人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示教学设计

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示教学设计，共6页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程，板书设计等内容，欢迎下载使用。

第一章 空间向量与立体几何
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
1.3.1 空间直角坐标系
教学设计
一、教学目标
1. 了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置；
2. 掌握利用坐标表示空间直角坐标系中点的方法.
二、教学重难点
1. 教学重点
空间直角坐标系的建立，空间直角坐标系中点的坐标表示.
2. 教学难点
在空间直角坐标系中画出给定坐标的点的位置.
三、教学过程
（一）新课导入
平面直角坐标系由平面内两条互相垂直、原点重合的数轴组成.如图，在平面内选定一点O和一个单位正交基底{i，j}，以O为原点，分别以i，j的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立两条数轴：x轴、y轴，那么就建立了一个平面直角坐标系.

类比平面直角坐标系，探究空间直角坐标系.
（二）探索新知
在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}（如图）.以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分.

归纳：空间直角坐标系的三个要素：原点、坐标轴方向、单位长度.
画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy=135°（或45°），∠yOz=90°.
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系，本书建立的坐标系都是右手直角坐标系.
在空间直角坐标系Oxyz中（如图），i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使.

在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组（x，y，z），叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A（x，y，z），其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.
在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作（如图）.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使.有序实数组（x，y，z）叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a=（x，y，z）.这样，在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示.

思考：在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任意一点A，或任意一个向量，你能借助几何直观确定它们的坐标（x，y，z）吗？
如图所示，过点A分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次交x轴、y轴和z轴于点B，C和D.可以证明在x轴、y轴、z轴上的投影向量分别为，，，且.设点B，C和D在x轴、y轴和z轴上的坐标分别是x，y和z，那么点A（向量）的坐标为（x，y，z）.

例1 如图，在长方体中，，，，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.

（1）写出四点的坐标；
（2）写出向量的坐标.
解：（1）点在z轴上，且，所以.所以点的坐标是.
同理，点C的坐标是.
点在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，O，，它们在坐标轴上的坐标分别为3，0，2，所以点的坐标是.
点在轴、轴、轴上的射影分别为，它们在坐标轴上的坐标分别为3，4，2，所以点的坐标是.
(2)；
；

.
（三）课堂练习
1.已知是标准正交基底，且，则的坐标为( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：根据空间向量坐标的定义，知，故选A.
2.点在空间直角坐标系中的( )
A.轴上 B.平面内 C.平面内 D.平面内
答案：C
解析：点的纵坐标为0，所以该点在平面内.
3.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：过点向平面作垂线，垂足为，则就是点与其关于平面对称的点连线的中点.又，所以.
4.在长方体中，若，则向量在基底下的坐标是______________.
答案：
解析：，向量在基底下的坐标是.
5.在长方体中，已知，连接，如图，建立空间直角坐标系.

（1）在图中标出点的位置；
（2）求与的坐标；
（3）求向量在平面上的投影向量的坐标.
答案：（1）点的位置如图中所示：

（2）设分别为方向上的单位向量，
则，
，
所以.
（3）连接，则向量在平面上的投影向量为.
又，
所以.
（四）小结作业
小结：1.空间直角坐标系的建立；
2.空间直角坐标系中点的坐标表示.
作业：
四、板书设计
1.3.1 空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}.以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分.