高中第一章 空间向量与立体几何1.2 空间向量基本定理学案设计

这是一份高中第一章 空间向量与立体几何1.2 空间向量基本定理学案设计，共26页。


在平面内，任意给定两个不共线的向量a，b，根据平面向量基本定理，对于该平面内的任意一个向量p，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得p＝xa＋yb.特别地，当a，b为直角坐标平面内的向量时，向量p就与坐标(x，y)建立了一一对应关系，从而将向量运算用坐标表示，简化了向量运算，为研究问题带来了极大的方便．那么，对于空间向量，有没有类似平面向量基本定理的结论呢？如图所示，设a，b，c是空间三个不共面的向量，p是空间任意一个向量，是否可以用向量a，b，c来表示向量p?
知识点1 空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．
其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
对于基底{a，b，c}，三个基向量a，b，c中能否有一个为0?
提示：因为向量0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，因此三个基向量均不为0.
空间中任意三个不共面向量都可作为一组基底．
知识点2 空间向量的正交分解
(1)单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．
(2)向量的正交分解
由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使得a＝xi＋yj＋zk.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)空间向量的基底是唯一的．( )
(2)若a，b，c是空间向量的一个基底，则a，b，c均为非零向量．( )
(3)已知A，B，M，N是空间四点，若BA，BM，BN不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N共面．( )
(4)若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则有x＝y＝z＝0．( )
(5)空间的单位正交基底是唯一的．( )
(6)单位正交基底中每一个基向量是单位向量．( )
(7)对于单位正交基底{i，j，k}，2j＝0i＋2j＋0k．( )
提示：(1)× 任意三个不共面向量都可以作为空间的一个基底．
(2)√ 若a，b，c中有一个零向量，则a，b，c三向量共面不能构成基底．
(3)√ BA，BM，BN不能构成空间的一个基底，则三向量共面，且有公共起点B，因此A，B，M，N四点共面．
(4)√ a，b，c不共面，则必有x＝y＝z＝0.
(5)× 不唯一．
(6)√ 由单位正交基底的定义可知正确．
(7)√ 由向量正交分解知正确．
2．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，用{AB，AD，AA1}为基底表示AC1，则AC1＝________．
AB+AD+AA1 [∵BC＝AD，CC1＝AA1，
∴AC1＝AB+BC+CC1＝AB+AD＋AA1．]
类型1 空间的基底
【例1】 {e1，e2，e3}是空间的一个基底，且OA＝e1＋2e2－e3，OB＝－3e1＋e2＋2e3，OC＝e1＋e2－e3，试判断{OA，OB，OC}能否作为空间的一个基底．
[解] 假设OA，OB，OC共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x，y，使OA＝xOB＋yOC成立，
∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)，
即e1＋2e2－e3＝(y－3x)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3，
∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，∴e1，e2，e3不共面．
∴y-3x=1，x+y=2，2x-y=-1，此方程组无解．
即不存在实数x，y使得OA＝xOB＋yOC，
所以OA，OB，OC不共面．
所以{OA，OB，OC}能作为空间的一个基底．
基底判断的基本思路和注意问题
(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．
(2)注意问题：对于三个向量，若其中存在零向量，则这组向量不能作为基底；若其中存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．
[跟进训练]
1．若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为空间的一个基底？
[解] 假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ，μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，即a＋b＝μa＋λb＋(λ＋μ)c.
∵{a，b，c}是空间的一个基底，∴a，b，c不共面．
∴1=μ， 1=λ， 0=λ+μ，此方程组无解．
即不存在实数λ，μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，
∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．
故{a＋b，b＋c，c＋a}能作为空间的一个基底．
类型2 用基底表示空间向量
【例2】 (源自北师大版教材)如图所示，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，点M是▱A′B′C′D′的对角线的交点，点N是棱BC的中点．如果AB＝a，AD＝b，AA'＝c，试用a，b，c表示MN.
[解] 因为点M为▱A′B′C′D′的对角线的交点，
所以MA'＝－12A'C'＝－12(A'D'+A'B')
＝－12(b＋a)．
又A'A＝－c，AB＝a，BN＝12BC＝12b，
所以MN＝MA'+A'A+AB+BN
＝－12(b＋a)－c＋a＋12b
＝12a－c.
[母题探究]
若把本例中“AB＝a”改为“AC'＝a”，其他条件不变，则结果是什么？
[解] 因为点M为▱A′B′C′D′的对角线的交点，
所以，A'C'＝A'A+AC'＝－c＋a，
∴MC'＝12(a－c)．
又AD＝b，所以CN＝－12b，
所以MN＝MC'+C'C+CN
＝12(a－c)－c－12b
＝12a－32c－12b.
用基底表示向量时：
(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行；
(2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求．
[跟进训练]
2．如图所示，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝a，AD＝b，AA'＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，若Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量：
(1)AP；(2)AM；(3)AN；(4)AQ.
[解] 连接AC，AD′，AC′(图略)，
(1)AP＝12(AC+AA')＝12(AB+AD+AA')
＝12(a＋b＋c)．
(2)AM＝12(AC+AD')＝12(AB＋2AD＋AA')
＝12a＋b＋12c.
(3)AN＝12(AC'+AD')＝12[(AB+AD＋AA')＋(AD+AA')]＝12(AB＋2AD＋2AA')＝12a＋b＋c.
(4)AQ＝AC+CQ＝AC＋45(AA'-AC)＝15AC＋45AA'＝15AB＋15AD＋45AA'＝15a＋15b＋45c.
类型3 空间向量基本定理的应用
证明空间直线、平面的位置关系
【例3】 如图，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，E，F，G分别是A′D′，DD′，D′C′的中点，请选择恰当的基底向量证明：
(1)EG∥AC；
(2)平面EFG∥平面AB′C．
[证明] 取基底{AA'，AB，AD}，
(1)因为EG＝ED'+D'G＝12AD＋12AB，AC＝AB+AD＝2EG，所以EG∥AC，
又EG，AC无公共点，所以EG∥AC．
(2)因为FG＝FD'+D'G＝12AA'＋12AB，AB'＝AB+AA'＝2FG，所以FG∥AB'，
又FG，AB′无公共点，所以FG∥AB′.
又FG⊄平面AB′C，AB′⊂平面AB′C，
所以FG∥平面AB′C．
又由(1)知EG∥AC，可得EG∥平面AB′C，
又FG∩EG＝G，FG，EG⊂平面EFG，
所以平面EFG∥平面AB′C．
(1)当直接证明线线垂直但条件不易利用时，常常考虑证明两线段所对应的向量的数量积等于零．利用向量证明垂直的一般方法是把线段转化为向量，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算以及数量积和垂直条件来完成位置关系的判定．
(2)证明直线与直线平行一般转化为向量共线问题，利用向量共线的充要条件证明．
[跟进训练]
3．如图所示，已知△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°.
求证：BD⊥平面ADC．
[证明] 设AD＝BD＝CD＝1，则AB＝AC＝2.
BD·AC＝(AD-AB)·AC
＝AD·AC-AB·AC，
由于AD·AC＝AD·(AD+DC)
＝AD·AD+AD·DC＝1，
AB·AC＝|AB|·|AC|cs 60°
＝2×2×12＝1.
∴BD·AC＝0，即BD⊥AC．
又∵BD⊥AD，AC∩AD＝A，AC，AD⊂平面ADC，∴BD⊥平面ADC．
求线段的长度或两点间的距离
【例4】 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB，AD，AA1两两夹角为60°，长度分别为2，3，1，点P在线段BC上，且3BP＝BC，记AB＝a，AD＝b，AA1＝c.
(1)试用a，b，c表示D1P；
(2)求D1P的模．
[解] (1)D1P＝AP-AD1＝(AB+BP)－(AD+AA1)＝a+13b－(b＋c)＝a－23b－c.
(2)因为AB，AD，AA1两两夹角为60°，长度分别为2，3，1.
所以a·b＝3，a·c＝1，b·c＝32，
|D1P|＝a-23b-c
＝a2+49b2+c2-43ab-2ac+43bc
＝4+4+1-4-2+2＝5.
求两点间的距离或线段长度的方法
(1)将此线段用向量表示；
(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量；
(3)利用|a|＝a2，通过计算求出|a|，即得所求距离．
[跟进训练]
4．如图所示，在平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ADC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，求线段PC的长．
[解] ∵PC＝PA+AD+DC，
∴|PC|2＝(PA+AD+DC)2
＝|PA|2＋|AD|2＋|DC|2＋2PA·AD＋2AD·DC＋2DC·PA＝62＋42＋32＋2|AD||DC|·cs 120°＝61－12＝49，
∴|PC|＝7，即PC＝7.
求两直线的夹角
【例5】 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分别为D1C1，C1B1的中点．
(1)设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，{a，b，c}构成空间的一个基底，用它们表示MN，AC1.
(2)求AC1与MN的夹角．
[解] (1)MN＝MC1+C1N
＝12D1C1＋12C1B1＝12AB－12AD＝12a－12b，
AC1＝AB+BC+CC1＝a＋b＋c.
(2)因为由(1)得MN·AC1＝12a-12b·(a＋b＋c)＝12a2＋12a·b＋12a·c－12b·a－12b2－12b·c
＝12×42＋12×4×4×12＋12×4×5×12－12×4×4×12－12×42－12×4×5×12＝0，
所以MN⊥AC1，所以AC1与MN的夹角为π2.
求两个向量的夹角的两种方法
(1)结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围；
(2)先求a·b，再利用公式cs 〈a，b〉＝a·bab，求cs 〈a，b〉，最后确定〈a，b〉．
[跟进训练]
5．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，AA1＝2，求异面直线BA1与AC所成角的余弦值．
[解] ∵BA1＝BA+AA1＝BA+BB1，AC＝BC-BA，
且BA·BC＝BB1·BA＝BB1·BC＝0，
∴BA1·AC＝BA·BC-BA2＋BB1·BC-BB1·BA＝－BA2＝－1.
又∵|AC|＝2，|BA1|＝1+2＝3，
∴cs 〈BA1，AC〉＝BA1·ACBA1AC＝-16＝-66，则异面直线BA1与AC所成角的余弦值为66.
1．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}；②{b，c，z}；③{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间的一个基底的向量组有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
B [①中，a，b，x＝a＋b共面，不可作为空间的一个基底；②中，z＝c＋a与向量b，c不共面，可作为空间的一个基底；③中，x，y与a＋b＋c不共面，故②③正确．故选B．]
2．如图所示，在四面体OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，点N为BC的中点，则MN＝( )
A．12a－23b＋12c
B．－23a＋12b＋12c
C．12a＋12b－23c
D．23a＋23b－12c
B [∵AB＝OB-OA＝b－a，
BN＝12BC＝12(OC-OB)＝12(c－b)，
∴MN＝MA+AB+BN
＝13a＋(b－a)＋12(c－b)
＝－23a＋12b＋12c.
故选B．]
3．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )
A．15 B．56 C．55 D．22
C [设DA＝a，DC＝b，DD1＝c，以{a，b，c}为基底，则AD1＝AD+DD1＝－a＋c，DB1＝DA+DC+BB1＝a＋b＋c.
又|AD1|＝2，|DB1|＝5，
所以cs 〈AD1，DB1〉
＝a+b+c·-a+c25＝-a2+c225＝225＝55.
即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为55．]
4．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，AM＝12MC1，点N为B1B的中点，则|MN|等于________．
216a [∵MN＝AN-AM＝AN－13AC1
＝AB+BN－13(AB+AD+AA1)
＝23AB＋16AA1－13AD，
∴|MN|＝23AB+16AA1-13AD2
＝49AB2+136 AA12+19 AD2
＝216a．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．若{a，b，c}是空间的基底，则a，b，c满足什么条件？
提示：a，b，c不共面．
2．叙述空间向量基本定理的内容．
提示：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
3．如何证明两种位置关系(垂直与平行)?
提示：(1)要证两直线垂直，由数量积的性质a⊥b ⇔a·b＝0可知，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可．
(2)要证两直线平行，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量满足a＝λb即可．
课时分层作业(三) 空间向量基本定理
一、选择题
1．已知{a，b，c}是空间的一个基底，则下列可以构成基底的一组向量是( )
A．a＋b，a，a－b B．a＋b，b，a－b
C．a＋b，c，a－b D．a＋b，2a－b，a－b
C [∵(a＋b)＋(a－b)＝2a，∴a，a＋b，a－b共面，不能构成基底，∴A错误；
∵(a＋b)－(a－b)＝2b，∴b，a＋b，a－b共面，不能构成基底，∴B错误；
假设c，a＋b，a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)·a＋(λ－m)b，则a，b，c为共面向量，这与{a，b，c}为空间的一个基底矛盾，故c，a＋b，a－b可构成空间向量的一个基底，∴C正确；
∵2a－b＝32(a－b)＋12(a＋b)，∴a＋b，a－b，2a－b共面，不能构成基底，∴D错误．故选C．]
2．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M为A1C1的中点，若BA＝a，BC＝b，BB1＝c，则下列向量与BM相等的是( )
A．－12a－12b＋c
B．12a＋12b－c
C．－12a＋12b＋c
D．12a＋12b＋c
D [BM＝BA+AA1+A1M＝BA+BB1＋12AC＝BA+BB1＋12(BC-BA)＝12BA+BB1＋12BC＝12a＋c＋12b.故选D．]
3．若向量MA，MB，MC的起点M与终点A，B，C互不重合，且点M，A，B，C中无三点共线，满足下列关系(O是空间任一点)，则能使向量MA，MB，MC成为空间一个基底的关系是( )
A．OM＝13OA＋13OB＋13OC
B．MA≠MB+MC
C．OM＝OA+OB+OC
D．MA＝2MB-MC
C [若MA，MB，MC为空间一组基向量，则M，A，B，C四点不共面．选项A中，因为13＋13＋13＝1，所以点M，A，B，C共面；选项B中，MA≠MB+MC，但可能存在实数λ，μ使得MA＝λMB＋μMC，所以点M，A，B，C可能共面；选项D中，四点M，A，B，C显然共面．故选C．]
4．已知正方体ABCD-A1B1C1D1，点E为上底面A1B1C1D1的中心，若AE＝AA1＋xAB＋yAD，则x，y的值分别为( )
A．1，1 B．1，12 C．12，12 D．12，1
C [因为AE＝12(AA1+AC1)＝12(AA1+AA1+AB+AD)＝AA1＋12AB＋12AD，所以x＝12，y＝12．]
5．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为正三角形，侧棱垂直于底面，AB＝4，AA1＝6.若E是棱BB1的中点，则异面直线A1E与AC1所成角的余弦值为( )
A．1313 B．21313
C．31313 D．1326
A [设AB＝a，AC＝b，AA1＝c，则{a，b，c}构成空间的一个基底，
A1E＝A1B1+B1E＝a－12c，
AC1＝AC+CC1＝b＋c，
cs 〈A1E，AC1〉＝A1E·AC1A1EAC1
＝a-12c·b+ca-12cb+c＝-105×213
＝－1313，
所以异面直线A1E与AC1所成角的余弦值为1313．]
二、填空题
6．已知向量a，b，c构成空间的一个基底{a，b，c}，若d＝3a＋4b＋c，且d＝x(a＋2b)＋y(b＋3c)＋z(c＋a)，则x＝________．
2 [d＝x(a＋2b)＋y(b＋3c)＋z(c＋a)＝(x＋z)a＋(2x＋y)b＋(3y＋z)c＝3a＋4b＋c，
所以x+z=3，2x+y=4，3y+z=1，解得x=2，y=0，z=1. ]
7．如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝3，AA1＝7，∠BAD＝π3，∠BAA1＝∠DAA1＝π4，则AC1的长为________．
98+562 [平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，
AB＝5，AD＝3，AA1＝7，∠BAD＝π3，∠BAA1＝∠DAA1＝π4，
∵AC1＝AB+BC+CC1，
则|AC1|2＝AC12＝(AB+BC+CC1)2
＝|AB|2＋|BC|2＋|CC1|2＋2|AB|·|BC|cs π3＋2|BC|·|CC1|·cs π4＋2|AB|·|CC1|cs π4＝25＋9＋49＋2×5×3×12＋2×3×7×22＋2×5×7×22＝98＋562.
∴AC1＝|AC1|＝98+562．]
8．正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2，AA1＝22，D为棱A1B1的中点，则异面直线AD与CB1所成角的大小为________．
π6 [如图，AD＝AA1+A1D
＝AA1＋12A1B1
＝AA1＋12AB，
CB1＝CA+AB+BB1
＝AA1-AC+AB，
由侧棱和底面垂直，
所以AA1·AB＝0，AA1·AC＝0，
且AB＝AC＝BC＝2，AA1＝22，
∴AD·CB1＝AA1+12AB·(AA1-AC+AB)
＝AA12－12 AB·AC＋12AB2
＝8－12×2×2×12＋12×4＝9，
AD＝8+1＝3，CB1＝8+4＝23，
∴cs 〈AD，CB1〉＝93×23＝32，且〈AD，CB1〉∈[0，π]，
∴〈AD，CB1〉＝π6，
∴异面直线AD与CB1所成角的大小为π6．]
三、解答题
9．如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点．
(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；
(2)求MN的长．
[解] (1)证明：设AB＝p，AC＝q，AD＝r.
由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三向量两两夹角均为60°.连接AN(图略)．
MN＝AN-AM＝12(AC+AD)－12AB
＝12(q＋r－p)，
∴MN·AB＝12(q＋r－p)·p
＝12(q·p＋r·p－p2)
＝12(a2cs 60°＋a2cs 60°－a2)
＝0，
∴MN⊥AB，同理可证MN⊥CD．
(2)由(1)可知，MN＝12(q＋r－p)．
∴|MN|2＝14(q＋r－p)2
＝14[q2＋r2＋p2＋2(q·r－p·q－r·p)]
＝14a2+a2+a2+2a22-a22-a22
＝14×2a2＝a22.
∴|MN|＝22a，
∴MN的长为22a.
10．(多选)在三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝3，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2，则下列说法正确的是( )
A．EG⊥PG B．EG⊥BC
C．FG∥BC D．FG⊥EF
ABD [如图，设PA＝a，PB＝b，PC＝c，则{a，b，c}是空间的一个正交基底，
则a·b＝a·c＝b·c＝0，取AB的中点H，则PG＝23PH＝23×12(a＋b)＝13a＋13b，
PE＝PB+BE＝PB＋13BC＝PB＋13(PC-PB)＝13c＋23b，
EG＝PG-PE＝13a＋13b－23b－13c＝13a－13b－13c，BC＝c－b，
FG＝PG-PF＝13a＋13b－13b＝13a，
EF＝PF-PE＝13b－13c+23b＝－13c－13b，
∴EG·PG＝0，A正确；EG·BC＝0，B正确；FG≠λBC(λ∈R)，C不正确；FG·EF＝0，D正确．故选ABD．]
11．(多选)如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是( )
A．AC1＝66
B．AC1⊥DB
C．向量B1C与AA1的夹角是60°
D．BD1与AC所成角的余弦值为63
AB [因为以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，
所以AA1·AB＝AA1·AD＝AD·AB＝6×6×cs 60°＝18，
(AA1+AB+AD)2＝AA12＋AB2＋AD2＋2AA1·AB＋2AB·AD＋2AA1·AD
＝36＋36＋36＋3×2×18＝216，
则|AC1|＝|AA1+AB+AD|＝66，所以A正确；
AC1·DB＝(AA1+AB+AD)·(AB-AD)＝AA1·AB-AA1·AD+AB2－AB·AD+AD·AB-AD2＝0，所以B正确；
显然△AA1D为等边三角形，则∠AA1D＝60°.
因为B1C＝A1D，且向量A1D与AA1的夹角是120°，所以B1C与AA1的夹角是120°，所以C不正确；
BD1＝AD+AA1-AB，AC＝AB+AD，
所以|BD1|＝AD+AA1-AB2＝62，
|AC|＝AB+AD2＝63，
又BD1·AC＝(AD+AA1-AB)·(AB+AD)＝36，
所以cs 〈BD1，AC〉＝BD1·ACBD1·AC＝3662×63＝66，所以D不正确．故选AB．]
12．化学中，将构成粒子(原子、离子或分子)在空间按一定规律呈周期性重复排列构成的固体物质称为晶体．在结构化学中，可将晶体结构截分为一个个包含等同内容的基本单位，这个基本单位叫做晶胞．已知钙、钛、氧可以形成如图所示的立方体晶胞(其中Ti原子位于晶胞的中心，Ca原子均在顶点位置，O原子位于棱的中点)．则图中原子连线BF与B1E所成角的余弦值为________．
15 [设该立方体的棱长为a，取{A1B1，A1D1，A1A}为空间向量的一个基底，其中〈A1B1，A1D1〉＝90°，〈A1B1，A1A〉＝90°，〈A1A，A1D1〉＝90°.
∵BF＝AF-AB＝12AD-AB＝12A1D1-A1B1，B1E＝B1B+BE＝A1A＋12A1D1，
设BF与B1E所成角为θ，
则cs θ＝|cs 〈BF，B1E〉|＝BF·B1EBFB1E
＝14A1D1214A1D12+A1B12×14A1D12+A1A2
＝14a254a2＝15，即BF与B1E所成角的余弦值为15．]
13．棱长为a的正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与AB所成角的大小是________，线段EF的长度为________．
π4 22a [设AB＝a，AC＝b，AD＝c，则{a，b，c}是空间的一个基底，
∴|a|＝|b|＝|c|＝a，a·b＝a·c＝b·c＝12a2.
∵EF＝AF-AE＝12(a＋b)－12c，
∴EF·AB＝12a2＋12a·b－12a·c＝12a2，
|EF|＝12a+12b-12c2＝22a，
∴cs 〈EF，AB〉＝EF·ABEFAB＝12a222a×a＝22，
∴异面直线EF与AB所成的角为π4．]
14．如图所示，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．
(1)求证：DE∥平面ACF.
(2)求证：BD⊥AE.
(3)若AB＝2CE，在线段EO上是否存在点G，使CG⊥平面BDE？若存在，求出EGEO的值；若不存在，请说明理由．
[解] (1)证明：设CB＝a，CD＝b，CE＝c，则{a，b，c}构成空间的一个基底，且|a|＝|b|，a·b＝b·c＝c·a＝0.
依题意得DE＝CE-CD＝c－b，CA＝CB+BA＝a＋b，CF＝12(CB+CE)＝12a＋12c.
设DE＝xCA＋yCF(x，y∈R)，则c－b＝x(a＋b)＋y12a+12c＝x+12ya＋xb＋12yc，
因此x+12y=0，x=-1，12y=1，解得x=-1，y=2.
又CA与CF不共线，
所以DE，CA，CF共面．又直线DE不在平面ACF内，所以DE∥平面ACF.
(2)证明：依题意得BD＝BA+BC＝b－a，AE＝AC+CE＝AD+DC+CE＝－a－b＋c＝c－a－b，则BD·AE＝(b－a)·(c－a－b)＝－b2＋a2＝0，因此BD⊥AE，从而BD⊥AE.
(3)由AB＝2CE，设|a|＝|b|＝2，则|c|＝2，假设在线段EO上存在点G，使CG⊥平面BDE.由O，G，E三点共线，设CG＝(1－λ)CE＋λCO＝12λa＋12λb＋(1－λ)c(0≤λ≤1)．
由CG⊥平面BDE，知CG⊥DE，而DE＝c－b，
所以CG·DE＝12λa+12λb+1-λc·(c－b)＝(1－λ)c2－12λb2＝2－4λ＝0，解得λ＝12，即点G是线段EO的中点时，满足题意，此时EGEO＝12.
15．如图，在三棱锥O-ABC中，G是△ABC的重心(三条中线的交点)，P是空间任意一点．
(1)用向量OA，OB，OC表示向量OG，并证明你的结论；
(2)设OP＝xOA＋yOB＋zOC，x，y，z∈R，请写出点P在△ABC的内部(不包括边界)的充要条件(不必给出证明)．
[解] (1)OG＝13(OA+OB+OC)．
证明如下：
OG＝OA+AG＝OA＋23AD
＝OA＋23×12(AB+AC)
＝OA＋13[(OB-OA)＋(OC-OA)]
＝13(OA+OB+OC)．
(2)若OP＝xOA＋yOB＋zOC，x，y，z∈R，则点P在△ABC的内部(不包括边界)的充要条件是：
x＋y＋z＝1，且0学习任务
1．了解空间向量基本定理及其意义．(数学抽象)
2．掌握空间向量的正交分解．(直观想象)
3．掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法．(逻辑推理、数学运算)