北师大版 (2019)必修 第一册3.1 对数函数的概念教学设计

《对数函数的概念》教学设计

1.通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的对应关系，初步理解对数函数的概念及意义．

2.知道对数函数与指数函数互为反函数(，且)．

重点：理解对数函数的概念﹒

难点：理解对数函数与指数函数互为反函数(，且)．

一、新课导入

某种细胞进行分裂，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……，

1个这样的细胞分裂x次后得到的细胞个数y如何表示？

答案：．

如果一个细胞经过x次分裂后得到了1024个细胞，该如何求解x的值呢？

二、新知探究

问题1：前面我们已经学习了指数函数的概念：已知正数，且，指数函数是定义在R上、值域为(0，)的单调函数．即对于每一个实数，都存在唯一确定的正数，使得．反之对于每一个正数，是否都存在唯一确定的实数与之对应呢？即能否把表示成的函数呢？

答案：由于指数函数是定义在R上、值域为(0，)的单调函数．所以对于每一个正数，都存在唯一确定的实数，使得．由函数的定义，就是的函数，记作﹒我们把这样的函数称为以为底的对数函数．

追问：函数是否符合我们的书写习惯呢？想要写成我们习惯的方式，该如何写呢？

答案：我们习惯上将自变量写成，函数值写成，因此，一般将对数函数写成 (，且)，其中称为底数﹒特别地，我们称以10为底的对数函数为常用对数函数，记作；称以无理数e为底的对数函数为自然对数函数，记作﹒

问题2：能否直接由对数函数的定义得出它的一些性质呢？

答案：由定义可知，对数函数具有以下基本性质：

(1)定义域是；

(2)图象过定点﹒

问题3：想一想指数函数和对数函数有什么关系呢？

答案：指数函数和对数函数刻画的是同一对变量，之间的关系，所不同的是：在指数函数中，是自变量，是的函数，其定义域是R；而在对数函数中，是自变量，是的函数，其定义域是(0，)﹒我们称对数函数是指数函数的反函数，同时，也称指数函数是对数函数的反函数﹒

追问：对数函数(，且)是否是指数函数(，且)的反函数呢？

答案：是反函数，习惯上，对数函数表示为(，且)，指数函数表示为(，且)．因此，指数函数是对数函数 的反函数，对数函数也是指数函数的反函数﹒即它们互为反函数﹒

三、应用举例

例1 (1)已知函数是对数函数，则      ﹒

(2)已知对数函数的图象过点，①求的解析式；②解方程﹒

解：判断一个函数是不是对数函数的依据:①形如;②底数，且;③真数为，而不是的函数﹒

(1)由对数函数的定义可得，即，解得，又，且，所以﹒

(2)①由题意设，且，由函数图象过点可得，即，所以，解得，故﹒

②解方程，即，所以﹒

例2  (1)当1，2，4时，求对数函数的函数值；

(2)当0.1，1，10时，求对数函数的函数值﹒

解：(1)由，得；

由，得；

由，得2﹒

(2)由，得；

由，得；

由，得﹒

例3 写出下列对数函数的反函数：（1）；（2）﹒

解：(1)因为对数函数的底数是10，所以它的反函数是指数函数 ；

(2)因为对数函数的底数是，所以它的反函数是指数函数﹒

例4 写出下列指数函数的反函数：（1）；（2）﹒

解：(1)因为指数函数的底数是5，所以它的反函数是对数函数；

(2)因为指数函数的底数是，所以它的反函数是对数函数﹒

四、课堂练习

1﹒(1)计算对数函数 当0.25，0.5，1，2，4，8时的函数值；

(2)计算常用对数函数 当0.00001，10000时的函数值﹒

2﹒写出下列对数函数的反函数：

（1）；（2）；（3）﹒

3﹒写出下列指数函数的反函数：

（1）；（2）；（3）﹒

参考答案：1﹒(1)由，得；

由，得；

由，得；

由，得；

由，得；

由，得﹒

(2)由，得；

由，得4﹒

2﹒(1)因为对数函数的底数是2﹒5，所以它的反函数是指数函数 ；

(2)因为对数函数的底数是，所以它的反函数是指数函数；

(3)因为对数函数的底数是，所以它的反函数是指数函数﹒

3﹒(1)因为指数函数的底数是4，所以它的反函数是对数函数；

(2)因为指数函数的底数是，所以它的反函数是对数函数；

(3)因为指数函数的底数是，所以它的反函数是对数函数﹒

五、课堂小结

1﹒对数函数的概念

(1)一般地，函数 (，且)叫作对数函数，其中称为底数；

对数函数具有以下基本性质:①定义域是；②图象过定点﹒

(2)指数函数(，且)与对数函数 (，且)互为反函数﹒两者的定义域与值域正好互换﹒

2﹒两种特殊的对数函数

以10为底的对数函数为常用对数函数，记作；

以无理数e为底的对数函数为自然对数函数，记作﹒

六、布置作业

教材第113页习题4-3A 组第1-2题﹒