞0，

∴|a|+|b+c|﹣|c﹣a|＝﹣a+b+c﹣c+a＝b．

类型二、利用几何意义化简绝对值

例1.同学们都知道，|5-(-2)|表示5与-2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索

(1)求|5-(-2)|=________；

(2)同样道理|x+1008|=|x-1005|表示数轴上有理数x所对点到-1008和1005所对的两点距离相等，则x=________；

(3)类似的|x+5|+|x-2|表示数轴上有理数x所对点到-5和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x-2|=7，这样的整数是__________．

(4)由以上探索猜想对于任何有理数x，|x-3|+|x-6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．

【答案】(1)7；(2)；(3)-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2；(4)有最小值，最小值为3．

【详解】(1)|5-(-2)|==7，故答案为：7

(2)∵|x+1008|=|x-1005|表示数轴上有理数x所对点到-1008和1005所对的两点距离相等，

∴x所对点为-1008和1005所对点的中点，∴x+1008＞0，x-1005＜0，

∵|x+1008|=|x-1005|，∴x+1008=-(x-1005)，解得：，答案为：

(3)当x+5=0时，x=-5，当x-2=0时，x=2，

当x＜-5时，|x+5|+|x-2|=-(x+5)-(x-2)=7，-x-5-x+2=7，解得：x=5(范围内不成立，舍去)

当-5≤x＜2时，∴|x+5|+|x-2|=(x+5)-(x-2)=7，x+5-x+2=7，7=7，

∵x为整数，∴x=-5，-4，-3，-2，-1，0，1

当x≥2时，∴|x+5|+|x-2|=(x+5)+(x-2)=7，x+5+x-2=7，2x=4，解得：x=2，

综上所述：符合条件的整数为-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，

故答案为：-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2

(4)∵|x-3|+|x-6|表示数轴上有理数x所对点到3和6所对的两点距离之和，

∴由(2)得3≤x≤6时|x-3|+|x-6|的值最小，

∴|x-3|+|x-6|=x-3-(x-6)=3，∴|x-3|+|x-6|有最小值，最小值为3．

【变式训练1】阅读下面的材料：

点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为∣AB∣，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，∣AB∣＝∣OB∣=∣b∣=∣a-b∣；当A、B两点都不在原点时：

①如图2，点A、B都在原点的右边：

∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=b-a=∣a-b∣；

②如图3，点A、B都在原点的左边：

∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=-b-(-a)=∣a-b∣；

③如图4，点A、B在原点的两边：

∣AB∣=∣OA∣+∣OB∣=∣a∣+∣b∣=a+(-b)=∣a-b∣，

综上，数轴上A、B两点之间的距离∣AB∣=∣a-b∣．　

回答下列问题：

(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是________，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是___________；

(2)数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是________，如果∣AB∣=2， 那么x为__________．

(3)当代数式∣x+1∣+∣x-2∣取最小值时，相应的x的取值范围是__________．

【答案】(1)3，3，4；(2)，1或-3；(3)

【解析】(1)解：数轴上表示2和5的两点之间的距离为，

数轴上表示-2和-5的两点之间的距离为，

数轴上表示1和-3的两点之间的距离为；

故答案为：3，3，4；

(2)解：数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是，

根据题意得，即，所以x=1或-3，

故答案为，1或-3；

(3)解：代数式∣x+1∣+∣x-2∣可以看成x到-1和2的距离和，只有在-1和2之间才会有最小距离3，所以x的取值为，

故答案为：．

【变式训练2】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：

(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是　 　；数轴上表示﹣3和2两点之间的距离是　 　；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离可以表示为|m﹣n|．那么，数轴上表示数x与5两点之间的距离可以表示为　  　，表示数y与﹣1两点之间的距离可以表示为　   　．

(2)如果表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，那么a＝　   　；若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，求|a+4|+|a﹣2|的值；

(3)当a＝　  　时，|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是　 　．

【答案】(1)3，5，|x-5|，|y+1|；(2)1或-5；|a+4|+|a-2|=6；(3)1，9．

【详解】(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是4-1=3；表示-3和2两点之间的距离是2-(-3)=5；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离可以表示为|m-n|．那么，数轴上表示数x与5两点之间的距离可以表示为|x-5|，表示数y与-1两点之间的距离可以表示为|y+1|．

故答案为：3，5，|x-5|，|y+1|；

(2)如果表示数a和-2的两点之间的距离是3，那么|a-(-2)|=3，

∴|a+2|=3，∴a+2=3或a+2=-3，解得a=1或a=-5；

∵|a+4|+|a-2|表示数a与-4的距离与a和2的距离之和，

若数轴上表示数a的点位于-4与2之间，则|a+4|+|a-2|的值等于2和-4之间的距离，等于6．

即|a+4|+|a-2|=6，故答案为：1或-5；

(3)|a+5|+|a-1|+|a-4|表示一点到-5，1，4三点的距离的和，

∴当a=1时，该式的值最小，最小值为6+0+3=9．

∴当a=1时，|a+5|+|a-1|+|a-4|的值最小，最小值是9．故答案为：1，9．

【变式训练3】(问题提出)的最小值是多少？

(阅读理解)为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和．下面我们结合数轴研究的最小值．

我们先看表示的点可能的3种情况，如图所示：

(1)如图①，在1的左边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1．

(2)如图②，在1，2之间(包括在1，2上)，看出到1和2的距离之和等于1．

(3)如图③，在2的右边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当在1，2之间(包括在1，2上)时，有最小值1．

(问题解决)

(1)的几何意义是          ，请你结合数轴探究：的最小值是          ．

(2)请你结合图④探究的最小值是          ，由此可以得出为          ．

(3)的最小值为          ．

(4)的最小值为          ．

(拓展应用)如图，已知使到-1，2的距离之和小于4，请直接写出的取值范围是          ．

【答案】(1)a这个数在数轴上对应的点到4和7两个点的距离之和，3；(2)2，2；(3)6；(4)1021110；拓展应用 ．

【详解】(1)的几何意义是a这个数在数轴上对应点到4和7两个点的距离之和；

当a在4和7之间时(包括4，7上)，

可以看出a到4和7的距离之和等于3，此时取得最小值是3；

故答案为：a这个数在数轴上对应的点到3和6两个点的距离之和，最小值是3.

(2)当a取中间数2时，绝对值最小，的最小值是1+0+1=2；

如图所示：

故答案为：2，2；

(3)当a取最中间数时，绝对值最小，

的最小值是 ；

(4)当a取中间数1011时，绝对值最小，的最小值为：

1010+1009+1008+1007+……+1+0+1+2+3+……+1010=；

拓展应用

∵a使它到-1，2的距离之和小于4，∴，

∴①当时，则有，解得：，∴；

②当 时，则有，∴，

③当时，则有，解得：，∴，

综上：，数轴上表示如下：

类型三、分类讨论法化简绝对值

例1.化简：.

【答案】

【解析】试题解析：①当时，原式

②当时，原式

③当时，原式

④当时，原式

综上所述：

【变式训练1】若，则的值为_________．

【答案】0或2或4

【详解】∵，

∴a、b、c三个数中必定是一正两负，

∴当时，，此时

当时，，此时

当时，，此时

故答案为：0或2或4

【变式训练2】(1)数学小组遇到这样一个问题：若a，b均不为零，求的值．

请补充以下解答过程(直接填空)

①当两个字母a，b中有2个正，0个负时，x=        ；②当两个字母a，b中有1个正，1个负时，x=        ；③当两个字母a，b中有0个正，2个负时，x=        ；综上，当a，b均不为零，求x的值为         ．

(2)请仿照解答过程完成下列问题：

①若a，b，c均不为零，求的值．

②若a，b，c均不为零，且a+b+c=0，直接写出代数式的值．

【答案】(1)①2，②0，③-2，2或0或-2；(2)①1或3或-3或-1；②-1或1

【详解】(1)①∵a、b都是正数，∴=a， =b，∴=1+1=2，

故答案为：2；

②设a是负数，b是正数，∴=-a，=b，∴=-1+1=0，故答案为：0；

③∵a、b都是负数，∴=-a， =-b，∴=-1-1=-2，故答案为：-2；

综上，当a，b均不为零，求x的值为2或0或-2；

(2)①由题意可得：a、b、c的符号分为四种情况：

当a、b、c都是正数时，=1+1-1=1，

当a、b、c为两正一负且a、b为正c为负时，=1+1+1=3，

当a、b、c为一正两负且a、b为负c为正时，=-1-1-1=-3,

当a、b、c都是负数时，=-1-1+1=-1，

综上，的值为1或3或-3,或-1；

②∵a，b，c均不为零，且a+b+c=0，

∴=，

∴当a、b、c为两正一负时，=-1-1+1=-1，

当a、b、c为一正两负=-1+1+1=1，

综上，的值为-1或1.