苏教版 高中数学 选择性必修第一册 活动单导学课程 第三章圆锥曲线与方程3.3.1抛物线的标准方程-导学案（有答案）

3.3.1　抛物线的标准方程

1. 在具体的情景和数学实验中，了解抛物线的定义．

2. 经历抛物线标准方程的建立过程，体验求曲线方程的一般方法．

3. 了解抛物线的标准方程，能根据已知条件求抛物线的标准方程．

探照灯的内壁是由抛物线的一段旋转而成的．用点光源照射一个放在地面上的球，适当调整点光源的位置，球在地面上影子的外轮廓线可以是抛物线的一部分．

如图，在画板上画一条直线l，把一个直角三角板的一边紧贴直线l，把一条细绳的一端固定在三角板的顶点A处，取细绳长等于点A到直角顶点H的距离，并且把细绳的另一端固定在点F处．用笔尖靠着直角三角板的边AH，并扣紧细绳，然后上下移动三角板，笔尖画出的曲线是抛物线的一部分．

1. 抛物线的定义：

2. 抛物线的标准方程

思考1

设抛物线的焦点F到准线l的距离为p，类比椭圆和双曲线，如何建立直角坐标系，可能使抛物线的方程形式简单？

结论：

抛物线的标准方程为：______________；

焦点坐标为F____________；

准线方程为l：____________．

思考2

抛物线的标准方程还有哪些形式？

思考3

抛物线的四种标准方程之间有哪些联系和区别？

思考4

确定抛物线的标准方程的关键是什么？

例1　求经过点P(－2，－4)的抛物线的标准方程．

求抛物线的标准方程时需注意的三个问题：

(1) 把握开口方向与方程一次项系数的对应关系；

(2) 当抛物线的位置没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论不同情况的次数；

(3) 注意p与的几何意义．

　根据下列条件，求抛物线的标准方程：

(1) 焦点为(6，0);

(2) 焦点为(0，－5)；　

(3) 准线方程为y＝；

(4) 焦点到准线的距离为5;

(5) 经过点(－2，－4)．

例2　已知探照灯的轴截面是抛物线y2＝x，如图，平行于x轴的光线照射到抛物线上的点P(1，－1)，反射光线经过抛物线的焦点F后又照射到抛物线上的点Q.试确定点Q的坐标．

求解抛物线实际应用题的步骤：

　　　一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图，已知拱口宽AB恰好是拱高OD的4倍．若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值．

1.  若动点P到定点F(－4，0)的距离与到直线x＝4的距离相等，则点P的轨迹是(　　)

A. 抛物线　  B. 线段　  C. 直线　  D. 射线

2. 为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示．集光板由抛物面(抛物线绕对称轴旋转得到)形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2 m，镜深0.25 m，为达到最佳吸收太阳光的效果(容器灶圈在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处)，容器灶圈应距离集光板顶点(　　)

A. 0.5m  B. 1m  C. 1.5m  D. 2m

3. (多选)已知顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点A，则点A到此抛物线的焦点的距离可以是(　　)

A.   B.   C.   D.

4. 若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则点M到y轴的距离是________.

5. 根据下列条件分别求抛物线的标准方程．

(1) 抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；

(2) 抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，AF＝5.

参考答案与解析

【活动方案】

1. 平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线，定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线．

思考1：过点F作直线FN⊥直线l，垂足为N，以直线NF为x轴，线段NF的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy.

结论：y2＝2px(p>0)　　x＝－

思考2：y2＝－2px(p>0)　x2＝2py(p>0)

x2＝－2py(p>0)

小结：略

思考3：共同点：左边都是二次式，且系数为1，右边都是一次式．

区别：开口方向、焦点所在位置不同．

思考4：考虑其开口方向、焦点位置．

例1　如图，因为点P在第三象限，所以满足条件的抛物线的标准方程有两种情形y2＝－2p1x(p1>0)和x2＝－2p2y(p2>0)．

分别将点P的坐标代入方程，

解得p1＝4，p2＝，

故满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为y2＝－8x，x2＝－y.

跟踪训练　(1) y2＝24x

(2) x2＝－20y

(3) x2＝－y

(4) y2＝10x或y2＝－10x或x2＝10y或x2＝－10y

(5) x2＝－y或y2＝－8x

例2　因为抛物线y2＝x的焦点为F，

所以直线PF的方程为y＝－.

由于Q(x，y)是抛物线与直线PF的公共点，

联立方程组

解得或(舍去)，

故点Q的坐标为.

跟踪训练　以拱顶O为原点，拱高OD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．

设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．

因为AB＝4OD，

所以点B的坐标为.

由点B在抛物线上，得＝－2p·，

所以p＝，

所以抛物线方程为x2＝－ay.

设E(0.8，y0)为抛物线上的一点，

代入方程x2＝－ay，得0.82＝－ay0，

所以y0＝－，

所以点E到拱底AB的距离h＝－|y0|＝－.

令h＞3，则－＞3，

解得a＞6＋或a＜6－(舍去)，

所以a的最小整数值为13.

【检测反馈】

1. A　解析：动点P的条件满足抛物线的定义．

2. B　解析：如图，画出抛物面的轴截面，并建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝2py(p>0)，集光板端点A(1，0.25)，代入抛物线方程可得2p＝4，所以抛物线方程为x2＝4y，故焦点坐标是F(0，1)，所以容器灶圈应距离集光板顶点1 m.

3. AB　解析：若抛物线的焦点在x轴上，则设抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)．由点A在抛物线上，得＝a，即a＝，则y2＝x.由抛物线的定义可知，点A到焦点的距离等于点A到准线的距离，所以点A到抛物线焦点的距离为xA＋＝1＋＝；若抛物线的焦点在y轴上，则设抛物线的方程为x2＝by(b≠0)．由点A在抛物线上，得1＝b，即b＝4，则x2＝4y.由抛物线的定义可知，点A到焦点的距离等于点A到准线的距离，所以点A到抛物线焦点的距离为yA＋1＝＋1＝.故选AB.

4. 9　解析：抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.由点M到焦点的距离为10，可知点M到准线x＝－1的距离也为10，即xM＋1＝10，解得xM＝9，所以点M到y轴的距离为9.

5.  (1) 双曲线方程可化为－＝1，左顶点为(－3，0)．

由题意设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，

则＝－3，所以p＝6，

所以抛物线的方程为y2＝－12x.

(2) 设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2＝2nx(n≠0)，A(m，－3)．

由抛物线定义，得5＝AF＝|m＋|.

又(－3)2＝2nm，联立解得n＝±1或n＝±9，

故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x.