苏教版 高中数学 选择性必修第一册 活动单导学课程 第三章圆锥曲线与方程3.1.2椭圆的几何性质 (2)-导学案（有答案）

3．1.2　椭圆的几何性质 (2)

1. 巩固椭圆简单的几何性质．

2. 能运用椭圆的方程和几何性质处理一些简单的实际问题．

例1　已知椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，焦点在y轴上，且a－c＝，求椭圆的方程．

例2　已知椭圆的中心在原点，长轴在坐标轴上，离心率为，短轴长为4，求椭圆的方程．

例3　已知椭圆＋＝1的离心率为e＝，则m的值为__________.

例4　设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过点F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率．

　(1) 设e是椭圆＋＝1的离心率，且e∈，则实数k的取值范围是(　　)

A. (0，3)　　　B.  　　C.  (0，2)　　D.  (0，3)∪

(2) 已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．

例5　如图，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心(简称“地心”)F2为一个焦点的椭圆．已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439 km, 远地点B(离地面最远的点)距地面2 384 km，AB是椭圆的长轴，地球半径约为6371 km.求卫星运行的轨道方程．(精确到1 km)

解决实际问题时，首先要建立适当的平面直角坐标系，然后利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程，通常采用待定系数法，其步骤是：

(1) 建系；

(2) 确定焦点位置；

(3) 设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；

(4) 根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2等．

1.  已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2，0)，则椭圆C的离心率为(　　)

A. 　  B. 　  C. 　  D.

2. 设椭圆＋＝1的离心率为e，则“m＝4”是“e＝”的(　　)

A. 充分不必要条件  B. 必要不充分条件

C. 充要条件  D. 既不充分又不必要条件

3. (多选)在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a>b>0)上存在点P，使得PF1＝3PF2，其中F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为(　　)

A.   B.   C. 3－6  D.

4. 万众瞩目的北京冬奥会于2022年2月4日正式开幕，继2008年北京奥运会之后，国家体育场(又名鸟巢)将再次承办奥运会开幕式．在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆．已知大椭圆的长轴长为40 cm，短轴长为20 cm，小椭圆的短轴长为10  cm，则小椭圆的长轴长为________cm.

5. 我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星(其半径R＝3 400 km)的中心F为一个焦点的椭圆．如图，已知探测器的近火星点(轨道上离火星表面最近的点)A到火星表面的距离为800 km，远火星点(轨道上离火星表面最远的点)B到火星表面的距离为80 000 km.假定探测器由近火星点A第一次逆时针运行到与轨道中心O的距离为km时进行变轨，其中a，b分别为椭圆的长半轴、短半轴的长，求此时探测器与火星表面的距离(精确到100 km)．

参考答案与解析

【活动方案】

例1　由题意，得a＝2c.又a－c＝，

所以c＝，a＝2，所以b2＝9.

因为椭圆的焦点在y轴上，

所以椭圆的方程为＋＝1.

例2　由题意，得解得

所以椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.

例3　4或　解析：若m<5，则a2＝5，b2＝m，c2＝5－m.因为＝，所以＝，解得m＝4；若m>5，则a2＝m，b2＝5，c2＝m－5.因为＝，所以＝，解得m＝.综上，m的值为4或.

例4　由题意，得F1F2＝PF2＝2c，

所以PF1＝2c，所以PF1＋PF2＝2c＋2c.

又因为PF1＋PF2＝2a，

所以2c＋2c＝2a，所以＝－1，

故椭圆的离心率为－1.

跟踪训练　(1) D　解析：当k>4时，焦点在x轴上，此时c2＝k－4，所以e2＝∈，解得k>；当0<k<4时，焦点在y轴上，此时a2＝4，b2＝k，c2＝4－k，所以e2＝∈，解得0<k<3.综上，实数k的取值范围是(0，3)∪.

(2) 　解析：因为·＝0，所以MF1⊥MF2，所以点M的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．因为点M总在椭圆内部，所以该圆内含于椭圆，所以c<b，即c2<b2，即c2<a2－c2，所以<，解得0<<，所以椭圆离心率的取值范围是.

例5　设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，

由题意知AC＝439，BD＝2 384，F2C＝F2D＝6 371，则a－c＝OA－OF2＝F2A＝439＋6 371＝6 810，a＋c＝OB＋OF2＝F2B＝2 384＋6 371＝8 755，

所以a＝7 782.5≈7 783，c＝972.5≈973，

所以b＝＝≈7 721，

所以卫星运行的轨道方程是＋＝1.

【检测反馈】

1. C　解析：因为a2＝4＋22＝8，所以a＝2，所以e＝＝＝.

2. A　解析：当m＝4时，a＝2，c＝＝1，所以e＝，所以“m＝4”是“e＝”的充分条件．当e＝时，若焦点在x轴上，则＝，解得m＝4；若焦点在y轴上，则＝，解得m＝，所以“m＝4”不是“e＝”的必要条件．

3. BCD　解析：设椭圆的焦距为2c(c>0)，由椭圆的定义，得PF1＋PF2＝2a.因为PF1＝3PF2，所以PF1＝，PF2＝.由题意，得解得≥.又0<<1，所以≤<1，所以该椭圆离心率的取值范围是.故选BCD.

4. 20　解析：由大椭圆和小椭圆的扁平程度相同，可得两椭圆的离心率相同．由大椭圆的长轴长为40 cm，短轴长为20 cm，可得焦距长为20 cm，故离心率为e＝，所以小椭圆的离心率为e＝.由小椭圆的短轴长为10 cm，得2b＝10 cm，由e＝＝，得a＝10 cm，所以小椭圆的长轴长为20 cm.

5. 设火星探测器的轨道方程为＋＝1(a>b>0)，c＝.

由题意，得a＋c＝8.34×104，a－c＝4.2×103，

所以a＝4.38×104，c＝3.96×104，

所以b2＝a2－c2＝3.502 8×108，

所以所求轨道方程为＋＝1.

设变轨时，探测器位于点P(x0，y0)，

则

解得x0≈23 965，y0≈15 666，

所以－R≈18 700，

所以探测器在变轨时与火星表面的距离约为187 00 km.