苏教版 高中数学 选择性必修第一册 活动单导学课程 第三章圆锥曲线与方程3.4　圆锥曲线的统一定义-导学案（有答案）

3．4　圆锥曲线的统一定义

1. 了解圆锥曲线的统一定义，掌握根据标准方程求圆锥曲线准线方程的方法．

2. 能运用圆锥曲线的统一定义解决相关的简单问题．

　　1.  回顾

(1)  抛物线的定义：

(2)  椭圆、双曲线、抛物线的离心率：

2. 问题1：我们知道，平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l(F不在l上)的距离之比等于1的动点P的轨迹是抛物线，那么当这个比值是一个不等于1的常数时，动点P的轨迹是什么？

问题2：我们在推导椭圆的标准方程时得到这样一个方程a2－cx＝a，将其变形为＝.在这个方程中，有什么几何意义？

－x有什么几何意义？有什么几何意义？

综上所述，这个方程有什么几何意义？

问题3：类比抛物线的定义，你能猜想出满足什么条件的点的轨迹是椭圆？满足什么条件的点的轨迹是双曲线？

3. 试给出圆锥曲线的统一定义：

这个常数e是该圆锥曲线的__________，定点F是该圆锥曲线的________，定直线l是该圆锥曲线的________．

说明：(1) 焦点与准线的对应性；

(2) 圆锥曲线的类型随离心率e的变化而改变；

(3) 根据对称性，椭圆与双曲线的准线有两条，而抛物线的准线只有一条．

填写下表(作图时，要求作出准线)：

例1　求下列曲线的焦点坐标和准线方程：

(1) 4x2＋y2＝16；

(2) x2－y2＝－16；

(3) y2＝－x.

例2　(1) 若椭圆＋＝1上有一点P到左准线的距离为2.5，则点P到右焦点的距离为__________；

(2) 已知双曲线－y2＝1(a>0)的一条渐近线与直线2x－y＋3＝0垂直，则该双曲线的准线方程为______________.

例3　已知双曲线C的渐近线方程是4x±3y＝0，一条准线的方程为y＝，求此双曲线的方程．

例4　已知点A(－2，)，F为椭圆＋＝1的右焦点，点M在椭圆上移动时，求AM＋2MF的最小值，并求此时点M的坐标．

　已知双曲线－＝1，F为其右焦点，A(4，1)为平面上一点，P为双曲线上的一点，则PA＋PF的最小值为________．

1. 曲线＋＝1的准线方程为(　　)

A.  x＝±16  B.  y＝±16  C.  x＝±  D.  y＝±

2. 已知平面内动点P 到一条定直线l的距离和它到定点F的距离的比等于，则点P的轨迹是(　　)

A. 椭圆  B. 双曲线  C. 抛物线  D. 直线

3. (多选)已知P(x0，y0)是椭圆C：＋＝1上的一点，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，则下列结论中正确的是(　　)

A. PF1＋PF2＝8  B. PF1＝ex0＋a∈[1，7]

C. 准线方程为x＝±  D. △PF1F2的周长为16

4.  设椭圆＋＝1(m>1)上一点P到其左焦点的距离为3，到其右焦点的距离为1，则点P到右准线的距离为________．

5. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，焦点到相应准线的距离为1.

(1) 求椭圆的标准方程；

(2) 若P为椭圆上的一点，过点O作OP的垂线交直线y＝于点Q，求＋的值．

参考答案与解析

【活动方案】

1. 略

2. 问题1：椭圆或双曲线．

问题2：平面上一点(x，y)到点(c，0)的距离．

椭圆上一点(x，y)到直线x＝的距离；椭圆的离心率．

椭圆上的点到定点F的距离和它到一条定直线l(F不在l上)的距离之比是一个常数，即离心率．

问题3：当0<<1时，轨迹为椭圆；

当>1时，轨迹为双曲线．

3. 平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离之比等于常数e的点的轨迹叫作圆锥曲线．

离心率　焦点　准线

填表略

例1　(1) 由4x2＋y2＝16，得＋＝1，

所以焦点坐标为(0，2)，(0，－2)，准线方程为y＝±.

(2) 由x2－y2＝－16，得－＝1，

所以焦点坐标为(0，4)，(0，－4)，准线方程为y＝±2.

(3) 焦点坐标为，准线方程为x＝.

例2　(1) 8　解析：设椭圆的左、右焦点为F1，F2.由题意，得c＝4，e＝，则＝，所以PF1＝2.又PF1＋PF2＝10，所以PF2＝8.

(2) x＝±　解析：因为双曲线的一条渐近线与直线2x－y＋3＝0垂直，所以该渐近线的斜率为－.又双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，所以a＝2，所以c＝，所以准线方程为x＝±.

例3　由题意，得双曲线C的焦点在y轴上，

所以＝.

又＝，c2＝a2＋b2，

所以a2＝16，b2＝9，

所以双曲线C的方程是－＝1.

例4　由题意，得c2＝4，所以e＝，右准线l的方程为x＝8.

作MN⊥l，垂足为N，作AE⊥l，垂足为E.

因为＝，所以2MF＝MN，

所以AM＋2MF＝AM＋MN.

要求AM＋2MF的最小值，即求AM＋MN的最小值，

所以当M为AE与椭圆的交点时，AM＋MN取得最小值，即为AE.

又点A(－2，)，

所以(AM＋2MF)min＝AE＝2＋8＝10，

此时点M的坐标为(2，)．

跟踪训练　　解析：由题意，得c2＝9，所以F(3，0)，e＝，右准线l的方程为x＝，作PM⊥l，垂足为M，作AN⊥l，垂足为N，则＝，所以PF＝PM，所以PA＋PF＝PA＋PM≥AN.又点A(4，1)，所以AN＝，即(PA＋PF)min＝.

【检测反馈】

1. B　解析：由题意，得椭圆的焦点在y轴上，且c＝2，所以准线方程为y＝±＝±16.

2. B　解析：由圆锥曲线的统一定义，得该圆锥曲线的离心率为2，故点P的轨迹是双曲线．

3. ABC　解析：因为PF1＋PF2＝2a＝8，故A正确；因为a＝4，c＝＝3，所以e＝，所以PF1＝＝＝x0＋4＝ex0＋a.又因为x0∈[－4，4]，所以PF1＝x0＋4＝ex0＋a∈[1，7]，故B正确；椭圆的准线方程为x＝±＝±，故C正确；△PF1F2的周长为PF1＋PF2＋F1F2＝2a＋2c＝8＋6＝14，故D错误．故选ABC.

4. 2　解析：由题意，得3＋1＝2m，即m＝2，所以椭圆的方程为＋＝1，则c2＝1，e＝.设点P到右准线的距离为d，则＝，即d＝2.

5. (1) 由题意，得＝，－c＝1，

解得a＝，c＝1，b＝1，

所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.

(2) 由题意知OP的斜率存在．

当OP的斜率为0时，OP＝，OQ＝，

所以＋＝1.

当OP的斜率不为0时，设直线OP的方程为y＝kx.

由得(2k2＋1)x2＝2，

解得x2＝，

所以y2＝，所以OP2＝.

因为OP⊥OQ，

所以直线OQ的方程为y＝－x.

由得x＝－k，

所以OQ2＝2k2＋2，

所以＋＝＋＝1.

综上，＋＝1.