第11讲 平方根（5种题型）-（暑假预习）新七年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

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第11讲 平方根（5种题型）
【知识梳理】
一、平方根和算术平方根的概念
1.算术平方根的定义
如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.
要点：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.
2.平方根的定义
如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.
二、平方根和算术平方根的区别与联系
1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和
2．联系：
（1）平方根包含算术平方根；
（2）被开方数都是非负数；
（3）0的平方根和算术平方根均为0．
要点：
（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．
（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.
三、平方根的性质


四、平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.
【考点剖析】
题型一、平方根和算术平方根的概念
例1、若2－4与3－1是同一个正数的两个平方根，求的值．
【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2－4＝－（3－1），解方程即可求解．
【答案与解析】
解：依题意得 2－4＝－（3－1），解得＝1；∴的值为1．
【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
【变式1】下列说法错误的是（　　）
A.5是25的算术平方根 B.l是l的一个平方根
C.的平方根是－4 D.0的平方根与算术平方根都是0
【答案】C；
【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．
A.因为＝5，所以本说法正确；
B.因为±＝±1，所以l是l的一个平方根说法正确；
C.因为±＝±＝±4，所以本说法错误；
D.因为＝0，＝0，所以本说法正确；
【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题．
【变式2】判断下列各题正误，并将错误改正：
（1）没有平方根．（ ）
（2）．（ ）
（3）的平方根是．（ ）
（4）是的算术平方根．（ ）
【答案】√ ；×； √； ×，
提示：（2）；（4）是的算术平方根．
【变式3】已知2－1与－＋2是的平方根，求的值.
【答案】2－1与－＋2是的平方根，所以2－1与－＋2相等或互为相反数.
解：①当2－1＝－＋2时，＝1，所以＝
②当2－1＋（－＋2）＝0时，＝－1，所以
例2、 填空：
（1）是 的负平方根．
（2）表示 的算术平方根， ．
（3）的算术平方根为 ．
（4）若，则 ，若，则 ．
【思路点拨】（3）就是的算术平方根＝，此题求的是的算术平方根.
【答案与解析】(1)16；(2) (3) (4) 9；±3
【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.
【变式1】下列说法中正确的有（ ）：
③ 3是9的平方根． ② 9的平方根是3．
③4是8的正的平方根． ④ 是64的负的平方根．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B；
提示：①④是正确的.
【变式2】的平方根是　 　．
【答案】±3.
解：因为=9，9的平方根是±3，所以答案为±3.
例3.为何值时，下列各式有意义？
(1)； (2)； (3)； (4)．
【答案与解析】
解：(1)因为，所以当取任何值时，都有意义．
(2)由题意可知：，所以时，有意义．
(3)由题意可知：解得：．所以时有意义．
(4)由题意可知：，解得且．
所以当且时有意义．
【总结升华】方法总结：(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义．(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义．
【变式1】使代数式有意义的的取值范围是______________．
【答案】≥；
【解析】＋1≥0，解得≥.
【总结升华】当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.
【变式2】已知，求的算术平方根．
【答案】解：根据题意，得则，所以＝2，∴，
∴的算术平方根为．
题型二、平方根的运算
例4、求下列各式的值．
(1)； (2)．
【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.
【答案与解析】
解：(1)；
(2)．
【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据来解．
题型三、利用平方根解方程
例5、求下列各式中的x值，
（1）169x2=144
（2）（x﹣2）2﹣36=0．
【思路点拨】（1）移项后，根据平方根定义求解；
（2）移项后，根据平方根定义求解．
【答案与解析】
解：（1）169x2=144，
x，
x=，
x=.
（2）（x﹣2）2﹣36=0，
（x﹣2）2=36，
x﹣2=，
x﹣2=±6，
∴x=8或x=﹣4．
【总结升华】本题考查了平方根，注意一个正数的平方根有两个，他们互为相反数．
【变式1】求下列各式中的.
（1） （2）；
（3）
【答案与解析】
解：（1）∵
∴
∴
（2）∵
∴
∴＋1＝±17
＝16或＝－18.
（3）∵
∴
∴
∴
【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）（3）小题中运用了整体思想分散了难度.
【变式2】求x的值：（x﹣2）2=4．
【答案】解：∵，
∴（x﹣2）2=36，
∴x﹣2=6或x﹣2=﹣6，
解得：x1=8，x2=﹣4．
题型四、平方根的综合应用
例6.若x，y为实数，且满足．求的值．
【答案与解析】
解：∵+|y﹣|=0，
∴x=，y=，
则原式==1．
【总结升华】本题是非负数的性质与算术平方根的综合题，先由非负性解出x，y，然后代入求值即可.
【变式】若，求的值．
【答案】
解：由，得，，即，．
①当＝1，＝－1时，．
②当＝－1，＝－1时，．
【变式2】已知a2＝16，|﹣b|＝3，解下列问题：
（1）求a﹣b的值；
（2）若|a+b|＝a+b，求a+b的平方根．
【分析】（1）根据平方根、绝对值的定义解决此题．
（2）根据平方根、绝对值的非负性解决此题．
【解答】解：（1）∵a2＝16，|﹣b|＝3，
∴a＝±4，b＝±3．
∴当a＝4，b＝3，则a﹣b＝4﹣3＝1；
当a＝4，b＝﹣3，则a﹣b＝4﹣（﹣3）＝7；
当a＝﹣4，b＝3，则a﹣b＝﹣4﹣3＝﹣7；
当a＝﹣4，b＝﹣3，则a﹣b＝﹣4﹣（﹣3）＝﹣1．
综上：a﹣b＝±1或±7．
（2）∵|a+b|＝a+b，
∴a+b≥0．
∴a+b＝1或7．
∴当a+b＝1时，a+b的平方根为±1；
当a+b＝7时，a+b的平方根为±．
综上：a+b的平方根为±1或±．
【点评】本题主要考查平方根、绝对值，熟练掌握平方根、绝对值的定义是解决本题的关键．
例7、小丽想用一块面积为400的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300 的长方形纸片
使它长宽之比为，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.
【答案与解析】
解：设长方形纸片的长为3 (＞0) ，则宽为2，依题意得
. . .
∵ ＞0， ∴ .
∴ 长方形纸片的长为.
∵ 50＞49, ∴.
∴ , 即长方形纸片的长大于20.
由正方形纸片的面积为400 , 可知其边长为20,
∴ 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.
答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.
【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为20的正方形纸片裁出长方形纸片.
【变式1】如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9．
（1）小正方形的边长在哪两个连续的整数之间？并说明理由．
（2）求阴影部分的面积．

【分析】（1）根据算术平方根可得小正方形的边长，估算在2和3之间；
（2）利用长×宽可得结论．
【解答】解：（1）∵小正方形的面积为6，
∴小正方形的边长为，
∵4＜6＜9，
∴2＜＜3，
∴小正方形的边长在2和3之间；
（2）阴影部分的面积＝×（3﹣）＝3﹣6．
【点评】考查列代数式和算术平方根问题，得到两个正方形的边长是解决本题的关键．
【变式2】小波想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使长方形的长宽之比为3：2．
(1)请你帮小波求出长方形纸片的长与宽；
(2)小波能用这块正方形纸片裁出符合要求的纸片吗？请说明理由．
【答案】(1)长方形纸片的长为cm，宽为cm
(2)不能，理由见详解

【分析】（1）设长方形的长为3xcm，则宽为2xcm，根据面积求出矩形的长和宽即可；
（2）将（1）中求出的矩形的长与正方形的边长进行比较大小即可得出结果．
（1）
解：设长方形的长为3xcm，则宽为2xcm，
根据题意得 3x·2x=300，
解得或（不合题意，舍去），
则cm，cm．
答：长方形纸片的长为cm，宽为cm；
（2）
小波不能用这块正方形纸片裁出符合要求的纸片，理由如下：
∵正方形的面积为400cm2，
∴边长为20cm，
∵cmcm ，
∴不能剪出符合要求的纸片．
【点睛】本题主要考查了平方根的应用以及实数比较大小，解题的关键是理解题意并正确列出方程．
题型五：平方根小数点位数移动规律
例8.观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：
（1），，，……
，，，……
由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位．
（2）已知，，则_____；______．
【答案】（1）两；右；一；（2）12.25；0.3873；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）-0.01
【分析】（1）观察已知等式，得到一般性规律，写出即可；
（2）利用得出的规律计算即可得到结果；
【详解】解：（1），，，……
，，，……
由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位．
故答案为：两；右；一；
（2）已知，，则；；
故答案为：12.25；0.3873；
【变式】如果＝3.9522，则＝　395.22　；＝39.522，则x＝　1562　；
【分析】根据立方根和算术平方根的定义找出他们之间的规律即可得出答案．
【解答】解：如果＝3.9522，则＝395.22，＝39.522，则x＝1562；
故答案为：395.22，1562；
【过关检测】
一．选择题（共7小题）
1．（2022秋•杭州期末）若一个正方形的面积小于20，它的边长是一个整数，则边长可能是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】先求出20的算术平方根，再估算出其取值范围即可．
【解答】解：20的算术平方根为，
∵16＜20＜25，
∴4＜＜5，
∵正方形的面积小于20，它的边长是一个整数，
∴正方形的边长小于5．
故选：A．
【点评】本题考查的是算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题的关键．
2．（2015•下城区校级二模）的平方根（　　）
A．4 B．2 C．±4 D．±2
【分析】先根据算术平方根的定义化简，再根据平方根的定义进行求解．
【解答】解：∵42＝16，
∴＝4，
∵（±2）2＝4，
∴的平方根为±2．
故选：D．
【点评】本题主要考查了算术平方根的定义，平方根的定义，需要先求出，是易错题，需要注意．
3．（2022秋•越城区期中）“的平方根是±”用数学式子可以表示为（　　）
A． B． C．﹣ D．±
【分析】根据一个正数有两个平方根，可得平方根的表示方法．
【解答】解：，
故选：D．
【点评】本题考查了平方根，注意一个正数有两个平方根．
4．（2022秋•鄞州区校级月考）平方根是±的数是（　　）
A． B． C． D．±
【分析】根据平方根的定义即可求解．
【解答】解：∵（）2＝，
∴平方根是±的数是，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平方根，掌握平方根的定义是解题的关键．
5．（2022秋•桐乡市期中）平方根等于本身的数是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．0，±1
【分析】根据平方根的定义选项．
【解答】﹣1没有平方根，0有平方根是0，1有平方根是±1，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平方根，掌握平方根的定义是解题关键．
6．（2020秋•义乌市期中）的算术平方根是（　　）
A．4 B．2 C．±4 D．±2
【分析】利用算术平方根的意义解答即可．
【解答】解：∵＝4，4的算术平方根为2，
∴的算术平方根是2，
故选：B．
【点评】本题主要考查了算术平方根的意义，熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键．
7．（2022秋•越城区期中）若，则＝（　　）
A．1.01 B．±1.01 C．±0.101 D．10.1
【分析】当被开方数的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根的小数点就相应的向右（或向左）移动1位．
【解答】解：∵，
∴
故选B．
【点评】本题考查了被开方数的变化与算术平方根之间的变化规律，熟练掌握小数点移动的规律是解答本题的关键．当被开方数的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根的小数点就相应的向右（或向左）移动1位．
二．填空题（共11小题）
8．（2022秋•金华期末）某数的一个平方根为，则它的另一个平方根是 　﹣　．
【分析】根据平方根的定义即可求解．
【解答】解：∵（±）2＝2，
∴2的平方根一个是，另一个是﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查了平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键．
9．（2022秋•鄞州区校级月考）已知一个数的一个平方根是﹣10，则另一个平方根是 　10　．
【分析】根据平方根的定义即可求解．
【解答】解：∵一个数的一个平方根是﹣10，
∴这个数是（﹣10）2＝100，
∴100的平方根为±10，
∴另一个平方根是 10，
故答案为：10．
【点评】本题主要考查了平方根，掌握平方根的定义是解题的关键．
10．（2022秋•柯桥区期中）已知一个数的两个平方根分别是a+2和a﹣18，则这个数是 　100　．
【分析】根据正数的两个平方根互为相反数求出a的值，进而可得出结论．
【解答】解：∵一个数的两个平方根分别是a+2和a﹣18，
∴a+2＝﹣（a﹣18），
∴a＝8，
∴a+2＝8+2＝10，
∴这个数是102＝100．
故答案为：100．
【点评】本题考查的是平方根，熟知一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关键．
11．（2022秋•苍南县期末）已知一个正数b的两个平方根分别是a和（a﹣4），则（b﹣a）的算术平方根为 　　．
【分析】根据一个正数的平方根互为相反数求得a值，再求出（b﹣a）的算术平方根即可．
【解答】解：∵一个正数b的两个平方根分别是a和（a﹣4），
∴a+a﹣4＝0，
∴a＝2，
∴b＝4，
∴b﹣a＝2，
∴（b﹣a）的算术平方根为，
故答案为：．
【点评】本题考查平方根和算术平方根，熟知一个正数的平方根有两个且互为相反数，算术平方根是正的平方根是解答的关键．
12．（2022秋•永康市期中）已知等式+（b﹣c+1）2＝0，则b﹣c+2a＝　﹣7　．
【分析】根据算术平方根、偶次方的非负性分别求出a、b﹣c，代入计算即可．
【解答】解：∵+（b﹣c+1）2＝0，
∴a+3＝0，b﹣c+1＝0，
∴a＝﹣3，b﹣c＝﹣1，
∴b﹣c+2a＝﹣1+2×（﹣3）＝﹣7，
故答案为：﹣7．
【点评】本题考查的是非负数的性质，熟记算术平方根、偶次方具有非负性是解题的关键．
13．（2022秋•兰溪市期末）如图，在3×3的方格纸中，有一个正方形ABCD，这个正方形的边长是 　　．

【分析】根据正方形的面积＝大正方形的面积﹣三角形面积×4求出正方形的面积，从而得到正方形的边长．
【解答】解：正方形的面积＝32﹣×2×1×4
＝9﹣4
＝5，
正方形的边长＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了算术平方根，求出正方形的面积是解题的关键．
14．（2022秋•余姚市月考）4的算术平方根是 　2　．
【分析】根据算术平方根的意义进行计算即可．
【解答】解：4的算术平方根是2．
故答案为：2．
【点评】本题考查算术平方根，理解算术平方根的意义是正确计算的关键．
15．（2021秋•松阳县期末）如图，在7×7方格中，小正方形的边长均为1，则图中阴影正方形的边长是 　5　．

【分析】根据网格构造直角三角形，由勾股定理可得答案．
【解答】解：如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
故答案为：5．

【点评】本题考查算术平方根，根据网格构造直角三角形是解决问题的关键．
16．（2022秋•鹿城区校级期中）若一个正数的两个不相等的平方根分别是2a﹣1和3，则a的值为 　﹣1　．
【分析】根据正数的平方根有两个，且互为相反数，求出a的值即可．
【解答】解：根据题意得：2a﹣1+3＝0，
解得：a＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．
17．（2022秋•苍南县期中）如图，把一张面积为25的正方形纸片剪成五块（其中⑤是一个小正方形），然后恰好拼成一个长方形，则这个拼成的长方形周长为 　12　．


【分析】根据拼图可知直角三角形的“长直角边”等于“短直角边”的2倍，设未知数，求出直角三角形的直角边，再根据长方形周长与“直角边”的关系进行计算即可．
【解答】解：由拼图可知，直角三角形的“长直角边”等于“短直角边”的2倍，
设短直角边为x，则长直角边为2x，由题意得，
x2+（2x）2＝25，
解得x＝或x＝﹣（舍去），
拼成的长方形的长为5x，宽为x，
所以周长为（5x+x）×2＝12x＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查平方根，直角三角形的边角关系，理解平方根的定义，掌握直角三角形、矩形的性质是正确解答的前提．
18．（2022秋•萧山区期中）如图所示的是一个数值转换器．

（1）当输入的x值为7时，输出的y值为　 　　；
（2）当输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为时，输入的x值为　 　25　；
（3）若输入有效的x值后，始终输不出y值，所有满足要求的x的值为 　0或1　．

【分析】（1）根据运算规则即可求解；
（2）根据两次取算术平方根运算，输出的y值为，返回运算两次平方可得x的值；
（3）根据0和1的算术平方根分别是0和1，可得结论．
【解答】解：（1）当x＝7时，则y＝；
故答案为：；
（2）当y＝时，（）2＝5，52＝25，则x＝25；
故答案为：25；
（3）当x＝0，1时，始终输不出y值，
∵0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数，
∴所有满足要求的x的值为0或1．
故答案为：0或1．
【点评】本题考查了算术平方根，能够正确计算算术平方根是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
19．（2022秋•越城区期中）已知一个长方形的长是宽的2倍，面积是72cm2，求这个长方形的周长．
【分析】设这个长方形的宽为xcm，则长为2xcm，根据面积是72cm2列方程求出x的值，然后根据周长公式计算即可．
【解答】解：设这个长方形的宽为xcm，则长为2xcm，
由题意得：2x⋅x＝72，即x2＝36，
∵x＞0，
∴x＝6，即这个长方形的宽为6cm，长为12cm，
则这个长方形的周长2×（12+6）＝36（cm）．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解答本题的关键．
20．（2022秋•鄞州区校级月考）已知x＝，z是9的平方根，求5z﹣2x的值．
【分析】根据算术平方根和平方根的定义求出x、z的值，然后代入代数式求值即可．
【解答】解：∵x＝，
∴x＝5，
∵z是9的平方根，
∴z＝±3，
∴分两种情况：
当z＝+3时，5z﹣2x＝3×5﹣2×5＝5；
当z＝﹣3时，5z﹣2x＝﹣3×5﹣2×5＝﹣25．
故5z﹣2x的值为：5或﹣25．
【点评】此题主要考查了算术平方根和平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．
21．（2022秋•鄞州区期中）已知实数a，b，c满足：，求a+b+c的值．
【分析】根据非负数的性质，可求出a、b、c的值，然后将代数式化简，再代值计算．
【解答】解：根据题意得：，
解得：．
则a+b+c＝﹣2+3+1＝2．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
22．（2021秋•余姚市校级期中）已知2a+1的平方根为±5，a+b+7的算术平方根为4．
（1）求a，b的值；
（2）求a+b的平方根．
【分析】（1）根据算术平方根、平方根的定义解决此题．
（2）由（1）得a＝12，b＝﹣3，再解决此题．
【解答】解：（1）由题意得：2a+1＝25，a+b+7＝16．
∴a＝12，b＝﹣3．
（2）由（1）得：a＝12，b＝﹣3．
∴a+b＝12﹣3＝9．
∴a+b的平方根为＝±3．
【点评】本题主要考查平方根、算术平方根，熟练掌握平方根、算术平方根的定义是解决本题的关键．
23．（2022秋•拱墅区期末）已知一个正数m的平方根为2n+1和4﹣3n．
（1）求m的值；
（2）|a﹣1|++（c﹣n）2＝0，a+b+c的平方根是多少？
【分析】（1）由正数的平方根互为相反数，可得2n+1+4﹣3n＝0，可求n＝5，即可求m；
（2）由已知可得a＝3，b＝0，c＝n＝5，则可求解．
【解答】解：（1）∵正数m的平方根为2n+1和4﹣3n，正数m的平方根互为相反数，
∴2n+1+4﹣3n＝0，
∴n＝5，
∴2n+1＝11，
∴m＝121；
（2）∵|a﹣1|++（c﹣n）2＝0，
∴a﹣1＝0，b＝0，c﹣n＝0，
∴a＝1，b＝0，c＝n＝5，
∴a+b+c＝1+0+5＝6，
∴a+b+c的平方根是±．
【点评】本题考查平方根的性质．熟练掌握正数的平方根的特点，绝对值和偶次方根数的性质是解题的关键．
24．（2022秋•西湖区校级期中）用字母a表示一个实数，则|a|，a2一定是非负数，也就是它们的值为正数或0，所以|a|的最小值为0，而﹣|a|一定是非正数，即它的值为负数或0，所以﹣|a|有最大值0，根据这个结论完成下列问题：
（1）|a|+3有最 　小　（填“大”或“小”）值 　3　；
（2）5﹣a2有最 　大　（填“大”或“小”）值 　5　；
（3）若正整数a，b满足|a+1|＝5﹣（b﹣1）2，求ab的平方根．
【分析】（1）根据|a|≥0，可得|a|+3有最小值，最小值为3；
（2）根据a2≥0，可得﹣a2≤0，进而可得5﹣a2≤5得出答案；
（3）根据正整数以及方程的解的定义，得出a、b的值，再代入计算后，求其平方根即可．
【解答】解：（1）∵|a|≥0，
∴|a|+3有最小值，最小值为3，
故答案为：小，3；
（2）∵a2≥0，
∴﹣a2≤0，
∴5﹣a2≤5，
即5﹣a2有最大值，最大值为5，
故答案为：大，5；
（3）∵正整数a，b满足|a+1|＝5﹣（b﹣l）2，
∴正整数a、b可能为：a＝3，b＝2或a＝4，b＝1，
当a＝3，b＝2时，ab＝32＝9，所以ab的平方根为±＝±3；
当a＝4，b＝1时，ab＝41＝4，所以ab的平方根为±＝±2；
答：ab的平方根为±2或±3．
【点评】本题考查平方根，偶次方，绝对值的非负性，理解平方根的定义以及偶次方、绝对值的非负性是解决问题的前提．
25．（2022秋•萧山区期中）（1）已知某正数的平方根为a+3和2a﹣15，求这个数是多少？
（2）已知m，n是实数，且，求m2+n2的平方根．
【分析】（1）根据一个正数的平方根互为相反数，可得答案；
（2）根据算术平方根与绝对值的和为0 可得算术平方根与绝对值同时为0，可得答案．
【解答】解：（1）∵一个正数的平方根是a+3与2a﹣15，
∴（a+3）+（2a﹣15）＝0，
解得a＝4，
∴a+3＝7，
∴这个数是49；
（2）由题意得：
2m+1＝0，3n﹣2＝0，
∴m＝﹣，n＝，
∴m2+n2＝（﹣）2+（）2＝+＝，
∴m2+n2的平方根是±．
【点评】本题考查了平方根，一个正数的平方根互为相反数，算术平方根与平方的和为0，算术平方根与平方同时为0，开平方的被开方数互为相反数，被开方数为0．
26．（2020秋•诸暨市期中）先阅读所给材料，再解答下列问题：若与同时成立，求x的值？
解：和都是算术平方根，故两者的被开方数x﹣1≥0，且1﹣x≥0，而x﹣1和1﹣x是互为相反数．两个非负数互为相反数，只有一种情形成立，那就是它们都等于0，即x﹣1＝0，1﹣x＝0，故x＝1．
解答问题：已知y＝++2，求xy的值．
【分析】根据被开方数互为相反数，可得方程，根据解方程，可得x的值，再根据乘方运算，可得答案．
【解答】解：已知y＝++2，
1﹣2x＝0，2x﹣1＝0，
解得x＝，
则y＝2，
则xy＝（）2＝．
【点评】本题考查了算术平方根，注意算术平方的被开方数互为相反数时，被开方数相等等于零．