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【期末满分攻略】2022-2023学年北师大版八年级数学下册讲学案-专题06 角平分线＋垂直构造全等模型综合应用
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这是一份【期末满分攻略】2022-2023学年北师大版八年级数学下册讲学案-专题06 角平分线＋垂直构造全等模型综合应用，共34页。学案主要包含了变式1-1，变式1-2，变式1-3，变式2-1，变式2-2，变式2-3等内容，欢迎下载使用。
专题06 角平分线＋垂直构造全等模型综合应用
当题目中有角的平分线时，可根据角的平分线性质证明线段或角相等，或利用角的平分线构造全等三角形或等腰三角形来寻找解题思路。
解题思路
秘籍：往角两边作垂线
解读：用角平分线上的点往角两边作垂线，这是常用的辅助线，可以利用边角边构造全等
角平分线＋垂直构造全等模型：
典例分析
【典例1】（秋•袁州区校级期中）如图，∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C和D，证明：PC＝PD．
【变式1-1】（秋•江北区期末）如图，D是∠EAF平分线上的一点，若∠ACD+∠ABD＝180°，请说明CD＝DB的理由．
【变式1-2】（2022秋•兴化市校级期末）如图，A、B两点分别在射线OM，ON上，点C在∠MON的内部，且AC＝BC，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分别为D，E，且AD＝BE．
（1）求证：OC平分∠MON；
（2）若AD＝3，BO＝4，求AO的长．
【变式1-3】（2022秋•璧山区期中）如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝100°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝50°．
（1）求∠ACE的度数；
（2）求证：AE平分∠CAF；
（3）若AC+CD＝14，AB＝8.5，且S△ACD＝21，求△ABE的面积．
【典例2】（2022秋•利川市期末）如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC的中点，且AE平分∠BAD．
（1）求证：DE平分∠ADC；
（2）求证：AB+CD＝AD．
【变式2-1】（2022秋•聊城期末）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：
（1）AM⊥DM；
（2）M为BC的中点．
【变式2-2】（2021秋•江汉区校级月考）如图，在四边形ABCD中，CE⊥AB，已知CB＝CD，AC平分∠BAD；求证：
（1）∠B+∠ADC＝180°；
（2）AD+AB＝2AE．
【变式2-3】（2021秋•长沙期末）如图，射线AD平分∠CAB，点F是AD上一点，FG垂直平分BC于点G，FH⊥AB于点H，连接FC，若AB＝10，BH＝2，求AC．
夯实基础
1．（2022秋•大安市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为D，其中CE＝4.5，AB＝10，
（1）求DE的长度．
（2）求△ABE的面积．
2．（2022秋•门头沟区期末）如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，∠AOB＝30°，点D在边OB上，且OD＝DP＝2．求线段CP的长．
3．（2021秋•洋县期末）如图，AB∥CD，已知∠CAB和∠ACD的平分线相交于点O，OE⊥AC，垂足为E，若AC＝10，AO＝6，求AE的长．
4．（2022秋•谷城县期中）如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是10cm2，AB＝6cm，AC＝4cm，求DE的长．
5．（2022秋•金东区校级月考）如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F．
（1）求证：DE＝DF；
（2）若△ABC的面积为70，AB＝16，DE＝5，求BC的长．
6．（2022秋•沙洋县期中）如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P．
7．（2022秋•江阴市期中）已知△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E点．
（1）求∠EAD的度数；
（2）AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S△ABC．
8．（2022春•海阳市期末）如图，AD∥BC，∠D＝90°，∠CPB＝30°，∠DAB的角平分线与∠CBA的角平分线相交于点P，且D，P，C在同一条直线上．
（1）求∠PAD的度数；
（2）求证：P是线段CD的中点．
9．（2022春•岳麓区校级期末）如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AB＝12，BC＝8．
（1）求△CBD与△ABD的面积之比；
（2）若△ABC的面积为50，求DE的长．
10．（2022春•新城区校级期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．
（1）请说明AE＝AF的理由；
（2）若AB﹣AC＝2，CF＝1，求线段BE的长．
11．（2022春•攸县期末）如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，点E、D为垂足，CF＝CB．
（1）求证：BE＝FD；
（2）若AC＝10，AD＝8，求四边形ABCF的面积．
12．（2021秋•抚顺县期末）已知：在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
（1）如图1，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，求∠BDC的度数；
（2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面积．
能力提升
12．（2022秋•滨城区校级期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB．
（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．
13．（2021秋•龙江县期末）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）说明BE＝CF的理由；
（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．
14．（2022春•永春县期末）如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“倍分线”．
（1）如图1，若∠AOB＝60°，射线OC绕点O从OB位置开始，以每秒15°的速度逆时针旋转t秒，且0≤t≤12．
①当t＝2秒时，OC ∠AOB的“倍分线”；（填“是”或“不是”）
②若射线OA是∠BOC的“倍分线”，求t的值；
（2）如图2，射线AF绕点A从AB位置开始逆时针旋转α，同时射线BG绕点B从BA的位置开始顺时针旋转β，且0＜β＜α＜180°，两条射线相交于点C．CD、CE分别是△ABC的高和角平线，是否存在CE是∠BCD的“倍分线”的情况？若存在，请求出α与β应满足的数量关系；若不存在，请说明理由．
专题06 角平分线＋垂直构造全等模型综合应用
当题目中有角的平分线时，可根据角的平分线性质证明线段或角相等，或利用角的平分线构造全等三角形或等腰三角形来寻找解题思路。
解题思路
秘籍：往角两边作垂线
解读：用角平分线上的点往角两边作垂线，这是常用的辅助线，可以利用边角边构造全等
角平分线＋垂直构造全等模型：
典例分析
【典例1】（秋•袁州区校级期中）如图，∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C和D，证明：PC＝PD．
【答案】略
【解答】证明：过点P点作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，如图，
∴∠PEC＝∠PFD＝90°，
∵OM是∠AOB的平分线，
∴PE＝PF，
∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，
∴∠PCE+∠PDO＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
而∠PDO+∠PDF＝180°，
∴∠PCE＝∠PDF，
在△PCE和△PDF中，
∴△PCE≌△PDF（AAS），
∴PC＝PD．
【变式1-1】（秋•江北区期末）如图，D是∠EAF平分线上的一点，若∠ACD+∠ABD＝180°，请说明CD＝DB的理由．
【答案】略
【解答】解：过点D分别作AE，AF的垂线，交AE于M，交AF于N
则∠CMD＝∠BND＝90°，
∵AD是∠EAF的平分线，
∴DM＝DN，
∵∠ACD+∠ABD＝180°，
∠ACD+∠MCD＝180°，
∴∠MCD＝∠NBD，
在△CDM和△BDN中，
∠CMD＝∠BND＝90°，
∠MCD＝∠NBD，
DM＝DN，
∴△CDM≌△BDN，
∴CD＝DB．
【变式1-2】（2022秋•兴化市校级期末）如图，A、B两点分别在射线OM，ON上，点C在∠MON的内部，且AC＝BC，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分别为D，E，且AD＝BE．
（1）求证：OC平分∠MON；
（2）若AD＝3，BO＝4，求AO的长．
【解答】（1）证明：∵CD⊥OM，CE⊥ON，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
在Rt△ADC和Rt△BEC中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△BEC（HL），
∴CD＝CE，
∵CD⊥OM，CE⊥ON，
∴OC平分∠MON；
（2）解：∵Rt△ADC≌Rt△BEC，AD＝3，
∴BE＝AD＝3，
∵BO＝4，
∴OE＝OB+BE＝4+3＝7，
∵CD⊥OM，CE⊥ON，
∴∠CDO＝∠CEO＝90°，
在Rt△DOC和Rt△EOC中，
，
∴Rt△DOC≌Rt△EOC（HL），
∴OD＝OE＝7，
∵AD＝3，
∴OA＝OD+AD＝7+3＝10．
【变式1-3】（2022秋•璧山区期中）如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝100°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝50°．
（1）求∠ACE的度数；
（2）求证：AE平分∠CAF；
（3）若AC+CD＝14，AB＝8.5，且S△ACD＝21，求△ABE的面积．
【解答】（1）解：∵∠ACB＝100°，
∴∠ACD＝180°﹣100°＝80°，
∵EH⊥BD，
∴∠CHE＝90°，
∵∠CEH＝50°，
∴∠ECH＝90°﹣50°＝40°，
∴∠ACE＝80°﹣40°＝40°；
（2）证明：过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，
∵BE平分∠ABC，
∴EM＝EH，
∵∠ACE＝∠ECH＝40°，
∴CE平分∠ACD，
∴EN＝EH，
∴EM＝EN，
∴AE平分∠CAF；
（3）解：∵AC+CD＝14，S△ACD＝21，EM＝EN＝EH，
∴S△ACD＝S△ACE+S△CED＝AC•EN+CD•EH＝（AC+CD）•EM＝21，
即，
解得EM＝3，
∵AB＝8.5，
∴S△ABE＝AB•EM＝．
【典例2】（2022秋•利川市期末）如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC的中点，且AE平分∠BAD．
（1）求证：DE平分∠ADC；
（2）求证：AB+CD＝AD．
【解答】证明：（1）如图，过点E作EF⊥AD于F，
∵∠B＝90°，AE平分∠DAB，
∴BE＝EF，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∴CE＝EF，
又∵∠C＝90°，EF⊥AD，
∴DE是∠ADC的平分线．
（2）∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，EF⊥AD，∠B＝∠C＝90°，
∴AB＝AF，DC＝DF，
∴AB+CD＝AF+FD＝AD．
【变式2-1】（2022秋•聊城期末）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：
（1）AM⊥DM；
（2）M为BC的中点．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴2∠MAD+2∠ADM＝180°，
∴∠MAD+∠ADM＝90°，
∴∠AMD＝90°，
即AM⊥DM；
（2）作NM⊥AD交AD于N，
∵∠B＝90°，AB∥CD，
∴BM⊥AB，CM⊥CD，
∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴BM＝MN，MN＝CM，
∴BM＝CM，
即M为BC的中点．
【变式2-2】（2021秋•江汉区校级月考）如图，在四边形ABCD中，CE⊥AB，已知CB＝CD，AC平分∠BAD；求证：
（1）∠B+∠ADC＝180°；
（2）AD+AB＝2AE．
【解答】证明：（1）如图，过C作CF⊥AD，交AD的延长线于F点，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠BAC＝∠DAB．
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE＝CF，
∵CB＝CD，∠CEB＝∠CFD＝90°，
∴Rt△CEB≌Rt△CFD（HL），
∴∠B＝∠CDF，EB＝DF．
∵∠CDF+∠ADC＝180°，
∴∠B+∠ADC＝180°．
（2）∵∠CAF＝∠CAE，∠F＝∠CEA＝90°，AC＝AC，
∴△AFC≌△AEC（AAS）．
∴AF＝AE．
∵AF＝AD+DF，EB＝DF，
∴AF＝AD+EB．
∵AE＝AB﹣EB，
∴AF+AE＝AD+AB，
∴AD+AB＝2AE．
【变式2-3】（2021秋•长沙期末）如图，射线AD平分∠CAB，点F是AD上一点，FG垂直平分BC于点G，FH⊥AB于点H，连接FC，若AB＝10，BH＝2，求AC．
【解答】解：连接FB，过F作FI⊥AC，垂足为I，
∵AD平分∠CAB，FI⊥AC，FH⊥AB，
∴FH＝FI，
又FG垂直平分BC，
∴FC＝FB，
在Rt△FIC与Rt△FHB中，
，
∴Rt△FIC≌Rt△FHB（HL），
∴CI＝BH，
在Rt△FIA与Rt△FHA中，
，
∴Rt△FIA≌Rt△FHA（HL），
∴AI＝AH，
∴AB＝AH+HB＝AI+BH＝AC+CI+HB＝AC+2BH，
∵AB＝10，BH＝2，
∴AC＝6．
夯实基础
1．（2022秋•大安市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为D，其中CE＝4.5，AB＝10，
（1）求DE的长度．
（2）求△ABE的面积．
【解答】解：（1）∵BE平分∠ABC，DE⊥AB，EC⊥BC，
∴DE＝EC＝4.5，
∴DE的长度为4.5；
（2）∵DE⊥AB，AB＝10，
∴△ABE的面积＝AB•DE
＝×10×4.5
＝22.5，
∴△ABE的面积为22.5．
2．（2022秋•门头沟区期末）如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，∠AOB＝30°，点D在边OB上，且OD＝DP＝2．求线段CP的长．
【解答】解：过P作PE⊥OB于E，
∵点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA，
∴PC＝PE，∠AOP＝∠BOP，
∵OD＝DP，
∴∠BOP＝∠DPO，
∴∠AOP＝∠DPO，
∴PD∥OA，
∴∠PDE＝∠AOB，
∵∠AOB＝30°，
∴∠PDE＝30°，
∵∠PEO＝90°，DP＝2，
∴PE＝DP＝1，
∴PC＝1．
3．（2021秋•洋县期末）如图，AB∥CD，已知∠CAB和∠ACD的平分线相交于点O，OE⊥AC，垂足为E，若AC＝10，AO＝6，求AE的长．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ACD+∠CAB＝180°．
∵AO、CO分别是∠CAB和∠ACD的平分线，
∴∠OCA+∠OAC＝90°，
∴∠AOC＝180°﹣（∠OCA+∠OAC）＝90°．
∵AC＝10，AO＝6，
∴．
∵OE⊥AC，
根据题意可得：，
即：，
解得：．
∴在Rt△AOE中，．
4．（2022秋•谷城县期中）如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是10cm2，AB＝6cm，AC＝4cm，求DE的长．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∵△ABC的面积是10cm2，
∴△ABD的面积+△ADC的面积＝10，AB＝6cm，AC＝4cm，
∴AB•DE+AC•DF＝10，
∴3DE+2DF＝10，
∴5DE＝10，
∴DE＝2cm，
∴DE的长为2cm．
5．（2022秋•金东区校级月考）如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F．
（1）求证：DE＝DF；
（2）若△ABC的面积为70，AB＝16，DE＝5，求BC的长．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠BED＝∠BFD＝90°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴DE＝DF；
（2）解：∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DF＝DE＝5，
∴S△ABD＝AB•DE＝40，
∴S△BCD＝BC•DF＝70﹣40＝30，
∴BC＝12．
6．（2022秋•沙洋县期中）如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P．
【解答】解：如图所示：作∠AOB的平分线交MN于点P，点P即为该超市的位置．
7．（2022秋•江阴市期中）已知△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E点．
（1）求∠EAD的度数；
（2）AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S△ABC．
【解答】解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣70°＝60°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD＝∠BAC＝×60°＝30°；
（2）如图，过D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DF＝DE＝3，
又∵AB＝10，AC＝8，
∴S△ABC＝×AB×DE+×AC×DF＝×10×3+×8×3＝27．
8．（2022春•海阳市期末）如图，AD∥BC，∠D＝90°，∠CPB＝30°，∠DAB的角平分线与∠CBA的角平分线相交于点P，且D，P，C在同一条直线上．
（1）求∠PAD的度数；
（2）求证：P是线段CD的中点．
【解答】（1）解：∵AD∥BC，
∴∠C＝180°﹣∠D＝180°﹣90°＝90°，
∵∠CPB＝30°，
∴∠PBC＝90°﹣∠B＝60°，
∵PB平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠PBC＝120°，
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∴∠DAB＝180°﹣120°＝60°，
∵AP平分∠DAB，
∴∠PAD＝∠DAB＝30°；
（2）证明：过P点作PE⊥AB于E点，如图，
∵AP平分∠DAB，PD⊥AD，PE⊥AB，
∴PE＝PD，
∵BP平分∠ABC，PC⊥BC，PE⊥AB，
∴PE＝PC，
∴PD＝PC，
∴P是线段CD的中点．
9．（2022春•岳麓区校级期末）如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AB＝12，BC＝8．
（1）求△CBD与△ABD的面积之比；
（2）若△ABC的面积为50，求DE的长．
【解答】解：（1）过点D作DF⊥BC于F，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE＝DF，
∵AB＝12，BC＝8，
∴S△CBD：S△ABD
＝（）：（）
＝BC：AB
＝8：12
＝2：3，
∴△CBD与△ABD的面积之比2：3；
（2）∵△ABC的面积为50，△CBD与△ABD的面积之比2：3，
∴△ABD的面积为30，
又∵AB＝12，
∴＝30，
∴DE＝5．
10．（2022春•新城区校级期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．
（1）请说明AE＝AF的理由；
（2）若AB﹣AC＝2，CF＝1，求线段BE的长．
【解答】解：（1）∵DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，
∴DE⊥AB，DF⊥AC，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴DE＝DF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
∵，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF；
（2）∵AE＝AF，
即AB﹣BE＝AC﹣CF，
∴BE＝AB﹣AC+CF＝2+1＝3．
11．（2022春•攸县期末）如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，点E、D为垂足，CF＝CB．
（1）求证：BE＝FD；
（2）若AC＝10，AD＝8，求四边形ABCF的面积．
【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，
∴CD＝CE，
在Rt△CBE和Rt△CFD中，
，
∴Rt△CBE≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝FD；
（2）解：在Rt△ACD中，
∵AC＝10，AD＝8，
∴CD＝＝6，
∵AC＝AC，CD＝CE，
∴Rt△ACD≌Rt△ACE（HL），
∴S△ACD＝S△ACE，
∵Rt△CBE≌Rt△CFD，
∴S△CBE＝S△CFD，
∴四边形ABCF的面积＝S四边形AECD＝2S△ACD＝2××6×8＝48．
12．（2021秋•抚顺县期末）已知：在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
（1）如图1，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，求∠BDC的度数；
（2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面积．
【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB＝∠ACB＝×40°＝20°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB
＝180°﹣30°﹣20°
＝130°；
（2）作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如图2，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DH⊥BC，
∴DH＝DE＝2，
∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DH⊥BC，
∴DF＝DH＝2，
∴△ADC的面积＝DF•AC＝×2×4＝4．
能力提升
12．（2022秋•滨城区校级期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB．
（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E，
∴DE＝DC．
在Rt△CDF与Rt△EDB中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴CF＝EB．
（2）解：设CF＝x，则AE＝12﹣x，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD＝DE．
在Rt△ACD与Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，即8+x＝12﹣x，
解得x＝2，即CF＝2．
∴AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝AE+AE＝2AE．
13．（2021秋•龙江县期末）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）说明BE＝CF的理由；
（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．
【解答】（1）证明：连接BD，CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴BD＝CD，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝CF；
（2）解：在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，
设BE＝x，则CF＝x，
∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，
∴5﹣x＝3+x，
解得：x＝1，
∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4．
14．（2022春•永春县期末）如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“倍分线”．
（1）如图1，若∠AOB＝60°，射线OC绕点O从OB位置开始，以每秒15°的速度逆时针旋转t秒，且0≤t≤12．
①当t＝2秒时，OC ∠AOB的“倍分线”；（填“是”或“不是”）
②若射线OA是∠BOC的“倍分线”，求t的值；
（2）如图2，射线AF绕点A从AB位置开始逆时针旋转α，同时射线BG绕点B从BA的位置开始顺时针旋转β，且0＜β＜α＜180°，两条射线相交于点C．CD、CE分别是△ABC的高和角平线，是否存在CE是∠BCD的“倍分线”的情况？若存在，请求出α与β应满足的数量关系；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）①当t＝2时，OC在∠AOB内部，且∠BOC＝2×15°＝30°，
∴∠AOB＝2∠BOC，
∴OC是∠AOB的“倍分线”，
故答案为：是；
②（Ⅰ）当OA在∠BOC内部且∠AOB＝2∠AOC时，
∠AOC＝30°，
∴∠BOC＝90°，
∴t＝90÷15＝6；
（Ⅱ）当OA在∠BOC内部且∠AOC＝2∠AOB时，如图：
∴∠AOC＝120°，
∴∠BOC＝180°，
∴t＝180÷15＝12；
（Ⅲ）当OA在∠BOC内部且∠BOC＝2∠AOC＝2∠BOC时，如图：
∴∠BOC＝120°，
∴t＝120÷15＝8，
综上所述，t的值为6或12或8；
（2）存在CE是∠BCD的“倍分线”的情况，理由如下：
如图：
由已知可得：∠BCD＝90°﹣β，∠BCE＝∠ACB＝（180°﹣α﹣β）＝90°﹣α﹣β，
∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCE＝（90°﹣β）﹣（90°﹣α﹣β）＝α﹣β，
当∠BCD＝2∠BCE时，如图：
90°﹣β＝2（90°﹣α﹣β），
∴α＝90°，
当∠DCE＝2∠BCE时，如图：
∴α﹣β＝2（90°﹣α﹣β），
整理得：3α+β＝360°，
当∠BCE＝2∠DCE时，如图：
∴90°﹣α﹣β＝2（α﹣β），
整理得3α﹣β＝180°，
综上所述，α与β应满足的数量关系为：α＝90°或3α+β＝360°或3α﹣β＝180°．
专题06 角平分线＋垂直构造全等模型综合应用
当题目中有角的平分线时，可根据角的平分线性质证明线段或角相等，或利用角的平分线构造全等三角形或等腰三角形来寻找解题思路。
解题思路
秘籍：往角两边作垂线
解读：用角平分线上的点往角两边作垂线，这是常用的辅助线，可以利用边角边构造全等
角平分线＋垂直构造全等模型：
典例分析
【典例1】（秋•袁州区校级期中）如图，∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C和D，证明：PC＝PD．
【变式1-1】（秋•江北区期末）如图，D是∠EAF平分线上的一点，若∠ACD+∠ABD＝180°，请说明CD＝DB的理由．
【变式1-2】（2022秋•兴化市校级期末）如图，A、B两点分别在射线OM，ON上，点C在∠MON的内部，且AC＝BC，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分别为D，E，且AD＝BE．
（1）求证：OC平分∠MON；
（2）若AD＝3，BO＝4，求AO的长．
【变式1-3】（2022秋•璧山区期中）如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝100°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝50°．
（1）求∠ACE的度数；
（2）求证：AE平分∠CAF；
（3）若AC+CD＝14，AB＝8.5，且S△ACD＝21，求△ABE的面积．
【典例2】（2022秋•利川市期末）如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC的中点，且AE平分∠BAD．
（1）求证：DE平分∠ADC；
（2）求证：AB+CD＝AD．
【变式2-1】（2022秋•聊城期末）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：
（1）AM⊥DM；
（2）M为BC的中点．
【变式2-2】（2021秋•江汉区校级月考）如图，在四边形ABCD中，CE⊥AB，已知CB＝CD，AC平分∠BAD；求证：
（1）∠B+∠ADC＝180°；
（2）AD+AB＝2AE．
【变式2-3】（2021秋•长沙期末）如图，射线AD平分∠CAB，点F是AD上一点，FG垂直平分BC于点G，FH⊥AB于点H，连接FC，若AB＝10，BH＝2，求AC．
夯实基础
1．（2022秋•大安市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为D，其中CE＝4.5，AB＝10，
（1）求DE的长度．
（2）求△ABE的面积．
2．（2022秋•门头沟区期末）如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，∠AOB＝30°，点D在边OB上，且OD＝DP＝2．求线段CP的长．
3．（2021秋•洋县期末）如图，AB∥CD，已知∠CAB和∠ACD的平分线相交于点O，OE⊥AC，垂足为E，若AC＝10，AO＝6，求AE的长．
4．（2022秋•谷城县期中）如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是10cm2，AB＝6cm，AC＝4cm，求DE的长．
5．（2022秋•金东区校级月考）如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F．
（1）求证：DE＝DF；
（2）若△ABC的面积为70，AB＝16，DE＝5，求BC的长．
6．（2022秋•沙洋县期中）如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P．
7．（2022秋•江阴市期中）已知△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E点．
（1）求∠EAD的度数；
（2）AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S△ABC．
8．（2022春•海阳市期末）如图，AD∥BC，∠D＝90°，∠CPB＝30°，∠DAB的角平分线与∠CBA的角平分线相交于点P，且D，P，C在同一条直线上．
（1）求∠PAD的度数；
（2）求证：P是线段CD的中点．
9．（2022春•岳麓区校级期末）如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AB＝12，BC＝8．
（1）求△CBD与△ABD的面积之比；
（2）若△ABC的面积为50，求DE的长．
10．（2022春•新城区校级期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．
（1）请说明AE＝AF的理由；
（2）若AB﹣AC＝2，CF＝1，求线段BE的长．
11．（2022春•攸县期末）如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，点E、D为垂足，CF＝CB．
（1）求证：BE＝FD；
（2）若AC＝10，AD＝8，求四边形ABCF的面积．
12．（2021秋•抚顺县期末）已知：在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
（1）如图1，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，求∠BDC的度数；
（2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面积．
能力提升
12．（2022秋•滨城区校级期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB．
（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．
13．（2021秋•龙江县期末）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）说明BE＝CF的理由；
（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．
14．（2022春•永春县期末）如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“倍分线”．
（1）如图1，若∠AOB＝60°，射线OC绕点O从OB位置开始，以每秒15°的速度逆时针旋转t秒，且0≤t≤12．
①当t＝2秒时，OC ∠AOB的“倍分线”；（填“是”或“不是”）
②若射线OA是∠BOC的“倍分线”，求t的值；
（2）如图2，射线AF绕点A从AB位置开始逆时针旋转α，同时射线BG绕点B从BA的位置开始顺时针旋转β，且0＜β＜α＜180°，两条射线相交于点C．CD、CE分别是△ABC的高和角平线，是否存在CE是∠BCD的“倍分线”的情况？若存在，请求出α与β应满足的数量关系；若不存在，请说明理由．
专题06 角平分线＋垂直构造全等模型综合应用
当题目中有角的平分线时，可根据角的平分线性质证明线段或角相等，或利用角的平分线构造全等三角形或等腰三角形来寻找解题思路。
解题思路
秘籍：往角两边作垂线
解读：用角平分线上的点往角两边作垂线，这是常用的辅助线，可以利用边角边构造全等
角平分线＋垂直构造全等模型：
典例分析
【典例1】（秋•袁州区校级期中）如图，∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C和D，证明：PC＝PD．
【答案】略
【解答】证明：过点P点作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，如图，
∴∠PEC＝∠PFD＝90°，
∵OM是∠AOB的平分线，
∴PE＝PF，
∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，
∴∠PCE+∠PDO＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
而∠PDO+∠PDF＝180°，
∴∠PCE＝∠PDF，
在△PCE和△PDF中，
∴△PCE≌△PDF（AAS），
∴PC＝PD．
【变式1-1】（秋•江北区期末）如图，D是∠EAF平分线上的一点，若∠ACD+∠ABD＝180°，请说明CD＝DB的理由．
【答案】略
【解答】解：过点D分别作AE，AF的垂线，交AE于M，交AF于N
则∠CMD＝∠BND＝90°，
∵AD是∠EAF的平分线，
∴DM＝DN，
∵∠ACD+∠ABD＝180°，
∠ACD+∠MCD＝180°，
∴∠MCD＝∠NBD，
在△CDM和△BDN中，
∠CMD＝∠BND＝90°，
∠MCD＝∠NBD，
DM＝DN，
∴△CDM≌△BDN，
∴CD＝DB．
【变式1-2】（2022秋•兴化市校级期末）如图，A、B两点分别在射线OM，ON上，点C在∠MON的内部，且AC＝BC，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分别为D，E，且AD＝BE．
（1）求证：OC平分∠MON；
（2）若AD＝3，BO＝4，求AO的长．
【解答】（1）证明：∵CD⊥OM，CE⊥ON，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
在Rt△ADC和Rt△BEC中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△BEC（HL），
∴CD＝CE，
∵CD⊥OM，CE⊥ON，
∴OC平分∠MON；
（2）解：∵Rt△ADC≌Rt△BEC，AD＝3，
∴BE＝AD＝3，
∵BO＝4，
∴OE＝OB+BE＝4+3＝7，
∵CD⊥OM，CE⊥ON，
∴∠CDO＝∠CEO＝90°，
在Rt△DOC和Rt△EOC中，
，
∴Rt△DOC≌Rt△EOC（HL），
∴OD＝OE＝7，
∵AD＝3，
∴OA＝OD+AD＝7+3＝10．
【变式1-3】（2022秋•璧山区期中）如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝100°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝50°．
（1）求∠ACE的度数；
（2）求证：AE平分∠CAF；
（3）若AC+CD＝14，AB＝8.5，且S△ACD＝21，求△ABE的面积．
【解答】（1）解：∵∠ACB＝100°，
∴∠ACD＝180°﹣100°＝80°，
∵EH⊥BD，
∴∠CHE＝90°，
∵∠CEH＝50°，
∴∠ECH＝90°﹣50°＝40°，
∴∠ACE＝80°﹣40°＝40°；
（2）证明：过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，
∵BE平分∠ABC，
∴EM＝EH，
∵∠ACE＝∠ECH＝40°，
∴CE平分∠ACD，
∴EN＝EH，
∴EM＝EN，
∴AE平分∠CAF；
（3）解：∵AC+CD＝14，S△ACD＝21，EM＝EN＝EH，
∴S△ACD＝S△ACE+S△CED＝AC•EN+CD•EH＝（AC+CD）•EM＝21，
即，
解得EM＝3，
∵AB＝8.5，
∴S△ABE＝AB•EM＝．
【典例2】（2022秋•利川市期末）如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC的中点，且AE平分∠BAD．
（1）求证：DE平分∠ADC；
（2）求证：AB+CD＝AD．
【解答】证明：（1）如图，过点E作EF⊥AD于F，
∵∠B＝90°，AE平分∠DAB，
∴BE＝EF，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∴CE＝EF，
又∵∠C＝90°，EF⊥AD，
∴DE是∠ADC的平分线．
（2）∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，EF⊥AD，∠B＝∠C＝90°，
∴AB＝AF，DC＝DF，
∴AB+CD＝AF+FD＝AD．
【变式2-1】（2022秋•聊城期末）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：
（1）AM⊥DM；
（2）M为BC的中点．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴2∠MAD+2∠ADM＝180°，
∴∠MAD+∠ADM＝90°，
∴∠AMD＝90°，
即AM⊥DM；
（2）作NM⊥AD交AD于N，
∵∠B＝90°，AB∥CD，
∴BM⊥AB，CM⊥CD，
∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴BM＝MN，MN＝CM，
∴BM＝CM，
即M为BC的中点．
【变式2-2】（2021秋•江汉区校级月考）如图，在四边形ABCD中，CE⊥AB，已知CB＝CD，AC平分∠BAD；求证：
（1）∠B+∠ADC＝180°；
（2）AD+AB＝2AE．
【解答】证明：（1）如图，过C作CF⊥AD，交AD的延长线于F点，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠BAC＝∠DAB．
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE＝CF，
∵CB＝CD，∠CEB＝∠CFD＝90°，
∴Rt△CEB≌Rt△CFD（HL），
∴∠B＝∠CDF，EB＝DF．
∵∠CDF+∠ADC＝180°，
∴∠B+∠ADC＝180°．
（2）∵∠CAF＝∠CAE，∠F＝∠CEA＝90°，AC＝AC，
∴△AFC≌△AEC（AAS）．
∴AF＝AE．
∵AF＝AD+DF，EB＝DF，
∴AF＝AD+EB．
∵AE＝AB﹣EB，
∴AF+AE＝AD+AB，
∴AD+AB＝2AE．
【变式2-3】（2021秋•长沙期末）如图，射线AD平分∠CAB，点F是AD上一点，FG垂直平分BC于点G，FH⊥AB于点H，连接FC，若AB＝10，BH＝2，求AC．
【解答】解：连接FB，过F作FI⊥AC，垂足为I，
∵AD平分∠CAB，FI⊥AC，FH⊥AB，
∴FH＝FI，
又FG垂直平分BC，
∴FC＝FB，
在Rt△FIC与Rt△FHB中，
，
∴Rt△FIC≌Rt△FHB（HL），
∴CI＝BH，
在Rt△FIA与Rt△FHA中，
，
∴Rt△FIA≌Rt△FHA（HL），
∴AI＝AH，
∴AB＝AH+HB＝AI+BH＝AC+CI+HB＝AC+2BH，
∵AB＝10，BH＝2，
∴AC＝6．
夯实基础
1．（2022秋•大安市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为D，其中CE＝4.5，AB＝10，
（1）求DE的长度．
（2）求△ABE的面积．
【解答】解：（1）∵BE平分∠ABC，DE⊥AB，EC⊥BC，
∴DE＝EC＝4.5，
∴DE的长度为4.5；
（2）∵DE⊥AB，AB＝10，
∴△ABE的面积＝AB•DE
＝×10×4.5
＝22.5，
∴△ABE的面积为22.5．
2．（2022秋•门头沟区期末）如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，∠AOB＝30°，点D在边OB上，且OD＝DP＝2．求线段CP的长．
【解答】解：过P作PE⊥OB于E，
∵点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA，
∴PC＝PE，∠AOP＝∠BOP，
∵OD＝DP，
∴∠BOP＝∠DPO，
∴∠AOP＝∠DPO，
∴PD∥OA，
∴∠PDE＝∠AOB，
∵∠AOB＝30°，
∴∠PDE＝30°，
∵∠PEO＝90°，DP＝2，
∴PE＝DP＝1，
∴PC＝1．
3．（2021秋•洋县期末）如图，AB∥CD，已知∠CAB和∠ACD的平分线相交于点O，OE⊥AC，垂足为E，若AC＝10，AO＝6，求AE的长．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ACD+∠CAB＝180°．
∵AO、CO分别是∠CAB和∠ACD的平分线，
∴∠OCA+∠OAC＝90°，
∴∠AOC＝180°﹣（∠OCA+∠OAC）＝90°．
∵AC＝10，AO＝6，
∴．
∵OE⊥AC，
根据题意可得：，
即：，
解得：．
∴在Rt△AOE中，．
4．（2022秋•谷城县期中）如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是10cm2，AB＝6cm，AC＝4cm，求DE的长．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∵△ABC的面积是10cm2，
∴△ABD的面积+△ADC的面积＝10，AB＝6cm，AC＝4cm，
∴AB•DE+AC•DF＝10，
∴3DE+2DF＝10，
∴5DE＝10，
∴DE＝2cm，
∴DE的长为2cm．
5．（2022秋•金东区校级月考）如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F．
（1）求证：DE＝DF；
（2）若△ABC的面积为70，AB＝16，DE＝5，求BC的长．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠BED＝∠BFD＝90°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴DE＝DF；
（2）解：∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DF＝DE＝5，
∴S△ABD＝AB•DE＝40，
∴S△BCD＝BC•DF＝70﹣40＝30，
∴BC＝12．
6．（2022秋•沙洋县期中）如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P．
【解答】解：如图所示：作∠AOB的平分线交MN于点P，点P即为该超市的位置．
7．（2022秋•江阴市期中）已知△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E点．
（1）求∠EAD的度数；
（2）AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S△ABC．
【解答】解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣70°＝60°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD＝∠BAC＝×60°＝30°；
（2）如图，过D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DF＝DE＝3，
又∵AB＝10，AC＝8，
∴S△ABC＝×AB×DE+×AC×DF＝×10×3+×8×3＝27．
8．（2022春•海阳市期末）如图，AD∥BC，∠D＝90°，∠CPB＝30°，∠DAB的角平分线与∠CBA的角平分线相交于点P，且D，P，C在同一条直线上．
（1）求∠PAD的度数；
（2）求证：P是线段CD的中点．
【解答】（1）解：∵AD∥BC，
∴∠C＝180°﹣∠D＝180°﹣90°＝90°，
∵∠CPB＝30°，
∴∠PBC＝90°﹣∠B＝60°，
∵PB平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠PBC＝120°，
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∴∠DAB＝180°﹣120°＝60°，
∵AP平分∠DAB，
∴∠PAD＝∠DAB＝30°；
（2）证明：过P点作PE⊥AB于E点，如图，
∵AP平分∠DAB，PD⊥AD，PE⊥AB，
∴PE＝PD，
∵BP平分∠ABC，PC⊥BC，PE⊥AB，
∴PE＝PC，
∴PD＝PC，
∴P是线段CD的中点．
9．（2022春•岳麓区校级期末）如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AB＝12，BC＝8．
（1）求△CBD与△ABD的面积之比；
（2）若△ABC的面积为50，求DE的长．
【解答】解：（1）过点D作DF⊥BC于F，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE＝DF，
∵AB＝12，BC＝8，
∴S△CBD：S△ABD
＝（）：（）
＝BC：AB
＝8：12
＝2：3，
∴△CBD与△ABD的面积之比2：3；
（2）∵△ABC的面积为50，△CBD与△ABD的面积之比2：3，
∴△ABD的面积为30，
又∵AB＝12，
∴＝30，
∴DE＝5．
10．（2022春•新城区校级期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．
（1）请说明AE＝AF的理由；
（2）若AB﹣AC＝2，CF＝1，求线段BE的长．
【解答】解：（1）∵DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，
∴DE⊥AB，DF⊥AC，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴DE＝DF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
∵，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF；
（2）∵AE＝AF，
即AB﹣BE＝AC﹣CF，
∴BE＝AB﹣AC+CF＝2+1＝3．
11．（2022春•攸县期末）如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，点E、D为垂足，CF＝CB．
（1）求证：BE＝FD；
（2）若AC＝10，AD＝8，求四边形ABCF的面积．
【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，
∴CD＝CE，
在Rt△CBE和Rt△CFD中，
，
∴Rt△CBE≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝FD；
（2）解：在Rt△ACD中，
∵AC＝10，AD＝8，
∴CD＝＝6，
∵AC＝AC，CD＝CE，
∴Rt△ACD≌Rt△ACE（HL），
∴S△ACD＝S△ACE，
∵Rt△CBE≌Rt△CFD，
∴S△CBE＝S△CFD，
∴四边形ABCF的面积＝S四边形AECD＝2S△ACD＝2××6×8＝48．
12．（2021秋•抚顺县期末）已知：在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
（1）如图1，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，求∠BDC的度数；
（2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面积．
【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB＝∠ACB＝×40°＝20°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB
＝180°﹣30°﹣20°
＝130°；
（2）作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如图2，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DH⊥BC，
∴DH＝DE＝2，
∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DH⊥BC，
∴DF＝DH＝2，
∴△ADC的面积＝DF•AC＝×2×4＝4．
能力提升
12．（2022秋•滨城区校级期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB．
（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E，
∴DE＝DC．
在Rt△CDF与Rt△EDB中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴CF＝EB．
（2）解：设CF＝x，则AE＝12﹣x，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD＝DE．
在Rt△ACD与Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，即8+x＝12﹣x，
解得x＝2，即CF＝2．
∴AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝AE+AE＝2AE．
13．（2021秋•龙江县期末）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）说明BE＝CF的理由；
（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．
【解答】（1）证明：连接BD，CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴BD＝CD，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝CF；
（2）解：在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，
设BE＝x，则CF＝x，
∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，
∴5﹣x＝3+x，
解得：x＝1，
∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4．
14．（2022春•永春县期末）如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“倍分线”．
（1）如图1，若∠AOB＝60°，射线OC绕点O从OB位置开始，以每秒15°的速度逆时针旋转t秒，且0≤t≤12．
①当t＝2秒时，OC ∠AOB的“倍分线”；（填“是”或“不是”）
②若射线OA是∠BOC的“倍分线”，求t的值；
（2）如图2，射线AF绕点A从AB位置开始逆时针旋转α，同时射线BG绕点B从BA的位置开始顺时针旋转β，且0＜β＜α＜180°，两条射线相交于点C．CD、CE分别是△ABC的高和角平线，是否存在CE是∠BCD的“倍分线”的情况？若存在，请求出α与β应满足的数量关系；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）①当t＝2时，OC在∠AOB内部，且∠BOC＝2×15°＝30°，
∴∠AOB＝2∠BOC，
∴OC是∠AOB的“倍分线”，
故答案为：是；
②（Ⅰ）当OA在∠BOC内部且∠AOB＝2∠AOC时，
∠AOC＝30°，
∴∠BOC＝90°，
∴t＝90÷15＝6；
（Ⅱ）当OA在∠BOC内部且∠AOC＝2∠AOB时，如图：
∴∠AOC＝120°，
∴∠BOC＝180°，
∴t＝180÷15＝12；
（Ⅲ）当OA在∠BOC内部且∠BOC＝2∠AOC＝2∠BOC时，如图：
∴∠BOC＝120°，
∴t＝120÷15＝8，
综上所述，t的值为6或12或8；
（2）存在CE是∠BCD的“倍分线”的情况，理由如下：
如图：
由已知可得：∠BCD＝90°﹣β，∠BCE＝∠ACB＝（180°﹣α﹣β）＝90°﹣α﹣β，
∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCE＝（90°﹣β）﹣（90°﹣α﹣β）＝α﹣β，
当∠BCD＝2∠BCE时，如图：
90°﹣β＝2（90°﹣α﹣β），
∴α＝90°，
当∠DCE＝2∠BCE时，如图：
∴α﹣β＝2（90°﹣α﹣β），
整理得：3α+β＝360°，
当∠BCE＝2∠DCE时，如图：
∴90°﹣α﹣β＝2（α﹣β），
整理得3α﹣β＝180°，
综上所述，α与β应满足的数量关系为：α＝90°或3α+β＝360°或3α﹣β＝180°．
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