高中1.3 空间向量及其运算的坐标表示学案

这是一份高中1.3 空间向量及其运算的坐标表示学案，共18页。


(1)如图所示，怎样才能刻画地球的卫星在空间中的位置？
(2)在直线上建立数轴后，就可以用一个数刻画点在直线上的位置；平面向量中，我们借助平面向量基本定理以及两个互相垂直的单位向量，引进了平面向量的坐标．空间向量是否可以引进类似的坐标？
知识点1 空间直角坐标系
(1)建系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了空间直角坐标系．
(2)有关概念
(3)建系的常用规则
①画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°.
②在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
知识点2 空间中点的坐标和空间向量的坐标
(1)点的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量OA，且点A的位置由向量OA唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使OA＝xi＋yj＋zk，则(x，y，z)叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A( x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．
(2)给定向量a，若OA＝a，则a＝xi＋yj＋zk，有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，记作a＝(x，y，z)．
空间直角坐标系中，坐标轴上的点的坐标有何特征？
提示：x轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0，即(x，0，0)．y轴上的点的横坐标、竖坐标都为0，即(0，y，0)．z轴上的点的横坐标、纵坐标都为0，即(0，0，z)．
思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)空间直角坐标系中x轴与y轴的夹角为45°．( )
(2)空间直角坐标系中有三个坐标平面，它们把空间分成四个部分．( )
(3)在空间中可建立无数个空间直角坐标系．( )
(4)若向量a＝xe1＋ye2＋ze3，则a的坐标是(x，y，z)．( )
(5)若向量AB＝(x，y，z)，则点B的坐标是(x，y，z)．( )
(6)若点A的坐标为(x，y，z)，则OA＝(x，y，z)．( )
(7)若四边形ABCD是平行四边形，则向量AB与DC的坐标相同．( )
提示：(1)× 空间直角坐标系中，三条坐标轴相互垂直．
(2)× 空间直角坐标系中，三个坐标平面把空间分成8个部分．
(3)√ 原点位置不同，就得到不同的空间直角坐标系．
(4)× {e1，e2，e3}不一定是单位正交基底．
(5)× 点A不一定和原点O重合．
(6)√ 根据空间向量的坐标定义可知．
(7)√ 由AB＝DC可知AB与DC的坐标相同．
类型1 求空间点的坐标
【例1】 长方体ABCD-A′B′C′D′的长、宽、高分别为|AB|＝8，|AD|＝3，|AA′|＝5.建立适当的空间直角坐标系，并求顶点A，B，C，D，A′，B′，C′，D′的坐标．
[解] 如图所示，以A为原点，分别以有向直线AB，AD，AA′为x轴、y轴、z轴的正方向，以1为单位长度，建立空间直角坐标系A-xyz，则点A，B，C，D都在平面xAy内，因而其竖坐标z都为0，因此A，B，C，D的坐标分别是A(0，0，0)，B(8，0，0)，C(8，3，0)，D(0，3，0)．
由于点A′，B′，C′，D′都在一个垂直于z轴的平面A′B′C′D′内，又|AA′|＝5，所以这四点的竖坐标z都是5.又过A′，B′，C′，D′分别作xAy平面的垂线，垂足分别为A，B，C，D，因此A′，B′，C′，D′的横坐标x、纵坐标y分别与A，B，C，D的横坐标x、纵坐标y相同．
因此A′，B′，C′，D′的坐标分别是A′(0，0，5)，B′(8，0，5)，C′(8，3，5)，D′(0，3，5)．
1．若已给出坐标系，不用再建系，若未给出坐标系，建立空间直角坐标系时应遵循以下原则：
(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；
(2)充分利用几何图形的对称性．
2．求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一坐标轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)进而确定第三个坐标．
[跟进训练]
1．在棱长均为2a的正四棱锥P-ABCD中，建立恰当的空间直角坐标系．
(1)写出正四棱锥P-ABCD各顶点的坐标；
(2)写出棱PB的中点M的坐标．
[解] 如图，连接AC，BD交于点O，连接PO.
∵四棱锥P-ABCD为正四棱锥，且棱长均为2a，
∴四边形ABCD为正方形，且PO⊥平面ABCD．
∴OA＝2a，
PO＝PA2-OA2＝2a2-2a2＝2a.
∴以点O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图．
(1)正四棱锥P-ABCD中各顶点坐标分别为A(2a，0，0)，B(0，2a，0)，C(－2a，0，0)，D(0，－2a，0)，P(0，0，2a)．
(2)∵M为棱PB的中点，
∴M0+02，2a+02，0+2a2，
即M0，22a，22a.
类型2 求对称点的坐标
【例2】 在空间直角坐标系中，点P(－2，1，4)．
(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；
(2)求点P关于Oxy平面的对称点的坐标；
(3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标．
[解] (1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4)．
(2)由于点P关于Oxy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2，1，－4)．
(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点．由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，
所以P3(6，－3，－12)．
点P(x，y，z)关于坐标轴，坐标平面对称的点P′的坐标与点P的坐标有什么关系？
提示：关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反，如点(x，y，z)关于y轴的对称点为(－x，y，－z)，关于Ozx平面的对称点为(x，－y，z)．
[跟进训练]
2．点P(－3，2，－1)关于平面Ozx的对称点是______，关于z轴的对称点是________，关于M(1，2，1)的对称点是________．
(－3，－2，－1) (3，－2，－1) (5，2，3) [点P(－3，2，－1)关于平面Ozx的对称点是(－3，－2，－1)，关于z轴的对称点是(3，－2，－1)．设点P(－3，2，－1)关于M(1，2，1)的对称点为(x，y，z)．
则x-32=1，y+22=2，z-12=1，解得x=5，y=2，z=3.
故点P(－3，2，－1)关于点M(1，2，1)的对称点为(5，2，3)．]
类型3 求空间向量的坐标
【例3】 在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知△ABC的边长为1，三棱柱的高为2，建立适当的空间直角坐标系，并写出AA1，AB1，AC1的坐标．
[解] 分别取BC，B1C1的中点D，D1，所以DC，DA，DD1两两垂直，以D为坐标原点，分别以DC，DA，DD1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．
设i，j，k分别是x，y，z轴正方向上的单位向量，因为AD＝32，DC＝12，所以AA1＝DD1＝2k，AB1＝－DC－DA+DD1＝－12i－32j＋2k，AC1＝DC-DA+DD1＝12i－32j＋2k，所以AA1＝(0，0，2)，AB1＝-12，-32，2，AC1＝12，-32，2.
用坐标表示空间向量的步骤
[跟进训练]
3．棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱DD1，D1C1，BC的中点，以{AB，AD，AA1}为正交基底，建系如图所示，求下列向量的坐标：
(1)AE，AF，AG；
(2)EF，EG，DG.
[解] 在正交基底{AB，AD，AA1}下，
(1)AF＝12AB+AD+AA1，AE＝AD＋12AA1，AG＝AB＋12AD，
所以AE＝0，1，12，AF＝12，1，1，AG＝1，12，0.
(2)EF＝AF-AE＝12AB＋12AA1，
所以EF＝12，012；
EG＝AG-AE＝AB－12AD－12AA1，
所以EG＝1，-12，-12；DG＝AG-AD＝AB－12AD，
所以DG＝1，-12，0.
1．已知e1，e2，e3是空间直角坐标系Oxyz中与x，y，z轴的正方向相同的单位向量，若AB＝－e1＋e2－e3，则B点的坐标为( )
A．(－1，1，－1) B．(－e1，e2，－e3)
C．(1，－1，－1) D．不确定
D [向量AB的坐标与B点的坐标不同，由于A点的坐标未知，故无法确定B点的坐标．]
2．已知点A(3，2，－3)，则点A关于y轴的对称点的坐标是( )
A．(－3，－2，3) B．(－3，2，－3)
C．(－3，2，3) D．(－3，－2，－3)
C [点A关于y轴对称后，它在y轴上的分量不变，在x轴，z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点的坐标为(－3，2，3)．]
3．如图，在长方体OABC-O1A1B1C1中，OA＝3，OC＝5，OO1＝4，点P是B1C1的中点，则点P的坐标为( )
A．(3，5，4) B．32，3，4
C．32，5，4 D．5，32，2
C [由题图知，点P在x轴、y轴、z轴上的射影分别为P1，P2，P3，它们在坐标轴上的坐标分别是32，5，4，故点P的坐标是32，5，4．]
4．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，则AB的坐标为 ________，DC1的坐标为 ________．
(1，0，0) (1，0，1) [由题图可知，A(0，0，0)，B(1，0，0)，A1(0，0，1)，
所以AB＝(1，0，0)，DC1＝AA1+AB＝(0，0，1)＋(1，0，0)＝(1，0，1)．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．在空间几何图形中如何建立空间直角坐标系？
提示：(1)观察图形，寻找两两垂直的三条直线，必要时作辅助线．
(2)让尽量多的点落在坐标轴或坐标平面内．
(3)充分利用几何图形的对称性．
2．如何确定空间一点P的坐标？
提示：先将P投射(沿与z轴平行的方向)到Oxy平面上的一点P1，由P1P的长度及与z轴正方向的异同确定竖坐标z，再在Oxy平面上同平面直角坐标系中一样的方法确定P1的横坐标x，纵坐标y，最后得出点P的坐标(x，y，z)．
3．如何求空间向量的坐标？
提示：在空间直角坐标系中，把向量用单位正交基底{i，j，k}表示，从而求出空间向量的坐标．
课时分层作业(四) 空间直角坐标系
一、选择题
1．已知OA＝8a＋6b＋4c，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，则点A的坐标为( )
A．(12，14，10) B．(10，12，14)
C．(14，10，12) D．(4，2，3)
A [OA＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k＝(12，14，10)．]
2．在空间直角坐标系中，点P(4，3，－1)关于Oxz平面对称的点的坐标是( )
A．(4，－3，－1) B．(4，3，－1)
C．(3，－4，1) D．(－4，－3，1)
A [过点P向Oxz平面作垂线，垂足为N(图略)，则N就是点P与其关于Oxz平面对称的点P′连线的中点．又N(4，0，－1)，所以P′(4，－3，－1)．]
3．在如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，点D1(0，2，2)，B(3，0，0)，则点C1的坐标为( )
A．(3，3，2) B．(3，2，2)
C．(3，2，3) D．(2，2，3)
B [因为点D1(0，2，2)，B(3，0，0)，所以AB＝3，AD＝2，AA1＝2，所以点C1的坐标为(3，2，2)．]
4．(多选)在空间直角坐标系中，下列结论正确的是( )
A．每一个点和向量都可用唯一的有序实数组(x，y，z)表示
B．点P(3，0，－1)位于Oxy平面上
C．过点P(1，3，－4)作Ozx平面的垂线PQ，则垂足为Q(1，0，－4)
D．点A(2，－1，4)关于原点的对称点的坐标为A′(－2，1，－4)
ACD [在空间直角坐标系中，每一个点和向量坐标都可用唯一的有序实数组(x，y，z)表示，从而A正确；点P(3，0，－1)位于空间直角坐标系中的Ozx平面上，从而B错误；点P(1，3，－4)在Ozx平面内的射影坐标为(1，0，－4)，从而C正确；点A(2，－1，4)关于原点的对称点的坐标为A′(－2，1，－4)，从而D正确．故选ACD．]
5．如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，B1E＝14A1B1，则BE等于( )
A．0，14，-1 B．-14，0，1
C．0，-14，1 D．14，0，-1
C [{DA，DC，DD1}为单位正交向量，BE＝BB1+B1E＝－14DC+DD1，∴BE＝0，-14，1．]
二、填空题
6．在空间直角坐标系Oxyz中，点M(－1，0，2)，N(3，2，－4)，则MN的中点Q在平面Oxy内的射影的坐标是________．
(1，1，0) [因为M(－1，0，2)，N(3，2，－4)，
所以Q(1，1，－1)，所以点Q在平面Oxy内的射影的坐标是(1，1，0)．]
7．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，连接A1B，B1C，如图，建立空间直角坐标系．
则A1B的坐标为________，B1C的坐标为________．
(0，4，－3) (－4，0，－3) [设i，j，k分别为DA，DC，DD1方向上的单位向量，则A1B＝AB-AA1＝DC-DD1＝4j－3k，B1C＝B1B+B1C1＝－DD1-DA＝－4i－3k，
所以A1B＝(0，4，－3)，B1C＝(－4，0，－3)．]
8．三棱锥P-ABC中，∠ABC＝90°，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M，N分别是PC，AC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则向量MN的坐标为________．
12，0，-12 [MN＝BN-BM＝12(BA+BC)－12(BP+BC)＝12BA－12BP，
故MN＝12，0，-12．]
三、解答题
9．如图所示，AF，DE分别是⊙O，⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8.BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE∥AD，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A，B，C，D，E，F的坐标．
[解] 因为AD与两圆所在的平面均垂直，OE∥AD，所以OE与两圆所在的平面也都垂直．
又因为AB＝AC＝6，BC是⊙O的直径，所以△BAC为等腰直角三角形，且AF⊥BC，BC＝62.所以以O为原点，OB，OF，OE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A，B，C，D，E，F各个点的坐标分别为A(0，－32，0)，B(32，0，0)，C(－32，0，0)，D(0，－32，8)，E(0，0，8)，F(0，32，0)．
10．下列说法：①在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定可记为(0，b，c)；②在空间直角坐标系中，在Oyz平面上的点的坐标一定可记为(0，b，c)；③在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标一定可记为(0，0，c)；④在空间直角坐标系中，在Ozx平面上的点的坐标一定可记为(a，0，c)．其中，正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
C [由定义可知，对于在x轴上的点(a，b，c)，有b＝c＝0，所以在x轴上的点的坐标可记为(a，0，0)，故①错误，经验证②③④正确．]
11．(多选)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是( )
A．点B1的坐标为(4，5，3)
B．点C1关于点B对称的点为(5，8，－3)
C．点A关于直线BD1对称的点为(0，5，3)
D．点C关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0)
ACD [依据空间中点的坐标的定义可知，点B1(4，5，3)，点C1(0，5，3)，点A(4，0，0)，点C(0，5，0)，故A正确．设点C1关于点B(4，5，0)的对称点为(x1，y1，z1)，由中点坐标公式得x1＝4×2－0＝8，y1＝5×2－5＝5，z1＝0×2－3＝－3，所以C1关于点B对称的点为(8，5，－3)，故B错误．由AB＝5，AD＝4，AA1＝3易知四边形ABC1D1是正方形，所以点A关于直线BD1对称的点为C1(0，5，3)，故C正确，点C关于平面ABB1A1的对称点就是点C关于点B的对称点，坐标为(8，5，0)，故D正确．]
12．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(2，1，－1)，则p在基底{2a，b，－c}下的坐标为________；在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为________．
(1，1，1) 32，12，-1 [由题意知p＝2a＋b－c，则向量p在基底{2a，b，－c}下的坐标为(1，1，1)．设向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc.又∵p＝2a＋b－c，
∴x+y=2，x-y=1，z=-1，解得x＝32，y＝12，z＝－1，∴p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为32，12，-1．]
13．如图所示，正四面体ABCD的棱长为1，G是△BCD的中心，建立如图所示的空间直角坐标系，则AG的坐标为________，AB的坐标为________．
0，0，-63 0，-33，-63 [由题意可知，BG＝23BE＝23×32＝33，
所以AG＝AB2-BG2＝63，
所以AG＝－63k＝0，0，-63，
AB＝GB-GA＝－33j－63k
＝0，-33，-63．]
14．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E，F分别在线段A1D，AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1分别作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图所示)．
(1)试求向量EF的坐标；
(2)求证：EF∥BD1.
[解] ∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，根据题意知{DA，DC，DD1}为单位正交基底，设DA＝i，DC＝j，DD1＝k，∴向量EF可用单位正交基底{i，j，k}表示．
∵EF＝ED+DC+CF，ED与DA1共线，CF与CA共线，∴设ED＝λDA1，CF＝μCA，则EF＝λDA1+DC＋μCA＝λ(DA+DD1)＋DC＋μ(DA-DC)＝(λ＋μ)DA＋(1－μ)DC＋λDD1＝(λ＋μ)i＋(1－μ)j＋λk，
∵EF⊥A1D，EF⊥AC，即EF⊥A1D，EF⊥AC，
∴EF·A1D＝0，EF·AC＝0，
又A1D＝－i－k，AC＝－i＋j，
∴λ+μi+1-μj+λk·-i-k=0，λ+μi+1-μj+λk·-i+j=0，
整理得-λ+μ-λ=0， -λ+μ+1-μ=0，
即2λ+μ=0，λ+2μ=1，解得λ=-13，μ=23.
∴EF＝13i＋13j－13k，
∴EF的坐标是13，13，-13.
(2)证明：∵BD1＝BD+DD1＝－i－j＋k，
又由(1)知EF＝13i＋13j－13k，
∴EF＝－13BD1，即EF与BD1共线，
又EF与BD1无公共点，∴EF∥BD1.
15．(多选)已知单位向量i，j，k两两的夹角均为θ0<θ<π，θ≠π2，若空间向量a满足a＝xi＋yj＋zk(x，y，z∈R)，则有序实数组(x，y，z)称为向量a在“仿射”坐标系Oxyz(O为坐标原点)下的“仿射”坐标，记作a＝(x，y，z)θ，则下列命题是真命题的有( )
A．已知a＝(1，3，－2)θ，b＝(4，0，2)θ，则a·b＝0
B．已知a＝(x，y，0)π3，b＝(0，0，z)π3，其中x，y，z>0，则当且仅当x＝y时，向量a，b的夹角取得最小值
C．已知a＝(x1，y1，z1)θ，b＝(x2，y2，z2)θ，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)θ
D．已知OA＝(1，0，0)π3，OB＝(0，1，0)π3，OC＝(0，0，1)π3，则三棱锥O-ABC的表面积S＝2
BC [a·b＝(1，3，－2)θ·(4，0，2)θ＝(i＋3j－2k)·(4i＋2k)＝4＋2i·k＋12i·j＋6j·k－8k·i－4＝12cs θ，
因为0<θ<π，且θ≠π2，
所以a·b≠0，故A错误；如图所示，
设OB＝b，OA＝a，则点A在平面Oxy上，点B在z轴上，由图易知当x＝y时，∠AOB取得最小值，即向量a与b的夹角取得最小值，故B正确；根据“仿射”坐标的定义可得，a＋b＝(x1，y1，z1)θ＋(x2，y2，z2)θ＝(x1i＋y1j＋z1k)＋(x2i＋y2i＋z2k)＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j＋(z1＋z2)k＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)θ，故C正确；由已知可得三棱锥O-ABC为正四面体，棱长为1，其表面积S＝4×12×12×32＝3，故D错误．故选BC．]
学习任务
1．了解空间直角坐标系．(数学抽象)
2．掌握空间直角坐标系中点的坐标和向量的坐标的概念．(直观想象)
3．能在空间直角坐标系中表示空间中点的坐标和向量的坐标．(数学运算)
坐标轴
x轴、y轴、z轴
原点
点O
坐标向量
i，j，k
坐标平面
Oxy平面、Oyz平面和Oxz平面，它们把空间分成八个部分