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中考数学一轮知识点梳理 三 角 形课件
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这是一份中考数学一轮知识点梳理 三 角 形课件，共60页。PPT课件主要包含了角的平分线，直角90°，有且只有一条直线，垂线段，垂线段的长度，PAPB，垂直平分线，垂直平分线如图，不相交，例8图等内容，欢迎下载使用。
第17课时 几何图形初步、相交线与平行线
1. 了解直线、射线、线段、角的概念及性质;会比较线段的长短,理 解线段的和、差及线段中点的意义;会计算角的和、差,会对度、 分、秒进行简单的换算.2. 了解余角、补角、对顶角、垂线、垂线段、点到直线的距离的概 念,理解等角(或同角)的余角(或补角)相等,理解垂线的性质.3. 能识别同位角、内错角、同旁内角,理解平行线的性质和判定,会 运用相关知识进行作图、计算及推理.4. 了解平行于同一条直线的两条直线平行.5. 掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理、角平分线的性质 定理及其逆定理.6. 通过具体实例,了解定义、命题、定理、推论的意义.7. 结合具体实例,会区分命题的条件和结论,了解原命题及其逆命题 的概念;会识别两个互逆的命题,知道原命题成立,其逆命题不一 定成立.
知识点2 角的有关概念及性质
知识点3 相交线1. 三线八角:
2. 垂线: (1) 概念:当两条直线相交所构成的四个角中,有一个角是_________ 时,我们就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的 垂线. (2) 性质: ① 在同一平面内,过一点 与已知直线垂直; ② 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中, 最短; ③ 点到直线的距离:直线外一点到这条直线的 ,叫做 点到直线的距离.
知识点4 平行线的性质与判定1. 平行线的概念:在同一平面内, 的两条直线叫做平行线. 2. 平行公理:经过直线外一点有且只有 条直线与这条直线平行.3. 平行公理的推论:如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直 线也互相 . 4. 平行线的判定:(1) 同位角相等,两直线平行;(2) 内错角相等,两直 线平行;(3) 同旁内角互补,两直线平行.5. 平行线的性质:(1) 两直线平行,同位角相等;(2) 两直线平行,内错 角相等;(3) 两直线平行,同旁内角互补.6. 平行线间的距离: (1) 定义:过平行线上的一点作另一条平行线的垂线, 的长 度叫做这两条平行线间的距离. (2) 性质:两条平行线间的距离处处 .
知识点5 命题1. 命题:判断一件事情的语句,叫做命题.命题分为 和结论两部 分. 2. 真命题:如果条件成立,那么结论一定成立,这样的命题叫做真命题.3. 假命题:如果条件成立,不能保证结论一定成立,这样的命题叫做假命 题.4. 互逆命题:在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结 论,而第一个命题的结论是第二个命题的条件,那么这两个命题称为 互逆命题.5. 定理:判定其他命题真假的依据的真命题,叫做定理.
考点一 余角和补角例1 (2022·连云港)已知∠A的补角为60°,则∠A= . [非常点评] 若两个角的和等于180°,则这两个角互补;若两个角的和等于90°,则这两个角互余.由此可求一个角的余角和补角.
∵ ∠A的补角为60°,∴ ∠A=180°-60°=120°.
考点二 求线段的长度例2 (2021·包头)已知线段AB=4,在直线AB上作线段BC,使得BC=2.若D是线段AC的中点,则线段AD的长为 ( )A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 2或3[思路点拨] 由于点C的位置不确定,因此分点C在线段AB上和点C在线段AB的延长线上两种情况求线段AD的长.[非常点评] 当图形的位置不确定时,一定要分类讨论,多观察图形再利用线段的和差求线段的长度.
考点三 平行线的判定与性质例3 (2022·台州)如图,∠1=90°,为保证两条铁轨平行,添加的下列条件中,正确的是 ( )A. ∠2=90° B. ∠3=90°C. ∠4=90° D. ∠5=90°
当∠4=90°时,∠1=∠4,两条铁轨被枕木截得的同位角相等,则这两条铁轨平行.故选C.
[误区警示] 在运用同位角、内错角、同旁内角判定两条直线平行时,一定要分清楚这一对角是由哪两条直线被哪一条直线所截而成的,从而才能进行判断.
例4 (2022·宿迁)如图,AB∥ED.若∠1=70°,则∠2的度数是 ( ) A. 70° B. 80° C. 100° D. 110°[非常点评] 本题考查了平行线的性质,当两条平行线被第三条直线所截时可以得到相应同位角、内错角、同旁内角的数量关系,同时在这类求角度问题中还应注意利用已知角的对顶角或平角的定义解题.
如图,∵ ∠1=70°,∴ ∠3=70°.∵ AB∥ED,∴ ∠2=180°-∠3=180°-70°=110°.故选D.
考点四 构造平行线解题例5 (2022·南通)如图,a∥b,∠3=80°,∠1-∠2=20°,则∠1的度数是 ( ) A. 30° B. 40° C. 50° D. 80°[非常点评] 有关平行线的题目,一般需要先运用平行线的性质实现角的转化,再结合题目中的其他条件进行求解,如果不是“三线八角”,可添加辅助线,变成“三线八角”再求解.如本题作c∥a(也可以作c∥b).
如图,作直线c∥a.∵ a∥b,∴ a∥b∥c.∴ ∠1=∠4,∠2=∠5.∵ ∠3=80°,∴ ∠4+∠5=80°,即∠1+∠2=80°.又∵ ∠1-∠2=20°,∴ ∠1=50°.故选C.
考点五 平行线与三角尺的综合应用例6 (2022·黔东南州)一块直角三角尺按如图所示的方式放置在一张矩形纸条上.若∠1=28°,则∠2的度数为 ( )A. 28° B. 56° C. 36° D. 62°[非常点评] 三角尺是常见的教具,与三角尺有关的平行线问题一直是中考的热点,解题时我们需要意识到三角尺的隐含条件:它的三个内角都是特殊角,再结合平行线的性质解决问题.
如图,过点E作EN∥AB,则∠2=∠3.∵ 四边形ABCD是矩形,∴ AB∥CD.∵ AB∥EN,∴ EN∥CD.∴ ∠4=∠1=28°.∵ ∠3+∠4=90°,∴ ∠3=90°-∠4=62°.∴ ∠2=∠3=62°.故选D.
考点六 角平分线的性质例7 (2022·龙东地区)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,AC=6,BC=8,则CD= . [思路点拨] 过点D作DE⊥AB于点E,利用勾股定理列式求出AB的长,再根据角平分线的性质得到CD=DE,从而解决问题.[非常点评] 角平分线上的点到角两边的距离相等,因此当遇到求角平分线上的点到一边的距离时,一般要作出它到另一边的垂线,从而得出相等的边,为解决其他问题打下基础.
考点七 线段垂直平分线的性质例8 (2021·淮安)如图,在△ABC中,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,连接AE.若AE=4,EC=2,则BC的长是 ( )A. 2 B. 4 C. 6 D. 8[非常点评] 根据线段的垂直平分线,往往可以得到长度相等的线段,从而可进行线段的转化,最终发现已知和所求之间的联系.
∵ DE是AB的垂直平分线,AE=4,∴ BE=AE=4.∴ BC=BE+EC=4+2=6.故选C.
考点八 命题例9 (2022·盘锦)下列命题属于假命题的是 ( )A. 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行B. 负数的立方根是负数C. 对角线互相垂直的四边形是菱形D. 五边形的外角和是360°[非常点评] 命题是由条件与结论组成的判断某一事情的语句,当命题的条件与结论交换位置后就变成它的逆命题,命题有真假命题,逆命题也有真假命题.判断真假命题的一般方法是掌握定义、定理及法则.
经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行,故A正确;负数的立方根是负数,故B正确;只有对角线互相垂直的平行四边形是菱形,故C错误;五边形的外角和是360°,故D正确.故选C.
1. (2022·北京)下列几何体中,是圆锥的为 ( ) 2. (2022·柳州)如图,从学校A到书店B有①②③④四条路线,其中最短的 路线是 ( ) A. ① B. ② C. ③ D. ④
5. 如图,直线a∥b,点A在直线a上,点C,D在直线b上,且AB⊥BC,BD平分 ∠ABC.若∠1=32°,则∠2的度数是 ( ) A. 13° B. 15° C. 14° D. 16°6. (2022·广元)如图,直线a∥b,将三角尺直角顶点放在直线b上.若∠1 =50°,则∠2的度数是 ( ) A. 20° B. 30° C. 40° D. 50°
8. (2022·通辽)如图,一束光线AB先后经平面镜OM,ON反射后,反射光线 CD与AB平行,当∠ABM=35°时,∠DCN的度数为 ( ) A. 55° B. 70° C. 60° D. 35°
12. (2022·兴化一模)将如图①所示的正方体切去一块,可得到如图② 所示的几何体.若正方体的棱长为1,则图②中几何体的表面积为 . 13. (2022·济宁)如图,直线l1,l2,l3被直线l4所截.若l1∥l2,l2∥l3, ∠1=126°32',则∠2的度数是 .
14. (2021·大庆)如图,3条直线两两相交最多有3个交点,4条直线两两 相交最多有6个交点,按照这样的规律,则20条直线两两相交最多有 个交点.
15. (2022·武汉)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=80°.(1) 求∠BAD的度数;(2) AE平分∠BAD交BC于点E,∠BCD=50°,求证:AE∥DC.
16. 如图,点B,E分别在AC,DF上,AF分别交BD,CE于点M,N.(1) 若∠A=60°,∠C=50°,求∠2的度数.(2) 有下面两个条件:① ∠D=∠DBA;② ∠A=∠F.在这两个条件中任选一个作为题目条件,补充在下面的横线上,并加以解答.若∠1=∠2, ,求证:∠C=∠D.
(1) ∵ ∠A=60°,∠C=50°,∴ ∠ANC=180°-∠A-∠C=70°.∴ ∠2=∠ANC=70° (2) ∵ ∠1=∠2,∠2=∠ANC,∴ ∠1=∠ANC.∴ BD∥CE.∴ ∠ABD=∠C.又∵ ∠A=∠F,∴ DF∥AC.∴ ∠ABD=∠D.∴ ∠C=∠D
答案不唯一,如选择∠A=∠F
17. 如图,在△ABC中,点D在边BC上,∠BAD=100°,∠ABC的平分线交AC于点E,过点E作EF⊥AB,交BA的延长线于点F,且∠AEF=50°,连接DE.(1) 求∠CAD的度数;(2) 求证:DE平分∠ADC;(3) 若AB=7,AD=4,CD=8,且S△ACD=15,求△ABE的面积.
(1) ∵ EF⊥AB,∠AEF=50°,∴ ∠FAE=90°-50°=40°.∵ ∠BAD=100°,∴ ∠CAD=180°-100°-40°=40° (2) 如图,过点E作EG⊥AD于点G,EH⊥BC于点H.∵ ∠FAE=∠DAE=40°,EF⊥BF,EG⊥AD,∴ EF=EG.∵ BE平分∠ABC,EF⊥BF,EH⊥BC,∴ EF=EH.∴ EG=EH.∵ EG⊥AD,EH⊥BC,∴ DE平分∠ADC
第18课时 三角形与多边形
1. 理解三角形及其内角、外角、中线、高、角平分线等概念及性质, 了解三角形的稳定性;会画任意三角形的角平分线、中线、高.2. 探索并证明三角形的三边关系、三角形的内角和定理及外角性质, 并会对三角形进行分类,会进行有关证明和计算.3. 了解多边形的定义,多边形的顶点、边、内角、外角、对角线等 概念;探索并掌握多边形内角和与外角和的相关知识.
知识点2 三角形的边角关系1. 三角形三边关系:三角形的任意两边之和 第三边,任意两边 之差 第三边. 2. 三角形内角和定理及其推论: (1) 三角形的内角和等于 ; (2) 三角形的一个外角等于与它 的两个内角的 ; (3) 三角形的一个外角 与它 的任何一个内角.
知识点3 三角形中的三条重要线段
[温馨提示] 1. 常过角平分线上的点作两条邻边的垂线,构造全等三角形解题;2. 三角形的中线平分三角形的面积.
考点一 三角形的三边关系例1 (2022·南通)用一根小木棒与两根长分别为3cm,6cm的小木棒组成三角形,则这根小木棒的长可以为 ( )A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm[非常点评] 判断三条线段(长度分别是a,b,c,a≤b≤c)能否构成三角形,只需比较两条较短线段的长度a,b的和与第三条线段的长度c的大小.若a+b>c,则能构成三角形;反之,则不能构成三角形.
设这根小木棒的长为xcm.由三角形三边关系,得6-3
当3cm是腰长时,长为3cm,3cm,5cm的三边能组成三角形,当5cm是腰长时,长为5cm,5cm,3cm的三边能组成三角形.∴ 这个等腰三角形的周长为11cm或13cm.故选D.
考点二 三角形的内角和定理例3 (2022·扬州)将一副直角三角尺按如图所示的方式放置.已知∠E=60°,∠C=45°,EF∥BC,则∠BND= . [非常点评] 在一个三角形中,已知任意两个角的度数便可求出第三个角的度数,或在一个三角形中,已知两个角的度数和也可以求出第三个角的度数.
∵ ∠E=60°,∠C=45°,∴ ∠F=30°,∠B=45°.∵ EF∥BC,∴ ∠NDB=∠F=30°.∴ ∠BND=180°-∠B-∠NDB=180°-45°-30°=105°.
考点三 三角形的外角性质例4 (2022·杭州)如图,AB∥CD,点E在线段AD上(不与点A,D重合),连接CE.若∠C=20°,∠AEC=50°,则∠A的度数为 ( ) A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°[思路点拨] 由∠AEC为△CED的外角,利用外角性质求出∠D的度数,再利用两直线平行,内错角相等即可求出∠A的度数.[非常点评] 在解决求角度相关的问题时,常常要用到三角形内角和等于180°、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质及平行线的性质,这些是解决求角度相关问题的重要工具.
∵ ∠AEC为△CED的外角,且∠C=20°,∠AEC=50°,∴ ∠AEC=∠C+∠D,即50°=20°+∠D.∴ ∠D=30°.∵ AB∥CD,∴ ∠A=∠D=30°.故选C.
设这个多边形的边数为n.∴ (n-2)·180°=900°,解得n=7.故选A.
例6 (2021·扬州)如图,点A,B,C,D,E在同一平面内,连接AB,BC,CD,DE,EA.若∠BCD=100°,则∠A+∠B+∠D+∠E的度数为 ( )A. 220°B. 240°C. 260°D. 280°[思路点拨] 连接BD,根据三角形内角和定理求出∠CBD+∠CDB的度数,再利用四边形内角和减去∠CBD+∠CDB的度数,即可得到结果.[非常点评] 三角形中已知一个角的度数可求出另外两个角的度数和,四边形中已知两个角的度数也可以求出另外两个角的度数和,熟练掌握多边形内角和公式及角的和差关系是解题的关键.
连接BD.∵ ∠BCD=100°,∴ ∠CBD+∠CDB=180°-100°=80°.∴ ∠A+∠ABC+∠CDE+∠E=360°-(∠CBD+∠CDB)=360°-80°=280°.故选D.
1. (2022·凉山州)下列长度的三条线段能组成三角形的是 ( ) A. 3,4,8B. 5,6,11 C. 5,6,10D. 5,5,102. (2022·广东)下列图形中具有稳定性的是 ( ) A. 平行四边形B. 三角形 C. 矩形D. 正方形3. (2022·杭州)如图,在△ABC中,∠ABC是钝角,过点C作CD⊥AB交AB的延 长线于点D,则 ( ) A. 线段CD是△ABC的边AC上的高 B. 线段CD是△ABC的边AB上的高 C. 线段AD是△ABC的边BC上的高 D. 线段AD是△ABC的边AC上的高
4. (2022·湘西州)一个正六边形的内角和的度数为 ( ) A. 1080° B. 720° C. 540° D. 360°5. (2021·宿迁)如图,在△ABC中,∠A=70°,∠C=30°,BD平分∠ABC交 AC于点D,DE∥AB,交BC于点E,则∠BDE的度数是 ( ) A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°6. (2022·泸州)如图,直线a∥b,直线c分别交a,b于点A,C,点B在直线b 上,AB⊥AC.若∠1=130°,则∠2的度数是 ( ) A. 30° B. 40° C. 50° D. 70°
7. 三角形的三边长为2,a,5,如果这个三角形中有两条边相等,那么它的 周长是 . 8. (2021·常州)如图,在△ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,∠B=40°, ∠C=60°.若DE∥AB,则∠AED= .
9. 如图,D为△ABC的边BC上一点,∠ADC=∠BAC. (1) 求证:∠DAC=∠B; (2) 若AE平分∠BAD,在图中找出与∠EAC相等的角,并加以证明.
(1) ∵ ∠ADC是△ABD的外角,∴ ∠ADC=∠BAD+∠B.∵ ∠BAC=∠BAD+∠DAC,∠ADC=∠BAC,∴ ∠DAC=∠B (2) ∠AEC=∠EAC ∵ ∠AEC是△ABE的外角,∴ ∠AEC=∠BAE+∠B.∵ AE平分∠BAD,∴ ∠BAE=∠EAD.由(1),可知∠DAC=∠B,∴ 易得∠AEC=∠EAC
10. 在四边形ABCD中,∠A=90°,∠ABC,∠ADC的平分线分别交直线CD,AB于点E,F.(1) 如图①,若∠C=90°,求证:EB∥DF;(2) 如图②,若线段DF,EB交于点P,∠BPF=20°,求∠C的度数.
(1) ∵ ∠A=∠C=90°,∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°,∴ ∠ABC+∠ADC=360°-90°-90°=180°.∵ BE平分∠ABC,DF平分∠ADC,∴ ∠ABC=2∠ABE,∠ADC=2∠ADF.∴ 2∠ABE+2∠ADF=180°.∴ ∠ABE+∠ADF=90°.∵ ∠A=90°,∴ ∠AFD+∠ADF=90°.∴ ∠AFD=∠ABE.∴ EB∥DF
第19课时 全等三角形
1. 通过画图和试验了解全等三角形的概念;能识别全等三角形中的 对应边、对应角.掌握全等三角形的性质,能利用全等三角形的性 质进行计算或推理.2. 能灵活运用“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”来判定两个三 角形全等.3. 能运用全等三角形的性质与判定和等腰三角形的性质与判定进行 证明和计算.
知识点1 全等三角形及其性质1. 全等三角形:能够 的两个三角形叫做全等三角形. 2. 全等三角形的性质: (1) 全等三角形的 相等; (2) 全等三角形的 相等; (3) 全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高等) ,周长 ,面积 .
知识点2 全等三角形的判定三角形全等的判定:
[温馨提示] 在判定三角形全等时,还要注意的问题:(1) 根据已知条件与结论认真分析图形;(2) 准确无误地确定每个三角形的六个元素;(3) 根据条件,确定对应元素,即找出相等的角或边;(4) 对照判定方法,看看还需什么条件两个三角形就全等;(5) 想办法找出所需条件.
2. 判定三角形全等的技巧:
3. 全等三角形常见模型: (1) 平移型:如图,它们可看成由对应边在一直线上移动所构成的,故 该对应边的相等关系一般可由同一直线上的线段和差得到. (2) 对称型:如图,它们的特征是可沿某一直线对折,直线两旁的部分 能完全重合(轴对称图形),重合的顶点就是全等三角形的对应顶点. (3) 旋转型:如图,它们可看成是以三角形的某一顶点为中心旋转所 构成的,故一般有一对相等的角隐含在对顶角中或某些角的和差中.
考点一 全等三角形的性质例1 (2021·哈尔滨)如图,△ABC≌△DEC,过点A作AF⊥CD,垂足为F.若∠BCE=65°,求∠CAF的度数. [思路点拨] 由全等三角形的性质可求得∠ACD=65°,由垂直可得∠CAF+∠ACD=90°,进而可求得∠CAF的度数.
∵ △ABC≌△DEC,∴ ∠ACB=∠DCE.∴ ∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE,即∠BCE=∠ACD.∵ ∠BCE=65°,∴ ∠ACD=65°.∵ AF⊥CD,∴ ∠AFC=90°.∴ ∠CAF+∠ACD=90°.∴ ∠CAF=90°-65°=25°.
[误区警示] 全等三角形的性质是全等三角形的对应角、对应边相等,运用全等三角形的性质的关键是“对应”.
考点二 全等三角形的判定例2 (2022·云南)如图,OB平分∠AOC,D,E,F分别是射线OA,射线OB,射线OC上的点,且不与点O重合,连接ED,EF.若添加下列条件中的某一个,就能使△DOE≌△FOE,则要添加的那个条件是 ( )A. OD=OEB. OE=OFC. ∠ODE=∠OEDD. ∠ODE=∠OFE
∵ OB平分∠AOC,∴ ∠DOE=∠FOE.又∵ OE=OE,∴ 若∠ODE=∠OFE,则根据AAS可得△DOE≌△FOE,故选项D符合题意.添加OD=OE不能得到△DOE≌△FOE,故选项A不符合题意.添加OE=OF不能得到△DOE≌△FOE,故选项B不符合题意.添加∠ODE=∠OED不能得到△DOE≌△FOE,故选项C不符合题意.故选D.
[非常点评] (1) 要证三角形全等,至少要有一组“边”的条件,因此一般情况下,我们先找对应边.(2) 在有一组对应边相等的前提下,我们通常找任意两组对应角相等即可;在有两组对应边分别相等的前提下,可以找第三组对应边相等,或找两组对应边的夹角相等,注意必须是夹角;若有三组对应边分别相等,则可以直接根据边边边(SSS)求解.(3) 要证直角三角形全等,通常先考虑斜边、直角边定理(HL).
考点三 全等三角形的性质与判定的综合应用例3 (2022·陕西)如图,在△ABC中,点D在边BC上,CD=AB,DE∥AB,∠DCE=∠A.求证:DE=BC. [思路点拨] 利用平行线的性质得∠EDC=∠B,再利用ASA证明△CDE≌△ABC,从而可得结论.[非常点评] 证明三角形全等主要去找边和角,根据已知条件得出两个三角形的对应边和对应角相等,用“SAS,ASA,AAS,SSS,HL”来证明两个三角形全等,从而可根据全等三角形的性质得出对应边、角的等量关系.
考点四 全等三角形中的开放题例4 (2022·柳州)如图,点A,D,C,F在同一条直线上,AB=DE,BC=EF.有下列条件:① AC=DF;② ∠ABC=∠DEF;③ ∠ACB=∠DFE.(1) 请在上述条件中选取一个条件,使得△ABC≌△DEF.你选取的条件为 (填序号),你判定△ABC≌△DEF的依据是 (填“SSS”“SAS”“ASA”或“AAS”). (2) 利用(1)的结论△ABC≌△DEF.求证:AB∥DE.[思路点拨] (1) 答案不唯一,若选①,则根据SSS即可证明△ABC≌△DEF,即可解决问题;(2) 根据全等三角形的性质可得∠A=∠EDF,再根据平行线的判定即可解决问题.
[非常点评] 添加条件判定三角形全等的问题的求解方法:所添加的条件一般是直接用于判定三角形全等的条件,求解时应从结论出发,结合已知条件并依据三角形全等的四种判定方法“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”寻找突破口,判定直角三角形全等还可以依据“HL”寻找答案.
1. 如图,在△ABC中,BC=10,点D,E在BC上,DE=4.若△ABD≌△ACE,则BE的 长为 ( ) A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 42. (2021·攀枝花)如图,一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三 块,他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形 模具,最省事的是带 ( ) A. ① B. ② C. ③ D. ①③
3. (2022·南通)如图,点B,F,C,E在一条直线上,AB∥ED,AC∥FD,要使 △ABC≌△DEF,只需添加一个条件,则这个条件可以是____________ .
4. (2022·广安)如图,D是△ABC外一点,连接BD,AD,AD与BC交于点O.有下列三个等式:① BC=AD;② ∠ABC=∠BAD;③ AC=BD.请从这三个等式中,任选两个作为已知条件,剩下的一个作为结论,组成一个真命题,将你选择的等式填在下面对应的横线上,然后对该真命题进行证明.已知: , . 求证: .
答案不唯一,如BC=AD
5. 如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC,E,F是对角线AC上两点,且AE= CF,连接BE,DF. (1) 求证:△ABC≌△CDA; (2) 若∠AEB=85°,求∠AFD的度数.
第20课时 等腰三角形与直角三角形
1. 了解等腰三角形的概念,探索并证明等腰三角形的性质定理与判 定定理;探索等边三角形的性质定理与判定定理,并会进行有关证 明和计算.2. 了解直角三角形的概念,探索并掌握直角三角形的性质与判定定 理.3. 探索勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决一些简单的实际问 题.
知识点1 等腰三角形的概念与性质1. 定义:有 相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两边叫腰,第 三边为底. 2. 性质:(1) 轴对称性:等腰三角形是轴对称图形,有 条对称轴. (2) 定理1:等腰三角形的两个底角相等(简称为 ). (3) 定理2:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合,简称 .
3. 常见结论:(1) 等腰三角形两腰上的高相等;(2) 等腰三角形两腰上的中线相等;(3) 等腰三角形两底角的平分线相等;(4) 等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半;(5) 等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行.
知识点2 等腰三角形的判定1. 有两条边相等的三角形是等腰三角形.2. 在一个三角形中,若有两个角相等,则这两个角所对的边 , 简称 . 知识点3 等边三角形的性质与判定1. 定义:三边相等的三角形叫做等边三角形.2. 性质: (1) 等边三角形的各角都 ,并且每一个角都等于 ; (2) 等边三角形是轴对称图形,有 条对称轴. 3. 判定: (1) 三条边都 的三角形是等边三角形; (2) 有一个角等于 的等腰三角形是等边三角形.
知识点4 直角三角形的概念、性质与判定1. 定义:有一个角是 的三角形叫做直角三角形. 2. 性质:(1) 直角三角形的两个锐角 ; (2) 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的 ; (3) 在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的 . 3. 判定:(1) 两个内角 的三角形是直角三角形; (2) 一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形.
[温馨提示] 已知直角三角形斜边的中点时,常添加辅助线为“作斜边的中线”,利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”进行求解.
知识点5 勾股定理及其逆定理
考点一 等腰三角形的性质与判定例1 (2022·泰安)如图,l1∥l2,点A在直线l1上,点B在直线l2上,AB=BC,∠C=25°,∠1=60°,则∠2的度数是 ( )A. 70°B. 65°C. 60°D. 55°[思路点拨] 利用等腰三角形的性质得到∠BAC的度数,利用平行线的性质得到∠BEA的度数,最后根据三角形外角的性质即可求解.
∵ AB=BC,∠C=25°,∴ ∠BAC=∠C=25°.∵ l1∥l2,∠1=60°,∴ ∠BEA=180°-60°-25°=95°.∵ ∠BEA=∠C+∠2,∴ ∠2=95°-25°=70°.故选A.
[非常点评] 在遇到等腰三角形背景下的求角度问题时,一般常用等边对等角及三角形内角和定理或外角性质来解决,若有平行线还可以利用平行线的性质解题.
例2 (2022·温州)如图,BD是△ABC的角平分线,DE∥BC,交AB于点E.(1) 求证:∠EBD=∠EDB;(2) 当AB=AC时,请判断CD与DE的大小关系,并说明理由.[思路点拨] (1) 利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论;(2) 利用平行线的性质可得∠ADE=∠AED,则AD=AE,从而有CD=BE,由(1)知∠EBD=∠EDB,等角对等边再等量代换即可.
(1) ∵ BD是△ABC的角平分线,∴ ∠CBD=∠EBD.∵ DE∥BC,∴ ∠CBD=∠EDB.∴ ∠EBD=∠EDB.(2) CD=DE.理由:∵ AB=AC,∴ ∠C=∠ABC.∵ DE∥BC,∴ ∠ADE=∠C,∠AED=∠ABC.∴ ∠ADE=∠AED.∴ AD=AE.∴ CD=BE.由(1),知∠EBD=∠EDB,∴ BE=DE.∴ CD=DE.
[方法归纳] 证明三角形两边相等的一般方法 (1) 通过等角对等边得到两边相等;(2) 通过三角形全等得到两边相等;(3) 利用垂直平分线的性质得到两边相等;(4) 通过等量代换得到,即若a=b,b=c,则a=c.
考点二 等边三角形的性质与判定例3 (2022·海南)如图,直线m∥n,△ABC是等边三角形,顶点B在直线n上,直线m交AB于点E,交AC于点F.若∠1=140°,则∠2的度数是 ( ) A. 80° B. 100° C. 120° D. 140°[思路点拨] 先根据等边三角形的性质可得∠A=60°,由三角形外角的性质可得∠AEF的度数,最后由对顶角相等及平行线的性质求得∠2的度数.
[非常点评] 本题考查了等边三角形的性质、平行线的性质及三角形外角的性质,本题还可以利用平行线中的“拐点模型”求得∠CBn的度数,再根据平角的定义求出∠2的度数.
如图,∵ △ABC是等边三角形,∴ ∠A=60°.∵ ∠1=∠A+∠AEF=140°,∴ ∠AEF=140°-60°=80°.∴ ∠DEB=∠AEF=80°.∵ m∥n,∴ ∠2+∠DEB=180°.∴ ∠2=180°-80°=100°.故选B.
[非常点评] 本题考查直角三角形斜边上的中线、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质,解答本题的关键是明确题意,熟练利用这些性质解决问题.
例5 (2021·广州)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,线段AB的垂直平分线分别交AC,AB于点D,E,连接BD.若CD=1,则AD的长为 . [非常点评] 含30°角的直角三角形的性质主要用来计算线段长度或证明线段的倍数关系.当直角三角形出现30°角或60°角时应该联想此性质来解决问题.
∵ DE垂直平分线段AB,∴ AD=BD.∴ ∠A=∠ABD.∵ ∠A=30°,∴ ∠ABD=30°.∴ ∠BDC=∠A+∠ABD=30°+30°=60°.∵ ∠C=90°,∴ ∠CBD=30°.∵ CD=1,∴ 易得BD=2CD=2.∴ AD=2.
考点四 勾股定理及其应用例6 (2021·襄阳)我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题:“今有池方一丈,葭(jiā)生其中,出水一尺.引葭赴岸,适与岸齐.问水深几何?”其大意如下:有一个水池,水面是一个边长为1丈的正方形,在水池正中央有一根芦苇,它高出水面1尺(如图).如果把这根芦苇拉向水池一边的中点,它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度是多少(丈、尺是长度单位,1丈=10尺)?根据题意,水的深度为 ( ) A. 10尺 B. 11尺 C. 12尺 D. 13尺
[非常点评] 本题主要考查勾股定理在实际生活中的应用,熟练根据勾股定理列出方程是解题的关键.
设水的深度为h尺,则芦苇长为(h+1)尺.由勾股定理,得(h+1)2=h2+(10÷2)2,解得h=12.∴ 水的深度为12尺.故选C.
6. (2021·绍兴)如图,在△ABC中,∠A=40°,点D,E分别在边AB,AC上,BD =BC=CE,连接CD,BE. (1) 若∠ABC=80°,求∠BDC,∠ABE的度数; (2) 写出∠BEC与∠BDC之间的关系,并说明理由.
第21课时 图形的相似
1. 了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段.2. 通过具体实例认识图形的相似,了解相似多边形和相似比.3. 了解相似三角形的判定定理与性质定理,并利用它们进行计算或 推理.4. 会利用图形的相似解决一些简单的实际问题.
知识点2 相似三角形1. 概念:对应角 ,对应边成 的两个三角形叫做相似三 角形.相似三角形对应边的比叫做 . 2. 相似三角形的性质:(1) 相似三角形的对应角 ,对应边 ; (2) 相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比等 于 ; (3) 相似三角形的周长之比等于 ,面积之比等于 .
3. 相似三角形的判定方法: (1) 一般三角形:① 两角对应相等,两个三角形相似;② 两边对应成 比例,且 相等,两个三角形相似;③ 三边对应 ,两 个三角形相似. (2) 直角三角形:① 一组 对应相等,两个直角三角形相似; ② 两组直角边对应成比例,两个直角三角形相似.
4. 相似三角形的判定思路:
5. 相似三角形常见的基本类型: (1) “平行线型” △ABC∽△ADE (2) “斜交型”(需满足∠1=∠2) △ADE∽△ABC
(3) “垂直型”(其中图①②需满足∠1=∠2)
知识点3 相似多边形及其性质1. 定义:两个边数相同的多边形,如果它们的对应角 ,对应边 ,那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形_______ 的比叫做相似比. 2. 性质: (1) 相似多边形的对应角 ,对应边 ; (2) 相似多边形对应边的比、周长的比等于 ,面积的比等 于 .
[非常点评] 本题主要考查了平行线分线段成比例定理的应用,通过平行线分线段成比例定理得出线段的比是解题的关键.运用此定理时,要看清平行线组,找准被平行线组截得的对应线段.为了便于记忆,可用口诀“上对上,下对下,全对全”.
考点二 相似三角形的判定例2 (2022·菏泽)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,E是边AC上一点,且BE=BC,过点A作BE的垂线,交BE的延长线于点D,求证:△ADE∽△ABC.
∵ BE=BC,∴ ∠C=∠CEB.∵ ∠CEB=∠AED,∴ ∠AED=∠C.∵ AD⊥BE,∴ ∠D=∠ABC=90°.∴ △ADE∽△ABC.
[方法归纳] 判定相似三角形的关键点 (1) 判定两个三角形相似的常规思路:① 先找两组对应角相等;② 若只能找到一组对应角相等,则判断夹相等角的两边是否对应成比例;③ 若找不到角相等,则判断三边是否对应成比例;④ 若①②③均不可行,则可考虑相似三角形的“传递性”等.(2) 借助图形找三角形相似:① 有平行线的可围绕平行线找相似;② 有公共角或相等角的可再找其他相等的角或成比例的对应边(夹相等角的两边);③ 有公共边的可将图形旋转或翻折,观察其特征,找出相等的角或成比例的对应边.
考点三 相似三角形的性质例3 (2022·连云港)△ABC的三边长分别为2,3,4,另有一个与它相似的△DEF,其最长边为12,则△DEF的周长是 ( )A. 54 B. 36 C. 27 D. 21[非常点评] 相似三角形的周长之比等于相似比,本题还可以设2对应的边是x,3对应的边是y,根据相似三角形的对应边成比例列方程求解.
考点四 相似三角形的性质与判定的综合应用例5 (2022·甘肃)如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=9cm,点E,F分别在边AB,BC上,AE=2cm,BD,EF交于点G.若G是EF的中点,则BG的长为 cm.[思路点拨] 根据矩形的性质可得∠ABC=∠C=90°,由G是EF的中点,利用直角三角形斜边上的中线可得BG=FG,得∠GBF=∠GFB,从而证得△EBF∽△DCB,利用相似三角形的性质可求出BF的长,最后在Rt△BEF中,利用勾股定理求出EF的长,即可解答.
[非常点评] 在判定两个三角形相似时,当给出的两个三角形中的已知条件以角为主(或有平行)时,我们应首先考虑使用“两角对应相等”的判定方法.
考点五 相似的应用例6 (2022·陕西)小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高.如图,在某一时刻,他们在阳光下,分别测得该建筑物OB的影长OC为16m,OA的影长OD为20m,小明的影长FG为2.4m,其中O,C,D,F,G五点在同一直线上,A,B,O三点在同一直线上,且AO⊥OD,EF⊥FG.已知小明的身高EF为1.8m,求旗杆的高AB. [思路点拨] 先证明△AOD∽△EFG,列比例式可得AO的长,再证明△BOC∽△AOD,可得OB的长,最后利用线段的和差解决问题.
[非常点评] 本题考查了利用相似三角形的判定与性质求线段长,利用相似三角形对应边成比例的性质是求线段长的重要方法,运用相似求线段长时首先要根据相似三角形的判定条件找出相似三角形,再根据相似三角形对应边成比例的性质建立比例式,通过比例式搭建已知线段与所求线段间的关系.
考点六 相似与圆的综合应用例7 (2022·无锡)如图,边长为6的等边三角形ABC内接于☉O,D为AC上的动点(不与点A,C重合),BD的延长线交☉O于点E,连接CE.(1) 求证:△CED∽△BAD;(2) 当DC=2AD时,求CE的长.[思路点拨] (1)分别由对顶角相等及圆周角定理得到两组对应角相等,从而证得两个三角形相似;(2)过点D作DF⊥EC于点F,由等边三角形的性质分别求出AD,DC的长,再由相似三角形的性质设参数,在△CDF中利用勾股定理构建方程求解.
[非常点评] 圆是相似三角形的重要知识背景,解与圆有关的题目时,相似是一种常见的解题手段,注意从同弧(等弧)所对的圆周角相等和直径所对的圆周角是90°出发,找出相似三角形,再根据对应边的关系以及勾股定理等性质,便可解决很多问题.
5. (2022·鞍山)如图,AB∥CD,AD,BC相交于点E.若AE∶DE=1∶2,AB=2.5, 则CD的长为 . 6. (2022·邵阳)如图,在△ABC中,点D在边AB上,点E在边AC上,请添加一 个条件: ,使△ADE∽△ABC. 7. (2022·建邺一模)如图,在△ABC中,∠B=30°,D是AC上一点,过点D作 DE∥BC交AB于点E,DF∥AB交BC于点F.若AE=5,CF=4,则四边形BFDE的面 积为 .
答案不唯一,如∠ADE=∠B
8. (2022·江西)如图,四边形ABCD为菱形,点E在AC的延长线上,∠ACD= ∠ABE. (1) 求证:△ABC∽△AEB; (2) 当AB=6,AC=4时,求AE的长.
9. (2022·仙桃)如图,正方形ABCD内接于☉O,E为AB的中点,连接CE交BD 于点F,延长CE交☉O于点G,连接BG. (1) 求证:BF2=EF·GF; (2) 若AB=6,求BF和EG的长.
第22课时 锐角三角函数及其应用
1. 理解锐角三角函数(sinα,csα,tanα)的定义,会由已知条件 (图形或网格)求锐角三角函数值.2. 熟记30°,45°,60°角的三角函数值,会计算含有特殊角的三角 函数值.3. 会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值,由已知三角函数值 求它的对应锐角.4. 能利用直角三角形中的边边、边角关系解直角三角形.5. 能结合仰角、俯角、坡度等知识,运用锐角三角函数解决与直角 三角形有关的实际问题.
[温馨提示] 一个锐角的正弦、余弦、正切只与边的比值或角的大小有关,而与三角形的大小无关.
2. 一些特殊角的三角函数值:3. 三角函数的增减性: 当角度在0°~90°范围内变化时,正弦函数值随角度的增大而 , 余弦函数值随角度的增大而 ,正切函数值随角度的增大而 .
知识点2 解直角三角形1. 解直角三角形的定义及常用关系:
2. 解直角三角形的常见类型和解法:
知识点3 解直角三角形应用的有关概念
[非常点评] 本题考查了如何在网格中构造直角三角形,从而求一个角的三角函数值.解决这类问题一般先将相应的角置于直角三角形中,当所求的角不能直接构造出直角三角形时,可以将角转换,即寻找相等的角,构造出相等的角所在的直角三角形,先求出相应的边的长度,进而结合定义解决问题.
[误区警示] 利用特殊角的三角函数值进行计算时不能记错特殊角的三角函数值.
[非常点评] 本题考查了勾股定理、反比例函数与锐角三角函数,解决这类问题的关键是正确认识这些函数的定义与性质,熟练掌握将锐角三角函数转化为直角三角形中的边之间的关系.
[非常点评] 锐角三角函数与圆是中考的热点,本题考查了切线的判定、三角形中位线定理、平行线的性质、锐角三角函数的定义等知识,如果已知锐角三角函数值,那么可得相应直角三角形中各边的关系,从而可构造方程求线段长.
考点五 解直角三角形的应用例5 (2022·南通)如图,B为地面上一点,测得点B到树底部C的距离为10m,在B处放置1m高的测角仪BD,测得树顶A的仰角为60°,则树高AC为 m(结果保留根号). [非常点评] 解直角三角形的应用问题是中考的热点,对于这类问题,一般需将条件转化为直角三角形中的边角元素,再选择合适的锐角三角函数解题即可.
[方法归纳] 解直角三角形实际应用题的一般方法 把实际问题转化为数学问题,即构造直角三角形模型,利用直角三角形的边角关系,通过勾股定理或者锐角三角函数求解.
(1) 直线BC与☉O相切 理由:如图,连接OB.∵ OA=OB,∴ ∠A=∠OBA.∵ CP=BC,∴ ∠CPB=∠CBP.∵ ∠APO=∠CPB,∴ ∠APO=∠CBP.∵ OC⊥OA,∴ ∠A+∠APO=90°.∴ ∠OBA+∠CBP=90°.∴ ∠OBC=90°.∵ OB为☉O的半径,∴ 直线BC与☉O相切.
8. (2022·连云港)小明与小亮要测量某宝塔的高度,如图,小明在点A处测得宝塔最高点C的仰角∠CAE=45°,再沿正对宝塔方向前进至B处测得最高点C的仰角∠CBE=53°,AB=10m;小亮在点G处竖立标杆FG,小亮的所在位置点D、标杆顶点F、宝塔最高点C在同一条直线上,FG=1.5m,GD=2m.求(结果精确到0.01m,参考数据:sin53°≈0.799,cs53°≈0.602,tan53°≈1.327):(1) 宝塔的高度CE;(2) 小亮与宝塔之间的距离ED.
9. 某儿童医院门诊大厅收费处正上方的卡通雕塑有效缓解了就医小朋友 的紧张情绪.为了测量如图所示的卡通雕塑BE的长度,小莉在地面上F 处测得B处、E处的仰角分别为37°,56.31°.已知∠ABE=45°,点F到 收费处OA的水平距离FC=16m,且点F与BE确定的平面与地面垂直.求卡 通雕塑BE的长度(参考数据:sin37°≈0.60,cs37°≈0.80,tan37° ≈0.75,tan56.31°≈1.50).
第17课时 几何图形初步、相交线与平行线
1. 了解直线、射线、线段、角的概念及性质;会比较线段的长短,理 解线段的和、差及线段中点的意义;会计算角的和、差,会对度、 分、秒进行简单的换算.2. 了解余角、补角、对顶角、垂线、垂线段、点到直线的距离的概 念,理解等角(或同角)的余角(或补角)相等,理解垂线的性质.3. 能识别同位角、内错角、同旁内角,理解平行线的性质和判定,会 运用相关知识进行作图、计算及推理.4. 了解平行于同一条直线的两条直线平行.5. 掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理、角平分线的性质 定理及其逆定理.6. 通过具体实例,了解定义、命题、定理、推论的意义.7. 结合具体实例,会区分命题的条件和结论,了解原命题及其逆命题 的概念;会识别两个互逆的命题,知道原命题成立,其逆命题不一 定成立.
知识点2 角的有关概念及性质
知识点3 相交线1. 三线八角:
2. 垂线: (1) 概念:当两条直线相交所构成的四个角中,有一个角是_________ 时,我们就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的 垂线. (2) 性质: ① 在同一平面内,过一点 与已知直线垂直; ② 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中, 最短; ③ 点到直线的距离:直线外一点到这条直线的 ,叫做 点到直线的距离.
知识点4 平行线的性质与判定1. 平行线的概念:在同一平面内, 的两条直线叫做平行线. 2. 平行公理:经过直线外一点有且只有 条直线与这条直线平行.3. 平行公理的推论:如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直 线也互相 . 4. 平行线的判定:(1) 同位角相等,两直线平行;(2) 内错角相等,两直 线平行;(3) 同旁内角互补,两直线平行.5. 平行线的性质:(1) 两直线平行,同位角相等;(2) 两直线平行,内错 角相等;(3) 两直线平行,同旁内角互补.6. 平行线间的距离: (1) 定义:过平行线上的一点作另一条平行线的垂线, 的长 度叫做这两条平行线间的距离. (2) 性质:两条平行线间的距离处处 .
知识点5 命题1. 命题:判断一件事情的语句,叫做命题.命题分为 和结论两部 分. 2. 真命题:如果条件成立,那么结论一定成立,这样的命题叫做真命题.3. 假命题:如果条件成立,不能保证结论一定成立,这样的命题叫做假命 题.4. 互逆命题:在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结 论,而第一个命题的结论是第二个命题的条件,那么这两个命题称为 互逆命题.5. 定理:判定其他命题真假的依据的真命题,叫做定理.
考点一 余角和补角例1 (2022·连云港)已知∠A的补角为60°,则∠A= . [非常点评] 若两个角的和等于180°,则这两个角互补;若两个角的和等于90°,则这两个角互余.由此可求一个角的余角和补角.
∵ ∠A的补角为60°,∴ ∠A=180°-60°=120°.
考点二 求线段的长度例2 (2021·包头)已知线段AB=4,在直线AB上作线段BC,使得BC=2.若D是线段AC的中点,则线段AD的长为 ( )A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 2或3[思路点拨] 由于点C的位置不确定,因此分点C在线段AB上和点C在线段AB的延长线上两种情况求线段AD的长.[非常点评] 当图形的位置不确定时,一定要分类讨论,多观察图形再利用线段的和差求线段的长度.
考点三 平行线的判定与性质例3 (2022·台州)如图,∠1=90°,为保证两条铁轨平行,添加的下列条件中,正确的是 ( )A. ∠2=90° B. ∠3=90°C. ∠4=90° D. ∠5=90°
当∠4=90°时,∠1=∠4,两条铁轨被枕木截得的同位角相等,则这两条铁轨平行.故选C.
[误区警示] 在运用同位角、内错角、同旁内角判定两条直线平行时,一定要分清楚这一对角是由哪两条直线被哪一条直线所截而成的,从而才能进行判断.
例4 (2022·宿迁)如图,AB∥ED.若∠1=70°,则∠2的度数是 ( ) A. 70° B. 80° C. 100° D. 110°[非常点评] 本题考查了平行线的性质,当两条平行线被第三条直线所截时可以得到相应同位角、内错角、同旁内角的数量关系,同时在这类求角度问题中还应注意利用已知角的对顶角或平角的定义解题.
如图,∵ ∠1=70°,∴ ∠3=70°.∵ AB∥ED,∴ ∠2=180°-∠3=180°-70°=110°.故选D.
考点四 构造平行线解题例5 (2022·南通)如图,a∥b,∠3=80°,∠1-∠2=20°,则∠1的度数是 ( ) A. 30° B. 40° C. 50° D. 80°[非常点评] 有关平行线的题目,一般需要先运用平行线的性质实现角的转化,再结合题目中的其他条件进行求解,如果不是“三线八角”,可添加辅助线,变成“三线八角”再求解.如本题作c∥a(也可以作c∥b).
如图,作直线c∥a.∵ a∥b,∴ a∥b∥c.∴ ∠1=∠4,∠2=∠5.∵ ∠3=80°,∴ ∠4+∠5=80°,即∠1+∠2=80°.又∵ ∠1-∠2=20°,∴ ∠1=50°.故选C.
考点五 平行线与三角尺的综合应用例6 (2022·黔东南州)一块直角三角尺按如图所示的方式放置在一张矩形纸条上.若∠1=28°,则∠2的度数为 ( )A. 28° B. 56° C. 36° D. 62°[非常点评] 三角尺是常见的教具,与三角尺有关的平行线问题一直是中考的热点,解题时我们需要意识到三角尺的隐含条件:它的三个内角都是特殊角,再结合平行线的性质解决问题.
如图,过点E作EN∥AB,则∠2=∠3.∵ 四边形ABCD是矩形,∴ AB∥CD.∵ AB∥EN,∴ EN∥CD.∴ ∠4=∠1=28°.∵ ∠3+∠4=90°,∴ ∠3=90°-∠4=62°.∴ ∠2=∠3=62°.故选D.
考点六 角平分线的性质例7 (2022·龙东地区)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,AC=6,BC=8,则CD= . [思路点拨] 过点D作DE⊥AB于点E,利用勾股定理列式求出AB的长,再根据角平分线的性质得到CD=DE,从而解决问题.[非常点评] 角平分线上的点到角两边的距离相等,因此当遇到求角平分线上的点到一边的距离时,一般要作出它到另一边的垂线,从而得出相等的边,为解决其他问题打下基础.
考点七 线段垂直平分线的性质例8 (2021·淮安)如图,在△ABC中,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,连接AE.若AE=4,EC=2,则BC的长是 ( )A. 2 B. 4 C. 6 D. 8[非常点评] 根据线段的垂直平分线,往往可以得到长度相等的线段,从而可进行线段的转化,最终发现已知和所求之间的联系.
∵ DE是AB的垂直平分线,AE=4,∴ BE=AE=4.∴ BC=BE+EC=4+2=6.故选C.
考点八 命题例9 (2022·盘锦)下列命题属于假命题的是 ( )A. 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行B. 负数的立方根是负数C. 对角线互相垂直的四边形是菱形D. 五边形的外角和是360°[非常点评] 命题是由条件与结论组成的判断某一事情的语句,当命题的条件与结论交换位置后就变成它的逆命题,命题有真假命题,逆命题也有真假命题.判断真假命题的一般方法是掌握定义、定理及法则.
经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行,故A正确;负数的立方根是负数,故B正确;只有对角线互相垂直的平行四边形是菱形,故C错误;五边形的外角和是360°,故D正确.故选C.
1. (2022·北京)下列几何体中,是圆锥的为 ( ) 2. (2022·柳州)如图,从学校A到书店B有①②③④四条路线,其中最短的 路线是 ( ) A. ① B. ② C. ③ D. ④
5. 如图,直线a∥b,点A在直线a上,点C,D在直线b上,且AB⊥BC,BD平分 ∠ABC.若∠1=32°,则∠2的度数是 ( ) A. 13° B. 15° C. 14° D. 16°6. (2022·广元)如图,直线a∥b,将三角尺直角顶点放在直线b上.若∠1 =50°,则∠2的度数是 ( ) A. 20° B. 30° C. 40° D. 50°
8. (2022·通辽)如图,一束光线AB先后经平面镜OM,ON反射后,反射光线 CD与AB平行,当∠ABM=35°时,∠DCN的度数为 ( ) A. 55° B. 70° C. 60° D. 35°
12. (2022·兴化一模)将如图①所示的正方体切去一块,可得到如图② 所示的几何体.若正方体的棱长为1,则图②中几何体的表面积为 . 13. (2022·济宁)如图,直线l1,l2,l3被直线l4所截.若l1∥l2,l2∥l3, ∠1=126°32',则∠2的度数是 .
14. (2021·大庆)如图,3条直线两两相交最多有3个交点,4条直线两两 相交最多有6个交点,按照这样的规律,则20条直线两两相交最多有 个交点.
15. (2022·武汉)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=80°.(1) 求∠BAD的度数;(2) AE平分∠BAD交BC于点E,∠BCD=50°,求证:AE∥DC.
16. 如图,点B,E分别在AC,DF上,AF分别交BD,CE于点M,N.(1) 若∠A=60°,∠C=50°,求∠2的度数.(2) 有下面两个条件:① ∠D=∠DBA;② ∠A=∠F.在这两个条件中任选一个作为题目条件,补充在下面的横线上,并加以解答.若∠1=∠2, ,求证:∠C=∠D.
(1) ∵ ∠A=60°,∠C=50°,∴ ∠ANC=180°-∠A-∠C=70°.∴ ∠2=∠ANC=70° (2) ∵ ∠1=∠2,∠2=∠ANC,∴ ∠1=∠ANC.∴ BD∥CE.∴ ∠ABD=∠C.又∵ ∠A=∠F,∴ DF∥AC.∴ ∠ABD=∠D.∴ ∠C=∠D
答案不唯一,如选择∠A=∠F
17. 如图,在△ABC中,点D在边BC上,∠BAD=100°,∠ABC的平分线交AC于点E,过点E作EF⊥AB,交BA的延长线于点F,且∠AEF=50°,连接DE.(1) 求∠CAD的度数;(2) 求证:DE平分∠ADC;(3) 若AB=7,AD=4,CD=8,且S△ACD=15,求△ABE的面积.
(1) ∵ EF⊥AB,∠AEF=50°,∴ ∠FAE=90°-50°=40°.∵ ∠BAD=100°,∴ ∠CAD=180°-100°-40°=40° (2) 如图,过点E作EG⊥AD于点G,EH⊥BC于点H.∵ ∠FAE=∠DAE=40°,EF⊥BF,EG⊥AD,∴ EF=EG.∵ BE平分∠ABC,EF⊥BF,EH⊥BC,∴ EF=EH.∴ EG=EH.∵ EG⊥AD,EH⊥BC,∴ DE平分∠ADC
第18课时 三角形与多边形
1. 理解三角形及其内角、外角、中线、高、角平分线等概念及性质, 了解三角形的稳定性;会画任意三角形的角平分线、中线、高.2. 探索并证明三角形的三边关系、三角形的内角和定理及外角性质, 并会对三角形进行分类,会进行有关证明和计算.3. 了解多边形的定义,多边形的顶点、边、内角、外角、对角线等 概念;探索并掌握多边形内角和与外角和的相关知识.
知识点2 三角形的边角关系1. 三角形三边关系:三角形的任意两边之和 第三边,任意两边 之差 第三边. 2. 三角形内角和定理及其推论: (1) 三角形的内角和等于 ; (2) 三角形的一个外角等于与它 的两个内角的 ; (3) 三角形的一个外角 与它 的任何一个内角.
知识点3 三角形中的三条重要线段
[温馨提示] 1. 常过角平分线上的点作两条邻边的垂线,构造全等三角形解题;2. 三角形的中线平分三角形的面积.
考点一 三角形的三边关系例1 (2022·南通)用一根小木棒与两根长分别为3cm,6cm的小木棒组成三角形,则这根小木棒的长可以为 ( )A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm[非常点评] 判断三条线段(长度分别是a,b,c,a≤b≤c)能否构成三角形,只需比较两条较短线段的长度a,b的和与第三条线段的长度c的大小.若a+b>c,则能构成三角形;反之,则不能构成三角形.
设这根小木棒的长为xcm.由三角形三边关系,得6-3
当3cm是腰长时,长为3cm,3cm,5cm的三边能组成三角形,当5cm是腰长时,长为5cm,5cm,3cm的三边能组成三角形.∴ 这个等腰三角形的周长为11cm或13cm.故选D.
考点二 三角形的内角和定理例3 (2022·扬州)将一副直角三角尺按如图所示的方式放置.已知∠E=60°,∠C=45°,EF∥BC,则∠BND= . [非常点评] 在一个三角形中,已知任意两个角的度数便可求出第三个角的度数,或在一个三角形中,已知两个角的度数和也可以求出第三个角的度数.
∵ ∠E=60°,∠C=45°,∴ ∠F=30°,∠B=45°.∵ EF∥BC,∴ ∠NDB=∠F=30°.∴ ∠BND=180°-∠B-∠NDB=180°-45°-30°=105°.
考点三 三角形的外角性质例4 (2022·杭州)如图,AB∥CD,点E在线段AD上(不与点A,D重合),连接CE.若∠C=20°,∠AEC=50°,则∠A的度数为 ( ) A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°[思路点拨] 由∠AEC为△CED的外角,利用外角性质求出∠D的度数,再利用两直线平行,内错角相等即可求出∠A的度数.[非常点评] 在解决求角度相关的问题时,常常要用到三角形内角和等于180°、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质及平行线的性质,这些是解决求角度相关问题的重要工具.
∵ ∠AEC为△CED的外角,且∠C=20°,∠AEC=50°,∴ ∠AEC=∠C+∠D,即50°=20°+∠D.∴ ∠D=30°.∵ AB∥CD,∴ ∠A=∠D=30°.故选C.
设这个多边形的边数为n.∴ (n-2)·180°=900°,解得n=7.故选A.
例6 (2021·扬州)如图,点A,B,C,D,E在同一平面内,连接AB,BC,CD,DE,EA.若∠BCD=100°,则∠A+∠B+∠D+∠E的度数为 ( )A. 220°B. 240°C. 260°D. 280°[思路点拨] 连接BD,根据三角形内角和定理求出∠CBD+∠CDB的度数,再利用四边形内角和减去∠CBD+∠CDB的度数,即可得到结果.[非常点评] 三角形中已知一个角的度数可求出另外两个角的度数和,四边形中已知两个角的度数也可以求出另外两个角的度数和,熟练掌握多边形内角和公式及角的和差关系是解题的关键.
连接BD.∵ ∠BCD=100°,∴ ∠CBD+∠CDB=180°-100°=80°.∴ ∠A+∠ABC+∠CDE+∠E=360°-(∠CBD+∠CDB)=360°-80°=280°.故选D.
1. (2022·凉山州)下列长度的三条线段能组成三角形的是 ( ) A. 3,4,8B. 5,6,11 C. 5,6,10D. 5,5,102. (2022·广东)下列图形中具有稳定性的是 ( ) A. 平行四边形B. 三角形 C. 矩形D. 正方形3. (2022·杭州)如图,在△ABC中,∠ABC是钝角,过点C作CD⊥AB交AB的延 长线于点D,则 ( ) A. 线段CD是△ABC的边AC上的高 B. 线段CD是△ABC的边AB上的高 C. 线段AD是△ABC的边BC上的高 D. 线段AD是△ABC的边AC上的高
4. (2022·湘西州)一个正六边形的内角和的度数为 ( ) A. 1080° B. 720° C. 540° D. 360°5. (2021·宿迁)如图,在△ABC中,∠A=70°,∠C=30°,BD平分∠ABC交 AC于点D,DE∥AB,交BC于点E,则∠BDE的度数是 ( ) A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°6. (2022·泸州)如图,直线a∥b,直线c分别交a,b于点A,C,点B在直线b 上,AB⊥AC.若∠1=130°,则∠2的度数是 ( ) A. 30° B. 40° C. 50° D. 70°
7. 三角形的三边长为2,a,5,如果这个三角形中有两条边相等,那么它的 周长是 . 8. (2021·常州)如图,在△ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,∠B=40°, ∠C=60°.若DE∥AB,则∠AED= .
9. 如图,D为△ABC的边BC上一点,∠ADC=∠BAC. (1) 求证:∠DAC=∠B; (2) 若AE平分∠BAD,在图中找出与∠EAC相等的角,并加以证明.
(1) ∵ ∠ADC是△ABD的外角,∴ ∠ADC=∠BAD+∠B.∵ ∠BAC=∠BAD+∠DAC,∠ADC=∠BAC,∴ ∠DAC=∠B (2) ∠AEC=∠EAC ∵ ∠AEC是△ABE的外角,∴ ∠AEC=∠BAE+∠B.∵ AE平分∠BAD,∴ ∠BAE=∠EAD.由(1),可知∠DAC=∠B,∴ 易得∠AEC=∠EAC
10. 在四边形ABCD中,∠A=90°,∠ABC,∠ADC的平分线分别交直线CD,AB于点E,F.(1) 如图①,若∠C=90°,求证:EB∥DF;(2) 如图②,若线段DF,EB交于点P,∠BPF=20°,求∠C的度数.
(1) ∵ ∠A=∠C=90°,∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°,∴ ∠ABC+∠ADC=360°-90°-90°=180°.∵ BE平分∠ABC,DF平分∠ADC,∴ ∠ABC=2∠ABE,∠ADC=2∠ADF.∴ 2∠ABE+2∠ADF=180°.∴ ∠ABE+∠ADF=90°.∵ ∠A=90°,∴ ∠AFD+∠ADF=90°.∴ ∠AFD=∠ABE.∴ EB∥DF
第19课时 全等三角形
1. 通过画图和试验了解全等三角形的概念;能识别全等三角形中的 对应边、对应角.掌握全等三角形的性质,能利用全等三角形的性 质进行计算或推理.2. 能灵活运用“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”来判定两个三 角形全等.3. 能运用全等三角形的性质与判定和等腰三角形的性质与判定进行 证明和计算.
知识点1 全等三角形及其性质1. 全等三角形:能够 的两个三角形叫做全等三角形. 2. 全等三角形的性质: (1) 全等三角形的 相等; (2) 全等三角形的 相等; (3) 全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高等) ,周长 ,面积 .
知识点2 全等三角形的判定三角形全等的判定:
[温馨提示] 在判定三角形全等时,还要注意的问题:(1) 根据已知条件与结论认真分析图形;(2) 准确无误地确定每个三角形的六个元素;(3) 根据条件,确定对应元素,即找出相等的角或边;(4) 对照判定方法,看看还需什么条件两个三角形就全等;(5) 想办法找出所需条件.
2. 判定三角形全等的技巧:
3. 全等三角形常见模型: (1) 平移型:如图,它们可看成由对应边在一直线上移动所构成的,故 该对应边的相等关系一般可由同一直线上的线段和差得到. (2) 对称型:如图,它们的特征是可沿某一直线对折,直线两旁的部分 能完全重合(轴对称图形),重合的顶点就是全等三角形的对应顶点. (3) 旋转型:如图,它们可看成是以三角形的某一顶点为中心旋转所 构成的,故一般有一对相等的角隐含在对顶角中或某些角的和差中.
考点一 全等三角形的性质例1 (2021·哈尔滨)如图,△ABC≌△DEC,过点A作AF⊥CD,垂足为F.若∠BCE=65°,求∠CAF的度数. [思路点拨] 由全等三角形的性质可求得∠ACD=65°,由垂直可得∠CAF+∠ACD=90°,进而可求得∠CAF的度数.
∵ △ABC≌△DEC,∴ ∠ACB=∠DCE.∴ ∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE,即∠BCE=∠ACD.∵ ∠BCE=65°,∴ ∠ACD=65°.∵ AF⊥CD,∴ ∠AFC=90°.∴ ∠CAF+∠ACD=90°.∴ ∠CAF=90°-65°=25°.
[误区警示] 全等三角形的性质是全等三角形的对应角、对应边相等,运用全等三角形的性质的关键是“对应”.
考点二 全等三角形的判定例2 (2022·云南)如图,OB平分∠AOC,D,E,F分别是射线OA,射线OB,射线OC上的点,且不与点O重合,连接ED,EF.若添加下列条件中的某一个,就能使△DOE≌△FOE,则要添加的那个条件是 ( )A. OD=OEB. OE=OFC. ∠ODE=∠OEDD. ∠ODE=∠OFE
∵ OB平分∠AOC,∴ ∠DOE=∠FOE.又∵ OE=OE,∴ 若∠ODE=∠OFE,则根据AAS可得△DOE≌△FOE,故选项D符合题意.添加OD=OE不能得到△DOE≌△FOE,故选项A不符合题意.添加OE=OF不能得到△DOE≌△FOE,故选项B不符合题意.添加∠ODE=∠OED不能得到△DOE≌△FOE,故选项C不符合题意.故选D.
[非常点评] (1) 要证三角形全等,至少要有一组“边”的条件,因此一般情况下,我们先找对应边.(2) 在有一组对应边相等的前提下,我们通常找任意两组对应角相等即可;在有两组对应边分别相等的前提下,可以找第三组对应边相等,或找两组对应边的夹角相等,注意必须是夹角;若有三组对应边分别相等,则可以直接根据边边边(SSS)求解.(3) 要证直角三角形全等,通常先考虑斜边、直角边定理(HL).
考点三 全等三角形的性质与判定的综合应用例3 (2022·陕西)如图,在△ABC中,点D在边BC上,CD=AB,DE∥AB,∠DCE=∠A.求证:DE=BC. [思路点拨] 利用平行线的性质得∠EDC=∠B,再利用ASA证明△CDE≌△ABC,从而可得结论.[非常点评] 证明三角形全等主要去找边和角,根据已知条件得出两个三角形的对应边和对应角相等,用“SAS,ASA,AAS,SSS,HL”来证明两个三角形全等,从而可根据全等三角形的性质得出对应边、角的等量关系.
考点四 全等三角形中的开放题例4 (2022·柳州)如图,点A,D,C,F在同一条直线上,AB=DE,BC=EF.有下列条件:① AC=DF;② ∠ABC=∠DEF;③ ∠ACB=∠DFE.(1) 请在上述条件中选取一个条件,使得△ABC≌△DEF.你选取的条件为 (填序号),你判定△ABC≌△DEF的依据是 (填“SSS”“SAS”“ASA”或“AAS”). (2) 利用(1)的结论△ABC≌△DEF.求证:AB∥DE.[思路点拨] (1) 答案不唯一,若选①,则根据SSS即可证明△ABC≌△DEF,即可解决问题;(2) 根据全等三角形的性质可得∠A=∠EDF,再根据平行线的判定即可解决问题.
[非常点评] 添加条件判定三角形全等的问题的求解方法:所添加的条件一般是直接用于判定三角形全等的条件,求解时应从结论出发,结合已知条件并依据三角形全等的四种判定方法“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”寻找突破口,判定直角三角形全等还可以依据“HL”寻找答案.
1. 如图,在△ABC中,BC=10,点D,E在BC上,DE=4.若△ABD≌△ACE,则BE的 长为 ( ) A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 42. (2021·攀枝花)如图,一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三 块,他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形 模具,最省事的是带 ( ) A. ① B. ② C. ③ D. ①③
3. (2022·南通)如图,点B,F,C,E在一条直线上,AB∥ED,AC∥FD,要使 △ABC≌△DEF,只需添加一个条件,则这个条件可以是____________ .
4. (2022·广安)如图,D是△ABC外一点,连接BD,AD,AD与BC交于点O.有下列三个等式:① BC=AD;② ∠ABC=∠BAD;③ AC=BD.请从这三个等式中,任选两个作为已知条件,剩下的一个作为结论,组成一个真命题,将你选择的等式填在下面对应的横线上,然后对该真命题进行证明.已知: , . 求证: .
答案不唯一,如BC=AD
5. 如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC,E,F是对角线AC上两点,且AE= CF,连接BE,DF. (1) 求证:△ABC≌△CDA; (2) 若∠AEB=85°,求∠AFD的度数.
第20课时 等腰三角形与直角三角形
1. 了解等腰三角形的概念,探索并证明等腰三角形的性质定理与判 定定理;探索等边三角形的性质定理与判定定理,并会进行有关证 明和计算.2. 了解直角三角形的概念,探索并掌握直角三角形的性质与判定定 理.3. 探索勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决一些简单的实际问 题.
知识点1 等腰三角形的概念与性质1. 定义:有 相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两边叫腰,第 三边为底. 2. 性质:(1) 轴对称性:等腰三角形是轴对称图形,有 条对称轴. (2) 定理1:等腰三角形的两个底角相等(简称为 ). (3) 定理2:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合,简称 .
3. 常见结论:(1) 等腰三角形两腰上的高相等;(2) 等腰三角形两腰上的中线相等;(3) 等腰三角形两底角的平分线相等;(4) 等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半;(5) 等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行.
知识点2 等腰三角形的判定1. 有两条边相等的三角形是等腰三角形.2. 在一个三角形中,若有两个角相等,则这两个角所对的边 , 简称 . 知识点3 等边三角形的性质与判定1. 定义:三边相等的三角形叫做等边三角形.2. 性质: (1) 等边三角形的各角都 ,并且每一个角都等于 ; (2) 等边三角形是轴对称图形,有 条对称轴. 3. 判定: (1) 三条边都 的三角形是等边三角形; (2) 有一个角等于 的等腰三角形是等边三角形.
知识点4 直角三角形的概念、性质与判定1. 定义:有一个角是 的三角形叫做直角三角形. 2. 性质:(1) 直角三角形的两个锐角 ; (2) 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的 ; (3) 在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的 . 3. 判定:(1) 两个内角 的三角形是直角三角形; (2) 一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形.
[温馨提示] 已知直角三角形斜边的中点时,常添加辅助线为“作斜边的中线”,利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”进行求解.
知识点5 勾股定理及其逆定理
考点一 等腰三角形的性质与判定例1 (2022·泰安)如图,l1∥l2,点A在直线l1上,点B在直线l2上,AB=BC,∠C=25°,∠1=60°,则∠2的度数是 ( )A. 70°B. 65°C. 60°D. 55°[思路点拨] 利用等腰三角形的性质得到∠BAC的度数,利用平行线的性质得到∠BEA的度数,最后根据三角形外角的性质即可求解.
∵ AB=BC,∠C=25°,∴ ∠BAC=∠C=25°.∵ l1∥l2,∠1=60°,∴ ∠BEA=180°-60°-25°=95°.∵ ∠BEA=∠C+∠2,∴ ∠2=95°-25°=70°.故选A.
[非常点评] 在遇到等腰三角形背景下的求角度问题时,一般常用等边对等角及三角形内角和定理或外角性质来解决,若有平行线还可以利用平行线的性质解题.
例2 (2022·温州)如图,BD是△ABC的角平分线,DE∥BC,交AB于点E.(1) 求证:∠EBD=∠EDB;(2) 当AB=AC时,请判断CD与DE的大小关系,并说明理由.[思路点拨] (1) 利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论;(2) 利用平行线的性质可得∠ADE=∠AED,则AD=AE,从而有CD=BE,由(1)知∠EBD=∠EDB,等角对等边再等量代换即可.
(1) ∵ BD是△ABC的角平分线,∴ ∠CBD=∠EBD.∵ DE∥BC,∴ ∠CBD=∠EDB.∴ ∠EBD=∠EDB.(2) CD=DE.理由:∵ AB=AC,∴ ∠C=∠ABC.∵ DE∥BC,∴ ∠ADE=∠C,∠AED=∠ABC.∴ ∠ADE=∠AED.∴ AD=AE.∴ CD=BE.由(1),知∠EBD=∠EDB,∴ BE=DE.∴ CD=DE.
[方法归纳] 证明三角形两边相等的一般方法 (1) 通过等角对等边得到两边相等;(2) 通过三角形全等得到两边相等;(3) 利用垂直平分线的性质得到两边相等;(4) 通过等量代换得到,即若a=b,b=c,则a=c.
考点二 等边三角形的性质与判定例3 (2022·海南)如图,直线m∥n,△ABC是等边三角形,顶点B在直线n上,直线m交AB于点E,交AC于点F.若∠1=140°,则∠2的度数是 ( ) A. 80° B. 100° C. 120° D. 140°[思路点拨] 先根据等边三角形的性质可得∠A=60°,由三角形外角的性质可得∠AEF的度数,最后由对顶角相等及平行线的性质求得∠2的度数.
[非常点评] 本题考查了等边三角形的性质、平行线的性质及三角形外角的性质,本题还可以利用平行线中的“拐点模型”求得∠CBn的度数,再根据平角的定义求出∠2的度数.
如图,∵ △ABC是等边三角形,∴ ∠A=60°.∵ ∠1=∠A+∠AEF=140°,∴ ∠AEF=140°-60°=80°.∴ ∠DEB=∠AEF=80°.∵ m∥n,∴ ∠2+∠DEB=180°.∴ ∠2=180°-80°=100°.故选B.
[非常点评] 本题考查直角三角形斜边上的中线、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质,解答本题的关键是明确题意,熟练利用这些性质解决问题.
例5 (2021·广州)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,线段AB的垂直平分线分别交AC,AB于点D,E,连接BD.若CD=1,则AD的长为 . [非常点评] 含30°角的直角三角形的性质主要用来计算线段长度或证明线段的倍数关系.当直角三角形出现30°角或60°角时应该联想此性质来解决问题.
∵ DE垂直平分线段AB,∴ AD=BD.∴ ∠A=∠ABD.∵ ∠A=30°,∴ ∠ABD=30°.∴ ∠BDC=∠A+∠ABD=30°+30°=60°.∵ ∠C=90°,∴ ∠CBD=30°.∵ CD=1,∴ 易得BD=2CD=2.∴ AD=2.
考点四 勾股定理及其应用例6 (2021·襄阳)我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题:“今有池方一丈,葭(jiā)生其中,出水一尺.引葭赴岸,适与岸齐.问水深几何?”其大意如下:有一个水池,水面是一个边长为1丈的正方形,在水池正中央有一根芦苇,它高出水面1尺(如图).如果把这根芦苇拉向水池一边的中点,它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度是多少(丈、尺是长度单位,1丈=10尺)?根据题意,水的深度为 ( ) A. 10尺 B. 11尺 C. 12尺 D. 13尺
[非常点评] 本题主要考查勾股定理在实际生活中的应用,熟练根据勾股定理列出方程是解题的关键.
设水的深度为h尺,则芦苇长为(h+1)尺.由勾股定理,得(h+1)2=h2+(10÷2)2,解得h=12.∴ 水的深度为12尺.故选C.
6. (2021·绍兴)如图,在△ABC中,∠A=40°,点D,E分别在边AB,AC上,BD =BC=CE,连接CD,BE. (1) 若∠ABC=80°,求∠BDC,∠ABE的度数; (2) 写出∠BEC与∠BDC之间的关系,并说明理由.
第21课时 图形的相似
1. 了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段.2. 通过具体实例认识图形的相似,了解相似多边形和相似比.3. 了解相似三角形的判定定理与性质定理,并利用它们进行计算或 推理.4. 会利用图形的相似解决一些简单的实际问题.
知识点2 相似三角形1. 概念:对应角 ,对应边成 的两个三角形叫做相似三 角形.相似三角形对应边的比叫做 . 2. 相似三角形的性质:(1) 相似三角形的对应角 ,对应边 ; (2) 相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比等 于 ; (3) 相似三角形的周长之比等于 ,面积之比等于 .
3. 相似三角形的判定方法: (1) 一般三角形:① 两角对应相等,两个三角形相似;② 两边对应成 比例,且 相等,两个三角形相似;③ 三边对应 ,两 个三角形相似. (2) 直角三角形:① 一组 对应相等,两个直角三角形相似; ② 两组直角边对应成比例,两个直角三角形相似.
4. 相似三角形的判定思路:
5. 相似三角形常见的基本类型: (1) “平行线型” △ABC∽△ADE (2) “斜交型”(需满足∠1=∠2) △ADE∽△ABC
(3) “垂直型”(其中图①②需满足∠1=∠2)
知识点3 相似多边形及其性质1. 定义:两个边数相同的多边形,如果它们的对应角 ,对应边 ,那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形_______ 的比叫做相似比. 2. 性质: (1) 相似多边形的对应角 ,对应边 ; (2) 相似多边形对应边的比、周长的比等于 ,面积的比等 于 .
[非常点评] 本题主要考查了平行线分线段成比例定理的应用,通过平行线分线段成比例定理得出线段的比是解题的关键.运用此定理时,要看清平行线组,找准被平行线组截得的对应线段.为了便于记忆,可用口诀“上对上,下对下,全对全”.
考点二 相似三角形的判定例2 (2022·菏泽)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,E是边AC上一点,且BE=BC,过点A作BE的垂线,交BE的延长线于点D,求证:△ADE∽△ABC.
∵ BE=BC,∴ ∠C=∠CEB.∵ ∠CEB=∠AED,∴ ∠AED=∠C.∵ AD⊥BE,∴ ∠D=∠ABC=90°.∴ △ADE∽△ABC.
[方法归纳] 判定相似三角形的关键点 (1) 判定两个三角形相似的常规思路:① 先找两组对应角相等;② 若只能找到一组对应角相等,则判断夹相等角的两边是否对应成比例;③ 若找不到角相等,则判断三边是否对应成比例;④ 若①②③均不可行,则可考虑相似三角形的“传递性”等.(2) 借助图形找三角形相似:① 有平行线的可围绕平行线找相似;② 有公共角或相等角的可再找其他相等的角或成比例的对应边(夹相等角的两边);③ 有公共边的可将图形旋转或翻折,观察其特征,找出相等的角或成比例的对应边.
考点三 相似三角形的性质例3 (2022·连云港)△ABC的三边长分别为2,3,4,另有一个与它相似的△DEF,其最长边为12,则△DEF的周长是 ( )A. 54 B. 36 C. 27 D. 21[非常点评] 相似三角形的周长之比等于相似比,本题还可以设2对应的边是x,3对应的边是y,根据相似三角形的对应边成比例列方程求解.
考点四 相似三角形的性质与判定的综合应用例5 (2022·甘肃)如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=9cm,点E,F分别在边AB,BC上,AE=2cm,BD,EF交于点G.若G是EF的中点,则BG的长为 cm.[思路点拨] 根据矩形的性质可得∠ABC=∠C=90°,由G是EF的中点,利用直角三角形斜边上的中线可得BG=FG,得∠GBF=∠GFB,从而证得△EBF∽△DCB,利用相似三角形的性质可求出BF的长,最后在Rt△BEF中,利用勾股定理求出EF的长,即可解答.
[非常点评] 在判定两个三角形相似时,当给出的两个三角形中的已知条件以角为主(或有平行)时,我们应首先考虑使用“两角对应相等”的判定方法.
考点五 相似的应用例6 (2022·陕西)小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高.如图,在某一时刻,他们在阳光下,分别测得该建筑物OB的影长OC为16m,OA的影长OD为20m,小明的影长FG为2.4m,其中O,C,D,F,G五点在同一直线上,A,B,O三点在同一直线上,且AO⊥OD,EF⊥FG.已知小明的身高EF为1.8m,求旗杆的高AB. [思路点拨] 先证明△AOD∽△EFG,列比例式可得AO的长,再证明△BOC∽△AOD,可得OB的长,最后利用线段的和差解决问题.
[非常点评] 本题考查了利用相似三角形的判定与性质求线段长,利用相似三角形对应边成比例的性质是求线段长的重要方法,运用相似求线段长时首先要根据相似三角形的判定条件找出相似三角形,再根据相似三角形对应边成比例的性质建立比例式,通过比例式搭建已知线段与所求线段间的关系.
考点六 相似与圆的综合应用例7 (2022·无锡)如图,边长为6的等边三角形ABC内接于☉O,D为AC上的动点(不与点A,C重合),BD的延长线交☉O于点E,连接CE.(1) 求证:△CED∽△BAD;(2) 当DC=2AD时,求CE的长.[思路点拨] (1)分别由对顶角相等及圆周角定理得到两组对应角相等,从而证得两个三角形相似;(2)过点D作DF⊥EC于点F,由等边三角形的性质分别求出AD,DC的长,再由相似三角形的性质设参数,在△CDF中利用勾股定理构建方程求解.
[非常点评] 圆是相似三角形的重要知识背景,解与圆有关的题目时,相似是一种常见的解题手段,注意从同弧(等弧)所对的圆周角相等和直径所对的圆周角是90°出发,找出相似三角形,再根据对应边的关系以及勾股定理等性质,便可解决很多问题.
5. (2022·鞍山)如图,AB∥CD,AD,BC相交于点E.若AE∶DE=1∶2,AB=2.5, 则CD的长为 . 6. (2022·邵阳)如图,在△ABC中,点D在边AB上,点E在边AC上,请添加一 个条件: ,使△ADE∽△ABC. 7. (2022·建邺一模)如图,在△ABC中,∠B=30°,D是AC上一点,过点D作 DE∥BC交AB于点E,DF∥AB交BC于点F.若AE=5,CF=4,则四边形BFDE的面 积为 .
答案不唯一,如∠ADE=∠B
8. (2022·江西)如图,四边形ABCD为菱形,点E在AC的延长线上,∠ACD= ∠ABE. (1) 求证:△ABC∽△AEB; (2) 当AB=6,AC=4时,求AE的长.
9. (2022·仙桃)如图,正方形ABCD内接于☉O,E为AB的中点,连接CE交BD 于点F,延长CE交☉O于点G,连接BG. (1) 求证:BF2=EF·GF; (2) 若AB=6,求BF和EG的长.
第22课时 锐角三角函数及其应用
1. 理解锐角三角函数(sinα,csα,tanα)的定义,会由已知条件 (图形或网格)求锐角三角函数值.2. 熟记30°,45°,60°角的三角函数值,会计算含有特殊角的三角 函数值.3. 会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值,由已知三角函数值 求它的对应锐角.4. 能利用直角三角形中的边边、边角关系解直角三角形.5. 能结合仰角、俯角、坡度等知识,运用锐角三角函数解决与直角 三角形有关的实际问题.
[温馨提示] 一个锐角的正弦、余弦、正切只与边的比值或角的大小有关,而与三角形的大小无关.
2. 一些特殊角的三角函数值:3. 三角函数的增减性: 当角度在0°~90°范围内变化时,正弦函数值随角度的增大而 , 余弦函数值随角度的增大而 ,正切函数值随角度的增大而 .
知识点2 解直角三角形1. 解直角三角形的定义及常用关系:
2. 解直角三角形的常见类型和解法:
知识点3 解直角三角形应用的有关概念
[非常点评] 本题考查了如何在网格中构造直角三角形,从而求一个角的三角函数值.解决这类问题一般先将相应的角置于直角三角形中,当所求的角不能直接构造出直角三角形时,可以将角转换,即寻找相等的角,构造出相等的角所在的直角三角形,先求出相应的边的长度,进而结合定义解决问题.
[误区警示] 利用特殊角的三角函数值进行计算时不能记错特殊角的三角函数值.
[非常点评] 本题考查了勾股定理、反比例函数与锐角三角函数,解决这类问题的关键是正确认识这些函数的定义与性质,熟练掌握将锐角三角函数转化为直角三角形中的边之间的关系.
[非常点评] 锐角三角函数与圆是中考的热点,本题考查了切线的判定、三角形中位线定理、平行线的性质、锐角三角函数的定义等知识,如果已知锐角三角函数值,那么可得相应直角三角形中各边的关系,从而可构造方程求线段长.
考点五 解直角三角形的应用例5 (2022·南通)如图,B为地面上一点,测得点B到树底部C的距离为10m,在B处放置1m高的测角仪BD,测得树顶A的仰角为60°,则树高AC为 m(结果保留根号). [非常点评] 解直角三角形的应用问题是中考的热点,对于这类问题,一般需将条件转化为直角三角形中的边角元素,再选择合适的锐角三角函数解题即可.
[方法归纳] 解直角三角形实际应用题的一般方法 把实际问题转化为数学问题,即构造直角三角形模型,利用直角三角形的边角关系,通过勾股定理或者锐角三角函数求解.
(1) 直线BC与☉O相切 理由:如图,连接OB.∵ OA=OB,∴ ∠A=∠OBA.∵ CP=BC,∴ ∠CPB=∠CBP.∵ ∠APO=∠CPB,∴ ∠APO=∠CBP.∵ OC⊥OA,∴ ∠A+∠APO=90°.∴ ∠OBA+∠CBP=90°.∴ ∠OBC=90°.∵ OB为☉O的半径,∴ 直线BC与☉O相切.
8. (2022·连云港)小明与小亮要测量某宝塔的高度,如图,小明在点A处测得宝塔最高点C的仰角∠CAE=45°,再沿正对宝塔方向前进至B处测得最高点C的仰角∠CBE=53°,AB=10m;小亮在点G处竖立标杆FG,小亮的所在位置点D、标杆顶点F、宝塔最高点C在同一条直线上,FG=1.5m,GD=2m.求(结果精确到0.01m,参考数据:sin53°≈0.799,cs53°≈0.602,tan53°≈1.327):(1) 宝塔的高度CE;(2) 小亮与宝塔之间的距离ED.
9. 某儿童医院门诊大厅收费处正上方的卡通雕塑有效缓解了就医小朋友 的紧张情绪.为了测量如图所示的卡通雕塑BE的长度,小莉在地面上F 处测得B处、E处的仰角分别为37°,56.31°.已知∠ABE=45°,点F到 收费处OA的水平距离FC=16m,且点F与BE确定的平面与地面垂直.求卡 通雕塑BE的长度(参考数据:sin37°≈0.60,cs37°≈0.80,tan37° ≈0.75,tan56.31°≈1.50).
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