苏教版 高中数学 选择性必修第一册 活动单导学课程 第三章圆锥曲线与方程3.2.2双曲线的几何性质(1)-导学案（有答案）

3．2.2　双曲线的几何性质(1)

1. 了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率．

2. 感受运用方程研究几何性质的思想方法．

在建立了双曲线的标准方程之后，可以通过方程继续研究双曲线的几何性质．

探究：

类比椭圆几何性质的研究，能否根据双曲线的标准方程－＝1(a>0，b>0)得到双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质？

1. (1) 范围：

(2) 根据双曲线方程－＝1(a>0，b>0)，你能发现双曲线的范围还受怎样的限制？

2. 对称性：

3. 顶点：

双曲线的实轴：

双曲线的虚轴：

试探究 a，b，c的几何意义．

4. (1) 我们已经知道，双曲线的范围在以直线y＝x和y＝－x为边界的平面区域内，那么从x，y的变化趋势看，双曲线－＝1(a>0，b>0)与直线y＝±x具有怎样的关系？

(2) 渐近线：

(3) 由图形可知，双曲线的渐近线能否看成某个矩形的对角线所在直线？

(4) 比较双曲线的标准方程与其渐近线方程，如何快捷地得到双曲线的渐近线方程？

(5) 什么是等轴双曲线？其渐近线方程是什么？

5. 离心率：

椭圆的离心率反映图形的“扁”的程度，那么在双曲线中，离心率是否也与双曲线的形状有关？

例1　求双曲线－＝1 的实轴长、虚轴长、焦点和顶点坐标、离心率及渐近线方程．

　求双曲线－＝1 的实轴长、虚轴长、焦点和顶点坐标、离心率及渐近线方程．

例2　已知双曲线焦点在y轴上，焦距为16，离心率为，求双曲线的标准方程．

　若去掉条件中的“焦点在y轴上”，结果如何？

例3　如果双曲线的渐近线方程为y＝±3x，且经过点(－，6)，求双曲线的标准方程．

1. 设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为(　　)

A. 4  B. 3  C. 2  D. 1

2. 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，焦点到渐近线的距离为3，则双曲线C的实轴长为(　　)

A.   B. 3  C. 2  D. 6

3. (多选)已知双曲线x2－y2＝1，F1，F2为其两个焦点，P为双曲线上的一点，若PF1⊥PF2，则下列结论中正确的是(　　)

A. 焦点坐标为(1，0)，(－1，0)  B. PF1·PF2＝2

C. PF1＋PF2＝2  D. S△PF1F2＝2

4. 已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在双曲线C上，∠F1PF2＝60°，则PF1·PF2＝________．

5. 若A(10，2)是双曲线my2－4x2＋4m＝0上的点，试求该双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标、离心率和渐近线方程．

参考答案与解析

【活动方案】

探究：

1. (1) x≥a或x≤－a

(2) 由双曲线的标准方程－＝1，

得－>0，

即>0，

从而或

所以双曲线还应在上面两个不等式组表示的平面区域内，也就是以直线y＝x和y＝－x为边界的平面区域内．

2. 双曲线关于x轴、y轴和原点都是对称的．

3. 顶点：A1(－a，0)，A2(a，0)．

双曲线的实轴：线段A1A2.

双曲线的虚轴：B1(0，－b)，B2(0，b)，线段B1B2.

a的几何意义：双曲线的实半轴长，

b的几何意义：双曲线的虚半轴长，

c的几何意义：双曲线的半焦距．

4. (1) 随着x的增大，双曲线在第一象限内的点在直线y＝x的下方且无限接近于这条直线；在第三象限内，双曲线上的点在直线y＝x的上方且无限接近于这条直线．根据对称性，直线y＝－x也有相同的性质．

(2) 直线y＝±x叫作双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线．

(3) 能．直线x＝±a和y＝±b所围成的矩形．

(4) 若双曲线的焦点在x轴上，则双曲线的渐近线方程为y＝±x；

若双曲线的焦点在y轴上，则双曲线的渐近线方程为y＝±x.

(5) 实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，y＝±x.

5. 焦距与实轴长的比叫作双曲线的离心率．离心率越大，开口越大．

小结　略

例1　由题意，得a2＝4，b2＝3，则c2＝4＋3＝7，

所以a＝2，b＝，c＝，

所以实轴长为4，虚轴长为2，焦点坐标为(－，0)，(，0)，顶点坐标为(－2，0)，(2，0)，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x.

跟踪训练　实轴长为4，虚轴长为2，焦点坐标为(0，)，(0，－)，顶点坐标为(0，2)，(0，－2)，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x.

例2　由题意，得2c＝16，所以c＝8.

由e＝＝，得a＝6，

则b2＝c2－a2＝64－36＝28，

所以双曲线的标准方程为－＝1.

跟踪训练　当焦点在x轴上时，双曲线的标准方程为－＝1；当焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为－＝1.

例3　由题意可设双曲线的方程为9x2－y2＝λ(λ≠0)，将点(－，6)代入方程，得λ＝9×3－36＝－9，所以双曲线的标准方程为－x2＝1.

【检测反馈】

1. C　解析：由双曲线的几何性质，得双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为y＝±x.又因为渐近线方程为3x±2y＝0，即y＝±x，故a＝2.

2. D　解析：由题意，得双曲线的一条渐近线为y＝－x，即bx＋ay＝0.根据对称性，设双曲线的右焦点为F(c，0)，c>0，则c2＝a2＋b2，所以焦点到渐近线的距离d＝＝＝b＝3.又离心率e＝＝＝，所以a＝3，所以双曲线C的实轴长为2a＝6.

3. BC　解析：因为双曲线方程为x2－y2＝1，所以c＝＝，所以焦点坐标为(，0)，(－，0)，故A错误；设点P在双曲线的右支上，PF2＝x(x>0)，PF1＝2＋x.因为PF1⊥PF2，所以(x＋2)2＋x2＝(2c)2＝8，解得x＝－1(舍去负值)，所以x＋2＝＋1，所以PF2＋PF1＝－1＋＋1＝2，PF2·PF1＝2，S△PF1F2＝PF1·PF2＝1，故B，C正确，D错误．故选BC.

4. 4　解析：因为F1F＝PF＋PF－2PF1·PF2cos60°＝(PF1－PF2)2＋PF1·PF2，所以PF1·PF2＝4c2－4a2＝4.

5. 因为点A(10，2)在双曲线my2－4x2＋4m＝0上，

所以(2)2m－4×102＋4m＝0，解得m＝25，

所以双曲线方程为25y2－4x2＋100＝0，

即－＝1，

所以双曲线的焦点在x轴上，且a2＝25，b2＝4，c2＝25＋4＝29，

所以实轴长为2a＝10，虚轴长为2b＝4，焦距为2c＝2，焦点坐标为(，0)，(－，0)，顶点坐标为(－5，0)，(5，0)，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x.