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第09讲有理数的乘方（4种题型）-（暑假预习）新七年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）
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这是一份第09讲有理数的乘方（4种题型）-（暑假预习）新七年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版），文件包含第09讲有理数的乘方4种题型解析版docx、第09讲有理数的乘方4种题型原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共37页， 欢迎下载使用。
第09讲有理数的乘方（4种题型）
【知识梳理】
一、 有理数的乘方
1、求个相同因数的积的运算叫乘方，乘方的结果叫幂。叫底数，叫指数，读作：的次幂(的次方)。
2、乘方的意义：表示个相乘。
3、写法的注意：
当底数是负数或分数时，底数一定要打括号，不然意义就全变了．
如：＝()×()，表示两个相乘．
而＝，表示2个2相乘的积除以3的相反数．
4、与－的区别．
(1)表示个相乘，底数是，指数是，读作：的次方．
(2)－表示个乘积的相反数，底数是，指数是，读作：的次方的相反数．
如：底数是，指数是3，读作(－2)的3次方，表示3个(－2)相乘．
＝(－2)×(－2)×(－2)＝－8．
底数是2，指数是3，读作2的3次方的相反数．＝－(2×2×2)＝－8．
注：与的结果虽然都是－8，但表示的含义并不同。
5、乘方运算的符号规律．
(1)正数的任何次幂都是正数．
(2)负数的奇次幂是负数．
(3)负数的偶次幂是正数．
(4)0的奇数次幂，偶次幂都是0．
所以，任何数的偶次幂都是正数或0。
二、 有理数的混合运算
1、有理数的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的，再算括号外面的。
2、括号前带负号，去掉括号后括号内各项要变号，即
，
三．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
【考点剖析】
一．有理数的乘方（共11小题）
1．（2022秋•南浔区期末）下列各组数中，运算结果相等的是（ ）
A．（﹣5）3与﹣53 B．23与32
C．﹣22与（﹣2）2 D．与
【分析】利用乘方运算法则计算后判断即可．
【解答】解：A、（﹣5）3＝﹣125，﹣53＝﹣125，故相等，符合题意；
B、23＝8，32＝9，故不相等，不符合题意；
C、﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4，故不相等，不符合题意；
D、，，故不相等，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的乘方，关键是掌握有理数的乘方的意义．
2．（2022秋•苍南县期中）把写成幂的形式是 （）5 ．
【分析】根据有理数的乘方得出结论即可．
【解答】解：＝（）5，
故答案为：（）5．
【点评】本题主要考查有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方计算是解题的关键．
3．（2022秋•柯桥区月考）如果a，b，c是整数，且ac＝b，那么我们规定一种记号（a，b）＝c，例如32＝9，那么记作（3，9）＝2，根据以上规定，求（﹣3，﹣27）＝ 3 ．
【分析】利用规定记号的意义将式子表示出乘方的形式，利用有理数乘方的意义解答即可．
【解答】解：设（﹣3，﹣27）＝x，
∵ac＝b，那么我们规定一种记号（a，b）＝c，
∴（﹣3）x＝﹣27．
∵（﹣3）3＝﹣27，
∴x＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了有理数的乘方，本题是新定义型题目，理解题干中的新规定并列出算式是解题的关键．
4．（2023•西湖区校级二模）﹣33＝（ ）
A．﹣9 B．9 C．﹣27 D．27
【分析】运用乘方知识进行计算、求解．
【解答】解：﹣33＝﹣27，
故选：C．
【点评】此题考查了实数的立方运算能力，关键是能准确理解并运用该知识进行计算．
5．（2022秋•青田县期末）一张纸的厚度为0.09mm，假设连续对折始终都是可能的，那么至少对折n次后，所得的厚度可以超过厚度为0.9cm的数学课本．则n的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】一张纸的厚度为0.09mm，对折1次后纸的厚度为0.09×2mm；对折2次后纸的厚度为0.09×2×2＝0.09×22mm；对折3次后纸的厚度为0.09×23mm；对折n次后纸的厚度为0.09×2nmm，据此列出不等式，求出n的取值范围即可．
【解答】解：∵折一次厚度变成这张纸的2倍，
折两次厚度变成这张纸的22倍，
折三次厚度变成这张纸的23倍，
折n次厚度变成这张纸的2n倍，
设对折n次后纸的厚度超过9mm，
则0.09×2n＞9，
解得2n＞100．
而26＜100＜27．
∴n为7．
故选：C．
【点评】本题考查从实际中寻找规律的能力，乘方是乘法的特征，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行，乘方的意义就是多少个某个数字的乘积．
6．（2022秋•文成县期中）下面的计算错在哪里？指出错误步骤的序号，并给出正确的解答过程．
﹣3＝……①
＝9÷1……②＝9……③
错误步骤的序号： ① ；
正确解答： ﹣ ；
【分析】根据有理的乘除法则及运算顺序进行判断，并计算便可．
【解答】解：∵﹣32＝﹣9，
∴步骤①错误；
正确的解答如下：
﹣3
＝﹣9÷（﹣8）×
＝﹣9×
＝﹣．
故答案为：①；﹣．
【点评】本题考查了有理数的乘除法，关键是熟记运算法则与运算顺序．
7．（2019秋•萧山区期中）计算：23＝ 8 ．
【分析】根据有理数的乘方计算即可
【解答】解：23＝8．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查有理数的乘方，解题的关键是掌握有理数的乘方的定义．
8．（2020秋•义乌市校级月考）定义：如果10b＝n，那么称b为n的劳格数，记为b＝d（n）．
（1）根据劳格数的定义，可知：d（10）＝1，d（102）＝2，那么：d（103）＝ 3 ．
（2）劳格数有如下运算性质：若m，n为正数，则d（mn）＝d（m）+d（n）；d（）＝d（m）﹣d（n）．若d（3）＝0.48，d（4）＝0.6，根据运算性质，填空：d（12）＝ 1.08 ，d（）＝ ﹣0.12 ，d（）＝ 0.66 ．
【分析】（1）根据劳格数的定义，可知：d（103）求得是10b＝103中的b值；
（2）由劳格数的运算性质可知，两数积的劳格数等于这两个数的劳格数的和；两数商的劳格数等于这两个数的劳格数的差，据此可解．
【解答】解：（1）根据劳格数的定义，可知：d（103）＝3；
故答案为：3．
（2）由劳格数的运算性质：
若d（3）＝0.48，d（4）＝0.6，
则d（12）＝d（3）+d（4）＝0.48+0.6＝1.08，
则d（）＝d（3）﹣d（4）＝0.48﹣0.6＝﹣0.12，
∵d（4）＝d（2×2）＝d（2）+d（2）＝0.6，
∴d（2）＝0.3，
d（）＝d（9）﹣d（2）＝d（3×3）﹣d（2）＝d（3）+d（3）﹣d（2）＝0.48+0.48−0.3＝0.66，
故答案为：1.08，﹣0.12，0.66．
【点评】本题考查了有理数的乘方，定义新运算，读懂题中的定义及运算法则是解题的关键．
9．（2021秋•吴兴区期中）已知三个互不相等有理数a，b，c，既可以表示为1，a，a+b的形式，又可以表示为0，，b的形式，则a2020b2021值是 1 ．
【分析】由有意义，则a≠0，则应有a+b＝0，＝﹣1，故只能b＝1，a＝﹣1了，再代入代数式求解．
【解答】解：因为三个互不相等的有理数1，a，a+b分别与0，，b对应相等，为有理数，
∴a≠0，a+b＝0，
∴＝﹣1，b＝1，
∴a＝﹣1，
∴a2020b2021＝（﹣1）2020×12021＝1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了实数的运算，属于探索性题目，关键是根据已知条件求出未知数的值再计算．
10．（2020秋•吴兴区校级期中）请你研究以下分析过程，并尝试完成下列问题．
13＝12
13+23＝9＝32＝（1+2）2
13+23+33＝36＝62＝（1+2+3）2
13+23+33+43＝100＝102＝（1+2+3+4）2
（1）13+23+33+…+103＝ 3025
（2）13+23+33+…+203＝ 44100
（3）13+23+33+…+n3＝
（4）计算：113+123+133+…+203的值．
【分析】根据已知一系列等式，得出一般性规律，计算即可得到结果．
【解答】解：（1）13+23+33+…+103＝3025；
（2）13+23+33+…+203＝44100；
（3）13+23+33+…+n3＝；
（4）113+123+133+…+203＝44100﹣3025＝41075．
故答案为：（1）3025；（2）44100；（3）；（4）41075．
【点评】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．
11．（2020秋•萧山区期中）阅读下列各式：（a•b）2＝a2b2，（a•b）3＝a3b3，（a•b）4＝a4b4…．
回答下列三个问题：①验证：（2×）100＝ 1 ，2100×（）100＝ 1 ；
②通过上述验证，归纳得出：（a•b）n＝ anbn ；（a•b•c）n＝ anbncn ；
③请应用上述性质计算：（﹣0.125）2019×22018×42017．
【分析】①根据有理数的乘法法则、有理数的乘方解决此题．
②通过猜想归纳解决此题．
③根据积的乘方、有理数的乘法法则、有理数的乘方解决此题．
【解答】解：①＝1100＝1，＝＝1．
故答案为：1，1．
②（a•b）n＝anbn，（a•b•c）n＝anbncn．
故答案为：anbn，anbncn．
③（﹣0.125）2019×22018×42017
＝×22018×42017
＝
＝
＝
＝．
【点评】本题主要考查有理数的乘法、积的乘方，熟练掌握有理数的乘法法则、积的乘方是解决本题的关键．
二．非负数的性质：偶次方（共5小题）
12．（2022秋•丽水期中）已知a，b满足|a+3|+（b﹣2）2＝0，则a+b的值为（ ）
A．1 B．5 C．﹣1 D．﹣5
【分析】直接利用偶次方的性质以及绝对值的性质得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵|a+3|+（b﹣2）2＝0，
∴a+3＝0，b﹣2＝0，
解得：a＝﹣3，b＝2，
故a+b＝﹣3+2＝﹣1．
故选：C．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出a，b的值是解题关键．
13．（2022秋•青田县期中）若|m+1|+（n﹣3）2＝0，则mn的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
【分析】利用非负数的性质求出m与n的值，代入所求式子计算即可得到结果．
【解答】解：∵|m+1|+（n﹣3）2＝0，|m+1|≥0，（n﹣3）2≥0，
∴m+1＝0，n﹣3＝0，
即m＝﹣1，n＝3，
则mn＝（﹣1）3＝﹣1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出m，n的值是解题关键．
14．（2021秋•兰山区校级月考）若|x﹣2|+（y+3）2＝0，则yx＝ 9 ．
【分析】根据非负数的性质可求出x、y的值，再将它们代入yx中求解即可．
【解答】解：∵x、y满足|x﹣2|+（y+3）2＝0，∴x﹣2＝0，x＝2；y+3＝0，y＝﹣3；则yx＝（﹣3）2＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．
15．（2022秋•兰溪市期中）已知（a﹣2）2与|b+1|互为相反数，求（a﹣b）a+b的值．
【分析】根据偶次方的非负性、绝对值的非负性、有理数的乘方解决此题．
【解答】解：由题意得：（a﹣2）2+|b+1|＝0．
∵（a﹣2）2≥0，|b+1|≥0，
∴a﹣2＝0，b+1＝0．
∴a＝2，b＝﹣1．
∴（a﹣b）a+b＝[2﹣（﹣1）]2+（﹣1）＝31＝3．
【点评】本题主要考查偶次方的非负性、绝对值的非负性、有理数的乘方，熟练掌握偶次方的非负性、绝对值的非负性、有理数的乘方是解决本题的关键．
16．（2022秋•衢州期中）已知，则（ab）2022＝ 1 ．
【分析】根据绝对值和偶次方是非负数的性质列式求出a、b的值然后代入代数式计算即可．
【解答】解：∵，
∴，b+2＝0，
∴，b＝﹣2，
∴，
故答案为：1．
【点评】本题考查了非负数的性质：根据几个非负数的和等于零，则每一个算式都等于零求出a、b的值是解此类题的关键．
三．科学记数法—表示较大的数（共9小题）
17．（2022秋•临海市期末）我国倡议的“一带一路”惠及约为4400000000人，用科学记数法表示该数为 4.4×109 ．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：4400000000＝4.4×109，
故答案为：4.4×109．
【点评】本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，解题的关键是要正确确定a和n的值．
18．（2023•杭州）杭州奥体中心体育场又称“大莲花”，里面有80800个座位．数据80800用科学记数法表示为（ ）
A．8.8×104 B．8.08×104 C．8.8×105 D．8.08×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：80800＝8.08×104，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
19．（2023•路桥区校级二模）2022年12月28日，台州市域铁路S1线开通运营，标志着台州城市发展迈入轨道时代台州市域铁路S1线全长约52.4公里，总投资约228.19亿元，是连接椒江区、路桥区及温岭市之间重要的城市快速通道．其中数据228.19亿用科学记数法表示为（ ）
A．0.22819×1010 B．0.22819×1011
C．2.2819×1010 D．2.2819×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：228.19亿＝22819000000＝2.2819×1010．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
20．（2023•郧阳区模拟）2022年5月10日凌晨，长征7号火箭托举着天舟四号货运飞船发射升空，在距地面390000米的高度，与空间站完成自主交会对接任务．390000用科学记数法表示为 3.9×105 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：390000＝3.9×105．
故答案为：3.9×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
21．（2022秋•拱墅区月考）北京冬奥会标志性场馆国家速滑馆“冰丝带”近12000平方米的冰面采用分模块控制技术．可根据不同项目分区域、分标准制冰．将数据12000用科学记数法表示为 1.2×104 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：12000＝1.2×104．
故答案为：1.2×104．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
22．（2023•余姚市二模）中国空间站2022年建成，轨道高度为400～450千米．“450千米”用科学记数法表示是（ ）
A．4.5×105米 B．0.45×107米 C．45×105米 D．4.5×107米
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：“450千米”等于“450000米”，用科学记数法表示是4.5×105米．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
23．（2021秋•越城区校级月考）一次自然灾害导致大约20万人受困，急需准备一批帐篷和粮食进行援助．估计每顶帐篷可以住10人，平均每人每天需要粮食0.4千克，共维持15天，那么有关部门需要筹集多少顶帐篷？多少吨粮食？（结果用科学记数法表示）
【分析】根据题意列式计算，并用科学记数法表示结果即可．
【解答】解：根据题意得：
20万＝200000，
所以有关部门需要筹集200000÷10＝20000（顶）帐篷，即2×104顶帐篷；
需要筹集200000×0.4×15＝1200000（千克）粮食，1200000千克＝1200吨
即1200＝1.2×103吨粮食．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
24．（2022秋•慈溪市期中）在宇宙之中，光速是目前知道的最快的速度，可以达到3×108m/s，如果我们用光速行驶3.6×103s，请问我们行驶的路程为多少m？
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：3×108×3.6×103＝3×3.6×108×103＝10.8×1011＝1.08×1012（m）．
答：行驶的路程为1.08×1012m．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
25．（2022秋•永嘉县校级月考）已知一个U盘的名义内存为10GB，平均每个视频的内存为512MB，平均每首音乐的内存为10.24MB，平均每篇文章的内存为10.24KB．现该U盘已存16个视频，50首音乐．若该U盘的内存的实际利用率为90%，求还可以存文章的最多篇数（用科学记数法表示）．（注：已知1GB＝1024MB，1MB＝1024KB）
【分析】根据题意列式求解，最后化成科学记数法．
【解答】解：（10×1024×1024×0.9﹣512×1024×16﹣10.24×50×1024）÷10.24＝5.12×104，
答：还可以存文章的最多篇数是5.12×104．
【点评】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的形式是解题的关键．
四．科学记数法—原数（共1小题）
26．（2021秋•平阳县期中）用科学记数法表示的数为4.315×103，这个数原来是（ ）
A．4315 B．431.5 C．43.15 D．4.315
【分析】将小数点向右移动3位即可得出原数．
【解答】解：用科学记数法表示的数为4.315×103，这个数原来是4315，
故选：A．
【点评】本题主要考查科学记数法—原数，科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．若科学记数法表示较小的数a×10﹣n，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023·浙江·七年级假期作业）的相反数为（ ）
A． B．3 C． D．9
【答案】C
【分析】根据乘方运算以及相反数的定义进行计算即可得到答案．
【详解】解：，
根据相反数的定义可知： 的相反数是．
故选：C．
【点睛】本题考查了乘方运算以及相反数的定义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号；正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2．（2022秋·浙江·七年级期末）的意义是（ ）
A．2×3 B．2＋3 C．2＋2＋2 D．2×2×2
【答案】D
【分析】根据幂的意义即可得出答案．
【详解】解：，
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，掌握表示n个a相乘是解题的关键．
3．（2023·浙江·七年级假期作业）代数式可以表示为（ ）
A． B． C． D．n2
【答案】C
【分析】根据有理数乘方的意义解答即可得.
【详解】解：代数式可以表示为；
故选：C.
【点睛】本题考查了有理数的乘方，理解乘方的意义是关键.
4．（2023春·浙江衢州·七年级校考阶段练习）若与互为相反数，则的值为（ ）
A． B．2021 C．1 D．
【答案】C
【分析】由相反数的定义和非负数的性质求出、的值，代入计算即可．
【详解】解：∵与互为相反数，
，
，，
解得，，
．
故选C．
【点睛】本题考查了相反数的定义和非负数的性质，解题的关键是求出、的值．
5．（2022春·浙江金华·七年级统考期末）下列对于式子的说法，错误的是（ ）
A．指数是2 B．底数是 C．幂为 D．表示2个相乘
【答案】C
【分析】根据乘方的定义解答即可．
【详解】A．指数是2，正确；
B．底数是，正确；
C．幂为9，故错误；
D．表示2个相乘，正确；．
故选C．
【点睛】此题考查了乘方的意义，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．乘方的定义为：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方运算的结果叫做幂．在中，它表示n个a相乘，其中a叫做底数，n叫做指数．
6．（2023·浙江·七年级假期作业）观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知可得尾数，，，的规律是4个数一循环，则的结果的个位数字与的个位数字相同，即可求解．
【详解】解：∵，，，，，，…，
∴尾数，，，的规律是4个数一循环，
∵，
∴的个位数字是，
又∵，
∴的结果的个位数字与的个位数字相同，
∴的结果的个位数字是．
故选：A．
【点睛】本题考查数的尾数特征，能够通过所给数的特点，确定尾数的循环规律是解题的关键．
7．（2022秋·浙江绍兴·七年级校联考期中）某种细胞每过秒便由个分裂成个．经过分钟，这种细胞由个分裂成（ ）个．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可得3分钟有12个15秒，进而根据有理数乘方的意义即可求解．
【详解】解：∵3分钟秒，
∴经过分钟，这种细胞由个分裂成个，
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，理解题意是解题的关键．
8．（2023·浙江·七年级假期作业）已知为正整数，计算的结果是（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．2
【答案】D
【分析】根据有理数乘方运算法则进行计算即可．
【详解】解：，
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方运算法则以及乘方的符号规律是解本题的关键．
9．（2023·浙江·七年级假期作业）已知，若，则的值（ ）
A．86.2 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据两式结果相差2位小数点，利用乘方的意义即可求出x的值．
【详解】解：∵，，
∴，
则．
故选C．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解题的关键．
二、填空题
10．（2022秋·浙江·七年级专题练习）计算：_____．
【答案】72
【分析】直接利用有理数的乘方运算法则计算得出答案．
【详解】解：．
故答案为：72．
【点睛】此题主要考查了有理数的乘方运算，正确化简各数是解题关键．
11．（2022秋·浙江绍兴·七年级校考期中）把写成幂的形式是____________.
【答案】
【分析】根据有理数的乘方的定义及幂的定义解答即可．
【详解】解：写成幂的形式为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的乘方及幂的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
12．（2023·浙江·七年级假期作业）若，则的值等于_____．
【答案】1
【分析】先根据求出a和b的值，再把a和b的值代入即可求解．
【详解】解：∵，
∴，解得：，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了绝对值与偶次幂的非负性，幂的运算，熟练掌握绝对值与偶次幂的非负性是解题的关键．
13．（2022秋·浙江·七年级专题练习）的底数是_____，指数是_____，计算的结果是_____．
【答案】 3 ﹣
【分析】根据有理数的乘方的定义和意义，在中，叫做底数，叫做指数；表示个相乘，即可．
【详解】∵在中，叫做底数，叫做指数
∴的底数是，指数是
∵表示个相乘
∴
故答案为：；3；﹣．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是掌握有理数的乘方的定义和意义．
14．（2023·浙江·七年级假期作业）已知，则______________．
【答案】2
【分析】把4写成即可求出m的值．
【详解】解：∵且，
∴，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了乘方的意义，正确把4写成是解答本题的关键．
15．（2023·浙江·七年级假期作业）一根米长的木棒，小明第一次截去全长的，第二次截去余下的，依次截去每一次余下的，则第五次截去后剩下的木棒长为__________米．
【答案】
【分析】根据题意可求出第一次截去全长的，剩下米，第二次截去余下的，剩下，从而即可得出第五次截去余下的，剩下米．
【详解】解：第一次截去全长的，剩下米，
第二次截去余下的，剩下米，
…
第五次截去余下的，剩下米．
故答案为：．
【点睛】本题考查有理数乘方的应用，数字类规律探索．理解乘方的定义是解题关键．
三、解答题
16．（2023·浙江·七年级假期作业）判断下列各式计算结果的正负：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)正
(2)负
(3)负
(4)负
【分析】根据有理数乘方的符号规律解答即可．
【详解】（1）解： ∵的指数是12，为偶数，负数的偶次幂是正数，
∴的结果为正；
（2）解：∵的指数是9，为奇数，负数的奇次幂是负数，
∴的结果为负；
（3）解：∵表示的是的相反数，正数的任何次幂都是正数，
的结果为正，所以的结果为负；
（4）解：∵的指数是11，为奇数，负数的奇次幂是负数，
∴的结果为负．
【点睛】本题主要考查了有理数乘方的符号规律，掌握负数的偶次幂为正、奇次幂为负成为解答本题的关键．
17．（2023·浙江·七年级假期作业）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)625
(2)
(3)0.027
【分析】（1）表示4个相乘，即可得出答案；
（2）先计算2的立方，即可得出答案；
（3）根据在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数，乘方是几个相同因数的简便运算，可得答案．
【详解】（1）；
（2）；
（3）．
【点睛】本题考查了乘方的定义，理解乘方的意义是解题的关键．
18．（2023·浙江·七年级假期作业）（1）计算下面两组算式：
①与；②与；
（2）根据以上计算结果想开去：等于什么?（直接写出结果）
（3）猜想与验证：当为正整数时， 等于什么? 请你利用乘方的意义说明理由．
（4）利用上述结论，求的值．
【答案】（1）
①225，225,=;②36，36，=，
（2）
（3）见详解
（4）．
【分析】（1）①先算括号内的数，再算平方；先算平方，再计算乘法即可，比较计算结果，
②先算括号内的数，再算平方；先算平方，再计算乘法即可，比较计算结果，
（2）直接按（1）写结果即可，
（3）利用乘方的意义写成n个数相乘，利用交换律转化为与乘积即可．
（4）利用积的乘方的逆运算把，然后=，再简便运算即可．
【详解】（1）①=152=225，
=9×25=225，
=，
②=(-6)2=36，
=4×9=36，
=，
（2）
（3）．
（4）=．
【点睛】本题考查有理数乘法法则问题，先通过不同形式的计算，验证结果相同，达到初步认证，再次认证结果，通过证明先算计积再算乘法，与先算每个数的乘方再算积，验证结论成立，会逆用积的乘方运算来简便运算是解题关键．
19．（2023·浙江·七年级假期作业）阅读计算：
阅读下列各式：（ab）2＝a2b2，（ab）3＝a3b3，（ab）4＝a4b4…
回答下列三个问题：
(1)验证：（4×0.25）100＝ ；4100×0.25100＝ ．
(2)通过上述验证，归纳得出：（ ）n＝ ；（ ）n＝ ．
(3)请应用上述性质计算：（﹣0.125）2015×22014×42014．
【答案】(1)1，1；
(2)ab，anbn，abc，anbncn；
(3)﹣0.125
【分析】（1）先算括号内的，再算乘方；先乘方，再算乘法．
（2）根据有理数乘方的定义求出即可；
（3）根据根据阅读材料可得（﹣0.125×2×4）2014×（﹣0.125），再计算，即可得出答案．
【详解】（1）解：（4×0.25）100＝1100＝1；
4100×0.25100＝1，
故答案为：1，1．
（2）解：（ab）n＝anbn，（abc）n＝anbncn，
故答案为：ab，anbn，abc，anbncn．
（3）解：原式＝（﹣0.125）2014×22014×42014×（﹣0.125）
＝（﹣0.125×2×4）2014×（﹣0.125）
＝（﹣1）2014×（﹣0.125）
＝1×（﹣0.125）
＝﹣0.125
【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，主要考查学生的计算能力，理解阅读材料是解题的关键．
20．（2022秋·浙江·七年级专题练习）先阅读下列材料，再解答后面的问题
材料：一般地，n个相同的因数a相乘，记为an． 如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为(即)．
一般地，若(且)，则叫做以为底的对数，记为(即)． 如，则4叫做以3为底的对数，记为(即)．
问题：
(1)计算以下各对数的值：
=_________，=_________，=_________．
(2)通过观察（1），思考：、、之间满足怎样的关系式？
(3)由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？＝______（且）．
(4)利用（3）的结论计算＝______．
【答案】(1)2，4，6
(2)
(3)
(4)3
【分析】（1）根据对数的定义求解；
（2）认真观察，即可找到规律：，；
（3）由特殊到一般，得出结论：
（4）根据（3）的结论进行计算即可求解．
【详解】（1）解：(1)∵
∴，
故答案为：2，4，6；
（2）∵，，，，
∴，
故答案为：；
（3）观察（2）的结果，我们发现，底数不变，后面两个数相乘．
则，
故答案为：．
（4）
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，对数，类比、归纳，推测出对数应有的性质是解题的关键．
21．（2023·浙江·七年级假期作业）阅读材料，解决问题：我们学习了乘方的定义和意义，根据乘方和乘法两种运算之间的转化了解到：；；观察上述算式，；可以得到：；类比上述式子，你能够得到：
(1) ， ；
(2)利用由特殊到一般的思想，可以得到： （m、n都是正整数）；我们把类似于am和an这样的式子叫同底数幂；因此可以得到“同底数幂的乘法”法则：“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”；
(3)知识运用： ， ；
(4)已知，则的值是 ．
【答案】(1)，
(2)
(3)，
(4)18
【分析】（1）根据题目中给出的信息进行运算即可；
（2）总结题目信息得出同底数幂的运算法则；
（3）根据同底数幂的运算法则进行运算即可；
（4）逆用同底数的乘法公式进行运算即可．
【详解】（1），，
故答案为，；
（2）（m、n都是正整数），
故答案为；
（3），，
故答案为，；
（4）∵，
∴，
故答案为18．
【点睛】本题主要考查了乘方的定义和意义，得到同底数幂的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，是解题的关键．
22．（2022秋·浙江金华·七年级统考阶段练习）概念学习
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作2③，读作“2的圈3次方”， 记作④，读作“的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．
初步探究
(1)直接写出计算结果：___________，__________；
深入思考
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
(2)试一试：仿照图的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．___________；___________；___________．
(3)想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于___________；
(4)算一算：．
【答案】(1)，
(2)，，
(3)
(4)
【分析】（1）（2）根据新定义内容列出算式，然后将除法转化为乘法，再根据乘法和乘方的运算法则进行化简计算；
（3）根据（1）（2）得出规律；
（4）根据（3）的规律求解即可．
【详解】（1）解：，
，
故答案为：，；
（2）解：，
，
；
故答案为：，，；
（3）解：，
故答案为：；
（4）解：
．
【点睛】本题属于新定义题型，考查有理数乘除运算法则及对有理数乘方运算的理解，理解新定义内容，掌握有理数乘除法和有理数乘方的运算法则是解题关键．
第09讲有理数的乘方（4种题型）
【知识梳理】
一、 有理数的乘方
1、求个相同因数的积的运算叫乘方，乘方的结果叫幂。叫底数，叫指数，读作：的次幂(的次方)。
2、乘方的意义：表示个相乘。
3、写法的注意：
当底数是负数或分数时，底数一定要打括号，不然意义就全变了．
如：＝()×()，表示两个相乘．
而＝，表示2个2相乘的积除以3的相反数．
4、与－的区别．
(1)表示个相乘，底数是，指数是，读作：的次方．
(2)－表示个乘积的相反数，底数是，指数是，读作：的次方的相反数．
如：底数是，指数是3，读作(－2)的3次方，表示3个(－2)相乘．
＝(－2)×(－2)×(－2)＝－8．
底数是2，指数是3，读作2的3次方的相反数．＝－(2×2×2)＝－8．
注：与的结果虽然都是－8，但表示的含义并不同。
5、乘方运算的符号规律．
(1)正数的任何次幂都是正数．
(2)负数的奇次幂是负数．
(3)负数的偶次幂是正数．
(4)0的奇数次幂，偶次幂都是0．
所以，任何数的偶次幂都是正数或0。
二、 有理数的混合运算
1、有理数的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的，再算括号外面的。
2、括号前带负号，去掉括号后括号内各项要变号，即
，
三．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
【考点剖析】
一．有理数的乘方（共11小题）
1．（2022秋•南浔区期末）下列各组数中，运算结果相等的是（ ）
A．（﹣5）3与﹣53 B．23与32
C．﹣22与（﹣2）2 D．与
【分析】利用乘方运算法则计算后判断即可．
【解答】解：A、（﹣5）3＝﹣125，﹣53＝﹣125，故相等，符合题意；
B、23＝8，32＝9，故不相等，不符合题意；
C、﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4，故不相等，不符合题意；
D、，，故不相等，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的乘方，关键是掌握有理数的乘方的意义．
2．（2022秋•苍南县期中）把写成幂的形式是 （）5 ．
【分析】根据有理数的乘方得出结论即可．
【解答】解：＝（）5，
故答案为：（）5．
【点评】本题主要考查有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方计算是解题的关键．
3．（2022秋•柯桥区月考）如果a，b，c是整数，且ac＝b，那么我们规定一种记号（a，b）＝c，例如32＝9，那么记作（3，9）＝2，根据以上规定，求（﹣3，﹣27）＝ 3 ．
【分析】利用规定记号的意义将式子表示出乘方的形式，利用有理数乘方的意义解答即可．
【解答】解：设（﹣3，﹣27）＝x，
∵ac＝b，那么我们规定一种记号（a，b）＝c，
∴（﹣3）x＝﹣27．
∵（﹣3）3＝﹣27，
∴x＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了有理数的乘方，本题是新定义型题目，理解题干中的新规定并列出算式是解题的关键．
4．（2023•西湖区校级二模）﹣33＝（ ）
A．﹣9 B．9 C．﹣27 D．27
【分析】运用乘方知识进行计算、求解．
【解答】解：﹣33＝﹣27，
故选：C．
【点评】此题考查了实数的立方运算能力，关键是能准确理解并运用该知识进行计算．
5．（2022秋•青田县期末）一张纸的厚度为0.09mm，假设连续对折始终都是可能的，那么至少对折n次后，所得的厚度可以超过厚度为0.9cm的数学课本．则n的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】一张纸的厚度为0.09mm，对折1次后纸的厚度为0.09×2mm；对折2次后纸的厚度为0.09×2×2＝0.09×22mm；对折3次后纸的厚度为0.09×23mm；对折n次后纸的厚度为0.09×2nmm，据此列出不等式，求出n的取值范围即可．
【解答】解：∵折一次厚度变成这张纸的2倍，
折两次厚度变成这张纸的22倍，
折三次厚度变成这张纸的23倍，
折n次厚度变成这张纸的2n倍，
设对折n次后纸的厚度超过9mm，
则0.09×2n＞9，
解得2n＞100．
而26＜100＜27．
∴n为7．
故选：C．
【点评】本题考查从实际中寻找规律的能力，乘方是乘法的特征，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行，乘方的意义就是多少个某个数字的乘积．
6．（2022秋•文成县期中）下面的计算错在哪里？指出错误步骤的序号，并给出正确的解答过程．
﹣3＝……①
＝9÷1……②＝9……③
错误步骤的序号： ① ；
正确解答： ﹣ ；
【分析】根据有理的乘除法则及运算顺序进行判断，并计算便可．
【解答】解：∵﹣32＝﹣9，
∴步骤①错误；
正确的解答如下：
﹣3
＝﹣9÷（﹣8）×
＝﹣9×
＝﹣．
故答案为：①；﹣．
【点评】本题考查了有理数的乘除法，关键是熟记运算法则与运算顺序．
7．（2019秋•萧山区期中）计算：23＝ 8 ．
【分析】根据有理数的乘方计算即可
【解答】解：23＝8．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查有理数的乘方，解题的关键是掌握有理数的乘方的定义．
8．（2020秋•义乌市校级月考）定义：如果10b＝n，那么称b为n的劳格数，记为b＝d（n）．
（1）根据劳格数的定义，可知：d（10）＝1，d（102）＝2，那么：d（103）＝ 3 ．
（2）劳格数有如下运算性质：若m，n为正数，则d（mn）＝d（m）+d（n）；d（）＝d（m）﹣d（n）．若d（3）＝0.48，d（4）＝0.6，根据运算性质，填空：d（12）＝ 1.08 ，d（）＝ ﹣0.12 ，d（）＝ 0.66 ．
【分析】（1）根据劳格数的定义，可知：d（103）求得是10b＝103中的b值；
（2）由劳格数的运算性质可知，两数积的劳格数等于这两个数的劳格数的和；两数商的劳格数等于这两个数的劳格数的差，据此可解．
【解答】解：（1）根据劳格数的定义，可知：d（103）＝3；
故答案为：3．
（2）由劳格数的运算性质：
若d（3）＝0.48，d（4）＝0.6，
则d（12）＝d（3）+d（4）＝0.48+0.6＝1.08，
则d（）＝d（3）﹣d（4）＝0.48﹣0.6＝﹣0.12，
∵d（4）＝d（2×2）＝d（2）+d（2）＝0.6，
∴d（2）＝0.3，
d（）＝d（9）﹣d（2）＝d（3×3）﹣d（2）＝d（3）+d（3）﹣d（2）＝0.48+0.48−0.3＝0.66，
故答案为：1.08，﹣0.12，0.66．
【点评】本题考查了有理数的乘方，定义新运算，读懂题中的定义及运算法则是解题的关键．
9．（2021秋•吴兴区期中）已知三个互不相等有理数a，b，c，既可以表示为1，a，a+b的形式，又可以表示为0，，b的形式，则a2020b2021值是 1 ．
【分析】由有意义，则a≠0，则应有a+b＝0，＝﹣1，故只能b＝1，a＝﹣1了，再代入代数式求解．
【解答】解：因为三个互不相等的有理数1，a，a+b分别与0，，b对应相等，为有理数，
∴a≠0，a+b＝0，
∴＝﹣1，b＝1，
∴a＝﹣1，
∴a2020b2021＝（﹣1）2020×12021＝1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了实数的运算，属于探索性题目，关键是根据已知条件求出未知数的值再计算．
10．（2020秋•吴兴区校级期中）请你研究以下分析过程，并尝试完成下列问题．
13＝12
13+23＝9＝32＝（1+2）2
13+23+33＝36＝62＝（1+2+3）2
13+23+33+43＝100＝102＝（1+2+3+4）2
（1）13+23+33+…+103＝ 3025
（2）13+23+33+…+203＝ 44100
（3）13+23+33+…+n3＝
（4）计算：113+123+133+…+203的值．
【分析】根据已知一系列等式，得出一般性规律，计算即可得到结果．
【解答】解：（1）13+23+33+…+103＝3025；
（2）13+23+33+…+203＝44100；
（3）13+23+33+…+n3＝；
（4）113+123+133+…+203＝44100﹣3025＝41075．
故答案为：（1）3025；（2）44100；（3）；（4）41075．
【点评】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．
11．（2020秋•萧山区期中）阅读下列各式：（a•b）2＝a2b2，（a•b）3＝a3b3，（a•b）4＝a4b4…．
回答下列三个问题：①验证：（2×）100＝ 1 ，2100×（）100＝ 1 ；
②通过上述验证，归纳得出：（a•b）n＝ anbn ；（a•b•c）n＝ anbncn ；
③请应用上述性质计算：（﹣0.125）2019×22018×42017．
【分析】①根据有理数的乘法法则、有理数的乘方解决此题．
②通过猜想归纳解决此题．
③根据积的乘方、有理数的乘法法则、有理数的乘方解决此题．
【解答】解：①＝1100＝1，＝＝1．
故答案为：1，1．
②（a•b）n＝anbn，（a•b•c）n＝anbncn．
故答案为：anbn，anbncn．
③（﹣0.125）2019×22018×42017
＝×22018×42017
＝
＝
＝
＝．
【点评】本题主要考查有理数的乘法、积的乘方，熟练掌握有理数的乘法法则、积的乘方是解决本题的关键．
二．非负数的性质：偶次方（共5小题）
12．（2022秋•丽水期中）已知a，b满足|a+3|+（b﹣2）2＝0，则a+b的值为（ ）
A．1 B．5 C．﹣1 D．﹣5
【分析】直接利用偶次方的性质以及绝对值的性质得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵|a+3|+（b﹣2）2＝0，
∴a+3＝0，b﹣2＝0，
解得：a＝﹣3，b＝2，
故a+b＝﹣3+2＝﹣1．
故选：C．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出a，b的值是解题关键．
13．（2022秋•青田县期中）若|m+1|+（n﹣3）2＝0，则mn的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
【分析】利用非负数的性质求出m与n的值，代入所求式子计算即可得到结果．
【解答】解：∵|m+1|+（n﹣3）2＝0，|m+1|≥0，（n﹣3）2≥0，
∴m+1＝0，n﹣3＝0，
即m＝﹣1，n＝3，
则mn＝（﹣1）3＝﹣1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出m，n的值是解题关键．
14．（2021秋•兰山区校级月考）若|x﹣2|+（y+3）2＝0，则yx＝ 9 ．
【分析】根据非负数的性质可求出x、y的值，再将它们代入yx中求解即可．
【解答】解：∵x、y满足|x﹣2|+（y+3）2＝0，∴x﹣2＝0，x＝2；y+3＝0，y＝﹣3；则yx＝（﹣3）2＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．
15．（2022秋•兰溪市期中）已知（a﹣2）2与|b+1|互为相反数，求（a﹣b）a+b的值．
【分析】根据偶次方的非负性、绝对值的非负性、有理数的乘方解决此题．
【解答】解：由题意得：（a﹣2）2+|b+1|＝0．
∵（a﹣2）2≥0，|b+1|≥0，
∴a﹣2＝0，b+1＝0．
∴a＝2，b＝﹣1．
∴（a﹣b）a+b＝[2﹣（﹣1）]2+（﹣1）＝31＝3．
【点评】本题主要考查偶次方的非负性、绝对值的非负性、有理数的乘方，熟练掌握偶次方的非负性、绝对值的非负性、有理数的乘方是解决本题的关键．
16．（2022秋•衢州期中）已知，则（ab）2022＝ 1 ．
【分析】根据绝对值和偶次方是非负数的性质列式求出a、b的值然后代入代数式计算即可．
【解答】解：∵，
∴，b+2＝0，
∴，b＝﹣2，
∴，
故答案为：1．
【点评】本题考查了非负数的性质：根据几个非负数的和等于零，则每一个算式都等于零求出a、b的值是解此类题的关键．
三．科学记数法—表示较大的数（共9小题）
17．（2022秋•临海市期末）我国倡议的“一带一路”惠及约为4400000000人，用科学记数法表示该数为 4.4×109 ．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：4400000000＝4.4×109，
故答案为：4.4×109．
【点评】本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，解题的关键是要正确确定a和n的值．
18．（2023•杭州）杭州奥体中心体育场又称“大莲花”，里面有80800个座位．数据80800用科学记数法表示为（ ）
A．8.8×104 B．8.08×104 C．8.8×105 D．8.08×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：80800＝8.08×104，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
19．（2023•路桥区校级二模）2022年12月28日，台州市域铁路S1线开通运营，标志着台州城市发展迈入轨道时代台州市域铁路S1线全长约52.4公里，总投资约228.19亿元，是连接椒江区、路桥区及温岭市之间重要的城市快速通道．其中数据228.19亿用科学记数法表示为（ ）
A．0.22819×1010 B．0.22819×1011
C．2.2819×1010 D．2.2819×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：228.19亿＝22819000000＝2.2819×1010．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
20．（2023•郧阳区模拟）2022年5月10日凌晨，长征7号火箭托举着天舟四号货运飞船发射升空，在距地面390000米的高度，与空间站完成自主交会对接任务．390000用科学记数法表示为 3.9×105 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：390000＝3.9×105．
故答案为：3.9×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
21．（2022秋•拱墅区月考）北京冬奥会标志性场馆国家速滑馆“冰丝带”近12000平方米的冰面采用分模块控制技术．可根据不同项目分区域、分标准制冰．将数据12000用科学记数法表示为 1.2×104 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：12000＝1.2×104．
故答案为：1.2×104．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
22．（2023•余姚市二模）中国空间站2022年建成，轨道高度为400～450千米．“450千米”用科学记数法表示是（ ）
A．4.5×105米 B．0.45×107米 C．45×105米 D．4.5×107米
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：“450千米”等于“450000米”，用科学记数法表示是4.5×105米．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
23．（2021秋•越城区校级月考）一次自然灾害导致大约20万人受困，急需准备一批帐篷和粮食进行援助．估计每顶帐篷可以住10人，平均每人每天需要粮食0.4千克，共维持15天，那么有关部门需要筹集多少顶帐篷？多少吨粮食？（结果用科学记数法表示）
【分析】根据题意列式计算，并用科学记数法表示结果即可．
【解答】解：根据题意得：
20万＝200000，
所以有关部门需要筹集200000÷10＝20000（顶）帐篷，即2×104顶帐篷；
需要筹集200000×0.4×15＝1200000（千克）粮食，1200000千克＝1200吨
即1200＝1.2×103吨粮食．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
24．（2022秋•慈溪市期中）在宇宙之中，光速是目前知道的最快的速度，可以达到3×108m/s，如果我们用光速行驶3.6×103s，请问我们行驶的路程为多少m？
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：3×108×3.6×103＝3×3.6×108×103＝10.8×1011＝1.08×1012（m）．
答：行驶的路程为1.08×1012m．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
25．（2022秋•永嘉县校级月考）已知一个U盘的名义内存为10GB，平均每个视频的内存为512MB，平均每首音乐的内存为10.24MB，平均每篇文章的内存为10.24KB．现该U盘已存16个视频，50首音乐．若该U盘的内存的实际利用率为90%，求还可以存文章的最多篇数（用科学记数法表示）．（注：已知1GB＝1024MB，1MB＝1024KB）
【分析】根据题意列式求解，最后化成科学记数法．
【解答】解：（10×1024×1024×0.9﹣512×1024×16﹣10.24×50×1024）÷10.24＝5.12×104，
答：还可以存文章的最多篇数是5.12×104．
【点评】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的形式是解题的关键．
四．科学记数法—原数（共1小题）
26．（2021秋•平阳县期中）用科学记数法表示的数为4.315×103，这个数原来是（ ）
A．4315 B．431.5 C．43.15 D．4.315
【分析】将小数点向右移动3位即可得出原数．
【解答】解：用科学记数法表示的数为4.315×103，这个数原来是4315，
故选：A．
【点评】本题主要考查科学记数法—原数，科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．若科学记数法表示较小的数a×10﹣n，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023·浙江·七年级假期作业）的相反数为（ ）
A． B．3 C． D．9
【答案】C
【分析】根据乘方运算以及相反数的定义进行计算即可得到答案．
【详解】解：，
根据相反数的定义可知： 的相反数是．
故选：C．
【点睛】本题考查了乘方运算以及相反数的定义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号；正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2．（2022秋·浙江·七年级期末）的意义是（ ）
A．2×3 B．2＋3 C．2＋2＋2 D．2×2×2
【答案】D
【分析】根据幂的意义即可得出答案．
【详解】解：，
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，掌握表示n个a相乘是解题的关键．
3．（2023·浙江·七年级假期作业）代数式可以表示为（ ）
A． B． C． D．n2
【答案】C
【分析】根据有理数乘方的意义解答即可得.
【详解】解：代数式可以表示为；
故选：C.
【点睛】本题考查了有理数的乘方，理解乘方的意义是关键.
4．（2023春·浙江衢州·七年级校考阶段练习）若与互为相反数，则的值为（ ）
A． B．2021 C．1 D．
【答案】C
【分析】由相反数的定义和非负数的性质求出、的值，代入计算即可．
【详解】解：∵与互为相反数，
，
，，
解得，，
．
故选C．
【点睛】本题考查了相反数的定义和非负数的性质，解题的关键是求出、的值．
5．（2022春·浙江金华·七年级统考期末）下列对于式子的说法，错误的是（ ）
A．指数是2 B．底数是 C．幂为 D．表示2个相乘
【答案】C
【分析】根据乘方的定义解答即可．
【详解】A．指数是2，正确；
B．底数是，正确；
C．幂为9，故错误；
D．表示2个相乘，正确；．
故选C．
【点睛】此题考查了乘方的意义，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．乘方的定义为：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方运算的结果叫做幂．在中，它表示n个a相乘，其中a叫做底数，n叫做指数．
6．（2023·浙江·七年级假期作业）观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知可得尾数，，，的规律是4个数一循环，则的结果的个位数字与的个位数字相同，即可求解．
【详解】解：∵，，，，，，…，
∴尾数，，，的规律是4个数一循环，
∵，
∴的个位数字是，
又∵，
∴的结果的个位数字与的个位数字相同，
∴的结果的个位数字是．
故选：A．
【点睛】本题考查数的尾数特征，能够通过所给数的特点，确定尾数的循环规律是解题的关键．
7．（2022秋·浙江绍兴·七年级校联考期中）某种细胞每过秒便由个分裂成个．经过分钟，这种细胞由个分裂成（ ）个．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可得3分钟有12个15秒，进而根据有理数乘方的意义即可求解．
【详解】解：∵3分钟秒，
∴经过分钟，这种细胞由个分裂成个，
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，理解题意是解题的关键．
8．（2023·浙江·七年级假期作业）已知为正整数，计算的结果是（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．2
【答案】D
【分析】根据有理数乘方运算法则进行计算即可．
【详解】解：，
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方运算法则以及乘方的符号规律是解本题的关键．
9．（2023·浙江·七年级假期作业）已知，若，则的值（ ）
A．86.2 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据两式结果相差2位小数点，利用乘方的意义即可求出x的值．
【详解】解：∵，，
∴，
则．
故选C．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解题的关键．
二、填空题
10．（2022秋·浙江·七年级专题练习）计算：_____．
【答案】72
【分析】直接利用有理数的乘方运算法则计算得出答案．
【详解】解：．
故答案为：72．
【点睛】此题主要考查了有理数的乘方运算，正确化简各数是解题关键．
11．（2022秋·浙江绍兴·七年级校考期中）把写成幂的形式是____________.
【答案】
【分析】根据有理数的乘方的定义及幂的定义解答即可．
【详解】解：写成幂的形式为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的乘方及幂的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
12．（2023·浙江·七年级假期作业）若，则的值等于_____．
【答案】1
【分析】先根据求出a和b的值，再把a和b的值代入即可求解．
【详解】解：∵，
∴，解得：，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了绝对值与偶次幂的非负性，幂的运算，熟练掌握绝对值与偶次幂的非负性是解题的关键．
13．（2022秋·浙江·七年级专题练习）的底数是_____，指数是_____，计算的结果是_____．
【答案】 3 ﹣
【分析】根据有理数的乘方的定义和意义，在中，叫做底数，叫做指数；表示个相乘，即可．
【详解】∵在中，叫做底数，叫做指数
∴的底数是，指数是
∵表示个相乘
∴
故答案为：；3；﹣．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是掌握有理数的乘方的定义和意义．
14．（2023·浙江·七年级假期作业）已知，则______________．
【答案】2
【分析】把4写成即可求出m的值．
【详解】解：∵且，
∴，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了乘方的意义，正确把4写成是解答本题的关键．
15．（2023·浙江·七年级假期作业）一根米长的木棒，小明第一次截去全长的，第二次截去余下的，依次截去每一次余下的，则第五次截去后剩下的木棒长为__________米．
【答案】
【分析】根据题意可求出第一次截去全长的，剩下米，第二次截去余下的，剩下，从而即可得出第五次截去余下的，剩下米．
【详解】解：第一次截去全长的，剩下米，
第二次截去余下的，剩下米，
…
第五次截去余下的，剩下米．
故答案为：．
【点睛】本题考查有理数乘方的应用，数字类规律探索．理解乘方的定义是解题关键．
三、解答题
16．（2023·浙江·七年级假期作业）判断下列各式计算结果的正负：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)正
(2)负
(3)负
(4)负
【分析】根据有理数乘方的符号规律解答即可．
【详解】（1）解： ∵的指数是12，为偶数，负数的偶次幂是正数，
∴的结果为正；
（2）解：∵的指数是9，为奇数，负数的奇次幂是负数，
∴的结果为负；
（3）解：∵表示的是的相反数，正数的任何次幂都是正数，
的结果为正，所以的结果为负；
（4）解：∵的指数是11，为奇数，负数的奇次幂是负数，
∴的结果为负．
【点睛】本题主要考查了有理数乘方的符号规律，掌握负数的偶次幂为正、奇次幂为负成为解答本题的关键．
17．（2023·浙江·七年级假期作业）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)625
(2)
(3)0.027
【分析】（1）表示4个相乘，即可得出答案；
（2）先计算2的立方，即可得出答案；
（3）根据在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数，乘方是几个相同因数的简便运算，可得答案．
【详解】（1）；
（2）；
（3）．
【点睛】本题考查了乘方的定义，理解乘方的意义是解题的关键．
18．（2023·浙江·七年级假期作业）（1）计算下面两组算式：
①与；②与；
（2）根据以上计算结果想开去：等于什么?（直接写出结果）
（3）猜想与验证：当为正整数时， 等于什么? 请你利用乘方的意义说明理由．
（4）利用上述结论，求的值．
【答案】（1）
①225，225,=;②36，36，=，
（2）
（3）见详解
（4）．
【分析】（1）①先算括号内的数，再算平方；先算平方，再计算乘法即可，比较计算结果，
②先算括号内的数，再算平方；先算平方，再计算乘法即可，比较计算结果，
（2）直接按（1）写结果即可，
（3）利用乘方的意义写成n个数相乘，利用交换律转化为与乘积即可．
（4）利用积的乘方的逆运算把，然后=，再简便运算即可．
【详解】（1）①=152=225，
=9×25=225，
=，
②=(-6)2=36，
=4×9=36，
=，
（2）
（3）．
（4）=．
【点睛】本题考查有理数乘法法则问题，先通过不同形式的计算，验证结果相同，达到初步认证，再次认证结果，通过证明先算计积再算乘法，与先算每个数的乘方再算积，验证结论成立，会逆用积的乘方运算来简便运算是解题关键．
19．（2023·浙江·七年级假期作业）阅读计算：
阅读下列各式：（ab）2＝a2b2，（ab）3＝a3b3，（ab）4＝a4b4…
回答下列三个问题：
(1)验证：（4×0.25）100＝ ；4100×0.25100＝ ．
(2)通过上述验证，归纳得出：（ ）n＝ ；（ ）n＝ ．
(3)请应用上述性质计算：（﹣0.125）2015×22014×42014．
【答案】(1)1，1；
(2)ab，anbn，abc，anbncn；
(3)﹣0.125
【分析】（1）先算括号内的，再算乘方；先乘方，再算乘法．
（2）根据有理数乘方的定义求出即可；
（3）根据根据阅读材料可得（﹣0.125×2×4）2014×（﹣0.125），再计算，即可得出答案．
【详解】（1）解：（4×0.25）100＝1100＝1；
4100×0.25100＝1，
故答案为：1，1．
（2）解：（ab）n＝anbn，（abc）n＝anbncn，
故答案为：ab，anbn，abc，anbncn．
（3）解：原式＝（﹣0.125）2014×22014×42014×（﹣0.125）
＝（﹣0.125×2×4）2014×（﹣0.125）
＝（﹣1）2014×（﹣0.125）
＝1×（﹣0.125）
＝﹣0.125
【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，主要考查学生的计算能力，理解阅读材料是解题的关键．
20．（2022秋·浙江·七年级专题练习）先阅读下列材料，再解答后面的问题
材料：一般地，n个相同的因数a相乘，记为an． 如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为(即)．
一般地，若(且)，则叫做以为底的对数，记为(即)． 如，则4叫做以3为底的对数，记为(即)．
问题：
(1)计算以下各对数的值：
=_________，=_________，=_________．
(2)通过观察（1），思考：、、之间满足怎样的关系式？
(3)由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？＝______（且）．
(4)利用（3）的结论计算＝______．
【答案】(1)2，4，6
(2)
(3)
(4)3
【分析】（1）根据对数的定义求解；
（2）认真观察，即可找到规律：，；
（3）由特殊到一般，得出结论：
（4）根据（3）的结论进行计算即可求解．
【详解】（1）解：(1)∵
∴，
故答案为：2，4，6；
（2）∵，，，，
∴，
故答案为：；
（3）观察（2）的结果，我们发现，底数不变，后面两个数相乘．
则，
故答案为：．
（4）
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，对数，类比、归纳，推测出对数应有的性质是解题的关键．
21．（2023·浙江·七年级假期作业）阅读材料，解决问题：我们学习了乘方的定义和意义，根据乘方和乘法两种运算之间的转化了解到：；；观察上述算式，；可以得到：；类比上述式子，你能够得到：
(1) ， ；
(2)利用由特殊到一般的思想，可以得到： （m、n都是正整数）；我们把类似于am和an这样的式子叫同底数幂；因此可以得到“同底数幂的乘法”法则：“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”；
(3)知识运用： ， ；
(4)已知，则的值是 ．
【答案】(1)，
(2)
(3)，
(4)18
【分析】（1）根据题目中给出的信息进行运算即可；
（2）总结题目信息得出同底数幂的运算法则；
（3）根据同底数幂的运算法则进行运算即可；
（4）逆用同底数的乘法公式进行运算即可．
【详解】（1），，
故答案为，；
（2）（m、n都是正整数），
故答案为；
（3），，
故答案为，；
（4）∵，
∴，
故答案为18．
【点睛】本题主要考查了乘方的定义和意义，得到同底数幂的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，是解题的关键．
22．（2022秋·浙江金华·七年级统考阶段练习）概念学习
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作2③，读作“2的圈3次方”， 记作④，读作“的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．
初步探究
(1)直接写出计算结果：___________，__________；
深入思考
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
(2)试一试：仿照图的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．___________；___________；___________．
(3)想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于___________；
(4)算一算：．
【答案】(1)，
(2)，，
(3)
(4)
【分析】（1）（2）根据新定义内容列出算式，然后将除法转化为乘法，再根据乘法和乘方的运算法则进行化简计算；
（3）根据（1）（2）得出规律；
（4）根据（3）的规律求解即可．
【详解】（1）解：，
，
故答案为：，；
（2）解：，
，
；
故答案为：，，；
（3）解：，
故答案为：；
（4）解：
．
【点睛】本题属于新定义题型，考查有理数乘除运算法则及对有理数乘方运算的理解，理解新定义内容，掌握有理数乘除法和有理数乘方的运算法则是解题关键．
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