高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理同步训练题

第一章空间向量与立体几何

1.1　空间向量及其运算

1.1.1　空间向量及其线性运算

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.给出下列命题:

①若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点,则它们的终点构成一个圆;②若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b;③若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p;④空间中任意两个单位向量必相等;⑤零向量没有方向.其中假命题的个数是(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

解析①假命题.若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点,则它们的终点将构成一个球面,而不是一个圆.②假命题.根据向量相等的定义,要保证两向量相等,不仅模要相等,而且方向还要相同,但②中向量a与b的方向不一定相同.③真命题.向量的相等具有传递性.④假命题.空间中任意两个单位向量的模长均为1,但方向不一定相同,所以不一定相等.⑤假命题.零向量的方向是任意的.

答案D

2.(多选题)下列说法错误的是(　　)

A.在平面内共线的向量在空间不一定共线

B.在空间共线的向量在平面内不一定共线

C.在平面内共线的向量在空间一定不共线

D.在空间共线的向量在平面内一定共线

答案ABC

3.(2020江西宜春高二检测)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,=(　　)

A. B. C. D.

解析在长方体ABCD-A1B1C1D1中,=()+.

答案D

4.已知是空间两个不共线的向量,=3-2,那么必有(　　)

A.共线 B.共线

C.共面 D.不共面

解析由共面向量定理知,共面.

答案C

5.在空间四边形ABCD中,若E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA边上的中点,则下列各式中成立的是(　　)

A.=0

B.=0

C.=0

D.=0

解析,易证四边形EFGH为平行四边形,故=0,故选B.

答案B

6.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1D1的中点,设=a,=b,=c,则=(　　)

A.-a-b+c B.a-b+c

C.a-b-c D.a+b-c

解析根据向量减法的三角形法则得到-()=c+b-a-b=-a-b+c.故选A.

答案A

7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是底面A1B1C1D1和侧面CC1D1D的中心,若+λ=0(λ∈R),则λ=　　　　　. 

解析在△C1A1D中,EF是其中位线,所以,且,因此当+λ=0时,λ=-.

答案-

8.设e1,e2是空间两个不共线的向量,已知=e1+ke2,=5e1+4e2,=-e1-2e2,且A,B,D三点共线,则实数k的值是　　　　　. 

解析因为=5e1+4e2,=-e1-2e2,所以=(5e1+4e2)+(e1+2e2)=6e1+6e2.

又因为A,B,D三点共线,所以=λ,

所以e1+ke2=λ(6e1+6e2).

因为e1,e2是不共线向量,所以故k=1.

答案1

9.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=2,AA1=1,以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中:

(1)单位向量共有多少个?

(2)试写出模为的所有向量.

(3)试写出与相等的所有向量.

(4)试写出的相反向量.

解(1)模为1的向量有,共8个单位向量.

(2)由于这个长方体的左右两侧面的对角线长均为,因此模为的向量为.

(3)与向量相等的向量(除它自身之外)为.

(4)向量的相反向量为.

关键能力提升练

10.设有四边形ABCD,O为空间任意一点,且,则四边形ABCD是(　　)

A.空间四边形 B.平行四边形

C.等腰梯形 D.矩形

解析由已知得,即是相等向量,因此的模相等,方向相同,即四边形ABCD是平行四边形.

答案B

11.(2020吉林长春高二检测)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,E为PD的中点.若=a,=b,=c,则=(　　)

A.a-b+c 

B.a-b-c

C.a-b+c 

D.a-b+c

解析)=-)

=-

=-)+)

=-a-b+c.

故选C.

答案C

12.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,P,M为空间任意两点,如果有+7+6-4,那么M必 (　　)

A.在平面BAD1内 

B.在平面BA1D内

C.在平面BA1D1内 

D.在平面AB1C1内

解析由于+7+6-4+6-4+6-4+6()-4()=11-6-4,因此M,B,A1,D1四点共面,即M必在平面BA1D1内.

答案C

13.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC1的中点为O,则下列命题中错误的是(　　)

A.是一对相等向量

B.是一对相反向量

C.是一对相等向量

D.是一对相反向量

解析选项A中是一对相反向量,B中是一对相等向量,C中是一对相反向量,D中也是一对相反向量.

答案ABC

14.(多选题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,则下列各式运算结果是的为(　　)

A.

B.

C.

D.

解析对于A,;对于B,+()=;对于C,;对于D,+()=.故选ABC.

答案ABC

15.已知A,B,C三点不共线,O是平面ABC外任一点,若由+λ确定的一点P与A,B,C三点共面,则λ=　　　　　. 

解析因为点P与A,B,C三点共面,

所以+λ=1,解得λ=.

答案

16.(2020浙江宁波高二上期中)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,,若=x+y(),则x=　　　　,y=　　　　. 

解析

=),

∴x=1,y=.

答案1　

17.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M为DD1的中点,点N在AC上,且AN∶NC=2∶1,求证:共面.

证明∵,

,

),

∴)-

=)+

=,

∴共面.

学科素养创新练

18.如图,已知空间四边形ABCD,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边CB,CD上的点,且.求证:四边形EFGH是梯形.

证明∵E,H分别是边AB,AD的中点,

∴,

∴.

又∵)=,∴,∴,||=|.又点F不在EH上,

∴四边形EFGH是梯形.