新高一数学暑期衔接教材第5讲-解不等式初步

主    题

解不等式初步

教学内容

1. 掌握不等式的基本性质，并灵活的运用；

2. 运用作差法及不等式基本性质证明简单的不等式。

（以提问的形式回顾）

用“＞”或“＜”或“＝”填空

1. 如果a>b，b＞c，那么a     c

2. 如果a>b，那么 a+c   _b+c， a－c    b－c．

3.（1） 如果a>b，并且c>0，那么ac     bc．

（2）如果a>b，并且c<0，那么ac     bc．

这三条基本性质初中就已经学过，教师简答总结一下就可以了。

应用不等式的性质，证明下面的结论：

（1）如果a>b，c＞d，那么a+c＞b+d

证明：由a>b，得a+c>b+c，

由c＞d，得b+c＞b+d

所以 a+c＞b+d

（2）如果a＞b＞0，那么

由a＞b，a＞0，得：

由a＞b，b＞0，得：

所以

（3）若.  

通过（2）的结论这个不等式很容易说明

（4）若,则(且)

证明：假定不大于,这有两种情况或者，

当时,有；当时,显然有

这些都同已知条件矛盾，所以.

第一个证明教师可以给出，第二个可以让学生模仿第一个试着去证明，技巧就是通过中间的一个量过度。第四个证明老师可以直接给出，三和四的结论要强调，这些结论证明完成可以让学生记住，在今后的题目中直接应用。

（采用教师引导，学生轮流回答的形式）

例1：若，则下列不等关系中不能成立的是（   ）

A．    B．    C．     D．

解：∵，∴。

由，，∴（A）成立。

由，，∴（C）成立。

由，，，∴（D）成立。

∵，，，，

，，∴（B）不成立。

故应选B。

试一试：下列命题中正确的是 (　　)

A．若a2＞b2，则a＞b     B．若＞，则a＜b     C．若ac＞bc，则a＞b   D．若＜，则a＜b

解析：A错，例如(－3)2＞22；B错，例如＞；

C错，例如当c＝－2，a＝－3，b＝2时，有ac＞bc，但a＜b.

答案：D

例2.  若x＜y＜0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小．

解：∵(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)．

∵x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0，∴－2xy(x－y)＞0，∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．

试一试：设a＞0，b＞0且a≠b，试比较aabb与abba的大小．

解：∵＝aa－b·bb－a＝()a－b.

当a＞b＞0时，＞1，a－b＞0，则()a－b＞1，于是aabb＞abba；

当b＞a＞0时，0＜＜1，a－b＜0，则()a－b＞1，于是aabb＞abba.

综上所述，对于不相等的正数a、b，都有aabb＞abba.

例3. 若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞.

证明：∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.

又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0，∴＜.  又∵e＜0，∴＞.

试一试：设a＞b＞c，求证：＋＋＞0.

证明：∵a＞b＞c，∴－c＞－b.∴a－c＞a－b＞0.∴＞＞0.

∴＋＞0.又b－c＞0，∴＞0.∴＋＋＞0.

（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）

1. 若a>1,b>1,则1+ab与a+b的大小关系是             。       1+ab＜a+b

2. 若x>1.则            （填“>”或“<”）     ＞

3. 若0<a <1，0<b <1且，则中最大的一个是           。  a+b

4. 给出下列几个命题：

①若a＞b＞0，则＞；②若a＞b＞0，则a－＞b－；③若a＞b＞0，则＞.其中正确命题的序号是_____．

解析：①在a＞b＞0两端同除以ab可得＞，故①错；②由于(a－)－(b－)＝(a－b)(1＋)＞0，故②正确；③由于－＝＜0，即＜，故③错．答案：②

5. 比较与的大小.

解：

当且时，=；

当或时，＞.

6. 已知，求证：.

分析：观察要证的不等式，联系性质可知关键是要证明.为此先证明.

本节课主要知识点：不等式的基本性质，比较两个式子大小的方法

【巩固练习】  

1. 下列不等式中不等价的是（   ）       B

（1）与

（2）与

（3）与

（4）与

A．（2）   B．（3）   C．（4）   D．（2）（3）

2. 若x＞y，且a＞b，则在(1)a－x＞b－y；(2)a＋x＞b＋y；(3)ax＞by；(4)x－b＞y－a；(5)＞，这五个式子中恒成立的不等式的序号是________．

解析：由得a＋x＞b＋y，而－b＞－a，同理可得x－b＞y－a.答案：(2)(4)

3. 已知三个不等式：①；②；③。以其中两个作条件，余下一个作结论，则可组成_____________个正确命题。

解：对命题②作等价变形：

于是，由，，可得②成立，即①③②；

若，，则，故①②③；

若，，则，故②③①。

∴可组成3个正确命题。

【预习思考】

探究：我们来考察它与其所对的二次函数及二次方程的关系：

（1）当或时，，即在轴上方；

（2）当或时，，即在轴上；

（3）当时，，即在轴下方.

  其中，是二次函数与轴的交点，是二次方程的两根.

探究得出：结合图像知不等式的解集是