新高一数学暑期衔接教材第6讲-一元二次不等式的解法

主    题

一元二次不等式的解法

教学内容

1. 掌握一元二次不等式的解法；

2. 学会用区间表示集合；

3. 通过利用二次函数的图像来求解一元二次不等式的解集，培养数形结合的数学思想。

一、一元二次不等式的解法：

探究：我们来考察它与其所对的二次函数及二次方程的关系：

（1）当或时，，即在轴上方；

（2）当或时，，即在轴上；

（3）当时，，即在轴下方.

  其中，是二次函数与轴的交点，是二次方程的两根.

探究得出：结合图像知不等式的解集是                     

那么对于一般的不等式 或又怎样去寻求解集呢？

请同学们思考下列问题：

如果相应的一元二次方程分别有两实根、惟一实根，无实根的话，其对应的二次函数的图像与x轴的位置关系如何？

可以提问程度较好的学生

【答】二次函数的图像开口向上且分别与x轴交于两点，一点及无交点。

现在请同学们观察表中的二次函数图，并写出相应一元二次不等式的解集。

【答】的解集依次是

的解集依次是

它是我们今后求解一元二次不等式的主要工具。应尽快将表中的结果记住。其关键就是抓住相应二次函数的图像。

练习：不等式的解集

解：因为

方程的解是 ,

故原不等式的解集为.

二、区间：

设 a，b 是实数，且 a＜b，我们规定：

（1）集合叫做闭区间，表示为

（2）集合叫做开区间，表示为

（3）集合或叫做半开半闭区间，表示为或

在上述的所有区间中，a，b 叫做区间的端点．以后我们可以用区间表示不等式的解集

（4）把实数集R表示为 (－∞，＋∞)，把集合分别用区间表示。a，b 也叫做区间的端点符号“＋∞”读作“正无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”．

练习：

1. 用区间记法表示下列不等式的解集，并在数轴上表示这些区间：

(1) －2≤x≤3； (2) －3＜x≤4；(3) －2≤x＜3； (4) －3＜x＜4；

答案：（1）；  （2）；   （3）；   （4）

2. 用集合的描述法表示下列区间：(1) (－4，0)；  (2) (－8，7]．

解  (1) {x | －4＜x＜0}；(2) {x | －8＜x≤7}．

（采用教师引导，学生轮流回答的形式）

例1. 解不等式.

解：整理，得

因为，

方程的解是，

故原不等式的解集为.

试一试：解下列不等式

（1）    （2）

解集：（1）    （2）

小结：解一元二次不等式的步骤：

（1）化标准：将不等式化成标准形式（右边为0、最高次的系数为正）；

（2）考虑判别式：计算判别式的值，若值为正，则求出相应方程的两根；

（3）下结论：注意结果要写成集合或者区间的形式.

例2.  解不等式.

解：因为，

方程 的解是

故原不等式的解集为.

例3. 解不等式.

解：整理，得

因为

方程无实数根，所以原不等式的解集为.

试一试：解下列不等式

（1）    （2）

解集：（1）；（2）R

（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）

1. 不等式的解集是(    )

A． B．

C． D．

解：D

2. 设集合，，则有M∩N＝(    )

A．    B．   C．    D．

解：B

3. 解下列不等式：

（1）                      (2)

 (3)                             (4)

解：（1） ；  （2） ；  （3） ；   （4）。

本节课主要知识点：一元二次不等式的解法及注意事项

【巩固练习】

1. 若代数式的值恒取非负实数，则实数x的取值范围是            。

2. 解不等式：

答案：

【预习思考】

解一元二次不等式，我们还可以用分类讨论的思想来求解

因为满足不等式组或的x都能使原不等式成立，且反过来也是对的，故原不等式的解集是两个一元二次不等式组解集的并集．

试着用这种方法解下列三个不等式，你发现和我们用图像解的答案一样吗？

（1） 

（2）  

（3）