2023年四川省宜宾市中考数学试卷（含答案解析）

这是一份2023年四川省宜宾市中考数学试卷（含答案解析），共37页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年四川省宜宾市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡对应题目上．
1．（4分）2的相反数是（　　）
A．﹣2 B． C．2 D．
2．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．4a﹣2a＝2 B．2ab+3ba＝5ab
C．a+a2＝a3 D．5x2y﹣3xy2＝2xy
3．（4分）下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（4分）为积极践行节能减排的发展理念，宜宾大力推进“电动宜宾”工程，2022年城区已建成充电基础设施接口超过8500个．将8500用科学记数法表示为（　　）
A．0.85×104 B．85×102 C．8.5×103 D．8.5×104
5．（4分）如图，AB∥CD，且∠A＝40°，∠D＝24°，则∠E等于（　　）

A．40° B．32° C．24° D．16°
6．（4分）“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”是《孙子算经》卷中著名数学问题．意思是：鸡兔同笼，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿．问鸡兔各有多少只？若设鸡有x只，兔有y只，则所列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（4分）如图，已知点A，B，C在⊙O上，C为的中点．若∠BAC＝35°，则∠AOB等于（　　）

A．140° B．120° C．110° D．70°
8．（4分）分式方程＝的解为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（4分）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、OA为半径的圆弧，N是AB的中点．MN⊥AB．“会圆术”给出的弧长l的近似值计算公式：l＝AB+．当OA＝4，∠AOB＝60°时，则l的值为（　　）

A．11﹣2 B．11﹣4 C．8﹣2 D．8﹣4
10．（4分）如图，边长为6的正方形ABCD中，M为对角线BD上的一点，连接AM并延长交CD于点P，若PM＝PC，则AM的长为（　　）

A．3（﹣1） B．3（3﹣2） C．6（﹣1） D．6（3﹣2）
11．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在y、x轴上，BC⊥x轴，点M、N分别在线段BC、AC上，BM＝CM，NC＝2AN，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过M、N两点，P为x轴正半轴上一点，且OP：BP＝1：4，△APN的面积为3，则k的值为（　　）

A． B． C． D．
12．（4分）如图，△ABC和△ADE是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把△ADE以A为中心顺时针旋转，点M为射线BD、CE的交点．若AB＝，AD＝1．以下结论：①BD＝CE；②BD⊥CE；③当点E在BA的延长线上时，MC＝；④在旋转过程中，当线段MB最短时，△MBC的面积为．其中正确结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分，请把答案直接填在答题卡对应题中横线上.
13．（4分）在“庆五四•展风采”的演讲比赛中，7位同学参加决赛，演讲成绩依次为：77，80，79，77，80，79，80．这组数据的中位数是 　 　．
14．（4分）分解因式：x3﹣6x2+9x＝　 　．
15．（4分）若关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m+4＝0两根的倒数和为1，则m的值为 　 　．
16．（4分）若关于x的不等式组所有整数解的和为14，则整数a的值为 　 　．
17．（4分）如图，M是正方形ABCD边CD的中点，P是正方形内一点，连接BP，线段BP以B为中心逆时针旋转90°得到线段BQ，连接MQ．若AB＝4，MP＝1，则MQ的最小值为 　 　．

18．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），顶点为M（﹣1，m），且抛物线与y轴的交点B在（0，﹣2）与（0，﹣3）之间（不含端点），则下列结论：①当﹣3≤x≤1时，y≤0；②当△ABM的面积为时，a＝；③当△ABM为直角三角形时，在△AOB内存在唯一一点P，使得PA+PO+PB的值最小，最小值的平方为18+9．其中正确的结论是 　 　．（填写所有正确结论的序号）

三、解答题：本大题共7个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（10分）（1）计算：2tan45°+（﹣）0+|﹣1|．
（2）化简：（﹣）÷．
20．（10分）已知：如图，AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC．求证：∠B＝∠E．

21．（10分）某校举办“我劳动，我快乐，我光荣”活动．为了解该校九年级学生周末在家的劳动情况，随机调查了九年级1班的所有学生在家劳动时间（单位：小时），并进行了统计和整理，绘制如图所示的不完整统计图．根据图表信息回答以下问题：
类别
劳动时间x
A
0≤x＜1
B
1≤x＜2
C
2≤x＜3
D
3≤x＜4
E
4≤x

（1）九年级1班的学生共有 　 　人，补全条形统计图；
（2）若九年级学生共有800人，请估计周末在家劳动时间在3小时及以上的学生人数；
（3）已知E类学生中恰好有2名女生3名男生，现从中抽取两名学生做劳动交流，请用列表或画树状图的方法，求所抽的两名学生恰好是一男一女的概率．
22．（10分）渝昆高速铁路的建成，将会显著提升宜宾的交通地位．渝昆高速铁路宜宾临港长江公铁两用大桥（如图1），桥面采用国内首创的公铁平层设计．为测量左桥墩底到桥面的距离CD，如图2．在桥面上点A处，测得A到左桥墩D的距离AD＝200米，左桥墩所在塔顶B的仰角∠BAD＝45°，左桥墩底C的俯角∠CAD＝15°，求CD的长度．（结果精确到1米．参考数据：≈1.4，≈1.73）

23．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形ABC的直角顶点C（3，0），顶点A、B（6，m）恰好落在反比例函数y＝第一象限的图象上．
（1）分别求反比例函数的表达式和直线AB所对应的一次函数的表达式；
（2）在x轴上是否存在一点P，使△ABP周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

24．（12分）如图，以AB为直径的⊙O上有两点E、F，＝，过点E作直线CD⊥AF交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C，过C作CM平分∠ACD交AE于点M，交BE于点N．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：EM＝EN；
（3）如果N是CM的中点，且AB＝9，求EN的长．

25．（14分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣4，0）、B（2，0），且经过点C（﹣2，6）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在x轴上方的抛物线上任取一点N，射线AN、BN分别与抛物线的对称轴交于点P、Q，点Q关于x轴的对称点为Q′，求△APQ′的面积；
（3）点M是y轴上一动点，当∠AMC最大时，求M的坐标．


2023年四川省宜宾市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡对应题目上．
1．（4分）2的相反数是（　　）
A．﹣2 B． C．2 D．
【分析】根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：2的相反数是﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．4a﹣2a＝2 B．2ab+3ba＝5ab
C．a+a2＝a3 D．5x2y﹣3xy2＝2xy
【分析】根据合并同类项的运算法则将各项计算后进行判断即可．
【解答】解：A．4a﹣2a＝（4﹣2）a＝2a，则A不符合题意；
B．2ab+3ba＝（2+3）ab＝5ab，则B符合题意；
C．a与a2不是同类项，无法合并，则C不符合题意；
D．5x2y与3xy2不是同类项，无法合并，则D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查合并同类项，其运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
3．（4分）下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．
【解答】解：A、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、该图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
4．（4分）为积极践行节能减排的发展理念，宜宾大力推进“电动宜宾”工程，2022年城区已建成充电基础设施接口超过8500个．将8500用科学记数法表示为（　　）
A．0.85×104 B．85×102 C．8.5×103 D．8.5×104
【分析】将一个数表示为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
【解答】解：8500＝8.5×103，
故选：C．
【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
5．（4分）如图，AB∥CD，且∠A＝40°，∠D＝24°，则∠E等于（　　）

A．40° B．32° C．24° D．16°
【分析】由AB∥CD，得∠ACD＝∠A＝40°，而∠D＝24°，故∠E＝16°．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ACD＝∠A＝40°，
∵∠ACD＝∠D+∠E，∠D＝24°，
∴40°＝24°+∠E，
∴∠E＝16°，
故选：D．
【点评】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握平行线性质和三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
6．（4分）“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”是《孙子算经》卷中著名数学问题．意思是：鸡兔同笼，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿．问鸡兔各有多少只？若设鸡有x只，兔有y只，则所列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据鸡有两条腿，兔子有四条腿，共有35个头，94条腿，列出二元一次方程组即可．
【解答】解：由题意得：，
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
7．（4分）如图，已知点A，B，C在⊙O上，C为的中点．若∠BAC＝35°，则∠AOB等于（　　）

A．140° B．120° C．110° D．70°
【分析】连接OC，由∠BAC＝35°，得∠BOC＝2∠BAC＝70°，又C为的中点．故∠AOC＝∠BOC＝70°，即知∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝140°．
【解答】解：连接OC，如图：

∵∠BAC＝35°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝70°，
∵C为的中点．
∴＝，
∴∠AOC＝∠BOC＝70°，
∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝140°，
故选：A．
【点评】本题考查圆的性质及应用，解题的关键是掌握圆周角定理和圆心角，弧的关系．
8．（4分）分式方程＝的解为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】先去分母化为整式方程，解出x的值，再检验即可．
【解答】解：两边同时乘以（x﹣3）得：x﹣2＝2，
解得x＝4，
把x＝4代入最简公分母得：
x﹣3＝4﹣3＝1≠0，
∴x＝4是原方程的解，
故选：C．
【点评】本题考查解分式方程，解题的关键是掌握将分式方程化为整式方程的方法，注意要检验．
9．（4分）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、OA为半径的圆弧，N是AB的中点．MN⊥AB．“会圆术”给出的弧长l的近似值计算公式：l＝AB+．当OA＝4，∠AOB＝60°时，则l的值为（　　）

A．11﹣2 B．11﹣4 C．8﹣2 D．8﹣4
【分析】连接ON，根据是以O为圆心，OA为半径的圆弧，N是AB的中点，MN⊥AB，知ON⊥AB，M，N，O共线，由OA＝4，∠AOB＝60°，知△AOB是等边三角形，得ON＝OA•sin60°＝2，即得MN＝OM﹣ON＝4﹣2，故l＝AB+＝4+＝11﹣4．
【解答】解：连接ON，如图：

∵是以O为圆心，OA为半径的圆弧，N是AB的中点，MN⊥AB，
∴ON⊥AB，
∴M，N，O共线，
∵OA＝4，∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝AB＝4，∠OAN＝60°，
∴ON＝OA•sin60°＝2，
∴MN＝OM﹣ON＝4﹣2，
∴l＝AB+＝4+＝11﹣4；
故选：B．
【点评】本题考查弧长的计算，解题的关键是读懂题意，作出辅助线求ON的长度．
10．（4分）如图，边长为6的正方形ABCD中，M为对角线BD上的一点，连接AM并延长交CD于点P，若PM＝PC，则AM的长为（　　）

A．3（﹣1） B．3（3﹣2） C．6（﹣1） D．6（3﹣2）
【分析】以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，由正方形ABCD边长为6，可知A（0，6），D（6，6），C（6，0），直线BD解析式为y＝x，设M（m，m），可得直线AM解析式为y＝x+6，即得P（6，），由PM＝PC，有（m﹣6）2+（m﹣）2＝（）2，解得m＝9+3（不符合题意，舍去）或m＝9﹣3，故M（9﹣3，9﹣3），从而求出AM＝6（﹣1）．
【解答】解：以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，如图：

∵正方形ABCD边长为6，
∴A（0，6），D（6，6），C（6，0），
由B（0，0），D（6，6）可得直线BD解析式为y＝x，
设M（m，m），
由A（0，6），M（m，m）得直线AM解析式为y＝x+6，
在y＝x+6中，令x＝6得y＝，
∴P（6，），
∵PM＝PC，
∴（m﹣6）2+（m﹣）2＝（）2，
∴m2﹣12m+36+m2﹣2（12m﹣36）+（）2＝（）2，
整理得m2﹣18m+54＝0，
解得m＝9+3（不符合题意，舍去）或m＝9﹣3，
∴M（9﹣3，9﹣3），
∴AM＝＝6（﹣1），
故选：C．
方法2：
∵PM＝PC，
∴∠PMC＝∠PCM，
∴∠DPA＝∠PMC+∠PCM＝2∠PCM＝2∠PAD，
∵∠DPA+∠PAD＝90°，
∴∠APD＝60°，∠PAD＝30°，
∴PD＝＝2，∠CPM＝120°，
∴CP＝CD﹣PD＝6﹣2，
在△PCM中，∠CPM＝120°，PM＝PC，
∴CM＝CP＝6﹣6，
由正方形对称性知AM＝CM＝6（﹣1），
故选：C．
【点评】本题考查正方形性质及应用，解题的关键是建立直角坐标系，求出M的坐标．
11．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在y、x轴上，BC⊥x轴，点M、N分别在线段BC、AC上，BM＝CM，NC＝2AN，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过M、N两点，P为x轴正半轴上一点，且OP：BP＝1：4，△APN的面积为3，则k的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】过点N作NQ⊥x轴于点Q，过C作CT⊥y轴交y轴于T，交NQ于K，设OA＝a，OP＝b，BM＝c，N（m，n），由OP：BP＝1：4，BM＝CM，得A（0，a），B（5b，0），M（5b，c），C（5b，2c），又△NKC∽△ATC，NC＝2AN，可得CK＝2TK，NK＝AT，即，得，故，根据△APN的面积为3，有，得2ab+bc＝9，将点M（5b，c）， 代入，整理得：2a＝7c，代入2ab+bc＝9得，从而 ．
【解答】解：如图，过点N作NQ⊥x轴于点Q，过C作CT⊥y轴交y轴于T，交NQ于K，

设OA＝a，OP＝b，BM＝c，N（m，n），
∵OP：BP＝1：4，BM＝CM，
∴A（0，a），B（5b，0），M（5b，c），C（5b，2c），
∵∠NCK＝∠ACT，∠NKC＝90°＝∠ATC，
∴△NKC∽△ATC，
∴＝＝，
∵NC＝2AN，
∴CK＝2TK，NK＝AT，
∴，
解得，
∴，
∴，，
∴，
∵△APN的面积为3，
∴S梯形OANQ﹣S△AOP﹣S△NPQ＝3，
∴，
∴2ab+bc＝9，
将点M（5b，c）， 代入得：
，
整理得：2a＝7c，
将2a＝7c代入2ab+bc＝9得：7bc+bc＝9，
∴，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数的图象上点坐标的特征，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
12．（4分）如图，△ABC和△ADE是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把△ADE以A为中心顺时针旋转，点M为射线BD、CE的交点．若AB＝，AD＝1．以下结论：①BD＝CE；②BD⊥CE；③当点E在BA的延长线上时，MC＝；④在旋转过程中，当线段MB最短时，△MBC的面积为．其中正确结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】证明△BAD≌△CAE可判断①，由三角形的外角的性质可判断②，证明∠DCM∽∠ECA，有 ，即可判断③；以A为圆心，AD为半径画圆，当CE在⊙A的下方与⊙A相切时，MB的值最小，可得四边形AEMD是正方形，在Rt△MBC中，，然后根据三角形的面积公式可判断④．
【解答】解：∵△ABC和△ADE是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，
∴BA＝CA，DA＝EA，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，故①正确；
设∠ABD＝∠ACE＝x，∠DBC＝45°﹣x，
∴∠EMB＝∠DBC+∠BCM＝∠DBC+∠BCA+∠ACE＝45°﹣x+45°+x＝90°，
∴BD⊥CE，故②正确；
当点E在BA的延长线上时，如图：

同理可得∠DMC＝90°，
∴∠DMC＝∠EAC，
∵∠DCM＝∠ECA，
∴∠DCM∽△ECA
∴，
∵＝AC，AD＝1＝AE，
∴，，
∴，
∴，故③正确；
④以A为圆心，AD为半径画圆，如图：

∵∠BMC＝90°，
∴当CE在⊙A的下方与⊙A相切时，MB的值最小，
∴∠ADM＝∠DME＝∠AEM＝90°，
∵AE＝AD，
∴四边形AEMD是正方形，
∴MD＝AE＝1，
∵BD＝＝＝，
∴CE＝BD＝，BM＝BD﹣MD＝﹣1，
∴MC＝CE+ME＝+1，
∵BC＝AB＝，
∴MB＝＝＝+1，
∴△MBC的面积为×（+1）×（﹣1）＝，故④正确，
故选：D．
【点评】本题考查等腰直角三角形的旋转问题，涉及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，最短路径等知识，解题的关键是掌握旋转的性质．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分，请把答案直接填在答题卡对应题中横线上.
13．（4分）在“庆五四•展风采”的演讲比赛中，7位同学参加决赛，演讲成绩依次为：77，80，79，77，80，79，80．这组数据的中位数是 　79　．
【分析】将已知数据按照从小到大排列，再找中间的数即可．
【解答】解：将这组数据从小到大排列为：77，77，79，79，80，80，80，位置在中间的数是79，
∴这组数据的中位数是79；
故答案为：79．
【点评】本题考查中位数，解题的关键是将已知数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列后找中间的数．
14．（4分）分解因式：x3﹣6x2+9x＝　x（x﹣3）2　．
【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：x3﹣6x2+9x，
＝x（x2﹣6x+9），
＝x（x﹣3）2．
故答案为：x（x﹣3）2．
【点评】本题考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，关键在于需要进行二次分解因式．
15．（4分）若关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m+4＝0两根的倒数和为1，则m的值为 　2　．
【分析】设关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m+4＝0两根为α，β，可得α+β＝2（m+1），αβ＝m+4，根据两根的倒数和为1，有＝1，即＝1，得m＝2，再检验可得答案．
【解答】解：设关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m+4＝0两根为α，β，
∴α+β＝2（m+1），αβ＝m+4，
∵两根的倒数和为1，
∴+＝1，
∴＝1，
∴＝1，
解得m＝2，
经检验，m＝2是分式方程的解，
当m＝2时，原方程为x2﹣6x+6＝0，
Δ＝12＞0，
∴m＝2符合题意，
故答案为：2．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系，注意最后需要检验原方程是否有实数根．
16．（4分）若关于x的不等式组所有整数解的和为14，则整数a的值为 　2或﹣1　．
【分析】求出a﹣1＜x≤5，根据所有整数解的和为14，列出关于a的不等式组，解得a的范围，即可求得答案．
【解答】解：，
解不等式①得：x＞a﹣1，
解不等式②得：x≤5，
∴a﹣1＜x≤5，
∵所有整数解的和为14，
∴不等式组的整数解为5，4，3，2或5，4，3，2，1，0，﹣1，
∴1≤a﹣1＜2或﹣2≤a﹣1＜﹣1，
∴2≤a＜3或﹣1≤a＜0，
∵a为整数，
∴a＝2或a＝﹣1，
故答案为：2或﹣1．
【点评】本题考查不等式组的整数解，解题的关键是根据题意列出关于a的不等式组．
17．（4分）如图，M是正方形ABCD边CD的中点，P是正方形内一点，连接BP，线段BP以B为中心逆时针旋转90°得到线段BQ，连接MQ．若AB＝4，MP＝1，则MQ的最小值为 　2﹣1　．

【分析】连接BM，将△BCM绕B逆时针旋转90°得△BEF，连接MF，QF，证明△BPM≌△BBQF（SAS），得MP＝QF＝1，故Q的运动轨迹是以F为圆心，1为半径的弧，求出BM＝＝2，可得MF＝BM＝2，由MQ≥MF﹣QF，知MQ≥2﹣1，从而可得MQ的最小值为2﹣1．
【解答】解：连接BM，将△BCM绕B逆时针旋转90°得△BEF，连接MF，QF，如图：

∵∠CBE＝90°，∠ABC＝90°，
∴∠ABC+∠CBE＝180°，
∴A，B，E共线，
∵∠PBM＝∠PBQ﹣∠MBQ＝90°﹣∠MBQ＝∠FBQ，
由旋转性质得PB＝QB，MB＝FB，
∴△BPM≌△BBQF（SAS），
∴MP＝QF＝1，
∴Q的运动轨迹是以F为圆心，1为半径的弧，
∵BC＝AB＝4，CM＝CD＝2，
∴BM＝＝2，
∵∠MBF＝90°，BM＝BF，
∴MF＝BM＝2，
∵MQ≥MF﹣QF，
∴MQ≥2﹣1，
∴MQ的最小值为2﹣1．
故答案为：2﹣1．
【点评】本题考查正方形中的旋转问题，解题的关键是掌握性质的性质，正确作出辅助线构造全等三角形解决问题．
18．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），顶点为M（﹣1，m），且抛物线与y轴的交点B在（0，﹣2）与（0，﹣3）之间（不含端点），则下列结论：①当﹣3≤x≤1时，y≤0；②当△ABM的面积为时，a＝；③当△ABM为直角三角形时，在△AOB内存在唯一一点P，使得PA+PO+PB的值最小，最小值的平方为18+9．其中正确的结论是 　①②　．（填写所有正确结论的序号）

【分析】①根据抛物线的对称性可得：抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0），再结合抛物线的性质可判断结论①；
②将（﹣3，0），（1，0）代入y＝ax2+bx+c，可得b＝2a，c＝﹣3a，得出y＝ax2+2ax﹣3a＝a（x+1）2﹣4a，抛物线的顶点为M（﹣1，﹣4a），设抛物线对称轴交x轴于H，利用S△ABM＝S△AMH+S梯形BMHO﹣S△AOB，建立方程求解即可判断②；
③根据△ABM为直角三角形，利用勾股定理求得a＝，将△BPA绕点B逆时针旋转60°得到△BP′A′，连接PP′，过点A′作A′T⊥x轴于点T，作A′Q⊥y轴于点Q，可得△BPP′和△ABA′是等边三角形，即AA′＝A′B＝AB＝，由于PA+PO+PB＝P′A′+PO+PP′，可得当点O，点P，点P′，点A′共线时，PA+PO+PB值最小，最小值为OA′，设A′（m，n），列方程组，求解即可求得m、n，再利用OA′2＝m2+n2，即可判断③．
【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），顶点为M（﹣1，m），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0），
∵抛物线的开口向上，
∴当﹣3≤x≤1时，y≤0；故①正确．
②将（﹣3，0），（1，0）代入y＝ax2+bx+c，得，
解得：，
∴y＝ax2+2ax﹣3a＝a（x+1）2﹣4a，
∴抛物线的顶点为M（﹣1，﹣4a），
设抛物线对称轴交x轴于H，如图，

则H（﹣1，0），
∴AH＝﹣1﹣（﹣3）＝2，MH＝4a，OH＝1，
∵B（0，﹣3a），
∴OB＝3a，
∴S△ABM＝S△AMH+S梯形BMHO﹣S△AOB＝•AH•MH+•（MH+OB）•OH﹣OA•OB＝×2×4a+×（4a+3a）×1﹣×3×3a＝3a，
∵S△ABM＝，
∴3a＝，
∴a＝；故②正确．
③∵A（﹣3，0），B（0，﹣3a），M（﹣1，﹣4a），
∴AB2＝OA2+OB2＝32+（3a）2＝9+9a2，AM2＝AH2+MH2＝4+16a2，BM2＝1+a2，
若∠AMB＝90°，则AM2+BM2＝AB2，
即4+16a2+1+a2＝9+9a2，
解得：a＝，或a＝﹣（舍去）；
若∠ABM＝90°，则AB2+BM2＝AM2，
即9+9a2+1+a2＝4+16a2，
解得：a＝1，或a＝﹣1（舍去）；
若∠BAM＝90°，则AB2+AM2＝BM2，
即9+9a2+4+16a2＝1+a2，
整理得：a2＝﹣（无解）；
∵点B在（0，﹣2）与（0，﹣3）之间（不含端点），
∴﹣3＜﹣3a＜﹣2，
∴＜a＜1，
∴a＝，
∴OB＝，AB2＝，
如图，将△BPA绕点B逆时针旋转60°得到△BP′A′，连接PP′，过点A′作A′T⊥x轴于点T，作A′Q⊥y轴于点Q，

∴BP＝BP′，PA＝P′A′，∠PBP′＝∠ABA′＝60°，
∴△BPP′和△ABA′是等边三角形，
∴BP＝PP′，AA′＝A′B＝AB＝，
∴PA+PO+PB＝P′A′+PO+PP′，
∴当点O，点P，点P′，点A′共线时，PA+PO+PB值最小，最小值为OA′，
此时∠APB＝∠APO＝∠BPO＝120°，
设A′（m，n），
则A′T＝﹣n，AT＝﹣3﹣m，A′Q＝﹣m，BQ＝﹣n﹣，
在Rt△AA′T中，AT2+A′T2＝AA′2，
在Rt△BA′Q中，BQ2+A′Q2＝A′B2，
即，
解得：，
∴OA′2＝m2+n2＝（）2+（）2＝，
故③错误；
故答案为：①②．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法，三角形面积，勾股定理，旋转变换的应用，等边三角形的判定和性质等，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
三、解答题：本大题共7个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（10分）（1）计算：2tan45°+（﹣）0+|﹣1|．
（2）化简：（﹣）÷．
【分析】（1）先把特殊角三角函数值代入，计算零指数幂，去绝对值，再合并即可；
（2）通分先算括号内的，把除化为乘，再将分子，分母分解因式约分即可．
【解答】解：（1）原式＝2×1+1+﹣1
＝2+1+﹣1
＝2+；
（2）原式＝•
＝•
＝．
【点评】本题考查实数的运算和分式的混合运算，解题的关键是掌握实数相关运算的法则和分式的基本性质．
20．（10分）已知：如图，AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC．求证：∠B＝∠E．

【分析】由AF＝DC，得AC＝DF，由AB∥DE，得∠A＝∠D，即可证△ABC≌△DEF（SAS），故∠B＝∠E．
【解答】证明：∵AF＝DC，
∴AF+CF＝DC+CF，即AC＝DF，
∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠B＝∠E．
【点评】本题考查三角形全等的判定与性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定定理．
21．（10分）某校举办“我劳动，我快乐，我光荣”活动．为了解该校九年级学生周末在家的劳动情况，随机调查了九年级1班的所有学生在家劳动时间（单位：小时），并进行了统计和整理，绘制如图所示的不完整统计图．根据图表信息回答以下问题：
类别
劳动时间x
A
0≤x＜1
B
1≤x＜2
C
2≤x＜3
D
3≤x＜4
E
4≤x

（1）九年级1班的学生共有 　50　人，补全条形统计图；
（2）若九年级学生共有800人，请估计周末在家劳动时间在3小时及以上的学生人数；
（3）已知E类学生中恰好有2名女生3名男生，现从中抽取两名学生做劳动交流，请用列表或画树状图的方法，求所抽的两名学生恰好是一男一女的概率．
【分析】（1）由C的人数及对应的百分数可得九年级1班的学生共有50人；求出B的人数为14人，D的人数为8人，再补全条形统计图；
（2）用样本估计总体的方法可得答案；
（3）列树状图用概率公式可得答案．
【解答】解：（1）∵15÷30%＝50（人），
∴九年级1班的学生共有50人；
∴B的人数为50×28%＝14（人），
∴D的人数为50﹣8﹣14﹣15﹣5＝8（人），
补全条形统计图如下：

故答案为：50；
（2）∵800×＝208（人），
∴估计周末在家劳动时间在3小时及以上的学生人数为208人；
（3）列树状图如下：

由图可知，一共有20中等可能的情况，其中恰为一男一女的情况有12种，
∴所抽的两名学生恰好是一男一女的概率是P＝＝．
【点评】本题考查条形统计图，扇形统计图，解题的关键是从图中获取有用的信息和列树状图求求概率．
22．（10分）渝昆高速铁路的建成，将会显著提升宜宾的交通地位．渝昆高速铁路宜宾临港长江公铁两用大桥（如图1），桥面采用国内首创的公铁平层设计．为测量左桥墩底到桥面的距离CD，如图2．在桥面上点A处，测得A到左桥墩D的距离AD＝200米，左桥墩所在塔顶B的仰角∠BAD＝45°，左桥墩底C的俯角∠CAD＝15°，求CD的长度．（结果精确到1米．参考数据：≈1.4，≈1.73）

【分析】过C作CE⊥AB于E，由∠BAD＝45°，知△ABD是等腰直角三角形，可得∠ABD＝45°，AD＝BD＝200，AB＝200（米），故△BCE是等腰直角三角形，∠BCE＝∠EBC＝45°，BE＝CE，求出∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝30°，设AE＝x米，可得CE＝AE＝x米，BE＝AB﹣AE＝（200﹣x）米，有x＝200﹣x，得x＝100﹣100，再求出CE＝x＝300﹣100，BC＝CE＝（600﹣200）米，即可得CD的长度约为54米．
【解答】解：过C作CE⊥AB于E，如图：

∵∠BAD＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABD＝45°，AD＝BD＝200，AB＝200（米），
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴∠BCE＝∠EBC＝45°，BE＝CE，
∵∠ACB＝90°﹣∠DAC＝75°，
∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝30°，
设AE＝x米，则AC＝2x米，
∴CE＝AE＝x米，BE＝AB﹣AE＝（200﹣x）米，
∴x＝200﹣x，
解得x＝100﹣100，
∴CE＝x＝300﹣100，
∴BC＝CE＝（600﹣200）米，
∴CD＝BC﹣BD＝400﹣200≈54（米），
∴CD的长度约为54米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握含特殊角的直角三角形三边的关系．
23．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形ABC的直角顶点C（3，0），顶点A、B（6，m）恰好落在反比例函数y＝第一象限的图象上．
（1）分别求反比例函数的表达式和直线AB所对应的一次函数的表达式；
（2）在x轴上是否存在一点P，使△ABP周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）过A作AT⊥x轴于T，过B作BK⊥x轴于K，证明△ATC≌△CKB（AAS），由C（3，0），B（6，m），可得A（3﹣m，3），即有k＝3（3﹣m）＝6m，解得m＝1，k＝6，故反比例函数的表达式为y＝，A（2，3），B（6，1），再用待定系数法可得直线AB所对应的一次函数的表达式为y＝﹣x+4；（2）作A（2，3）关于x轴的对称点A'（2，﹣3），连接A'B交x轴于P，由A（2，3），B（6，1），得AB＝2，故当AP+BP最小时，△ABP周长最小，由A'（2，﹣3），B（6，1），得A'B＝＝4，从而可知△ABP周长的最小值为4+2．
【解答】解：（1）过A作AT⊥x轴于T，过B作BK⊥x轴于K，如图：

∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠ACT＝90°﹣∠BCK＝∠CBK，
∵∠ATC＝90°＝∠CKB，
∴△ATC≌△CKB（AAS），
∴AT＝CK，CT＝BK，
∵C（3，0），B（6，m），
∴AT＝CK＝6﹣3＝3，CT＝BK＝m，
∴OT＝3﹣m，
∴A（3﹣m，3），
∵A（3﹣m，3），B（6，m）恰好落在反比例函数y＝第一象限的图象上，
∴k＝3（3﹣m）＝6m，
∴m＝1，k＝6，
∴反比例函数的表达式为y＝，A（2，3），B（6，1），
设直线AB所对应的一次函数的表达式为y＝k'x+b，把A（2，3），B（6，1）代入得：
，
解得，
∴直线AB所对应的一次函数的表达式为y＝﹣x+4；
（2）在x轴上存在一点P，使△ABP周长的值最小，理由如下：
作A（2，3）关于x轴的对称点A'（2，﹣3），连接A'B交x轴于P，如图：

∵A（2，3），B（6，1），
∴AB＝＝2，
∴当AP+BP最小时，△ABP周长最小，
∵A，A'关于x轴对称，
∴AP＝A'P，
∴当A'，P，B共线时，AP+BP最小，△ABP周长也最小，
∵A'（2，﹣3），B（6，1），
∴A'B＝＝4，
∴AP+BP＝A'P+BP＝A'B＝4，
∴△ABP周长的最小值为4+2．
【点评】本题考查反比例函数，一次函数的交点问题，涉及等腰直角三角形性质及应用，解题的关键是证明△ATC≌△CKB，从而求出m的值．
24．（12分）如图，以AB为直径的⊙O上有两点E、F，＝，过点E作直线CD⊥AF交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C，过C作CM平分∠ACD交AE于点M，交BE于点N．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：EM＝EN；
（3）如果N是CM的中点，且AB＝9，求EN的长．

【分析】（1）连接OE，由＝，得∠FAE＝∠EAB，可得∠FAE＝∠AEO，AF∥OE，又CD⊥AF，故OE⊥CD，CD是⊙O的切线；
（2）由∠CEB＝∠EAC（弦切角定理），∠ECM＝∠ACM，可得∠ENM＝∠EMN，EM＝EN；
（3）证明△EMC∽△BNC，可得＝＝＝2，又△BEC∽△EAC，可得AE＝2BE，在Rt△ABE中，（2BE）2+BE2＝（9）2，求出BE＝9，故EN＝BE＝6．
【解答】（1）证明：连接OE，如图：

∵＝，
∴∠FAE＝∠EAB，
∵OA＝OE，
∴∠AEO＝∠EAB，
∴∠FAE＝∠AEO，
∴AF∥OE，
∵CD⊥AF，
∴OE⊥CD，
∵OE是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）证明：如图：

由（1）知CD是⊙O的切线，
∴∠CEB＝∠EAC（弦切角定理），
∵CM平分∠ACD，
∴∠ECM＝∠ACM，
∴∠CEB+∠ECM＝∠EAC+∠ACM，
∴∠ENM＝∠EMN，
∴EM＝EN；
（3）解：如图：

由（2）知EM＝EN，∠EMN＝∠ENM，
∴∠EMN＝∠BNC，
∵∠ECM＝∠BCN，
∴△EMC∽△BNC，
∴＝＝，
∵N是CM的中点，
∴＝＝＝2，
∴EM＝2BN，CE＝2BC，
∵∠BEC＝∠EAB，∠BCE＝∠ECA，
∴△BEC∽△EAC，
∴＝＝＝，
∴AE＝2BE，
在Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2，
∴（2BE）2+BE2＝（9）2，
∴BE＝9，
∵EN＝EM＝2BN，
∴EN＝BE＝6．
∴EN的长为6．
【点评】本题考查切线的判定与性质，圆的性质及应用，涉及三角形相似的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．
25．（14分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣4，0）、B（2，0），且经过点C（﹣2，6）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在x轴上方的抛物线上任取一点N，射线AN、BN分别与抛物线的对称轴交于点P、Q，点Q关于x轴的对称点为Q′，求△APQ′的面积；
（3）点M是y轴上一动点，当∠AMC最大时，求M的坐标．

【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣x+6；（2）设抛物线的对称轴交x轴于K，求出抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣1，知K（﹣1，0），AK＝3，设N（t，﹣t2﹣t+6），可得AN的函数表达式为y＝（﹣t+）x﹣3t+6，即得P（﹣1，﹣t+），同理可得Q（﹣1，t+9），可得Q'坐标为（﹣1，﹣t﹣9），PQ'＝﹣t+﹣（﹣t﹣9）＝，从而可求出△APQ′的面积为；
（3）当以AC为弦的⊙T与y轴相切时，切点即为使∠AMC最大的点M，设T（p，q），由AT＝CT，A（﹣4，0），C（﹣2，6），得（p+4）2+q2＝（p+2）2+（q﹣6）2，有q＝﹣p+2，故T（p，﹣p+2），又TM＝AT，得p2＝（p+4）2+（﹣p+2）2，即可解得p＝﹣30+12或p＝﹣30﹣12（不符合题意，舍去），从而M（0，12﹣4）．
【解答】解：（1）把A（﹣4，0）、B（2，0），C（﹣2，6）代入y＝ax2+bx+c得：
，
解得，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣x+6；
（2）设抛物线的对称轴交x轴于K，如图：

∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣4，0）、B（2，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣1，
∴K（﹣1，0），
∴AK＝3，
设N（t，﹣t2﹣t+6），
设AN的函数表达式为y＝kx+n，把A（﹣4，0），N（t，﹣t2﹣t+6）代入得：
，
解得，
∴AN的函数表达式为y＝（﹣t+）x﹣3t+6，
在y＝（﹣t+）x﹣3t+6中，令x＝﹣1得y＝﹣t+，
∴P（﹣1，﹣t+），
同理可得Q（﹣1，t+9），
∴Q关于x轴的对称点Q'坐标为（﹣1，﹣t﹣9），
∴PQ'＝﹣t+﹣（﹣t﹣9）＝，
∴S△APQ'＝××3＝；
∴△APQ′的面积为；
（3）当△ACM的外接圆与y轴相切时，切点即为使∠AMC最大的点M，如图：

∴TM⊥y轴，
设T（p，q），则TM＝﹣p，
∵AT＝CT，A（﹣4，0），C（﹣2，6），
∴（p+4）2+q2＝（p+2）2+（q﹣6）2，
∴q＝﹣p+2，
∴T（p，﹣p+2），
∵TM＝AT，
∴p2＝（p+4）2+（﹣p+2）2，
解得p＝﹣30+12或p＝﹣30﹣12（不符合题意，舍去），
∴﹣p+2＝﹣（﹣30+12）+2＝12﹣4，
∴M（0，12﹣4）．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，对称变换等知识，解题的关键是找到使∠AMC最大时的点M．
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