初中数学北师大版八年级上册3 勾股定理的应用优质课课件ppt

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第一章 勾股定理
第一章 勾股定理
3 勾股定理的应用　
北师大版数学八年级上册
逐点导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
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课时流程
2
确定几何体上的最短路线勾股定理的实际应用
知识点
确定几何体上的最短路线
知1－讲
1
1. 确定圆柱上的最短路线 求圆柱侧面上两点之间的最短距离，可转化为求一个平面图形上对应线段的长.其一般步骤：(1)将圆柱的侧面展开为一个长方形；(2)确定相应点的位置；(3)连接相应点，构造直角三角形；(4)利用勾股定理求解.
在立体图形上，由于受物体与空间的阻隔，两点间的最短路线不一定是两点间的线段，应将其展开成平面图形，利用平面图形中的有关知识找到最短路线.
知1－讲
知识衔接在平面图形上寻找两点之间的最短路线的依据：(1) 两点之间，线段最短；(2) 直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短.
知1－讲
2. 确定长方体上的最短路线 求长方体(如图1-3-1)上A，B 两点之间的距离，将长方体相邻两个面展开有三种方式.
知1－讲
(1)右侧面向前展开， 如图1-3-2 ①， 此时AB2＝(a＋b)2＋c2＝a2＋b2＋c2＋2ab.(2)上底面向前展开， 如图1-3-2 ②， 此时AB2＝(c＋b)2＋a2＝a2＋b2＋c2＋2bc.(3)上底面向左展开， 如图1-3-2 ③， 此时AB2＝(a＋c)2＋b2＝a2＋b2＋c2＋2ac.
知1－讲
通过对三种展开方式的分析，我们得到：①当c最大时，图1-3-2 ①中AB最短；②当a最大时，图1-3-2 ②中AB最短；③当b最大时，图1-3-2 ③中AB最短.
知1－讲
特别提醒1. 圆柱的展开图，主要是指侧面展开图，其侧面展开图是一个长方形，展开时应从路线的出发点沿母线剪开.2. 正方体的展开图从哪个面上展开都一样.3. 长方体的展开图，一定要注意展开的是哪一个侧面，展开方式不同会出现长度不同的路线，应通过尝试，从几条路线中选一条最短的.
知1－练
例 1
如图1-3-3，长方体的高为3 cm，底面是正方形，其边长为2 cm．现有一只蚂蚁从A处出发，沿长方体表面到达C处，则蚂蚁爬行的最短路线的长为( )A. 4 cmB. 5 cmC. 6 cmD. 7 cm
知1－练
解题秘方：紧扣确定几何体中最短路线的方法先确定路线，然后根据勾股定理求出路线的长.
答案：B
解：考虑将长方体表面展开成平面图形的各种情况，分类讨论求解. 连接AC. 如图1-3-4 ①，AC2＝(2＋2)2＋32＝25；如图1-3-4 ②，AC2＝22＋(3＋2)2＝29.因为29>25，所以蚂蚁爬行的最短路线的长为5 cm.
知1－练
1-1. 如图， 长方体的底面相邻两边长分别为1 cm 和3 cm，高为6 cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么最短需要细线_______cm.
10
知1－练
如图1-3-5，有一个圆柱状的玻璃杯，高为12 cm，底面周长为18 cm，在杯内壁离杯底4 cm 的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，求蚂蚁到蜂蜜的最短路线的长.
例 2
知1－练
解题秘方：紧扣圆柱上最短路线的确定方法，确定路线，再利用勾股定理求路线的长.
知1－练
解：如图1-3-6，作CD⊥FA于点D，作点A关于EF的对称点A′，连接A′C，与EF 交于点B，连接AB，则A→B→C为最短路线.由题意知DC＝9 cm，FD＝8 cm，FA′＝4 cm.在Rt△A′DC中，A′C2＝A′D2＋DC2＝(FA′＋FD)2＋DC2＝(4＋8)2＋92＝225＝152，故A′C＝15 cm. 因为AB＋BC＝A′B＋BC＝A′C，所以最短路线的长为15 cm.
知1－练
2-1. 如图， 将一根长24 cm 的筷子置于底面直径为5 cm、高为12 cm的圆柱状水杯中，设筷子露在水杯外面的长度为h cm，则h的取值范围是( )A. 12 ≤ h ≤ 19B. 12 ≤ h ≤ 13C. 11 ≤ h ≤ 12D. 5 ≤ h ≤ 12
C
知2－讲
知识点
勾股定理的实际应用
2
1. 在解决一些有关求高度、宽度、长度、距离等问题时，要先结合题意画出符合要求的直角三角形，也就是把实际问题转化为数学问题，进而把要求的量看成直角三角形的一条边，最后利用勾股定理求解.
知2－讲
2. 在日常生活中，判断一个角是否为直角，除了用三角尺、量角器等测量角度的工具判断外，还可以通过测量长度，结合计算的方法判断，其一般步骤如下：(1)在要判断的角的两边上分别取两点，比如在∠C的两边上分别取点A，B；(2)测量出AC，BC，AB的长度，比如AC＝b，BC＝a，AB＝c；
知2－讲
(3)验证a2＋b2与c2是否具有相等关系，若c2＝a2＋b2，则△ABC是直角三角形，且∠C＝90°；若c2 ≠a2＋b2，则∠C≠90°.
知2－讲
特别提醒◆在要判断的∠C的两边上选取A ，B两点时，最好取使AC，BC的长度是整数的点，这样可以大大加快计算的速度.◆通过测量长度判定垂直的基本原理：直角三角形的判定方法.
知2－练
“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 海里，“海天”号每小时航行12 海里. 它们离开港口1.5 小时后相距30 海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，那么能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
例 3
知2－练
解题秘方：先建立勾股定理的模型，然后运用勾股定理的知识解决问题.
知2－练
解：根据题意可画出如图1-3-7 的示意图，P代表港口，R 代表“海天”号，Q代表“远航”号，则PQ＝16×1.5＝24(海里)，PR＝12×1.5＝18(海里)，QR＝30 海里.
知2－练
在△PQR中，PQ2＋PR2＝242＋182＝900，QR2＝302＝900，所以PQ2＋PR2＝QR2. 所以△PQR是直角三角形，且∠RPQ＝90°. 又因为“远航”号沿东北方向航行，所以∠QPN＝45°. 所以∠RPN＝45°.R′为R关于PQ所在直线的对称点，连接PR′，QR′，则可知PR′也符合题意. 由此可知，“海天”号沿西北方向航行或东南方向航行.
知2－练
3-1. LED 感应灯是一种通过感应模块自动控制光源点亮的一种新型智能照明产品.当人移至LED 灯一定距离时灯亮，人走开灯灭，给人们的生活带来了极大的方便. 如图，有一个由传感器A控制的LED 灯安装在门的上方，离地面高4.5 m 的墙壁上，当人移至距离该灯5 m 及5 m以内时，灯就会自动点亮. 请问: 一个身高1.5 m的人走到离门多远的地方，该灯刚好点亮？
知2－练
解：过人的头顶点C作CE⊥AB于点E，则∠AEC＝90°，由题意可知，CD＝BE＝1.5 m，AB＝4.5 m，在Rt△ACE中，AE＝AB－BE＝4.5－1.5＝3(m)，AC＝5 m，由勾股定理，得CE2＝AC2－AE2＝52－32＝16，所以CE＝4 m. 所以一个身高1.5 m的人走到离门4 m远的地方，该灯刚好点亮．
勾股定理的应用
勾股定理的应用
建模
几何体上的最短路线
实际问题
化曲为平
转化