河北省衡水中学2017届高三（下）二调数学试卷（理科）（解析版）

这是一份河北省衡水中学2017届高三（下）二调数学试卷（理科）（解析版），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2016-2017学年河北省衡水中学高三（下）二调数学试卷（理科）
　
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合A={x|x＜2}，B={y|y=2x﹣1，x∈A}，则A∩B=（　　）
A．（﹣∞，3） B．[2，3） C．（﹣∞，2） D．（﹣1，2）
2．已知复数z=1﹣i（i为虚数单位），则的共轭复数是（　　）
A．1﹣3i B．1+3i C．﹣1+3i D．﹣1﹣3i
3．有一长、宽分别为50m、30m的游泳池，一名工作人员在池边巡视，某时刻出现在池边任一位置的可能性相同．一人在池中心（对角线交点）处呼唤工作人员，其声音可传出，则工作人员能及时听到呼唤（出现在声音可传到区域）的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n等于（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
5．已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=1+2an（n≥2），且a1=2，则S20（　　）
A．219﹣1 B．221﹣2 C．219+1 D．221+2
6．已知圆C：x2+y2=4，点P为直线x+2y﹣9=0上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过定点（　　）
A． B． C．（2，0） D．（9，0）
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A． B． C． D．
8．设函数，，若不论x2取何值，f（x1）＞g（x2）对任意总是恒成立，则a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B3C3上有10个不同的点P1，P2，…P10，记mi=（i=1，2，…，10），则m1+m2+…+m10的值为（　　）
A．180 B． C．45 D．
10．已知函数f（x）是定义在R上的单调函数，且对任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），若动点P（x，y）满足等式f（x2+2x+2）+f（y2+8y+3）=0，则x+y的最大值为（　　）
A．2﹣5 B．﹣5 C．2+5 D．5
11．数列{an}满足a1=，an+1﹣1=an（an﹣1）（n∈N*）且Sn=++…+，则Sn的整数部分的所有可能值构成的集合是（　　）
A．{0，1，2} B．{0，1，2，3} C．{1，2} D．{0，2}
12．等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px（p＞0），O为抛物线的顶点，OA⊥OB，△AOB的面积是16，抛物线的焦点为F，若M是抛物线上的动点，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
　
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．某校今年计划招聘女教师x人，男教师y人，若x、y满足，则该学校今年计划招聘教师最多　　人．
14．已知函数的两个零点分别为m、n（m＜n），则=　　．
15．已知四面体ABCD的每个顶点都在球O的表面上，AB=AC=5，BC=8，AD⊥底面ABC，G为△ABC的重心，且直线DG与底面ABC所成角的正切值为，则球O的表面积为　　．
16．已知是定义在R上的函数，且满足①f（4）=0；②曲线y=f（x+1）关于点（﹣1，0）对称；③当x∈（﹣4，0）时，，若y=f（x）在x∈[﹣4，4]上有5个零点，则实数m的取值范围为　　．
　
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知向量，，设函数+b．
（1）若函数f（x）的图象关于直线对称，且ω∈[0，3]时，求函数f（x）的单调增区间；
（2）在（1）的条件下，当时，函数f（x）有且只有一个零点，求实数b的取值范围．
18．如图，已知四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，且SA=AB=BC=2CD=2，E是边SB的中点．
（1）求证：CE∥平面SAD；
（2）求二面角D﹣EC﹣B的余弦值大小．

19．某公司准备将1000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目供选择，若投资甲项目一年后可获得的利润为ξ1（万元）的概率分布列如表所示：
ξ1
　110
　120
170　
P　
m　
　0.4
n　
且ξ1的期望E（ξ1）=120；若投资乙项目一年后可获得的利润ξ2（万元）与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否受第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立，且调整的概率分别为p（0＜p＜1）和1﹣p，乙项目产品价格一年内调整次数X（次）与ξ2的关系如表所示：
X（次）　
　0
1　
2　
　ξ2
　41.2
　117.6
204.0　
（1）求m，n的值；
（2）求ξ2的分布列；
（3）根据投资回报率的大小请你为公司决策：当p在什么范围时选择投资乙项目，并预测投资乙项目的最大投资回报率是多少？（投资回报率=年均利润/投资总额×100%）
20．如图，曲线Γ由曲线C1：和曲线C2：组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点，
（1）若F2（2，0），F3（﹣6，0），求曲线Γ的方程；
（2）如图，作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上；
（3）对于（1）中的曲线Γ，若直线l1过点F4交曲线C1于点C、D，求△CDF1面积的最大值．

21．设f（x）=，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y+1=0垂直．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：ln（4n+1）≤16（n∈N*）．
　
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），曲线C2的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α与C1，C2各有一个交点，当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=时，这两个交点重合．
（Ⅰ）分别说明C1，C2是什么曲线，并求a与b的值；
（Ⅱ）设当α=时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α=﹣时，l与C1，C2的交点分别为A2，B2，求直线A1 A2、B1B2的极坐标方程．
　
[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）=|x﹣a|，a＜0．
（Ⅰ）证明f（x）+f（﹣）≥2；
（Ⅱ）若不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，求a的取值范围．
　

2016-2017学年河北省衡水中学高三（下）二调数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合A={x|x＜2}，B={y|y=2x﹣1，x∈A}，则A∩B=（　　）
A．（﹣∞，3） B．[2，3） C．（﹣∞，2） D．（﹣1，2）
【考点】交集及其运算．
【分析】由指数函数的值域和单调性，化简集合B，再由交集的定义，即可得到所求．
【解答】解：集合A={x|x＜2}=（﹣∞，2），B={y|y=2x﹣1，x∈A}，
由x＜2，可得y=2x﹣1∈（﹣1，3），
即B={y|﹣1＜y＜3}=（﹣1，3），
则A∩B=（﹣1，2）．
故选：D．
　
2．已知复数z=1﹣i（i为虚数单位），则的共轭复数是（　　）
A．1﹣3i B．1+3i C．﹣1+3i D．﹣1﹣3i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】把z代入，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：∵z=1﹣i，∴=，
∴的共轭复数为1﹣3i．
故选：A．
　
3．有一长、宽分别为50m、30m的游泳池，一名工作人员在池边巡视，某时刻出现在池边任一位置的可能性相同．一人在池中心（对角线交点）处呼唤工作人员，其声音可传出，则工作人员能及时听到呼唤（出现在声音可传到区域）的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】几何概型．
【分析】由题意可知所有可能结果用周长160表示，事件发生的结果可用两条线段的长度和60表示，即可求得．
【解答】解：当该人在池中心位置时，呼唤工作人员的声音可以传，那么当构成如图所示的三角形时，工作人员才能及时的听到呼唤声，
所有可能结果用周长160表示，事件发生的结果可用两条线段的长度和60表示，．
故选B．

　
4．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n等于（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】程序框图．
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：当n=1时，a=，b=4，满足进行循环的条件，
当n=2时，a=，b=8满足进行循环的条件，
当n=3时，a=，b=16满足进行循环的条件，
当n=4时，a=，b=32不满足进行循环的条件，
故输出的n值为4，
故选C．
　
5．已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=1+2an（n≥2），且a1=2，则S20（　　）
A．219﹣1 B．221﹣2 C．219+1 D．221+2
【考点】数列的求和．
【分析】利用递推关系与等比数列的通项公式求和公式即可得出．
【解答】解：∵Sn=1+2an（n≥2），且a1=2，∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=1+2an﹣（1+2an﹣1），化为：an=2an﹣1，
∴数列{an}是等比数列，公比与首项都为2．
∴S20==221﹣2．
故选：B．
　
6．已知圆C：x2+y2=4，点P为直线x+2y﹣9=0上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过定点（　　）
A． B． C．（2，0） D．（9，0）
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】根据题意设P的坐标为P（9﹣2m，m），由切线的性质得点A、B在以OP为直径的圆C上，求出圆C的方程，将两个圆的方程相减求出公共弦AB所在的直线方程，再求出直线AB过的定点坐标．
【解答】解：因为P是直线x+2y﹣9=0的任一点，所以设P（9﹣2m，m），
因为圆x2+y2=4的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，
所以OA⊥PA，OB⊥PB，
则点A、B在以OP为直径的圆上，即AB是圆O和圆C的公共弦，
则圆心C的坐标是（，），且半径的平方是r2=，
所以圆C的方程是（x﹣）2+（y﹣）2=，①
又x2+y2=4，②，
②﹣①得，（2m﹣9）x﹣my+4=0，即公共弦AB所在的直线方程是：（2m﹣9）x﹣my+4=0，
即m（2x﹣y）+（﹣9x+4）=0，
由得x=，y=，
所以直线AB恒过定点（，），
故选A．
　
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A． B． C． D．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．
【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图左下角的三角形为底面的三棱锥和一个以俯视图右上角的三角形为底面的三棱柱相加的组合体，代入棱锥和棱柱的体积公式，可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图，可得：
该几何体是一个以俯视图左下角的三角形为底面的三棱锥和一个以俯视图右上角的三角形为底面的三棱柱相加的组合体，
棱锥和棱柱的底面面积均为：S==，高均为h=3，
故组合体的体积V=Sh+Sh=4，
故选：A
　
8．设函数，，若不论x2取何值，f（x1）＞g（x2）对任意总是恒成立，则a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【考点】函数恒成立问题．
【分析】利用三角恒等变换化简得g（x）=2sin（x+）≤2，依题意可得f（x1）min＞g（x2）max=2，即当≤x≤时，0＜ax2+2x﹣1＜恒成立，通过分类讨论，即可求得a的取值范围．
【解答】解：∵函数， =
===2sin（x+）≤2，即g（x）max=2，
因为不论x2取何值，f（x1）＞g（x2）对任意总是恒成立，
所以f（x1）min＞g（x2）max，
即对任意，＞2恒成立，
即当≤x≤时，0＜ax2+2x﹣1＜恒成立，
1°由ax2+2x﹣1＜得：ax2＜﹣2x，即a＜﹣=（﹣）2﹣，
令h（x）=（﹣）2﹣，
因为≤≤，
所以，当=时，[h（x）]min=﹣，故a＜﹣；
2°由0＜ax2+2x﹣1得：a＞﹣，
令t（x）=﹣=（﹣1）2﹣1，
因为≤≤，
所以，当x=即=时，t（）=（﹣1）2﹣1=﹣；
当x=，即=时，t（）=（﹣1）2﹣1=﹣，显然，﹣＞﹣，
即[t（x）]max=﹣，故a＞﹣；
综合1°2°知，﹣＜a＜﹣，
故选：D．
　
9．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B3C3上有10个不同的点P1，P2，…P10，记mi=（i=1，2，…，10），则m1+m2+…+m10的值为（　　）
A．180 B． C．45 D．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由题意可得，然后把mi=转化为求得答案．
【解答】解：由图可知，∠B2AC3=30°，又∠AC3B3=60°，
∴，即．
则，
∴m1+m2+…+m10=18×10=180．
故选：A．
　
10．已知函数f（x）是定义在R上的单调函数，且对任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），若动点P（x，y）满足等式f（x2+2x+2）+f（y2+8y+3）=0，则x+y的最大值为（　　）
A．2﹣5 B．﹣5 C．2+5 D．5
【考点】抽象函数及其应用．
【分析】由条件可令x=y=0，求得f（0）=0，再由f（x）为单调函数且满足的条件，将f（x2+2x+2）+f（y2+8y+3）=0化为f（x2+y2+2x+8y+5）=0=f（0），可得x2+y2+2x+8y+5=0，配方后，再令x=﹣1+2cosα，y=﹣4+2sinα（α∈（0，2π）），运用两角差的余弦公式和余弦函数的值域，即可得到所求最大值．
【解答】解：对任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），
令x=0，y=0，都有f（0+0）=f（0）+f（0）⇒f（0）=0，
动点P（x，y）满足等式f（x2+2x+2）+f（y2+8y+3）=0，
即有f（x2+y2+2x+8y+5）=0=f（0），
由函数f（x）是定义在R上的单调函数，
可得x2+y2+2x+8y+5=0，
化为（x+1）2+（y+4）2=12，
可令x=﹣1+2cosα，y=﹣4+2sinα（α∈（0，2π）），
则x+y=2（cosα+sinα）﹣5
=2cos（α﹣）﹣5，
当cos（α﹣）=1即α=时，x+y取得最大值2﹣5，
故选：A．
　
11．数列{an}满足a1=，an+1﹣1=an（an﹣1）（n∈N*）且Sn=++…+，则Sn的整数部分的所有可能值构成的集合是（　　）
A．{0，1，2} B．{0，1，2，3} C．{1，2} D．{0，2}
【考点】数列递推式．
【分析】数列{an}满足a1=，an+1﹣1=an（an﹣1）（n∈N*）．可得：an+1﹣an=＞0，可得：数列{an}单调递增．可得a2=，a3=，a4=.=＞1， =＜1．另一方面： =﹣，可得Sn=++…+=3﹣，对n=1，2，3，n≥4，分类讨论即可得出．
【解答】解：∵数列{an}满足a1=，an+1﹣1=an（an﹣1）（n∈N*）．
可得：an+1﹣an=＞0，∴an+1＞an，因此数列{an}单调递增．
则a2﹣1=，可得a2=，同理可得：a3=，a4=．
=＞1， =＜1，
另一方面： =﹣，
∴Sn=++…+=++…+=﹣=3﹣，
当n=1时，S1==，其整数部分为0；
当n=2时，S2=+=1+，其整数部分为1；
当n=3时，S3=++=2+，其整数部分为2；
当n≥4时，Sn=2+1﹣∈（2，3），其整数部分为2．
综上可得：Sn的整数部分的所有可能值构成的集合是{0，1，2}．
故选：A．
　
12．等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px（p＞0），O为抛物线的顶点，OA⊥OB，△AOB的面积是16，抛物线的焦点为F，若M是抛物线上的动点，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】设等腰直角三角形OAB的顶点A（x1，y1），B（x2，y2），利用OA=OB可求得x1=x2，进而可求得AB=4p，从而可得S△OAB．设过点N的直线方程为y=k（x+1），代入y2=4x，过M作准线的垂线，垂足为A，则|MF|=|MA|，考虑直线与抛物线相切及倾斜角为0°，即可得出p．设M 到准线的距离等于d，由抛物线的定义，化简为==，换元，利用基本不等式求得最大值．
【解答】解：设等腰直角三角形OAB的顶点A（x1，y1），B（x2，y2），则y12=2px1，y22=2px2．
由OA=OB得：x12+y12=x22+y22，
∴x12﹣x22+2px1﹣2px2=0，即（x1﹣x2）（x1+x2+2p）=0，
∵x1＞0，x2＞0，2p＞0，
∴x1=x2，即A，B关于x轴对称．
∴直线OA的方程为：y=xtan45°=x，
与抛物线联立，解得或，
故AB=4p，
∴S△OAB=×2p×4p=4p2．
∵△AOB的面积为16，∴p=2；
焦点F（1，0），设M（m，n），则n2=4m，m＞0，设M 到准线x=﹣1的距离等于d，
则==．
令 m+1=t，t＞1，则=≤（当且仅当 t=3时，等号成立）．
故的最大值为，
故选C．

　
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．某校今年计划招聘女教师x人，男教师y人，若x、y满足，则该学校今年计划招聘教师最多　10　人．
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，则目标函数为z=x+y，利用线性规划的知识进行求解即可．
【解答】解：设z=x+y，
作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=x+y得y=﹣x+z，
平移直线y=﹣x+z，
由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，
直线y=﹣x+z的截距最大，
此时z最大．但此时z最大值取不到，
由图象当直线经过整点E（5，5）时，z=x+y取得最大值，
代入目标函数z=x+y得z=5+5=10．
即目标函数z=x+y的最大值为10．
故答案为：10．

　
14．已知函数的两个零点分别为m、n（m＜n），则=　　．
【考点】定积分；函数零点的判定定理．
【分析】先求出m，n，再利用几何意义求出定积分．
【解答】解：∵函数的两个零点分别为m、n（m＜n），
∴m=﹣1，n=1，
∴===．
故答案为．
　
15．已知四面体ABCD的每个顶点都在球O的表面上，AB=AC=5，BC=8，AD⊥底面ABC，G为△ABC的重心，且直线DG与底面ABC所成角的正切值为，则球O的表面积为　　．
【考点】球的体积和表面积．
【分析】求出△ABC外接圆的直径，利用勾股定理求出球O的半径，即可求出球O的表面积．
【解答】解：由题意，AG=2，AD=1，
cos∠BAC==﹣，∴sin∠BAC=，
∴△ABC外接圆的直径为2r==，
设球O的半径为R，∴R==
∴球O的表面积为，
故答案为．
　
16．已知是定义在R上的函数，且满足①f（4）=0；②曲线y=f（x+1）关于点（﹣1，0）对称；③当x∈（﹣4，0）时，，若y=f（x）在x∈[﹣4，4]上有5个零点，则实数m的取值范围为　[﹣3e﹣4，1）∪{﹣e﹣2}　．
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】可判断f（x）在R上是奇函数，从而可化为当x∈（﹣4，0）时，，有1个零点，从而转化为xex+ex﹣m=0在（﹣4，0）上有1个不同的解，再令g（x）=xex+ex﹣m，从而求导确定函数的单调性及取值范围，从而解得．
【解答】[﹣3e﹣4，1）∪{﹣e﹣2}
解：∵曲线y=f（x+1）关于点（﹣1，0）对称；
∴曲线y=f（x）关于点（0，0）对称；∴f（x）在R上是奇函数，
∴f（0）=0，又∵f（4）=0，∴f（﹣4）=0，
而y=f（x）在x∈[﹣4，4]上恰有5个零点，
故x∈（﹣4，0）时，有1个零点，
x∈（﹣4，0）时f（x）=log2（xex+ex﹣m+1），
故xex+ex﹣m=0在（﹣4，0）上有1个不同的解，
令g（x）=xex+ex﹣m，
g′（x）=ex+xex+ex=ex（x+2），
故g（x）在（﹣4，﹣2）上是减函数，在（﹣2，0）上是增函数；
而g（﹣4）=﹣4e﹣4+e﹣4﹣m，g（0）=1﹣m=﹣m，g（﹣2）=﹣2e﹣2+e﹣2﹣m，
而g（﹣4）＜g（0），
故﹣2e﹣2+e﹣2﹣m﹣1＜0＜﹣4e﹣4+e﹣4﹣m﹣1，
故﹣3e﹣4≤m＜1或m=﹣e﹣2
故答案为：[﹣3e﹣4，1）∪{﹣e﹣2}
　
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知向量，，设函数+b．
（1）若函数f（x）的图象关于直线对称，且ω∈[0，3]时，求函数f（x）的单调增区间；
（2）在（1）的条件下，当时，函数f（x）有且只有一个零点，求实数b的取值范围．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．
【分析】（1）根据平面向量数量积运算求解出函数+b，利用函数f（x）的图象关于直线对称，且ω∈[0，3]时，求解ω，可求函数f（x）的单调增区间．
（2）当时，求出函数f（x）的单调性，函数f（x）有且只有一个零点，利用其单调性求解求实数b的取值范围．
【解答】解：向量，，函数+b．
则==．
（1）∵函数f（x）图象关于直线对称，
∴（k∈Z），
解得：ω=3k+1（k∈Z），
∵ω∈[0，3]，
∴ω=1，
∴，
由，
解得：（k∈Z），
所以函数f（x）的单调增区间为（k∈Z）．
（2）由（1）知，
∵，
∴，
∴，即时，函数f（x）单调递增；
，即时，函数f（x）单调递减．
又，
∴当或时函数f（x）有且只有一个零点．
即sin≤﹣b﹣＜sin或，
所以满足条件的．
　
18．如图，已知四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，且SA=AB=BC=2CD=2，E是边SB的中点．
（1）求证：CE∥平面SAD；
（2）求二面角D﹣EC﹣B的余弦值大小．

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）取SA中点F，连结EF，FD，推导出四边形EFDC是平行四边形，由此能证明CE∥面SAD．
（2）在底面内过点A作直线AM∥BC，则AB⊥AM，以AB，AM，AS所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D﹣EC﹣B的余弦值．
【解答】证明：（1）取SA中点F，连结EF，FD，
∵E是边SB的中点，
∴EF∥AB，且EF=AB，
又∵∠ABC=∠BCD=90°，
∴AB∥CD，
又∵AB=2CD，且EF=CD，
∴四边形EFDC是平行四边形，
∴FD∥EC，
又FD⊂平面SAD，CE⊄平面SAD，
∴CE∥面SAD．
解：（2）在底面内过点A作直线AM∥BC，则AB⊥AM，
又SA⊥平面ABCD，
以AB，AM，AS所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（1，2，0），D（1，2，0），E（1，0，1），
则=（0，2，0），=（﹣1，0，1），=（﹣1，0，）， =（﹣1，﹣2，1），
设面BCE的一个法向量为=（x，y，z），
则，取x=1，得=（1，0，1），
同理求得面DEC的一个法向量为=（0，1，2），
cos＜＞==，
由图可知二面角D﹣EC﹣B是钝二面角，
∴二面角D﹣EC﹣B的余弦值为﹣．

　
19．某公司准备将1000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目供选择，若投资甲项目一年后可获得的利润为ξ1（万元）的概率分布列如表所示：
ξ1
　110
　120
170　
P　
m　
　0.4
n　
且ξ1的期望E（ξ1）=120；若投资乙项目一年后可获得的利润ξ2（万元）与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否受第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立，且调整的概率分别为p（0＜p＜1）和1﹣p，乙项目产品价格一年内调整次数X（次）与ξ2的关系如表所示：
X（次）　
　0
1　
2　
　ξ2
　41.2
　117.6
204.0　
（1）求m，n的值；
（2）求ξ2的分布列；
（3）根据投资回报率的大小请你为公司决策：当p在什么范围时选择投资乙项目，并预测投资乙项目的最大投资回报率是多少？（投资回报率=年均利润/投资总额×100%）
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1）利用概率和为1，期望值列出方程组求解即可．
（2）ξ2的可能取值为41.2，117.6，204.0，求出概率，得到ξ2的分布列；
（3）利用期望关系，通关二次函数求解最值即可．
【解答】解：（1）由题意得：，
得：m=0.5，n=0.1．
（2）ξ2的可能取值为41.2，117.6，204.0，P（ξ2=41.2）=（1﹣p）[1﹣（1﹣p）]=p（1﹣p）
P（ξ2=204.0）=p（1﹣p）
所以ξ2的分布列为
ξ2
41.2
117.6
204.0
P
p（1﹣p）
p2+（1﹣p）2
p（1﹣p）
（3）由（2）可得： =﹣10p2+10p+117.6
根据投资回报率的计算办法，如果选择投资乙项目，只需E（ξ1）＜E（ξ2），
即120＜﹣10p2+10p+117.6，得0.4＜p＜0.6．
因为，
所以当时，E（ξ2）取到最大值为120.1，
所以预测投资回报率的最大值为12.01%．
　
20．如图，曲线Γ由曲线C1：和曲线C2：组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点，
（1）若F2（2，0），F3（﹣6，0），求曲线Γ的方程；
（2）如图，作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上；
（3）对于（1）中的曲线Γ，若直线l1过点F4交曲线C1于点C、D，求△CDF1面积的最大值．

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（1）由F2（2，0），F3（﹣6，0），可得，解出即可；
（2）曲线C2的渐近线为，如图，设点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），设直线l：y=，与椭圆方程联立化为2x2﹣2mx+（m2﹣a2）=0，
利用△＞0，根与系数的关系、中点坐标公式，只要证明，即可．
（3）由（1）知，曲线C1：，点F4（6，0）．设直线l1的方程为x=ny+6（n＞0）．与椭圆方程联立可得（5+4n2）y2+48ny+64=0，利用根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质即可得出．
【解答】（1）解：∵F2（2，0），F3（﹣6，0），
∴，
解得，
则曲线Γ的方程为和．
（2）证明：曲线C2的渐近线为，
如图，设直线l：y=，
则，化为2x2﹣2mx+（m2﹣a2）=0，
△=4m2﹣8（m2﹣a2）＞0，
解得．
又由数形结合知．
设点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），
则x1+x2=m，x1x2=，
∴=，．
∴，即点M在直线y=﹣上．
（3）由（1）知，曲线C1：，点F4（6，0）．
设直线l1的方程为x=ny+6（n＞0）．
，化为（5+4n2）y2+48ny+64=0，
△=（48n）2﹣4×64×（5+4n2）＞0，化为n2＞1．
设C（x3，y3），D（x4，y4），
∴，．
∴|y3﹣y4|==，
===，
令t=＞0，∴n2=t2+1，
∴===，当且仅当t=，即n=时等号成立．
∴n=时， =．
　
21．设f（x）=，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y+1=0垂直．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：ln（4n+1）≤16（n∈N*）．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，结合f'（1）=1列式求得a值；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的a值代入函数解析式，由f（x）≤m（x﹣1）得到，构造函数，即∀x∈[1，+∞），g（x）≤0．然后对m分类讨论求导求得m的取值范围；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当x＞1时，m=1时，成立．令，然后分别取i=1，2，…，n，利用累加法即可证明结论．
【解答】（Ⅰ）解：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
由题设f'（1）=1，∴，即a=0；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅱ）解：，∀x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1），即，
设，即∀x∈[1，+∞），g（x）≤0．
，g'（1）=4﹣4m．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
①若m≤0，g'（x）＞0，g（x）≥g（1）=0，这与题设g（x）≤0矛盾；
②若m∈（0，1），当，g（x）单调递增，g（x）＞g（1）=0，与题设矛盾；
③若m≥1，当x∈（1，+∞），g'（x）≤0，g（x）单调递减，g（x）≤g（1）=0，即不等式成立；
综上所述，m≥1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当x＞1时，m=1时，成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
不妨令，
∴，
即，，，…，．
累加可得：ln（4n+1）≤16（n∈N*）．
　
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），曲线C2的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α与C1，C2各有一个交点，当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=时，这两个交点重合．
（Ⅰ）分别说明C1，C2是什么曲线，并求a与b的值；
（Ⅱ）设当α=时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α=﹣时，l与C1，C2的交点分别为A2，B2，求直线A1 A2、B1B2的极坐标方程．
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【分析】（Ⅰ） 曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=1，C1是以（0，0）为圆心，以1为半径的圆，曲线C2的直角坐标方程为=1，C2是焦点在x轴上的椭圆．当α=0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b），由此能求出a，b．
（Ⅱ） C1，C2的普通方程分别为x2+y2=1和，当时，射线l与C1的交点A1的横坐标为，与C2的交点B1的横坐标为，当时，射线l与C1，C2的交点A2，分别与A1，B1关于x轴对称，由此能求出直线A1 A2 和B1B2的极坐标方程．
【解答】（本题满分10分）【选修4﹣4 坐标系统与参数方程】
解：（Ⅰ）∵曲线C1的参数方程为（φ为参数），
∴曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=1，∴C1是以（0，0）为圆心，以1为半径的圆，
∵曲线C2的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），
∴曲线C2的直角坐标方程为=1，∴C2是焦点在x轴上的椭圆．
当α=0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），
∵这两点间的距离为2，∴a=3…
当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b），
∵这两点重合，∴b=1…
（Ⅱ） C1，C2的普通方程分别为x2+y2=1和…
当时，解方程组，得A1（，），即射线l与C1的交点A1的横坐标为，
解方程组，得B1（，），与C2的交点B1的横坐标为
当时，射线l与C1，C2的交点A2，分别与A1，B1关于x轴对称
因此，直线A1 A2、B1B2垂直于极轴，
故直线A1 A2 和B1B2的极坐标方程分别为，…
　
[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）=|x﹣a|，a＜0．
（Ⅰ）证明f（x）+f（﹣）≥2；
（Ⅱ）若不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，求a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法；其他不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）运用绝对值不等式的性质和基本不等式，即可得证；
（Ⅱ）通过对x的范围的分类讨论去掉绝对值符号，转化为一次不等式，求得（f（x）+f（2x））min即可．
【解答】（Ⅰ）证明：函数f（x）=|x﹣a|，a＜0，
则f（x）+f（﹣）=|x﹣a|+|﹣﹣a|
=|x﹣a|+|+a|≥|（x﹣a）+（+a）|
=|x+|=|x|+≥2=2．

（Ⅱ）解：f（x）+f（2x）=|x﹣a|+|2x﹣a|，a＜0．
当x≤a时，f（x）=a﹣x+a﹣2x=2a﹣3x，则f（x）≥﹣a；
当a＜x＜时，f（x）=x﹣a+a﹣2x=﹣x，则﹣＜f（x）＜﹣a；
当x时，f（x）=x﹣a+2x﹣a=3x﹣2a，则f（x）≥﹣．
则f（x）的值域为[﹣，+∞），
不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，即为
＞﹣，解得，a＞﹣1，由于a＜0，
则a的取值范围是（﹣1，0）．
　

2017年4月27日