河北省衡水中学2017届高三（上）六调数学试卷（解析版）（理科）

这是一份河北省衡水中学2017届高三（上）六调数学试卷（解析版）（理科），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2016-2017学年河北省衡水中学高三（上）六调数学试卷（理科）
　
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知，则复数z=（　　）
A．1﹣3i B．﹣1﹣3i C．﹣1+3i D．1+3i
2．已知命题p：∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0，则￢p是（　　）
A．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0 B．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0
C．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0 D．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0
3．已知已知f（x）是奇函数，且f（2﹣x）=f（x），当x∈[2，3]时，f（x）=log2（x﹣1），则f（）=（　　）
A．log27﹣log23 B．log23﹣log27 C．log23﹣2 D．2﹣log23
4．直线y=kx+3与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4相交于M，N两点，若，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，若n=4时，则输出的结果为（　　）

A． B． C． D．
6．已知一个底面为正六边形，侧棱长都相等的六棱锥的正视图与俯视图如图所示，若该几何体的底面边长为2，侧棱长为，则该几何体的侧视图可能是（　　）

A． B． C． D．
7．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（　　）
A． B．2 C． D．
8．已知x，y满足约束条件，则z=2x﹣3y的最小值为（　　）
A．﹣6 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣2
9．已知向量，满足||=1，||=2，﹣=（，），则|+2|=（　　）
A． B． C． D．
10．若数列{an}满足a1=1，且对于任意的n∈N*都有an+1=an+n+1，则等于（　　）
A． B． C． D．
11．如图是函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，则函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（　　）

A．（） B．（1，2） C．（，1） D．（2，3）
12．已知函数，若关于x的方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1=0恰好有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
　
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上
13．如图，利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线与两直线x=2及y=0所围成的阴影部分的面积S：
①先产生两组0～1的增均匀随机数，a=rand （　　），b=rand （　　）；
②产生N个点（x，y），并统计满足条件的点（x，y）的个数N1，已知某同学用计算器做模拟试验结果，当N=1000时，N1=332，则据此可估计S的值为　　．（保留小数点后三位）

14．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦×矢+矢2）．弧田，由圆弧和其所对弦所围成．公式中“弦”指圆弧对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与实际面积之间存在误差．现有圆心角为π，弦长等于9米的弧田．按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得弧田面积与实际面积的差为　　．
15．已知{an}满足，类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得=　　．
16．已知三棱锥O﹣ABC，∠BOC=90°，OA⊥平面BOC，其中AB=，AC=，O，A，B，C四点均在球S的表面上，则球S的表面积为　　．
　
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（12分）如图，在△ABC中，∠B=30°，AC=2，D是边AB上一点．
（1）求△ABC面积的最大值；
（2）若CD=2，△ACD的面积为4，∠ACD为锐角，求BC的长．

18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ADC=∠BCD=90°，BC=2，，PD=4，∠PDA=60°，且平面PAD⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：AD⊥PB；
（Ⅱ）在线段PA上是否存在一点M，使二面角M﹣BC﹣D的大小为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

19．（12分）某校高三一次月考之后，为了为解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生此次的数学成绩，按成绩分组，制成了下面频率分布表：
组号
分组
频数
频率
第一组
[90，100）
5
0.05
第二组
[100，110）
35
0.35
第三组
[110，120）
30
0.30
第四组
[120，130）
20
0.20
第五组
[130，140）
10
0.10
合计
100
1.00
（1）试估计该校高三学生本次月考的平均分；
（2）如果把表中的频率近似地看作每个学生在这次考试中取得相应成绩的概率，那么从所有学生中采用逐个抽取的方法任意抽取3名学生的成绩，并记成绩落在[110，130）中的学生数为ξ，
求：①在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在[110，130）中的概率；
②ξ的分布列和数学期望．（注：本小题结果用分数表示）
20．（12分）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，过抛物线上一点P作抛物线C的切线l交x轴于点D，交y轴于点Q，当|FD|=2时，∠PFD=60°．
（1）判断△PFQ的形状，并求抛物线C的方程；
（2）若A，B两点在抛物线C上，且满足，其中点M（2，2），若抛物线C上存在异于A、B的点H，使得经过A、B、H三点的圆和抛物线在点H处有相同的切线，求点H的坐标．
21．（12分）设函数f（x）=lnx，g（x）=（m＞0）．
（1）当m=1时，函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处的切线互相垂直，求n的值；
（2）若函数y=f（x）﹣g（x）在定义域内不单调，求m﹣n的取值范围；
（3）是否存在实数a，使得f（）•f（eax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立？若存在，求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由．
　
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C2的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），射线与曲线C1交于（不包括极点O）三点A，B，C．
（1）求证：；
（2）当时，B，C两点在曲线C2上，求m与α的值．
　
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|a﹣3x|﹣|2+x|．
（1）若a=2，解不等式f（x）≤3；
（2）若存在实数x，使得不等式f（x）≥1﹣a+2|2+x|成立，求实数a的取值范围．
　

2016-2017学年河北省衡水中学高三（上）六调数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知，则复数z=（　　）
A．1﹣3i B．﹣1﹣3i C．﹣1+3i D．1+3i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．
【解答】解：，∴ =（1+i）（2+i）=1+3i．
则复数z=1﹣3i．
故选：A．
【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
　
2．已知命题p：∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0，则￢p是（　　）
A．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0 B．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0
C．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0 D．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0
【考点】命题的否定．
【分析】由题意，命题p是一个全称命题，把条件中的全称量词改为存在量词，结论的否定作结论即可得到它的否定，由此规则写出其否定，对照选项即可得出正确选项
【解答】解：命题p：∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0是一个全称命题，其否定是一个特称命题，
故¬p：∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0．
故选：C．
【点评】本题考查命题否定，解题的关键是熟练掌握全称命题的否定的书写规则，本题易因为没有将全称量词改为存在量词而导致错误，学习时要注意准确把握规律．
　
3．已知已知f（x）是奇函数，且f（2﹣x）=f（x），当x∈[2，3]时，f（x）=log2（x﹣1），则f（）=（　　）
A．log27﹣log23 B．log23﹣log27 C．log23﹣2 D．2﹣log23
【考点】函数的周期性；函数奇偶性的性质；函数的图象．
【分析】由f（x）是奇函数，且f（2﹣x）=f（x），可知f（4+x）=f（x），于是f（）=f（4）=﹣f（2）=log23﹣2，从而可得答案．
【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（2﹣x）=f（x），
∴f（2+x）=f（﹣x）=﹣f（x），
∴f（4+x）=f（x），即f（x）是以4为周期的函数；
∴f（）=f（4）；
又f（2﹣x）=f（x），
∴f（﹣2）=f（4）=f（）；
又当x∈[2，3]时，f（x）=log2（x﹣1），f（x）是奇函数，
∴f（﹣2）=﹣f（2）=log23﹣2，
∴f（）=log23﹣2．
故选C．
【点评】本题考查函数的周期性与奇偶性，求得f（）=﹣f（2）是关键，也是难点，考查综合分析与转化的能力，属于中档题．
　
4．直线y=kx+3与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4相交于M，N两点，若，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【考点】直线和圆的方程的应用．
【分析】直线与圆相交，有两个公共点，设弦长为L，弦心距为d，半径为r，则可构建直角三角形，从而将问题仍然转化为点线距离问题．
【解答】解：圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4的圆心为（2，3），半径等于2，
圆心到直线y=kx+3的距离等于d=
由弦长公式得MN=2≥2，
∴≤1，
解得，
故选B．
【点评】利用直线与圆的位置关系，研究参数的值，同样应把握好代数法与几何法．
　
5．如图，若n=4时，则输出的结果为（　　）

A． B． C． D．
【考点】程序框图．
【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：输入n=4，i=1，s=0，
s=，i=2≤4，
s=+，i=3≤4，
s=++，i=4≤4，
s=+++，i=5＞4，
输出s=（1﹣）=，
故选：C．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
　
6．已知一个底面为正六边形，侧棱长都相等的六棱锥的正视图与俯视图如图所示，若该几何体的底面边长为2，侧棱长为，则该几何体的侧视图可能是（　　）

A． B． C． D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】利用该几何体的底面边长为2，侧棱长为，可得该几何体的高为，底面正六边形平行两边之间的距离为2，即可得出结论．
【解答】解：∵该几何体的底面边长为2，侧棱长为，
∴该几何体的高为=，底面正六边形平行两边之间的距离为2，
∴该几何体的侧视图可能是C，
故选：C．
【点评】本题考查三视图，考查学生的计算能力，比较基础．
　
7．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（　　）
A． B．2 C． D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】设M在双曲线﹣=1的左支上，由题意可得M的坐标为（﹣2a， a），代入双曲线方程可得a=b，再由离心率公式即可得到所求值．
【解答】解：设M在双曲线﹣=1的左支上，
且MA=AB=2a，∠MAB=120°，
则M的坐标为（﹣2a， a），
代入双曲线方程可得，
﹣=1，
可得a=b，
c==a，
即有e==．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用任意角的三角函数的定义求得M的坐标是解题的关键．
　
8．已知x，y满足约束条件，则z=2x﹣3y的最小值为（　　）
A．﹣6 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣2
【考点】简单线性规划．
【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求最小值．
【解答】解：由约束条件得到可行域如图：z=2x﹣3y变形为y=x﹣，当此直线经过图中B（1，2）时，在y轴的截距最大，z最小，所以z的最小值为2×1﹣3×2=﹣4；
故选：B．

【点评】本题考查了简单线性规划问题；正确画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值是常规方法．
　
9．已知向量，满足||=1，||=2，﹣=（，），则|+2|=（　　）
A． B． C． D．
【考点】平面向量数量积的运算；向量的模．
【分析】利用向量的数量积运算即可得出．
【解答】解：向量，满足||=1，||=2，﹣=（，），
可得|﹣|2=5，即||2+||2﹣2•=5，解得•=0．
|+2|2=||2+4||2﹣4•=1+16=17．
|+2|=．
故选：C．
【点评】熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键．
　
10．若数列{an}满足a1=1，且对于任意的n∈N*都有an+1=an+n+1，则等于（　　）
A． B． C． D．
【考点】数列的求和．
【分析】由所给的式子得an+1﹣an=n+1，给n具体值列出n﹣1个式子，再他们加起来，求出an，再用裂项法求出，然后代入进行求值的值，
【解答】由an+1=an+n+1得，an+1﹣an=n+1，
则a2﹣a1=1+1，
a3﹣a2=2+1，
a4﹣a3=3+1
…
an﹣an﹣1=（n﹣1）+1，
以上等式相加，得an﹣a1=1+2+3+…+（n﹣1）+n﹣1，
把a1=1代入上式得，an=1+2+3+…+（n﹣1）+n=
=2（）
则=2[（1﹣）+（）+…+（）
=2（1﹣）
=，
故答案选：C．
【点评】本题主要考察数列的求和、利用累加法求数列的通项公式，以及裂项相消法求数列的前n项和，这是数列常考的方法，需要熟练掌握，属于中档题．
　
11．如图是函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，则函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（　　）

A．（） B．（1，2） C．（，1） D．（2，3）
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】由二次函数图象的对称轴确定a的范围，据g（x）的表达式计算g（）和g（1）的值的符号，从而确定零点所在的区间．
【解答】解：由函数f（x）=x2+ax+b的部分图象得0＜b＜1，f（1）=0，即有a=﹣1﹣b，
从而﹣2＜a＜﹣1，
而g（x）=lnx+2x+a在定义域内单调递增，
g（）=ln+1+a＜0，
由函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，结合抛物线的对称轴得到：
0＜﹣＜1，解得﹣2＜a＜0，
∴g（1）=ln1+2+a=2+a＞0，
∴函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（，1）；
故选C．
【点评】本题主要考查了导数的运算，以及函数零点的判断，同时考查了运算求解能力和识图能力，属于基础题．
　
12．已知函数，若关于x的方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1=0恰好有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【考点】利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断．
【分析】求函数的导数，判断函数的取值情况，设m=f（x），利用换元法，将方程转化为一元二次方程，利用根的分布建立条件关系即可得到结论．
【解答】解：化简可得f（x）=，
当x＞0时，f（x）≥0，f′（x）===，
当0＜x＜时，f′（x）＞0，当x＞时，f′（x）＜0，
故当x=时，函数f（x）有极大值f（）====；
当x＜0时，f′（x）==＜0，f（x）为减函数，
作出函数f（x）对应的图象如图：
∴函数f（x）在（0，+∞）上有一个最大值为f（）=；
设t=f（x），
当t＞时，方程t=f（x）有1个解，
当t=时，方程t=f（x）有2个解，
当0＜t＜时，方程t=f（x）有3个解，
当t=0时，方程t=f（x）有1个解，
当t＜0时，方程m=f（x）有0个解，
则方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1=0等价为t2﹣mt+m﹣1=0，
等价为方程t2﹣mt+m﹣1=（t﹣1）[t﹣（m﹣1）]=0有两个不同的根t=1，或t=m﹣1，
当t=1时，方程t=f（x）有1个解，
要使关于x的方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1=0恰好有4个不相等的实数根，
则t=m﹣1∈（0，），
即0＜m﹣1＜，解得1＜m＜+1，
则m的取值范围是（1， +1）
故选：A

【点评】本题考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了利用函数的导函数分析函数的单调性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，利用换元法转化为一元二次方程，是解决本题的关键．
　
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上
13．如图，利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线与两直线x=2及y=0所围成的阴影部分的面积S：
①先产生两组0～1的增均匀随机数，a=rand （　　），b=rand （　　）；
②产生N个点（x，y），并统计满足条件的点（x，y）的个数N1，已知某同学用计算器做模拟试验结果，当N=1000时，N1=332，则据此可估计S的值为　1.328　．（保留小数点后三位）

【考点】几何概型．
【分析】先由计算器做模拟试验结果试验估计，满足条件的点（x，y）的概率，再转化为几何概型的面积类型求解．
【解答】解：根据题意：满足条件的点（x，y）的概率是，
矩形的面积为4，设阴影部分的面积为s
则有=，
∴S=1.328．
故答案为：1.328．
【点评】本题主要考查模拟方法估计概率以及几何概型中面积类型，将两者建立关系，引入方程思想．
　
14．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦×矢+矢2）．弧田，由圆弧和其所对弦所围成．公式中“弦”指圆弧对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与实际面积之间存在误差．现有圆心角为π，弦长等于9米的弧田．按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得弧田面积与实际面积的差为　+﹣9π　．
【考点】函数模型的选择与应用．
【分析】利用扇形的面积公式，计算扇形的面积，从而可得弧田的实际面积；按照上述弧田面积经验公式计算得（弦×矢+矢2），从而可求误差．
【解答】解：扇形半径r=3
扇形面积等于=9π（m2）
弧田面积=9π﹣r2sin=9π﹣（m2）
圆心到弦的距离等于，所以矢长为．
按照上述弧田面积经验公式计算得（弦×矢+矢2）=（9×+）=（+）．
∴9π﹣﹣（+）=9π﹣﹣
按照弧田面积经验公式计算结果比实际少9π﹣﹣平方米．
故答案为： +﹣9π．
【点评】本题考查扇形的面积公式，考查学生对题意的理解，考查学生的计算能力，属于中档题．
　
15．已知{an}满足，类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得=　　．
【考点】类比推理．
【分析】先对Sn=a1+a2•4+a3•42+…+an•4n﹣1 两边同乘以4，再相加，求出其和的表达式，整理即可求出5Sn﹣4nan的表达式，即可求出．
【解答】解：由Sn=a1+a2•4+a3•42+…+an•4n﹣1①
得4•sn=4•a1+a2•42+a3•43+…+an﹣1•4n﹣1+an•4n②
①+②得：5sn=a1+4（a1+a2）+42•（a2+a3）+…+4n﹣1•（an﹣1+an）+an•4n
=a1+4×++…+4n•an
=1+1+1+…+1+4n•an
=n+4n•an．
所以5sn﹣4n•an=n．
故=，
故答案为．
【点评】本题主要考查数列的求和，用到了类比法，是一道比较新颖的好题目，关键点在于对课本中推导等比数列前n项和公式的方法的理解和掌握．
　
16．已知三棱锥O﹣ABC，∠BOC=90°，OA⊥平面BOC，其中AB=，AC=，O，A，B，C四点均在球S的表面上，则球S的表面积为　14π　．
【考点】球的体积和表面积．
【分析】根据∠BOC=90°且OA⊥平面BOC，得到三棱锥的三条侧棱两两垂直，以三条侧棱为棱长得到一个长方体，由圆的对称性知长方体的各个顶点都在这个球上，长方体的体积就是圆的直径，求出直径，得到圆的面积．
【解答】解：∵∠BOC=90°，OA⊥平面BOC，
∴三棱锥的三条侧棱两两垂直，
∴可以以三条侧棱为棱长得到一个长方体，
由圆的对称性知长方体的各个顶点都在这个球上，
∴球的直径是，
∴球的半径是
∴球的表面积是=14π，
故答案为：14π
【点评】本题考查球的体积与表面积，考查球与长方体之间的关系，考查三棱锥与长方体之间的关系，本题考查几何中常用的一种叫补全图形的方法来完成，本题非常值得一做．
　
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（12分）（2016秋•桃城区校级月考）如图，在△ABC中，∠B=30°，AC=2，D是边AB上一点．
（1）求△ABC面积的最大值；
（2）若CD=2，△ACD的面积为4，∠ACD为锐角，求BC的长．

【考点】余弦定理．
【分析】（1）在△ABC中，由余弦定理，基本不等式可求，进而利用三角形面积公式即可计算得解△ABC的面积的最大值．
（2）设∠ACD=θ，由已知及三角形面积公式可求sinθ，进而利用同角三角函数基本关系式可求cosθ，利用余弦定理可求AD的值，进而利用正弦定理可求BC的值．
【解答】解：（1）∵在△ABC中，，
∴由余弦定理，得AC2=20=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC
=，
∴，
当且仅当AB=BC时，取等号，
∴，
∴△ABC的面积的最大值为；
（2）设∠ACD=θ，在△ACD中，
∵CD=2，△ACD的面积为4，∠ACD为锐角，
∴，
∴，∴，
由余弦定理，得，
∴AD=4．
由正弦定理，得，∴，∴，
此时，∴，
∴BC的长为4．

【点评】本题主要考查了余弦定理，基本不等式，三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
　
18．（12分）（2016秋•普宁市校级期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ADC=∠BCD=90°，BC=2，，PD=4，∠PDA=60°，且平面PAD⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：AD⊥PB；
（Ⅱ）在线段PA上是否存在一点M，使二面角M﹣BC﹣D的大小为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

【考点】与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】（I）过B作BO∥CD，交AD于O，连接OP，则AD⊥OB，由勾股定理得出AD⊥OP，故而AD⊥平面OPB，于是AD⊥PB；
（II）以O为原点建立坐标系，设M（m，0，n），求出平面BCM的平面ABCD的法向量，令|cos＜＞|=cos解出n，从而得出的值．
【解答】证明：（I）过B作BO∥CD，交AD于O，连接OP．
∵AD∥BC，∠ADC=∠BCD=90°，CD∥OB
∴四边形OBCD是矩形，
∴OB⊥AD．OD=BC=2，
∵PD=4，∠PDA=60°，∴OP==2．
∴OP2+OD2=PD2，∴OP⊥OD．
又OP⊂平面OPB，OB⊂平面OPB，OP∩OB=O，
∴AD⊥平面OPB，∵PB⊂平面OPB，
∴AD⊥PB．
（II）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，OA⊥AD，
∴OP⊥平面ABCD．
以O为原点，以OA，OB，OP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则B（0，，0），C（﹣2，，0），
假设存在点M（m，0，n）使得二面角M﹣BC﹣D的大小为，
则=（﹣m，，﹣n），=（﹣2，0，0）．
设平面BCM的法向量为=（x，y，z），则．
∴，令y=1得=（0，1，）．
∵OP⊥平面ABCD，
∴=（0，0，1）为平面ABCD的一个法向量．
∴cos＜＞===．解得n=1．
∴==．

【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，空间向量的应用与二面角的计算，属于中档题．
　
19．（12分）（2016秋•桃城区校级月考）某校高三一次月考之后，为了为解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生此次的数学成绩，按成绩分组，制成了下面频率分布表：
组号
分组
频数
频率
第一组
[90，100）
5
0.05
第二组
[100，110）
35
0.35
第三组
[110，120）
30
0.30
第四组
[120，130）
20
0.20
第五组
[130，140）
10
0.10
合计
100
1.00
（1）试估计该校高三学生本次月考的平均分；
（2）如果把表中的频率近似地看作每个学生在这次考试中取得相应成绩的概率，那么从所有学生中采用逐个抽取的方法任意抽取3名学生的成绩，并记成绩落在[110，130）中的学生数为ξ，
求：①在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在[110，130）中的概率；
②ξ的分布列和数学期望．（注：本小题结果用分数表示）
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1）计算本次月考数学学科的平均分即可；
（2）由表知成绩落在[110，130）中的概率，
①利用相互独立事件的概率计算
“在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在[110，130）中”的概率值；
②由题意ξ的可能取值为0，1，2，3；计算对应的概率值，
写出ξ的分布列与数学期望．
【解答】解：（1）本次月考数学学科的平均分为
=；
（2）由表知，成绩落在[110，130）中的概率为P=，
①设A表示事件“在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在[110，130）中”，
则，
所以在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在[110，130）中的概率为；
②ξ的可能取值为0，1，2，3；
且，
，
，
；
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P




数学期望为．
（或，
则．
【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的应用问题，是基础题．
　
20．（12分）（2016秋•桃城区校级月考）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，过抛物线上一点P作抛物线C的切线l交x轴于点D，交y轴于点Q，当|FD|=2时，∠PFD=60°．
（1）判断△PFQ的形状，并求抛物线C的方程；
（2）若A，B两点在抛物线C上，且满足，其中点M（2，2），若抛物线C上存在异于A、B的点H，使得经过A、B、H三点的圆和抛物线在点H处有相同的切线，求点H的坐标．
【考点】直线与抛物线的位置关系．
【分析】（1）设P（x1，y1），求出切线l的方程，求解三角形的顶点坐标，排除边长关系，然后判断三角形的形状，然后求解抛物线方程．
（2）求出A，B的坐标分别为（0，0），（4，4），设H（x0，y0）（x0≠0，x0≠4），求出AB的中垂线方程，AH的中垂线方程，解得圆心坐标，由，求解H点坐标即可．
【解答】解：（1）设P（x1，y1），
则切线l的方程为，且，
所以，，所以|FQ|=|FP|，
所以△PFQ为等腰三角形，且D为PQ的中点，
所以DF⊥PQ，因为|DF|=2，∠PFD=60°，
所以∠QFD=60°，所以，得p=2，
所以抛物线方程为x2=4y；
（2）由已知，得A，B的坐标分别为（0，0），（4，4），
设H（x0，y0）（x0≠0，x0≠4），
AB的中垂线方程为y=﹣x+4，①AH的中垂线方程为，②
联立①②，解得圆心坐标为：，
kNH==，
由，得，
因为x0≠0，x0≠4，所以x0=﹣2，
所以H点坐标为（﹣2，1）．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，直线与圆的位置关系，考查转化思想以及计算能力．
　
21．（12分）（2015•盐城三模）设函数f（x）=lnx，g（x）=（m＞0）．
（1）当m=1时，函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处的切线互相垂直，求n的值；
（2）若函数y=f（x）﹣g（x）在定义域内不单调，求m﹣n的取值范围；
（3）是否存在实数a，使得f（）•f（eax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立？若存在，求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）分别求出f（x）、g（x）的导数，求得在x=1处切线的斜率，由两直线垂直的条件，解方程即可得到n；
（2）求出y=f（x）﹣g（x）的导数，可得，得的最小值为负，运用基本不等式即可求得m﹣n的范围；
（3）假设存在实数a，运用构造函数，求出导数，求得单调区间和最值，结合不等式恒成立思想即有三种解法．
【解答】解：（1）当m=1时，，
∴y=g（x）在x=1处的切线斜率，
由，∴y=f（x）在x=1处的切线斜率k=1，
∴，∴n=5．
（2）易知函数y=f（x）﹣g（x）的定义域为（0，+∞），
又，
由题意，得的最小值为负，
∴m（1﹣n）＞4，由m＞0，1﹣n＞0，
∴，
∴m+（1﹣n）＞4或m+1﹣n＜﹣4，
∴m﹣n＞3或m﹣n＜﹣5；
（3）解法一、假设存在实数a，使得f（）•f（eax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．
令θ（x）=，其中x＞0，a＞0，
则θ'（x）=，
设，
∴δ（x）在（0，+∞）单调递减，δ（x）=0在区间（0，+∞）必存在实根，
不妨设δ（x0）=0，即，
可得（*）θ（x）在区间（0，x0）上单调递增，
在（x0，+∞）上单调递减，
所以θ（x）max=θ（x0），θ（x0）=（ax0﹣1）•ln2a﹣（ax0﹣1）•lnx0，
代入（*）式得，
根据题意恒成立．
又根据基本不等式，，当且仅当时，等式成立
即有，即ax0=1，即．
代入（*）式得，，即，
解得．
解法二、假设存在实数a，使得f（）•f（eax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．
令θ（x）=ax•ln2a﹣ax•lnx+lnx﹣ln2a=（ax﹣1）（ln2a﹣lnx），其中x＞0，a＞0
根据条件对任意正数x恒成立，
即（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）≤0对任意正数x恒成立，
∴且，解得且，
即时上述条件成立，此时．
解法三、假设存在实数a，使得f（）•f（eax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．
令θ（x）=ax•ln2a﹣ax•lnx+lnx﹣ln2a=（ax﹣1）（ln2a﹣lnx），其中x＞0，a＞0
要使得（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）≤0对任意正数x恒成立，
等价于（ax﹣1）（2a﹣x）≤0对任意正数x恒成立，
即对任意正数x恒成立，
设函数，则φ（x）的函数图象为开口向上，
与x正半轴至少有一个交点的抛物线，
因此，根据题意，抛物线只能与x轴有一个交点，
即，所以．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，主要考查函数的单调性的运用，以及不等式恒成立思想的运用，考查运算能力，具有一定的综合性．
　
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）（2016秋•桃城区校级月考）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C2的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），射线与曲线C1交于（不包括极点O）三点A，B，C．
（1）求证：；
（2）当时，B，C两点在曲线C2上，求m与α的值．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（1）依题意|OA|=4sinφ，，利用三角恒等变换化简|OB|+|OC|为，命题得证．
（2）当时，B，C两点的极坐标分别为，再把它们化为直角坐标，根据C2是经过点（m，0），倾斜角为α的直线，又经过点B，C的直线方程为，由此可得m及直线的斜率，从而求得α的值．
【解答】（1）证明：依题意|OA|=4sinφ，，
则=；
（2）解：当时，B，C两点的极坐标分别为，
化为直角坐标为，
曲线C2是经过点（m，0），且倾斜角为α的直线，又因为经过点B，C的直线方程为，
所以．
【点评】本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程，把点的极坐标化为直角坐标，直线的倾斜角和斜率，属于中档题．
　
[选修4-5：不等式选讲]
23．（2016•中山市二模）已知函数f（x）=|a﹣3x|﹣|2+x|．
（1）若a=2，解不等式f（x）≤3；
（2）若存在实数x，使得不等式f（x）≥1﹣a+2|2+x|成立，求实数a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】（1）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出取并集即可；
（2）由题意知这是一个存在性的问题，须求出不等式左边的最大值，可运用绝对值不等式的性质可得最大值，再令其大于等于a，即可解出实数a的取值范围．
【解答】解：（1）a=2时：f（x）=|3x﹣2|﹣|x+2|≤3，
或或，
解得：﹣≤x≤；
（2）不等式f（x）≥1﹣a+2|2+x|成立，
即|3x﹣a|﹣|3x+6|≥1﹣a，
由绝对值不等式的性质可得||3x﹣a|﹣|3x+6||≤|（3x﹣a）﹣（3x+6）|=|a+6|，
即有f（x）的最大值为|a+6|，
∴或，
解得：a≥﹣．
【点评】本题考查绝对值不等式，求解本题的关键是正确理解题意，区分存在问题与恒成立问题的区别，本题是一个存在问题，解决的是有的问题，本题是一个易错题，主要错误就是出在把存在问题当成恒成立问题求解，因思维错误导致错误．