2023年四川省遂宁市中考数学试卷（含答案解析）

这是一份2023年四川省遂宁市中考数学试卷（含答案解析），共37页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年四川省遂宁市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）已知算式5□（﹣5）的值为0，则“□”内应填入的运算符号为（　　）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
2．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．（﹣a）2＝﹣a2 B．3a2﹣a2＝3
C．a3•a＝a4 D．（a﹣1）2＝a2﹣1
3．（4分）纳米是表示微小距离的单位，1纳米＝0.000001毫米，而1毫米相当于我们通常使用的刻度尺上的一小格，可想而知1纳米是多么的小．中科院物理所研究员解思深领导的研究组研制出世界上最细的碳纳米管一一直径0.5纳米．0.5纳米相当于0.0000005毫米，数据0.0000005用科学记数法可以表示为（　　）
A．0.5×10﹣6 B．0.5×10﹣7 C．5×10﹣6 D．5×10﹣7
4．（4分）生活中一些常见的物体可以抽象成立体图形，以下立体图形中三视图形状相同的可能是（　　）
A．正方体 B．圆锥
C．圆柱 D．四棱锥
5．（4分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载了这样一个题目：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金，银各重几何？其大意是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），两袋重量相等，两袋互换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金，白银各重几两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得方程组（　　）
A．
B．
C．
D．
6．（4分）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点△ABC、△DEF成位似关系，则位似中心的坐标为（　　）

A．（﹣1，0） B．（0，0） C．（0，1） D．（1，0）
7．（4分）为增强班级凝聚力，吴老师组织开展了一次主题班会．班会上，他设计了一个如图的飞镖靶盘，靶盘由两个同心圆构成，小圆半径为10cm，大圆半径为20cm，每个扇形的圆心角为60度．如果用飞镖击中靶盘每一处是等可能的，那么小全同学任意投掷飞镖1次（击中边界或没有击中靶盘，则重投1次），投中“免一次作业”的概率是（　　）

A． B． C． D．
8．（4分）若关于x的不等式组的解集为x＞3，则a的取值范围是（　　）
A．a＞3 B．a＜3 C．a≥3 D．a≤3
9．（4分）如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，点P为线段AB上的动点．以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止．过点P作PM⊥AC于点M．作PN⊥BC于点N，连结MN，线段MN的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为（　　）

A．（5，5） B．（6，） C．（，） D．（，5）
10．（4分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣2．下列说法：①abc＜0；②c﹣3a＞0；③4a2﹣2ab≥at（at+b）（t为全体实数）；④若图象上存在点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当m＜x1＜x2＜m+3时，满足y1＝y2，则m的取值范围为﹣5＜m＜﹣2，其中正确的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
11．（4分）若三角形三个内角的比为1：2：3，则这个三角形是 　 　三角形．
12．（4分）若a、b是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根，则代数式a+b﹣ab的值为 　 　．
13．（4分）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、…、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷…）等，甲烷的化学式为CH4，乙烷的化学式为C2H6，丙烷的化学式为C3H8…，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为 　 　．

14．（4分）如图，▱ABCD中，BD为对角线，分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN交AD于点E，交AB于点F，若AD⊥BD，BD＝4，BC＝8，则AE的长为 　 　．

15．（4分）如图，以△ABC的边AB、AC为腰分别向外作等腰直角△ABE、△ACD，连结ED、BD、EC，过点A的直线l分别交线段DE、BC于点M、N．以下说法：①当AB＝AC＝BC时，∠AED＝30°；②EC＝BD；③若AB＝3，AC＝4，BC＝6，则DE＝2；④当直线l⊥BC时，点M为线段DE的中点．正确的有 　 　．（填序号）

​

三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（7分）计算：2sin30°﹣+（2﹣π）0+（﹣1）2023．
17．（7分）先化简，再求值：•（1+），其中x＝（）﹣1．
18．（8分）为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要部署，教育部印发了《全国青少年学生读书行动实施方案》，于是某中学开展了以“书香润校园，好书伴成长”为主题的系列读书活动．学校为了解学生周末的阅读情况，采用随机抽样的方式获取了若干名学生的周末阅读时间数据，整理后得到下列不完整的图表：
类别
A类
B类
C类
D类
阅读时长t（小时）
0≤t＜1
1≤t＜2
2≤t＜3
t≥3
频数
8
m
n
4
​请根据图表中提供的信息解答下面的问题：
（1）此次调查共抽取了 　 　名学生，m＝　 　，n＝　 　；
（2）扇形统计图中，B类所对应的扇形的圆心角是 　 　度；
（3）已知在D类的4名学生中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人参加阅读分享活动，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一名男生和一名女生的概率．

19．（9分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点O为对角线BD的中点，过点O的直线l分别与AD、BC所在的直线相交于点E、F．（点E不与点D重合）
（1）求证：△DOE≌△BOF；
（2）当直线l⊥BD时，连结BE、DF，试判断四边形EBFD的形状，并说明理由．

20．（9分）我们规定：对于任意实数a、b、c、d有[a，b]*[c，d]＝ac﹣bd，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：[3，2]*[5，1]＝3×5﹣2×1＝13．
（1）求[﹣4，3]*[2，﹣6]的值；
（2）已知关于x的方程[x，2x﹣1]*[mx+1，m]＝0有两个实数根，求m的取值范围．
21．（9分）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同．
（1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？
（2）该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为W元．
①求W与m的函数关系式，并求出m的取值范围；
②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？
22．（9分）某实践探究小组想测得湖边两处的距离，数据勘测组通过勘测，得到了如下记录表：
实践探究活动记录表
活动内容测量湖边A、B两处的距离
成员ㅤㅤ组长：××ㅤㅤ组员：××××××××××××
工具测角仪，皮尺等
测量示意图
​
说明：因为湖边A、B两处的距离无法直接测量，数据勘测组在湖边找了一处位置C，可测量C处到A、B两处的距离，通过测角仪可测得∠A、∠B、∠C的度数．
测量数据
角的度数
∠A＝30°
∠B＝45°
∠C＝105°
边的长度
BC＝40.0米
AC＝56.4米
​数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现不需要勘测组的全部数据就可以计算出A、B之间的距离．于是数据处理组写出了以下过程，请补全内容．
已知：如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，　 　．（从记录表中再选一个条件填入横线）
求：线段AB的长（为减小结果的误差，若有需要，取1.41，取1.73，取2.45进行计算，最后结果保留整数．）

23．（10分）如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A（﹣4，1），B（m，4）两点．（k1，k2，b为常数）
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出不等式k1x+b＞的解集；
（2）P为y轴上一点，若△PAB的面积为3，求P点的坐标．

24．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AD＝CD，过点D的直线l交BA的延长线于点M．交BC的延长线于点N且∠ADM＝∠DAC．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）求证：AD2＝AB•CN；
（3）当AB＝6，sin∠DCA＝时，求AM的长．

​

25．（12分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝x2+bx+c经过点O（0，0），对称轴过点B（2，0），直线l过点C（2，﹣2）且垂直于y轴．过点B的直线l1交抛物线于点M、N，交直线l于点Q，其中点M、Q在抛物线对称轴的左侧．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当BM：MQ＝3：5时，求点N的坐标；
（3）如图2，当点Q恰好在y轴上时，P为直线l1下方的抛物线上一动点，连结PQ、PO，其中PO交l1于点E，设△OQE的面积为S1，△PQE的面积为S2，求的最大值．


2023年四川省遂宁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）已知算式5□（﹣5）的值为0，则“□”内应填入的运算符号为（　　）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
【分析】分别代入“+”、“﹣”、“×”、“÷”符号进行计算即可．
【解答】解：A、5+（﹣5）＝0，符合题意；
B、5﹣（﹣5）＝10，不符合题意；
C、5×（﹣5）＝﹣25，不符合题意；
D、5÷（﹣5）＝﹣1，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的加、减、乘、除运算法则．
2．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．（﹣a）2＝﹣a2 B．3a2﹣a2＝3
C．a3•a＝a4 D．（a﹣1）2＝a2﹣1
【分析】利用完全平方公式，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、（﹣a）2＝a2，故A不符合题意；
B、3a2﹣a2＝2a2，故B不符合题意；
C、a3•a＝a4，故C符合题意；
D、（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查完全平方公式，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3．（4分）纳米是表示微小距离的单位，1纳米＝0.000001毫米，而1毫米相当于我们通常使用的刻度尺上的一小格，可想而知1纳米是多么的小．中科院物理所研究员解思深领导的研究组研制出世界上最细的碳纳米管一一直径0.5纳米．0.5纳米相当于0.0000005毫米，数据0.0000005用科学记数法可以表示为（　　）
A．0.5×10﹣6 B．0.5×10﹣7 C．5×10﹣6 D．5×10﹣7
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：将0.0000005用科学记数法表示为5×10﹣7．
故选：D．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．（4分）生活中一些常见的物体可以抽象成立体图形，以下立体图形中三视图形状相同的可能是（　　）
A．正方体 B．圆锥
C．圆柱 D．四棱锥
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．依此找到主视图、左视图和俯视图形状都相同的图形即可．
【解答】解：A、该正方体的三视图都是正方形，符合题意；
B、该圆锥的三视图分别为三角形，三角形，圆及圆心，不符合题意；
C、该圆柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，不符合题意；
D、该四棱锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是画有对角线的矩形，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的轮廓线都应表现在三视图中．
5．（4分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载了这样一个题目：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金，银各重几何？其大意是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），两袋重量相等，两袋互换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金，白银各重几两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得方程组（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据“乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），两袋重量相等，两袋互换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：依题意，得．
故选：D．
【点评】本题考查了数学常识，由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
6．（4分）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点△ABC、△DEF成位似关系，则位似中心的坐标为（　　）

A．（﹣1，0） B．（0，0） C．（0，1） D．（1，0）
【分析】根据位似中心的定义作答．
【解答】解：如图：

△ABC与△DEF的对应顶点的连线相交于点（﹣1，0），则位似中心的坐标为（﹣1，0）．
故选：A．
【点评】本题主要考查了位似变换，坐标与图形性质，解题的关键是掌握“位似中心”的确定方法．
7．（4分）为增强班级凝聚力，吴老师组织开展了一次主题班会．班会上，他设计了一个如图的飞镖靶盘，靶盘由两个同心圆构成，小圆半径为10cm，大圆半径为20cm，每个扇形的圆心角为60度．如果用飞镖击中靶盘每一处是等可能的，那么小全同学任意投掷飞镖1次（击中边界或没有击中靶盘，则重投1次），投中“免一次作业”的概率是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据“免一次作业”部分的面积占大圆的比例得出结论即可．
【解答】解：投中“免一次作业”的概率是×＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查几何概率的知识，熟练掌握几何面积比例和概率的关系是解题的关键．
8．（4分）若关于x的不等式组的解集为x＞3，则a的取值范围是（　　）
A．a＞3 B．a＜3 C．a≥3 D．a≤3
【分析】用含a的式子表示出不等式的解，结合条件进行求解即可．
【解答】解：，
解不等式①得：x＞3，
解不等式②得：x＞a，
∵不等式组的解集是x＞3，
∴a≤3．
故选：D．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，解答的关键是明确“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则．
9．（4分）如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，点P为线段AB上的动点．以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止．过点P作PM⊥AC于点M．作PN⊥BC于点N，连结MN，线段MN的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为（　　）

A．（5，5） B．（6，） C．（，） D．（，5）
【分析】根据矩形的性质和直角三角形的性质，可以得到CP⊥AB时，CP取得最小值，此时MN取得最小值，然后即可求得点E的坐标．
【解答】解：连接CP，
∵AB＝10，BC＝6，AC＝8，
∴AC2+BC2＝82+62＝102＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，
∵PM⊥AC，PN⊥BC，
∴∠PMC＝∠PNC＝90°，
∴∠PMC＝∠PNC＝∠ACB＝90°，
∴四边形CMPN是矩形，
∴MN＝CP，
当CP⊥AB时，CO取得最小值，此时CP＝＝＝，AP＝＝＝，
∴函数图象最低点E的坐标为（，），
故选：C．

【点评】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10．（4分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣2．下列说法：①abc＜0；②c﹣3a＞0；③4a2﹣2ab≥at（at+b）（t为全体实数）；④若图象上存在点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当m＜x1＜x2＜m+3时，满足y1＝y2，则m的取值范围为﹣5＜m＜﹣2，其中正确的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①分别判断a、b、c的符号，再判断abc的符号；
②由对称轴为直线x＝﹣2，可知a与b的数量关系，消去b可得仅含a、c的解析式，找特定点可判断c﹣3a的符号．
③用a与b的数量关系，可将原式化简得到关于t的不等式，再用函数的性质（t为全体实数）判断．
④利用二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系即可判断．
【解答】解：①因图象开口向下，可知：a＜0；
又∵对称轴为直线x＝﹣2，
∴﹣＝﹣2，整理得：b＝4a，即a、b同号．
由图象可知，当x＝4时，y＜0，
又∵对称轴为直线x＝﹣2，可知：当x＝0时，y＜0；
即c＜0；
∴abc＜0，故①正确．
②由①得：b＝4a．
代入原解析式得：y＝ax2+4ax+c；
由图象可知，当x＝﹣1时，y＞0．
即：a•（﹣1）2+4a•（﹣1）+c＞0，
整理得：c﹣3a＞0，故②正确．
③由①得：b＝4a．
不等式4a2﹣2ab≥at（at+b），
等价于4a2﹣2a•4a≥at（at+4a），
整得：（t+2）2≤0，
∵t为全体实数，
∴（t+2）2≥0，故③错误．
④由题意得，x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c﹣y1＝0的两个根，
从图象上看，因二次函数有对称性，x1、x2关于x＝﹣2对称，
∴当且仅当m＜﹣2＜m+3时，存在点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当m＜x1＜x2＜m+3时，满足y1＝y2，
即当﹣5＜m＜﹣2时，满足题设，故④正确．
故本题选：C．
【点评】本题考查了二次函数字母系数与图象的关系、二次函数与一元二次方程的关系等知识．需综合利用二次函数的性质，不等式的性质解题．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
11．（4分）若三角形三个内角的比为1：2：3，则这个三角形是 　直角　三角形．
【分析】设这个三角形最小的内角是x°，则另外两内角的度数分别为2x°，3x°，利用三角形内角和是180°，可得出关于x的一元一次方程，解之可求出x的值，再将其代入3x°中即可得出结论．
【解答】解：设这个三角形最小的内角是x°，则另外两内角的度数分别为2x°，3x°，
根据题意得：x+2x+3x＝180，
解得：x＝30，
∴3x°＝3×30°＝90°，
∴这个三角形是直角三角形．
故答案为：直角．
【点评】本题考查了三角形内角和定理以及解一元一次方程，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键．
12．（4分）若a、b是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根，则代数式a+b﹣ab的值为 　2　．
【分析】根据根与系数的关系得到a+b＝3，ab＝1，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵a、b是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根，
∴a+b＝3，ab＝1，
∴a+b﹣ab＝3﹣1＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
13．（4分）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、…、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷…）等，甲烷的化学式为CH4，乙烷的化学式为C2H6，丙烷的化学式为C3H8…，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为 　C12H26　．

【分析】根据图形，可以写出C和H的个数，然后即可发现C和H的变化特点，从而可以写出十二烷的化学式．
【解答】解：由图可得，
甲烷的化学式中的C有1个，H有2+2×1＝4（个），
乙烷的化学式中的C有2个，H有2+2×2＝6（个），
丙烷的化学式中的C有3个，H有2+2×3＝8（个），
…，
∴十二烷的化学式中的C有12个，H有2+2×12＝26（个），
即十二烷的化学式为C12H26，
故答案为：C12H26．
【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现C和H的变化特点．
14．（4分）如图，▱ABCD中，BD为对角线，分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN交AD于点E，交AB于点F，若AD⊥BD，BD＝4，BC＝8，则AE的长为 　5　．

【分析】根据平行四边形 性质得到AD＝BC＝8，根据垂直的定义得到∠ADB＝90°，由作图知，MN垂直平分AB，求得AF＝AB＝2，EF⊥AB，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝8，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝90°，
∴＝4，
由作图知，MN垂直平分AB，
∴AF＝AB＝2，EF⊥AB，
∴∠AFE＝∠ADB＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△AEF∽△ABD，
∴，
∴，
∴AE＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
15．（4分）如图，以△ABC的边AB、AC为腰分别向外作等腰直角△ABE、△ACD，连结ED、BD、EC，过点A的直线l分别交线段DE、BC于点M、N．以下说法：①当AB＝AC＝BC时，∠AED＝30°；②EC＝BD；③若AB＝3，AC＝4，BC＝6，则DE＝2；④当直线l⊥BC时，点M为线段DE的中点．正确的有 　①②④　．（填序号）

​

【分析】由AB＝AC＝BC，得∠BAC＝60°，因为AE＝AB，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，所以AE＝AD，∠EAD＝120°，则∠AED＝∠ADE＝30°，可判断①正确；由∠CAD＝∠BAE＝90°，推导出∠CAE＝∠DAB，可证明△CAE≌△DAB，得EC＝BD，可判断②正确；设BD交AE于点G，交CE于点O，可证明∠EOB＝90°，则∠COD＝∠BOC＝∠DOE＝90°，可根据勾股定理推导出DE2+BC2＝BE2+CD2，可求得BE2＝AB2+AE2＝18，CD2＝AD2+AC2＝32，BC2＝36，则DE＝≠2，可判断③错误；当直线l⊥BC时，作EF∥AD交直线l于点F，连接DF，可证明△EAF≌△ABC，则EF＝AC＝AD，所以四边形ADFE是平行四边形，则M为线段DE的中点，可判断④正确，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵AB＝AC＝BC，
∴∠BAC＝60°，
∵AE＝AB，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，
∴AE＝AD，∠EAD＝360﹣60°﹣90°﹣90°＝120°，
∴∠AED＝∠ADE＝×（180°﹣120°）＝30°，
故①正确；
∵∠CAD＝∠BAE＝90°，
∴∠CAE＝∠DAB＝90°+∠DAE，
∴△CAE≌△DAB（SAS），
∴EC＝BD，
故②正确；
如图1，设BD交AE于点G，交CE于点O，
∵∠AEC＝∠ABD，∠OGE＝∠AGB，
∴∠AEC+∠OGE＝∠ABD+∠AGB＝90°，
∴∠EOB＝90°，
∴∠COD＝∠BOC＝∠DOE＝90°，
∴DE2+BC2＝OD2+OE2+OB2+OC2＝BE2+CD2，
∵AE＝AB＝3，AD＝AC＝4，BC＝6，
∴BE2＝AB2+AE2＝32+32＝18，CD2＝AD2+AC2＝42+42＝32，BC2＝62＝36，
∴DE＝＝＝≠2，
故③错误；
当直线l⊥BC时，如图2，作EF∥AD交直线l于点F，连接DF，
∵∠AEF+∠DAE＝180°，∠BAC+∠DAE＝180°，
∴∠AEF＝∠BAC，
∵∠ANB＝∠BAE＝90°，
∴∠EAF＝∠ABC＝90°﹣∠BAN，
∵EA＝AB，
∴△EAF≌△ABC（ASA），
∴EF＝AC＝AD，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴M为线段DE的中点，
故④正确，
故答案为：①②④．


【点评】此题重点考查等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、等角的补角相等、平行四边形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（7分）计算：2sin30°﹣+（2﹣π）0+（﹣1）2023．
【分析】第一项用特殊角的三角函数值计算，第二项根据立方根的定义计算，第三项根据零指数幂运算法则计算，第四项根据有理数的乘方法则计算，从而得出计算结果．
【解答】解：
＝
＝1﹣2+1﹣1
＝﹣1
【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键．
17．（7分）先化简，再求值：•（1+），其中x＝（）﹣1．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝
＝1﹣，
∵x＝（）﹣1＝2，
∴原式＝1﹣＝．
【点评】本题考查的是分式的化简求值及负整数指数幂，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
18．（8分）为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要部署，教育部印发了《全国青少年学生读书行动实施方案》，于是某中学开展了以“书香润校园，好书伴成长”为主题的系列读书活动．学校为了解学生周末的阅读情况，采用随机抽样的方式获取了若干名学生的周末阅读时间数据，整理后得到下列不完整的图表：
类别
A类
B类
C类
D类
阅读时长t（小时）
0≤t＜1
1≤t＜2
2≤t＜3
t≥3
频数
8
m
n
4
​请根据图表中提供的信息解答下面的问题：
（1）此次调查共抽取了 　40　名学生，m＝　18　，n＝　10　；
（2）扇形统计图中，B类所对应的扇形的圆心角是 　162　度；
（3）已知在D类的4名学生中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人参加阅读分享活动，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一名男生和一名女生的概率．

【分析】（1）由A类的学生人数除以所占百分比得出此次调查共抽取的学生人数，即可解决问题；
（2）由360°乘以B类所占的比例即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）此次调查共抽取的学生人数为：8÷20%＝40（名），
∴n＝40×25%＝10，
∴m＝40﹣8﹣10﹣4＝18，
故答案为：40，18，10；
（2）扇形统计图中，B类所对应的扇形的圆心角是360°×＝162°，
故答案为：162；
（3）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的结果有8种，
∴恰好抽到一名男生和一名女生的概率为＝．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率以及频数分布表和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．（9分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点O为对角线BD的中点，过点O的直线l分别与AD、BC所在的直线相交于点E、F．（点E不与点D重合）
（1）求证：△DOE≌△BOF；
（2）当直线l⊥BD时，连结BE、DF，试判断四边形EBFD的形状，并说明理由．

【分析】（1）由AD∥BC，得∠ODE＝∠OBF，而OD＝OB，∠DOE＝∠BOF，即可根据全等三角形的判定定理“ASA”证明△DOE≌△BOF；
（2）由OD＝OB，直线l经过点O且l⊥BD，得DE＝BE，DF＝BF，由△DOE≌△BOF，得DE＝BF，则DE＝BE＝DF＝BF，所以四边形EBFD是菱形．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ODE＝∠OBF，
∵点O为对角线BD的中点，
∴OD＝OB，
在△DOE和△BOF中，
，
∴△DOE≌△BOF（ASA）．
（2）解：四边形EBFD是菱形，理由如下：
∵OD＝OB，直线l经过点O且l⊥BD，
∴直线l是线段BD的垂直平分线，
∴DE＝BE，DF＝BF，
∵△DOE≌△BOF，
∴DE＝BF，
∵DE＝BE＝DF＝BF，
∴四边形EBFD是菱形．

【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、菱形的判定等知识，证明∠ODE＝∠OBF及直线l垂直平分线段BD是解题的关键．
20．（9分）我们规定：对于任意实数a、b、c、d有[a，b]*[c，d]＝ac﹣bd，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：[3，2]*[5，1]＝3×5﹣2×1＝13．
（1）求[﹣4，3]*[2，﹣6]的值；
（2）已知关于x的方程[x，2x﹣1]*[mx+1，m]＝0有两个实数根，求m的取值范围．
【分析】（1）用新定义运算法则列式计算；
（1）先根据新定义得到x（mx+1）﹣m（2x﹣1）＝0，再把方程化为一般式，接着根据题意得到Δ＝（1﹣2m）2﹣4m•m≥0且m≠0，解不等式即可．
【解答】解：（1）[﹣4，3]*[2，﹣6]＝﹣4×2﹣3×（﹣6）＝10；
（2）根据题意得x（mx+1）﹣m（2x﹣1）＝0，
整理得mx2+（1﹣2m）x+m＝0，
∵关于x的方程[x，2x﹣1]*[mx+1，m]＝0有两个实数根，
∴Δ＝（1﹣2m）2﹣4m•m≥0且m≠0，
解得m且m≠0．
【点评】本题属于新定义题型，考查一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，根据题意得到关于m的不等式是解题的关键．
21．（9分）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同．
（1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？
（2）该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为W元．
①求W与m的函数关系式，并求出m的取值范围；
②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？
【分析】（1）设每个甲种粽子的进价为x元，则每个乙种粽子的进价为（x+2）元，根据用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同，列出方程，解方程即可，注意验根；
（2）①设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子（200﹣m）个，全部售完获得利润为w元，根据总利润＝甲、乙两种粽子利润之和列出函数解析式；
②根据甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍求出m的取值范围，再根据函数的性质求最值，并求出相应的方案．
【解答】解：（1）设每个甲种粽子的进价为x元，则每个乙种粽子的进价为（x+2）元，
根据题意得：＝，
解得x＝10，
经检验，x＝10是原方程的根，
此时x+2＝12，
答：每个甲种粽子的进价为10元，每个乙种粽子的进价为12元；
（2）①设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子（200﹣m）个，
根据题意得：W＝（12﹣10）m+（15﹣12）（200﹣m）＝2m+600﹣3m＝﹣m+600，
∴W与m的函数关系式为W＝﹣m+600；
②甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，
∴m≥2（200﹣m），
解得m≥，
由①知，W＝﹣m+600，﹣1＜0，m为正整数，
∴当m＝134时，W有最大值，最大值为466，
此时200﹣134＝66，
∴购进甲种粽子134个，乙种粽子66个时利润最大，最大利润为466元．
【点评】本题考查一次函数和分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和分式方程．
22．（9分）某实践探究小组想测得湖边两处的距离，数据勘测组通过勘测，得到了如下记录表：
实践探究活动记录表
活动内容测量湖边A、B两处的距离
成员ㅤㅤ组长：××ㅤㅤ组员：××××××××××××
工具测角仪，皮尺等
测量示意图
​
说明：因为湖边A、B两处的距离无法直接测量，数据勘测组在湖边找了一处位置C，可测量C处到A、B两处的距离，通过测角仪可测得∠A、∠B、∠C的度数．
测量数据
角的度数
∠A＝30°
∠B＝45°
∠C＝105°
边的长度
BC＝40.0米
AC＝56.4米
​数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现不需要勘测组的全部数据就可以计算出A、B之间的距离．于是数据处理组写出了以下过程，请补全内容．
已知：如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，　BC＝40.0米（答案不唯一）　．（从记录表中再选一个条件填入横线）
求：线段AB的长（为减小结果的误差，若有需要，取1.41，取1.73，取2.45进行计算，最后结果保留整数．）

【分析】若选择的条件是：BC＝40.0米，过点C作CD⊥AB，垂足为D，先在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出BD，CD的长，然后在Rt△ADC中，利用含30度角的直角三角形的性质求出AD的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
若选择的条件是：AC＝56.4米，过点C作CD⊥AB，垂足为D，在Rt△ADC中，利用含30度角的直角三角形的性质求出AD和CD的长，然后在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出BD的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：若选择的条件是：BC＝40.0米，
过点C作CD⊥AB，垂足为D，

在Rt△BCD中，∠B＝45°，BC＝40米，
∴BD＝BC•cos45°＝40×＝20（米），
CD＝BC•sin45°＝40×＝20（米），
在Rt△ADC中，∠A＝30°，
∴AD＝CD＝20（米），
∴AB＝AD+BD＝20+20≈77（米），
∴线段AB的长约为77米；
若选择的条件是：AC＝56.4米，

过点C作CD⊥AB，垂足为D，
在Rt△ADC中，∠A＝30°，AC＝56.4米，
∴CD＝AC＝28.2（米），
AD＝CD＝28.2（米），
在Rt△BCD中，∠B＝45°，
∴BD＝＝28.2（米），
∴AB＝AD+BD＝28.2+28.2≈77（米），
∴线段AB的长约为77米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23．（10分）如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A（﹣4，1），B（m，4）两点．（k1，k2，b为常数）
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出不等式k1x+b＞的解集；
（2）P为y轴上一点，若△PAB的面积为3，求P点的坐标．

【分析】（1）将点A（﹣4，1）代入反比例函数的解析式即可求出反比例函数的解析式，再将点B（m，4）代入已求出的反比例函数解析式求出m的值，进而得点B的坐标，然后将点A，B的坐标代入一次函数的解析式即可求出一次函数的解析式；
（2）观察函数的图象，找出一次函数的图象在反比例函数的上方所对应的x的取值范围即可；
（3）过点A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，根据点A，B的坐标可求出四边形ACDB，据此可判断点P在线段CD上，然后根据S△ABC＝S四边形ACDB﹣S△PBD﹣S△PAC即可求出点P的坐标．
【解答】解：（1）将点A（﹣4，1）代入之中，得：k2＝﹣4，
∴反比例函数的解析式为：，
将B（m，4）代入反比例函数之中，得：m＝﹣1，
∴点B的坐标为（﹣1，4），
将点A（﹣4，1），B（﹣1，4）代入y＝k1x+b之中，得：﹣，
解得：，
∴一次函数的解析式为：y＝x+5．
（2）观察函数的图象可知：当﹣4＜x＜﹣1或x＞0时，一次函数的图象均在反比例函数的上方，
∴的解集为：﹣4＜x＜﹣1或x＞0．
（3）过点A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，

∵A（﹣4，1），B（﹣1，4），
∴AC＝4，OC＝1，BD＝1，OD＝4，
∴CD＝OD﹣OC＝4﹣1＝3，
∵AC⊥y轴，BD⊥y轴，
∴四边形ACDB为直角梯形，
∴，
设点P的坐标为（0，t），
∵△PAB的面积为3，
∴有以下两种情况：
①点P在线段CD上，
∴OP＝t，
∴DP＝OD﹣OP＝4﹣t，PC＝OP﹣OC＝t﹣1，
∴，，
∴，
解得：t＝3，
∴此时点P的坐标为（0，3）；
②当P在CD延长线上时，记作P'
DP'＝t﹣4，P'C＝t﹣1，
，，
又∵S△P'AB＝S△P'AC﹣S△P'BD﹣S梯形ACDB，
，
解得：t＝7，
此时点P的坐标为（0，7）．
综上所述：点P的坐标为（0，3）或（0，7）．
【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，待定系数法求函数的解析式等，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的解析式的方法与技巧，难点是解答（3）时，根据相关点的坐标向坐标轴作垂线把不规则图形的面积转化为规则图形面积的和差．
24．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AD＝CD，过点D的直线l交BA的延长线于点M．交BC的延长线于点N且∠ADM＝∠DAC．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）求证：AD2＝AB•CN；
（3）当AB＝6，sin∠DCA＝时，求AM的长．

​

【分析】（1）连接OD交AC于点H，根据垂径定理的推论可得半径OD⊥AC，利用平行线的判定定理由∠ADM＝∠DAC可得AC∥MN，得出半径OD⊥MN，再运用切线的判定定理即可证得结论；
（2）连接BD，可证得△CDN∽△ABD，得出＝，再由AD＝CD，即可证得结论；
（3）连接OD交AC于点H，连接BD，利用解直角三角形可得AD＝AB•sin∠ABD＝6×＝2＝CD，CN＝CD•sin∠CDN＝2×＝2，利用勾股定理可得DN＝＝＝2，再证明四边形CNDH是矩形，得出CH＝DN＝2，由垂径定理可得AC＝2CH＝4，再根据勾股定理求得BC＝2，运用平行线分线段成比例定理即可求得答案．
【解答】（1）证明：连接OD交AC于点H，如图，

∵AD＝CD，
∴＝，
∴半径OD⊥AC，
∴∠AHO＝90°，
∵∠ADM＝∠DAC，
∴AC∥MN，
∴∠MDO＝∠AHO＝90°，
∴半径OD⊥MN，
∴MN是⊙O的切线；
（2）证明：连接BD，如图，

∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
∵∠ADM＝∠DAC，
∴AC∥MN，
∴∠ACD＝∠CDN，∠DNC＝∠ACB＝90°＝∠ADB，
∵＝，
∴∠ABD＝∠ACD，
∴∠ABD＝∠CDN，
∴△CDN∽△ABD，
∴＝，
∵AD＝CD，
∴＝，
∴AD2＝AB•CN；
（3）解：连接OD交AC于点H，连接BD，如图，

由（1）（2）得：∠ABD＝∠CDN＝∠ACD，∠ADB＝∠BNM＝∠AHO＝∠MDO＝90°，
∴sin∠ABD＝sin∠CDN＝sin∠ACD＝，
∵AB＝6，
∴AD＝AB•sin∠ABD＝6×＝2，
∵AD＝CD，
∴CD＝2，
∴CN＝CD•sin∠CDN＝2×＝2，
∴DN＝＝＝2，
∵∠CND＝∠CHD＝∠NDH＝90°，
∴四边形CNDH是矩形，
∴CH＝DN＝2，
∵OD⊥AC，
∴AC＝2CH＝4，
在Rt△ABC中，BC＝＝＝2，
∵AC∥MN，
∴＝，即＝，
∴AM＝6．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的性质，圆周角定理，垂径定理，切线的判定，勾股定理，解直角三角形，矩形的判定和性质，平行线的判定和性质，平行线分线段成比例定理等，难度适中，解题关键是正确添加辅助线．
25．（12分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝x2+bx+c经过点O（0，0），对称轴过点B（2，0），直线l过点C（2，﹣2）且垂直于y轴．过点B的直线l1交抛物线于点M、N，交直线l于点Q，其中点M、Q在抛物线对称轴的左侧．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当BM：MQ＝3：5时，求点N的坐标；
（3）如图2，当点Q恰好在y轴上时，P为直线l1下方的抛物线上一动点，连结PQ、PO，其中PO交l1于点E，设△OQE的面积为S1，△PQE的面积为S2，求的最大值．

【分析】（1）由抛物线的对称性可得抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0），运用待定系数法即可求得抛物线解析式；
（2）过点M作MG⊥直线l于点G，可证△QMG∽△QBC，得出＝＝，即MG＝，得出M（1，﹣），再运用待定系数法可得直线l1的解析式为y＝x﹣，联立方程组即可求得点N的坐标；
（3）当点Q恰好在y轴上时，可得Q（0，﹣2），运用待定系数法可得直线l1的解析式为y＝x﹣2，设P（m，m2﹣m），过点P作PH∥y轴交直线l1于点H，则H（m，m﹣2），可得PH＝m﹣2﹣（m2﹣m）＝﹣m2+2m﹣2，再证明△PEH∽△OEQ，可得＝＝﹣m2+m﹣1，进而可得＝＝＝﹣m2+m﹣1＝﹣（m﹣4）2+1，运用二次函数的性质即可求得答案．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点O（0，0），对称轴过点B（2，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，c＝0，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（4，0），代入y＝x2+bx，得4+4b＝0，
解得：b＝﹣1，
∴该抛物线解析式为y＝x2﹣x；
（2）如图1，过点M作MG⊥直线l于点G，
∵直线l过点C（2，﹣2）且垂直于y轴，
∴∠QGM＝90°，

∵B（2，0），C（2，﹣2），
∴BC＝2，∠QCB＝90°，
∴∠QGM＝∠QCB，
∵∠MQG＝∠BQC，
∴△QMG∽△QBC，
∴＝，
∵BM：MQ＝3：5，
∴＝，
∴＝，
∴MG＝，
∴点M的纵坐标为﹣，
由x2﹣x＝﹣，
解得：x1＝1，x2＝3（舍去），
∴M（1，﹣），
设直线l1的解析式为y＝kx+n，则，
解得：，
∴直线l1的解析式为y＝x﹣，
联立，得，
解得：（舍去），，
∴N（6，3）；
（3）当点Q恰好在y轴上时，Q（0，﹣2），
设直线l1的解析式为y＝k′x+n′，则，
解得：，
∴直线l1的解析式为y＝x﹣2，
设P（m，m2﹣m），过点P作PH∥y轴交直线l1于点H，如图2，
则H（m，m﹣2），

∴PH＝m﹣2﹣（m2﹣m）＝﹣m2+2m﹣2，
∵PH∥OQ，
∴△PEH∽△OEQ，
∴＝＝＝﹣m2+m﹣1，
∴＝＝＝﹣m2+m﹣1＝﹣（m﹣4）2+1，
∵﹣＜0，
∴当m＝4时，取得最大值，最大值为1．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数和二次函数的图象和性质，求一次函数和二次函数图象的交点，相似三角形的判定和性质，三角形面积等，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．
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