新高一预习：题型分类细讲精练01 集合题型归类（人教数学A版2019必修第一册）

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专题01 集合题型归类


【题型一】集合与元素
【典例分析】
非空集合具有下列性质：①若、，则；②若、，则，下列判断一定成立的是（        ）
（1）；（2）；（3）若、，则；（4）若、，则.
A．（1）（3） B．（1）（2）
C．（1）（2）（3） D．（1）（2）（3）（4）
【答案】C
【分析】
假设，可推出，由此可判断（1）的正误；推导出，进而可推导出，，由此可判断（2）的正误；推导出，结合①可判断（3）的正误；若、，假设，推出，可判断（4）的正误.综合可得出结论.
【详解】
由①可知.
对于（1），若，对任意的，，则，
所以，，这与矛盾，（1）正确；
对于（2），若且，则，，，
依此类推可得知，，，，，，（2）正确；
对于（3），若、，则且，由（2）可知，，则，
所以，，（3）正确；
对于（4），由（2）得，，取 ，则，所以（4）错误.
故选：C.


【提分秘籍】
基本规律
1.研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性。
2.研究两（多个）集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系。

【变式演练】
1.给出下列关系式：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
①空集中不含任何元素，由此可判断①；
②是整数，故可判断②正确；
③通过解方程，可得出，故可判断③；
④根据为正整数集可判断④；
⑤通过解方程，得，从而可判断⑤.
【详解】
①，故①错误；
②是整数，所以，故②正确；
③由，得或，所以，所以正确；
④为正整数集，所以错误；
⑤由，得，所以，所以错误.
所以正确的个数有2个.
故选：B.

2下面五个式子中：①；②；③{a }{a，b}；④；⑤a {b，c，a}；正确的有（       ）
A．②④⑤ B．②③④⑤ C．②④ D．①⑤
【答案】A
【分析】根据元素与集合，集合与集合之间的关系逐个分析即可得出答案.
中，是集合{a}中的一个元素，，所以错误；

空集是任一集合的子集，所以正确；
是的子集，所以错误；
任何集合是其本身的子集，所以正确；
a是的元素，所以正确.
故选：A.
3.已知集合，下列选项中均为A的元素的是（       ）
（1）（2）（3）（4）
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（2）（4）
【答案】B
【分析】根据元素与集合的关系判断．
集合有两个元素：和，
故选：B

【题型二】集合中的元素个数
【典例分析】
已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，y﹣x∈A}，则集合B中的元素的个数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】
通过集合，利用，，，求出集合中元素的个数．
【详解】
解：因为集合，2，3，，，，，
所以当时，或或，
当时，或，
当时，，
即
所以集合中的元素个数为6．
故选：．


【提分秘籍】
基本规律
集合中元素个数：
1.点集多是图像交点
2.数集，多涉及到一元二次方程的根。3
【变式演练】
1.已知与是集合的两个子集，满足：与的元素个数相同，且为空集，若时总有，则集合的元素个数最多为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
令，解得，从中去掉形如的数，此时中有个元素，注意中还可含以下个特殊元素：、、、、、、，故中元素最多时，中共有个元素，由此可得出结论.
【详解】
令，解得，所以，集合是集合的一个非空子集.
再由，先从中去掉形如的数，由，可得，，此时，中有个元素.
由于集合中已经去掉了、、、、、、这个数，而它们对应的形如的数分别为、、、、、、，并且、、、、、、对应的形如的数都在集合中.
故集合中还可有以下个特殊元素：、、、、、、，
故集合中元素最多时，集合中共有个元素，对应的集合也有个元素，
因此，中共有个元素.
故选B.
2.已知集合.若，且对任意的，，均有，则集合B中元素个数的最大值为
A．25 B．49 C．75 D．99
【答案】D
【分析】
先分析集合元素的特点，通过列举可得.
【详解】
当或的值较小时，集合B中元素个数最多，即共有99个元素.
【点睛】
本题主要考查集合的表示方法，抓住集合元素的特点是求解的关键.
3.已知集合，，且，则的元素个数为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
对于集合，任取，令，对于集合，任取，令，令，可得出，分析可得，列举出的可能取值的个数，即可得解.
【详解】
对于集合，任取，令，
对于集合，任取，令，
令，则，可得，
因为且，则，
可集合中能被整除的数为、、，
共有组、数据满足条件，故的元素个数为.
故选：B.


【题型三】元素个数求参
【典例分析】
已知集合只有一个元素，则的取值集合为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对参数分类讨论，结合判别式法得到结果.
解：①当时，，此时满足条件；
②当时，中只有一个元素的话，，解得，
综上，的取值集合为，．
故选：D．



【提分秘籍】
基本规律
在根据元素与集合关系求解参数值的问题时，容易错的地方是忽略求得参数值后，需验证集合中元素是否满足互异性

【变式演练】
1.已知，若集合A中恰好有5个元素，则实数的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知求出集合A，进一步得到m的范围.
【详解】
由题意可知，可得.
故选：D
2.若集合至多含有一个元素，则的取值范围是（       ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
把题意转化为方程无实根或两相等实根或一个实根，然后通过分类讨论求的取值范围.
【详解】
因为集合至多含有一个元素，
所以时，，此时满足题意；
当时，要满足题意，需方程无实根或两相等实根，
即，所以.
综上知，的取值范围是.
故选：B.
3.某个含有三个元素的集合可以表示为，也可以表示为，则的值为（       ）
A．0 B．1 C．－1 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据，结合集合相等的条件，求得，即可求解.
【详解】
由题意，集合，
根据集合相等的条件，可得且，所以，
所以.
故选：C.



【题型四】子集及子集个数
【典例分析】
设A是集合的子集，只含有3个元素，且不含相邻的整数，则这种子集A的个数为（       ）
A．32 B．56 C．72 D．84
【答案】B
【分析】
分类列举出每一种可能性即可得到答案.
【详解】
若1,3在集合A内，则还有一个元素为5,6,7,8,9,10中的一个；
若1,4在集合A内，则还有一个元素为6,7,8,9,10中的一个；

若1,8在集合A内，则还有一个元素为10；
共有6+5+4+3+2+1=21个.
若2,4在集合A内，则还有一个元素为6,7,8,9,10中的一个；
若2,5在集合A内，则还有一个元素为7,8,9,10中的一个；

若2,8在集合A内，则还有一个元素为10；
共有5+4+3+2+1=15个.
若3,5在集合A内，则还有一个元素为7,8,9,10中的一个；
若3,6在集合A内，则还有一个元素为8,9,10中的一个；

若3,8在集合A内，则还有一个元素为10；
共有4+3+2+1=10个.
若4,6在集合A内，则还有一个元素为8,9,10中的一个；
若4,7在集合A内，则还有一个元素为9,10中的一个；
若4,8在集合A内，则还有一个元素为10；
共有3+2+1=6个.
若5,7在集合A内，则还有一个元素为9,10中的一个；
若5,8在集合A内，则还有一个元素为10；
共有2+1=3个.
若6,8,10在在集合A内，只有1个.
总共有21+15+10+6+3+1=56个
故选：B.

【提分秘籍】
基本规律
元素与集合以及集合与集合子集关系的判断，解题的关键是正确理解所给的定义及熟练运用分类讨论的思想进行列举

【变式演练】
1.若集合，，，则A，B，C之间的关系是（       ）
A． B．AÜB=C C．AÜBÜC D．BÜCÜA
【答案】B
【分析】
先将A,B,C三个集合里面的分母统一为6，再去比较每个集合的关系.
【详解】
将各集合中元素的公共属性化归为同一形式，集合A中，，；集合B中，，；集合C中，，．由与p均表示整数，且，可得AÜB=C．
故选B.
2.已知集合，集合，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先分析集合M、N，得到，再对四个选项一一判断.
【详解】
，
.
因为可以表示偶数，列举出为，而可以表示全部整数.
所以
对于A：.故A错误；
对于B、C：.故B正确；C错误；
对于D：.故D错误.
故选：B
3.设全集U，有以下四个关系式：
甲：A∩B＝A；乙：A∪B＝B；丙：；丁：．
如果有且只有一个不成立，则该式是（       ）
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
【答案】C
【分析】
先将甲、乙、丙、丁的关系转化为集合的包含关系，分析即得解
【详解】
由题意，甲：A∩B＝A
乙：A∪B＝B
丙：
丁：
由于甲、乙、丁是等价的，故如果有且只有一个不成立，则该式是丙
故选：C


【题型五】子集关系求参(难点）
【典例分析】
已知集合，，若，则的取值集合为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题意知，分别讨论和两种情况，即可得出结果.
【详解】
由，知，因为，，
若，则方程无解，所以满足题意；
若，则，
因为，所以，则满足题意；
故实数取值的集合为.
故选：D.



【提分秘籍】
基本规律
授课时讲透彻这个“顺序感”：子集是从“从空集开始，到自身结束”

【变式演练】
1.设a，b是实数，集合，，且，则的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
解绝对值不等式得到集合，再利用集合的包含关系得到不等式，解不等式即可得解.
【详解】
集合，
或
又，所以或
即或，即
所以的取值范围为
故选：D
2.已知，，若且，则实数的取值范围是（       ）
A．
B．
C．
D．或
【答案】B
【分析】
集合A的的取值范围是确定的，集合B中，二次函数开口向上，要先考虑恒成立的情况；若不恒成立，再结合的条件进行讨论，从而得到的取值范围
【详解】
集合A中，由得，当时，，（舍）；当时，，，所以集合；集合B中，若，，则，符合要求；若，根据二次函数对称轴为，若，则，，综上可得：
故选：B
3.设集合，或，若，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据给定条件按集合A是否为空集两类列式计算得解.
【详解】
因集合，
若，有，解得，此时，于是得，
若，因或，则由得：，解得：，
综上得：，
所以实数的取值范围为.
故选：A

【题型六】子集综合应用
【典例分析】
已知集合，，，则A，B，C之间的关系是（       ）
A．A=BC B．AB=C
C．ABC D．BC=A
【答案】B
【分析】
将三个集合分别化简，分母一样，比较分子的不同，根据所表示范围的大小，判断出集合的关系．
【详解】
解：集合，，，
集合，，，
集合，，，
时，表示被6除余1的数；时，表示被3除余1的数；时，表示被3除余1的数；
所以，
故选：B．

【提分秘籍】
基本规律
1.借助于分类讨论思想
2.借助于枚举思想

【变式演练】
1.定义，设、、是某集合的三个子集，且满足，则是的（       ）
A．充要条件 B．充分非必要条件
C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【分析】
作出示意图，由可知两个阴影部分均为，根据新定义结合集合并集的运算以及充分条件与必要条件的定义判断即可.
【详解】
如图，由于，

故两个阴影部分均为，
于是，
（1）若，则，，
而，
成立；
（2）反之，若，
则由于，，
，，，故选：A
2.已知：A＝{x|x2＝1}，B＝{x|ax＝1}，C＝{x|x＝a}，B⊆A，则C的真子集个数是（ ）
A．3 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】
首先求得A＝{﹣1，1}，之后根据B⊆A，求得的值，从而得到C＝{﹣1，0，1}，根据含有个元素的有限集合真子集的个数，求得结果.
【详解】
由A中x2＝1，得到x＝1或﹣1，即A＝{﹣1，1}，
∵B＝{x|ax＝1}，B⊆A，
∴把x＝﹣1代入ax＝1，得：a＝﹣1；把x＝1代入ax＝1得：a＝1，
当时，，满足B⊆A，
∴C＝{﹣1，0，1}，
则C真子集个数为23﹣1＝7．
故选：C.
3.已知集合，，则之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
化简，从而可得，排除，，考虑元素5与集合的关系再可排除，从而得到结果.
【详解】
∵，，
∴，故排除选项，，
又∵，，∴排除，
故选：.



【题型七】集合交集运算及求参
【典例分析】
已知集合，．若，则a的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由集合包含关系可得，讨论、分别求参数范围，最后取并集即可得结果.
【详解】
由，可得，
当时，，即，满足题设；
当时，，即，且，可得；
综上，a的取值范围为.
故选：C.



【提分秘籍】
基本规律
1.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，,一般要在数轴上（或者坐标系中）表示出来，形象直观，一定要注意端点值和临界值，看是否包括。
2.＝；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.

【变式演练】
1.已知集合，下列描述正确的是（       ）
A． B．
C． D．以上选项都不对
【答案】A
【分析】
将两个集合等价变形，从而可判断两个集合的关系，从而可得出答案.
【详解】
解：，
分子取到的整数倍加1，
，
分子取全体整数，
所以，
所以.
故选：A.
2.已知集合，，若，则（       ）
A．或 B．或
C．或或 D．或或
【答案】D
【分析】
本题考查集合的运算和集合之间的关系.，说明，根据这个关系可以求出参数的值，注意考虑空集的情况
【详解】
因为等价于, 解得或,
所以.
因为,
所以,
当时, 成立，此时;
当时, , 解可得,
因为, 所以或,
解得或.
综上, 的值为或或.
故选:D.
3.若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素且互不为对方的子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
讨论和，求得集合，再由新定义，得到的方程，即可解得的值．
【详解】
解：集合，，
，，
若，则，
即有；
若，可得，，
不满足；
若，两个集合有公共元素，但互不为对方子集，
可得或，解得或．
综上可得，或或2.
故选：A.



【题型八】集合并集运算及求参
【典例分析】
已知集合，，，则(       )
A．0或4 B．0或
C．1或 D．1或4
【答案】A
【分析】
由求出集合和的包含关系，然后利用集合间包含关系求解即可.
【详解】
集合，，可得，
若，，则，，显然成立；
若，或1；
当时，显然成立，
当时，，不满足元素的互异性，舍去，
综上所述，或4．
故选：A．


【提分秘籍】
基本规律
1.“并大交小”
2.＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.

【变式演练】
1.已知集合A={x|-3≤x≤-2}，集合B={x|m-1≤x≤2m+1}，且A∪B=A，则实数m的取值范围是（       ）
A．-4≤m≤ B．-4 C．m≤ D．m≥
【答案】C
【分析】
依题意得到B⊆A，然后按B=⌀和B≠⌀讨论计算即可.
【详解】
由A∪B=A，得B⊆A，则有B=⌀和B≠⌀两种情况，

当B=⌀时，有m-1>2m+1，∴m<-2；
当B≠⌀时，观察右图，
由数轴可得，解得-2≤m≤-.
综上所述，实数m的取值范围是m≤-.
故选：C
2.已知集合，若，则 的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先解不等式，化简集合，再由并集的结果，列出不等式求解，即可得出结果.
【详解】
因为或，
又，
所以只需，解得，
故选：B.
3.已知，，若，那么实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意,可先化简集合A,再由得,由此对B的集合讨论求a,由于集合B可能为空集,可分两类探讨,当B是空集时,与B不是空集时,分别解出a的取值范围,选出正确选项
【详解】解：由题意,,
由得
又
当B是空集时,符合题意,此时有解得
当B不是空集时,有解得
综上知,实数a的取值范围是
故选：D





【题型九】集合补集运算及求参
【典例分析】
设全集且，，若，，则这样的集合共有（       ）
A．个 B．个
C．个 D．个
【答案】D
【分析】
先求出全集，再求出集合的子集即为，再进行补集运算可得集合，进而可得正确选项.
【详解】
且，
的子集有，，，，，，，，
的子集有个，，所以有个，
因为，所以存在一个即有一个相应的，
所以，，，，
，，，有个，
故选：D.


【提分秘籍】
基本规律
＝U；＝；＝A.

【变式演练】
1.若全集，集合，，则=（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
转化条件，结合描述法表示集合及集合交、补运算的定义即可得解.
【详解】
集合的关系式可以变为，它的几何意义是直线上去掉点后所有的点的集合，
所以，表示直线外所有点及点的集合；
集合表示直线外所有点的集合，
，表示直线上所有点的集合；
从而可得.
故选：B.
2.设全集，集合，那么____________.
【答案】
【分析】
分析出集合，的各自意义，进而可知的各自意义，从而可求出.
【详解】
解：由可得，即表示直线除去的点集，
表示平面内不在直线上的点集，则表示平面内在直线上的点集，
表示不在直线上的点和点的集合，所以.
故答案为: .
3.已知集合A中有10个元素,集合B中有6个元素,全集U中有18个元素,且有,设集合中有x个元素,则x的取值范围是______.
【答案】且x为整数
【分析】
由集合B中有6个元素,考虑当A与B两集合的交集最少时,仅有一个元素时,得到两集合的并集有15个元素,根据全集有18个元素,得到两集合并集的补集有3个元素;当两集合的交集最多时,有6个元素时,两集合的并集有10个元素,得到两集合并集的补集有8个元素,所以得到两集合并集中元素x的取值范围.
【详解】
因为当集合中仅有一个元素时,集合中有3个元素,
当中有6个元素时,中有8个元素,
则得到且x为整数.
故答案为:且x为整数

【题型十】韦恩图
【典例分析】
集合，，将集合A，B分别用如图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为2的是（       ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】
首先求出集合，再结合韦恩图及交集、并集、补集的定义计算可得；
【详解】
解：∵，，
∴，则，，
选项A中阴影部分表示的集合为，即，故A错误；
选项B中阴影部分表示的集合由属于A但不属于B的元素构成，即，故B正确；
选项C中阴影部分表示的集合由属于B但不属于A的元素构成，即，有1个元素，故C错误；
选项D中阴影部分表示的集合由属于但不属于的元素构成，即，故D错误．
故选：B．


【提分秘籍】
基本规律
韦恩图思考时，要从四种位置关系来保证思考的“完备性”


【变式演练】
1集合，，将集合A，B分别用如图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为4的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
记，然后分析每个选项对应的集合的运算并求解出结果进行判断即可.
【详解】
因为，，所以，
记，
对于A选项，其表示，不满足；
对于B选项，其表示，不满足；
对于C选项，其表示，满足；
对于D选项，其表示，不满足；
故选：C.
2..如图，三个圆的内部区域分别代表集合，，，全集为，则图中阴影部分的区域表示（       ）


A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】找到每一个选项对应的区域即得解.
解：如图所示，
A. 对应的是区域1；       B. 对应的是区域2；
C. 对应的是区域3；       D. 对应的是区域4.故选：B
3.正确表示图中阴影部分的是（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
根据Venn图直接写出图中阴影部的正确表示即可.
【详解】
解：由题意图中阴影部分：
故选：C




【题型十一】集合与新定义
【典例分析】
对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或都为正奇数时，；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，，则在此定义下，集合中的元素个数是（       ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】B
【分析】
根据定义结合已知条件，对分都是正偶数，都是正奇数，一个为正偶数，另一个为正奇数三种情况讨论即可求解
【详解】
（1）m，n都是正偶数时：
m从2，4，6任取一个有3种取法，而对应的n有一种取法；
∴有3种取法，即这种情况下集合M有3个元素；
（2）m，n都为正奇数时：
m从1，3，5，7任取一个有4种取法，而对应的n有一种取法；
∴有4种取法，即这种情况下集合M有4个元素；
（3）当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时：
当m=8，n=1，和m=1，n=8，即这种情况下集合M有两个元素；
∴集合M的元素个数是3+4+2=9．
故选：B．



【提分秘籍】
基本规律
解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：
1、 紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；
2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.

【变式演练】
1.用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，设实数的所有可能取值构成集合. 则
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】D
【分析】
,有两个元素；且，所以B中有一个或者三个元素，然后分情况讨论．
【详解】
因为，有两个元素，，所以B中有一个或者三个元素．
当B有一个元素时，有一个解，可得．
当B有3个元素时，有三个解，其中，
当有一个解时，则，可得
当有两个解且其中一个和0或者相等时也满足条件．
此时， 显然，不等于0
所以或者
解出或者也满足条件．
综上所述的取值为，-3，3 构成集合S的个数为：5
故选D
2.给定全集，非空集合满足，，且集合中的最大元素小于集合中的最小元素，则称为的一个有序子集对，若，则的有序子集对的个数为
A．48 B．49 C．50 D．51
【答案】B
【详解】
时，的个数是
时，的个数是
时，的个数是 ，
时，的个数是1
时，的个数是，
时，的个数是
时，的个数是1，
时，的个数是
时，的个数是1
时，的个数是1
时，的个数是
时，的个数是1、
时，的个数是1
时，的个数是1
时， 的个数是1
的有序子集对的个数为49个，
3.．对于非空数集M，定义表示该集合中所有元素的和.给定集合，定义集合，则集合的元素的个数为（       ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】B
【分析】
分别考虑集合为单元素集、双元素集、三元素集、四元素集，然后分别计算出的取值，由此确定出集合中的元素的个数.
【详解】
当集合为单元素集时，可取，此时可取；
当集合为双元素集时，可取，此时可取；
当集合为三元素集时，可取，此时可取，
当集合为四元素集时，可取，此时可取，
综上可知可取，共个值，所以的元素个数为，
故选：B.

【题型十二】集合综合
【典例分析】
在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中.
问题：已知集合，_______，若，求a的取值范围.
【答案】条件选择、答案见解析.
【分析】
选择条件①②③，按集合A是否为空集，分类讨论列出不等式，求解作答.
【详解】
选择条件①：，因，
当时，，解得a≥5，当时，或，解得4≤a＜5，
所以a的取值范围为.
选择条件②：，则，因，
当时，，解得a≥5，当时，，无解，
所以a的取值范围为.
选择条件③：，因，
当时，，解得a≥5，当时，，解得，
所以a的取值范围为.
【变式演练】
1.已知集合A＝{x|x＜﹣2或x＞3}，B＝{x|a﹣2x≥0}．
(1)当a＝6时，求A∪B，A∩B；
(2)当A∪B＝R时，求实数a的取值范围．
【答案】(1)A∪B＝R，A∩B＝（﹣∞，﹣2）
(2)
【分析】
（1）结合不等式的解法，求出集合B的等价条件，结合集合交集，并集的定义进行求解即可．
（2）将题意转换为，建立不等式关系进行求解即可．
(1)
a＝6时，，A∪B＝R，所以；
(2)
因为A∪B＝R，所以，因为，
所以，解得．
2.已知集合，，．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）由题意得，然后对是否为空集进行分类讨论可求；
（2）当时，结合是否为空集进行分类讨论可求的范围，然后结合补集思想可求满足条件的的范围．
(1)
解：因为，
所以，
当时，，即，
当时，，解得，
综上，的取值范围为；
(2)
解：当时，
当时，，即，
当时，或，
解得，，
综上，时，或，
故当时，实数的取值范围为．
3.设集合，集合．
(1)若，求，；
(2)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】
（1）代入，得集合B，利用交集与并集的定义求解；
（2）由题意判断出，因为，故根据集合端点满足的条件列式求解即可.
(1)
因为，所以，所以，；
(2)
因为是成立的必要不充分条件，所以.又，故不为空集，故，得，
所以实数的取值范围.




分阶培优练


培优第一阶——基础过关练
1.如图，阴影部分用集合、、表示为

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
如图，观察图形可知，阴影是B的补集与集合A的交集，即，故选C.

2.已知有限集X，Y，定义集合，且，表示集合X中的元素个数.若，则（       ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】
利用新定义及并集运算，即可得到结果.
【详解】
∵
∴，，
∴，
∴，
故选：A
3.已知集合，，则集合中的元素个数为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由即可求解满足题意的点的坐标.
【详解】
解：由题意，满足条件的平面内以为坐标的点集合，所以集合的元素个数为.
故选：B.
4.若，则的可能取值有（       ）
A．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3
【答案】C
【分析】根据元素与集合的关系及集合中元素的性质，即可判断的可能取值.
，则，符合题设；
时，显然不满足集合中元素的互异性，不合题设；
时，则，符合题设；
∴或均可以.
故选：C
5.已知，，则“使得”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】
依据子集的定义进行判断即可解决二者间的逻辑关系.
【详解】
若使得，则有成立；
若，则有使得成立.
则“使得”是“”的充要条件
故选：C
6.．若集合，，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据条件探求集合P，Q的公共元素的规律，再根据规律即可判断作答.
【详解】
依题意，当，时，，，如果它们是相同元素，
则当，时，，即，于是得是3的整数倍，
令，则，此时，，因此，集合P，Q的公共元素是，
所以.
故选：D
7.已知集合，，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先将三个集合化成形式差不多的结构，分别判断出其大小关系，最后可求出的值.
【详解】
任取，则，其中，所以，故，所以；任取，则，所以，所以，所以
故选:C．
8.已知，，若且，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．或
【答案】B
【分析】
集合A的的取值范围是确定的，集合B中，二次函数开口向上，要先考虑恒成立的情况；若不恒成立，再结合的条件进行讨论，从而得到的取值范围
【详解】
集合A中，由得，当时，，（舍）；当时，，，所以集合；集合B中，若，，则，符合要求；若，根据二次函数对称轴为，若，则，，综上可得：
故选：B
9.已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＝m+1，m∈A}．


(1)求图中阴影部分表示的集合C；
(2)若非空集合D＝{x|4﹣a＜x＜a}，且D⊆（A∪B），求实数a的取值范围．
【答案】(1){x|1≤x＜2}
(2)（2，3]
【分析】
（1）根据条件求出集合A，B结合Venn图即可求图中阴影部分表示的集合C；
（2）根据集合关系进行转化求解即可．
（1）因为，．所以B＝{x|2≤x≤4}，根据题意，由图可得：，因为B＝{x|2≤x≤4}，则＝{x|x＞4或x＜2}，而A＝{x|1≤x≤3}，则；
（2）因为集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2≤x≤4}，所以A∪B＝{x|1≤x≤4}，若非空集合D＝{x|4﹣a＜x＜a}，且D⊆（A∪B），则有，解得2＜a≤3，即实数a的取值范围为（2，3]．
10.已知集合.
(1)若集合，且，求的值；
(2)若集合，且A∩C＝C，求a的取值范围.
【答案】(1)5
(2)﹛或﹜
【分析】
（1）利用集合相等的条件求a的值，但要注意验证；
（2）由A∩C＝C得C⊆A，再利用集合子集的元素关系求解.
(1)
由x2﹣8x+12＝0得x＝2或x＝6，∴A＝{2，6}，
因为A＝B，所以，
解得，
故a＝5.
(2)
因为A∩C＝C，所以C⊆A.
当C＝∅时，△＝1﹣24a＜0，解得a；
当C＝{2}时，1﹣24a＝0且22a﹣2+6＝0，此时无解；
当C＝{6}时，1﹣24a＝0.且62a﹣6+6＝0，此时无解或a＝0.
综上，a的取值范围为.




培优第二阶——能力提升练

1.如图所示，表示图形阴影部分的是（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
由韦恩图可以看出，阴影部分中的元素满足“是A的元素且是B的元素，或是C的元素”，由韦恩图与集合之间的关系易得答案.
【详解】
由已知中阴影部分所表示的集合元素满足:“是A的元素且是B的元素，或是C的元素”.
故阴影部分所表示的集合是：
故选：A
2.给定全集，非空集合满足，，且集合中的最大元素小于集合中的最小元素，则称为的一个有序子集对，若，则的有序子集对的个数为（     ）
A．16 B．17 C．18 D．19
【答案】B
【详解】
时，的个数是
时，的个数是
时，的个数是1，
时，的个数是
时，的个数是1，
时，的个数是1，
时，的个数是1，
的有序子集对的个数为：17个，
3已知集合中有10个元素，中有6个元素，全集有18个元素，.设集合中有个元素，则的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
分析可得至少有 个元素，至多有个元素，由，由补集的定义即可求解.
【详解】
集合中有10个元素，中有6个元素，因为，
至少有 个元素，至多有个元素，
所以至多有个元素，至少有个 元素，
集合有个元素，则且为正整数.
即的取值范围是，
故选：.
4.已知集合其中，，其中则与的关系为
A． B． C． D．
【答案】A
先任取，分同为奇数或同为偶数和一奇一偶两种情况向集合B进行变形，得到形式，说明同理任取，变形为说明得到.
【详解】
任取
当同为奇数或同为偶数时，
当一奇一偶时，
因为所以，
所以
所以
任取，
，
所以
所以
故选：A
5.同时满足：①，②，则的非空集合M有（       ）
A．6个 B．7个
C．15个 D．16个
【答案】B
【分析】
根据所给条件确定M中元素，再根据M是所给集合的子集，得到所有的M即可求解.
【详解】
时，；时，；时，；时，；，，
∴非空集合M为，，，，，，，共7个．
故选：B
6.设，，若，则实数的值的个数是(       )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
首先求出集合A，然后根据已知条件得到，然后分别讨论和两种情况，并结合集合间的包含关系即可求解.
【详解】
由题意可知，
因为，所以，
当时，此时，满足.
当时，此时且，
因为，所以或，解得或，
故实数的值的个数为3.
故选：C.
7.设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，2] C．（2，+∞） D．[2，+∞）
【答案】B
【详解】试题分析：当时，，此时成立，当时，，当时，，即，当时，，当时，恒成立，所以的取值范围为，故选B.
8.已知集合，，若，则实数的取值集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
化简集合，再对分三种情况讨论得解.
【详解】
由题得，
因为，
所以
当时，
当时，；
当时，；
故实数的取值集合是.
故选：C
9.已知，，若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
【答案】m≤0
【分析】
由题设，由是的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，分类讨论即可得出．
【详解】
由p：得：，由q：，
因为是的充分不必要条件，
所以q是p的充分不必要条件，
当，即为空集时，此时，则．
当时，(注意与中等号不能同时成立)，解得m＝0．
∴m≤0．
10.已知集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|a+2≤x≤3a}．
(1)当a＝2时，求A∩B；
(2)若B⊆A，求实数a的取值范围．
【答案】(1)A∩B＝∅
(2)（﹣∞，）
【分析】
（1）利用交集及其运算求解即可．
（2）利用集合间的关系列出不等式组，求解即可．
(1)
当a＝2时，B＝{x|a+2≤x≤3a}＝{x|4≤x≤6}，
∵A＝{x|2≤x＜4}，
∴A∩B＝∅．
(2)
若B⊆A，
①当B＝∅时，则a+2＞3a，∴a＜1，
②当B≠∅时，则，∴1≤a，
综上，实数a的取值范围为（﹣∞，）．

培优第三阶——培优拔尖练
1.定义差集A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，现有三个集合A，B，C分别用圆表示，则集合C－(A－B)可表示下列图中阴影部分的为(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用题中对A-B的定义知，首先得出A-B，然后再由差集定义得出C-（A-B）．
【详解】
∵A-B={x|x∈A，且x∉B}，即A-B是集合A中的元素去掉A∩B 记作集合D
如图所示
∴集合C-（A-B）就是C中的元素去掉集合C∩D.故选A．
【点睛】
本题考查理解题中的新定义，新定义题是近几年高考常考的题型，要重视．
2.已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1，3}，定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素数字之和为（       ）
A．15 B．16 C．20 D．21
【答案】D
【分析】
先求得集合A，再根据集合运算的定义，得出集合的元素，由此可得选项.
【详解】
由x2－2x－3≤0，得(x＋1)(x－3)≤0，得A＝{0，1，2，3}．因为A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，
所以A*B中的元素有：0＋1＝1，0＋3＝3，1＋1＝2，1＋3＝4，2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5，3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，
所以A*B＝{1，2，3，4，5，6}，
所以A*B中的所有元素数字之和为21.
故选：D.
3.若集合A={(m，n)|(m+1)+(m＋2)+…+(m+n)=2020，m∈Z，n∈N*}，则集合A中的元素个数为（       ）．
A．8 B．10 C．12 D．16
【答案】A
【详解】
=2020，即(2m+n+1)n=4040，
4040=23×5×101．而2m+n+1与n奇偶性不同，
考虑奇数，只能有数5或101，所以2×2×2=8种．
分别为(248，8)，(-241，505)，(30，40)，(-31，101)，(-402，808)，(401，5)，(-2020，4040)，(2019，1)，共8组．
故选：A.
4.若集合，，则集合之间的关系为（       ）
A．AB B．BA
C． D．
【答案】C
【分析】
根据子集的定义证得和，即可得出结论.
【详解】
设任意，则，当时，
所以；当时，
，所以．所以
又设任意，则
因为，，
且表示所有的偶数，表示所有的奇数．
所以与都表示所有的奇数．所以．
所以故．
故选：C.
5.已知集合，，则满足条件Ü 的集合的个数为（       ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【答案】C
【分析】
化简集合A，B，根据条件Ü 确定集合的个数即可.
【详解】
因为，,
且Ü
所以集合C的个数为
故选：C
6.已知集合，，若，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【分析】
转化，分，，列出不等式限制条件，求解即可
【详解】
由题意，
（1）若，则，成立；
（2）若，则，解得
综上，实数的取值范围是或
故选：C
7.若，，定义，
则
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】试题分析：由题意，
，
所以,

所以
8.集合或，若，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据，分和两种情况讨论，建立不等关系即可求实数的取值范围．
解：，①当时，即无解，此时，满足题意．
②当时，即有解，当时，可得，要使，则需要，解得．
当时，可得，要使，则需要，解得，
综上，实数的取值范围是．故选：A．
9.已知集合A＝{x|x2+4ax﹣4a+3＝0}，B＝{x|x2+（a﹣1）x+a2＝0}，C＝{x|x2+2ax﹣2a＝0}，其中至少有一个集合不为空集，求实数a的取值范围．
【答案】a≥﹣1或a．
【分析】
关于“至少“至多”“不存在”等问题可考虑反面，本题的反面是A、B、C都是空集，由此能求出a的取值范围．
【详解】
假设集合A、B、C都是空集，
对于A，元素是x，，表示不存在x使得式子 成立，
，解得；
对于B，，同理，解得 或者；
对于集合C，，同理，解得；
三者交集为 ；
取反面即可得A、B、C三个集合至少有一个集合不为空集，
∴a的取值范围是或 ；
综上， 或 .
10.设全集为，，．
(1)若，求，；
(2)请在①，②，③三个条件中，任选其中一个作为条件，并求在该条件下实数的取值范围．（若多个选择，只对第一个选择给分．）
【答案】(1)；；
(2)答案见解析
【分析】
（1）由已知，把代入集合A，然后根据集合A、集合B可以直接求解，然后利用再去求解；
（2）分别根据三个条件，找到集合A、集合B之间的关系，注意考虑空集的情况，可以列出关于参数a的不等式，求解即可.
(1)
当时，，而，
所以，；
(2)
若选①，因为，．当时，
1.当时，，即，此时满足；
2.当时，满足，即需满足或
解得或
综上所述：实数的取值范围为.
若选②，因为，．当时，
1.       当时，，即，此时满足；
2.       当时，满足，即需满足，解得，
综上所述，实数的取值范围为；
若选③，因为，．当时，
需满足，解得.
综上所述：实数的取值范围为.