中考数学一轮知识点梳理三　函数课件

这是一份中考数学一轮知识点梳理三　函数课件，共60页。PPT课件主要包含了有序数对，x0y0，不属于，互为相反数，a-b，-ab，-a-b，ab+m，ab-m，a-nb等内容，欢迎下载使用。

三　函　数
第9课时　平面直角坐标系与函数
1. 理解平面直角坐标系的有关概念,能画出平面直角坐标系;在给定 的平面直角坐标系中,能根据点的坐标描出点的位置,由点的位置 写出它的坐标.2. 在实际问题中,能建立适当的平面直角坐标系,描述物体的位置.3. 结合实例,了解函数的概念和三种表示方法,能举出函数的实例, 能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析.4. 能确定函数中自变量的取值范围,并会求出函数值.5. 能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系,结 合对函数关系的分析,能对变量的变化情况进行初步讨论.
知识点1　平面直角坐标系相关概念及点的坐标特征1. 有序数对:有顺序的两个数a与b组成的数对,叫做有序数对,记作 (　　　,　　　). 2. 平面直角坐标系:在平面内画两条互相　　　　、　　　　重合的数 轴,组成平面直角坐标系.坐标平面内的点与　　　　　　一一对应.
a
b
垂直
原点
有序数对
3. 点的坐标特征:(1) 各象限内点的坐标特征:① 点P(x,y)在第一象限⇔x>0,y>0;② 点P(x,y)在第二象限⇔　　　　　; ③ 点P(x,y)在第三象限⇔　　　　　; ④ 点P(x,y)在第四象限⇔　　　　　. 
x<0,y>0
x<0,y<0
x>0,y<0
(2) 坐标轴上点的坐标特征:① 坐标轴上的点　　　　任何象限; ② 点P1(x1,y1)在x轴上⇔　　　　=0; ③ 点P2(x2,y2)在y轴上⇔　　　　=0;④ 原点的坐标为　　　　. (3) 象限角平分线上的点的坐标特征:① 第一、三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标　　　　; ② 第二、四象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标　　　　 . 
不属于
y1
x2
(0,0)
相等
互为相反数
(4) 平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征:① 平行于x轴的直线上的点的　　　　坐标相等; ② 平行于y轴的直线上的点的　　　　坐标相等. 
纵
横
 
|b|
|a|
 
5. 点的对称与平移:
(a,-b)
(-a,b)
(-a,-b)
(a,b+m)
(a,b-m)
(a-n,b)
(a+n,b)
知识点2　函数及其图像1. 函数的相关概念及函数值:(1) 变量、常量:变量是指在某一变化过程中,数值发生变化的量;常量是指在某一变化过程中,数值始终　　　　的量. (2) 函数的概念及函数值:在某个变化过程中有两个变量x,y,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值,y都有　　　 　　　 与它相对应,那么我们称y是x的函数,x是自变量.如果当x=a时,y=b,那么b就叫做当自变量的值为a时的函数值. 2. 函数的三种表示方法分别是　　　　、　　　　、　　　　　　. 
不变
唯一确定的值
图像法
表格法
表达式法
3. 描点法画函数图像的一般步骤: 第一步:　　　　,表中给出一些自变量的值及其对应的函数值;  第二步:　　　　,在平面直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相 应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点;  第三步:　　　　,按照横坐标由小到大的顺序,把所描出的各点用平 滑的曲线连接起来. 
列表
描点
连线
4. 确定函数自变量的取值范围:求函数自变量的取值范围,首先要考虑自变量的取值必须使表达式有意义.(1) 等号右边以整式形式出现时,自变量的取值范围是　　 　　. (2) 等号右边以分式形式出现时,自变量的取值范围是使分式的分母　　　　的实数. (3) 等号右边以平方根的形式出现时,自变量的取值范围是使被开方数为　　 　　的实数;以立方根的形式出现时,自变量的取值范围是　　　 　. (4) 当函数表达式表示具有实际意义或几何意义的函数时,自变量的取值范围必须保证实际问题或几何问题有意义.
全体实数
不为0
非负数
任意实数
考点一　坐标平面内点的坐标特征例1 (2022·扬州)在平面直角坐标系中,点P(-3,a2+1)所在的象限是 (　　)A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限
∵ a2≥0,∴ a2+1≥1.∴ 点P(-3,a2+1)所在的象限是第二象限.故选B.
[方法归纳] 象限内点(m,n)的坐标特征 第一象限(+,+),即m>0,n>0;第二象限(-,+),即m<0,n>0;第三象限(-,-),即m<0,n<0;第四象限(+,-),即m>0,n<0.x轴正半轴上的点:m>0,n=0;x轴负半轴上的点:m<0,n=0;y轴正半轴上的点:m=0,n>0;y轴负半轴上的点:m=0,n<0.反之亦成立.
考点二　对称点的坐标特征例2 (1) (2022·常州)在平面直角坐标系中,点A与点A1关于x轴对称,点A与点A2关于y轴对称.若点A1的坐标是(1,2),则点A2的坐标是 (　　)A. (-2,1) B. (-2,-1)C. (-1,2) D. (-1,-2)(2) (2022·长沙)在平面直角坐标系中,点(5,1)关于原点对称的点的坐标是 (　　)A. (-5,1) B. (5,-1)C. (1,5) D. (-5,-1)
(1) ∵ 点A与点A1关于x轴对称,点A1的坐标是(1,2),∴ 点A的坐标是(1,-2).∵ 点A与点A2关于y轴对称,∴ 点A2的坐标是(-1,-2).故选D.(2) D.
[非常点评] (1) 点(x,y)关于x轴对称的点的坐标是(x,-y),即横坐标不变,纵坐标互为相反数;(2) 点(x,y)关于y轴对称的点的坐标是(-x,y),即纵坐标不变,横坐标互为相反数;(3) 点(x,y)关于原点对称的点的坐标是(-x,-y),即横、纵坐标均互为相反数.牢记这些是解题的关键.
考点三　图形的平移与坐标变化例3 (2022·辽宁)在平面直角坐标系中,点A的坐标为(3,2),点B的坐标为(5,2),将线段AB平移得到线段CD,点A的对应点C的坐标是(-1,2),则点B的对应点D的坐标是　　　　. [非常点评] 在平面直角坐标系中,将点(x,y)向右(或向左)平移a(a>0)个单位长度,可以得到对应点的坐标是(x+a,y)[或(x-a,y)];将点(x,y)向上(或向下)平移b(b>0)个单位长度,可以得到对应点的坐标是(x,y+b)[或(x,y-b)].
∵ 点A(3,2)的对应点C的坐标是(-1,2),∴ 平移方式为向左平移4个单位长度.∴ 点B(5,2)的对应点D的坐标是(1,2).
考点四　用坐标表示地理位置例4 (2022·兰州)如图,小刚在某平面地图的部分区域建立了平面直角坐标系,如果白塔山公园的坐标是(2,2),中山桥的坐标是(3,0),那么黄河母亲像的坐标是　　　　. [思路点拨] 根据白塔山公园的坐标是(2,2),中山桥的坐标是(3,0)建立平面直角坐标系,然后根据点的坐标的表示方法写出黄河母亲像的坐标.
[非常点评] 本题主要考查了用坐标确定位置.根据已知点确定坐标系中原点的位置是解题的关键.
如图,根据白塔山公园的坐标是(2,2),中山桥的坐标是(3,0)画出平面直角坐标系,∴ 黄河母亲像的坐标是(-4,1).
 
 
考点六　函数图像信息题例6 (2022·青海)小李一家开车去观看电影.最初以某一速度匀速行驶,中途停车加油耽误了十几分钟,为了按时到达电影院,小李在不违反交通规则的前提下加快了速度,仍保持匀速行驶.在此行驶过程中,汽车离电影院的距离y(千米)与时间t(小时)之间的函数关系的大致图像是 (　　)
[非常点评] 本题主要考查利用函数图像解决实际问题,解题的关键是弄清楚函数图像中横轴、纵轴所表示的意义及实际情况与图像中自变量和因变量之间对应的关系.
随着时间t(小时)的增加,汽车离电影院的距离y(千米)减少,排除选项A,C,D.由于中途停车加油耽误了十几分钟,此时时间t在增加,汽车离电影院的距离y没有变化;后来加快了速度,仍保持匀速行进,则后来的函数图像的走势应比前面匀速前进的走势要陡.故选B.
 
B
D
C
4. (2022·台湾)已知在平面直角坐标系中有一直线l与一点A.若直线l 对应的函数表达式为x=-2,点A的坐标为(6,5),则点A到直线l的距离 为 (　　) A. 3 B. 4 C. 7 D. 85. (2022·台州)吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上,吴老师家 到公园、公园到学校的距离分别为400m,600m.吴老师从家出发匀速 步行8min到公园后,停留4min,然后匀速步行6min到学校.设吴老师离 公园的距离为ym,所用时间为xmin,则下列表示y与x之间函数关系的 图像中,正确的是 (　　)
D
C
6. (2022·广安)若点P(m+1,m)在第四象限,则点Q(-3,m+2)在第______ 象限. 7. (2022·怀化)已知点A(-2,b)与点B(a,3)关于原点对称,则a-b=　　.8. (2022·临沂)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A,B的坐标分 别是(0,2),(2,-1).平移△ABC得到△A'B'C',若点A的对应点A'的坐 标是(-1,0),则点B的对应点B'的坐标是　　　　. 
二
5
(1,-3)
9. (2022·桂林)如图,在平面直角坐标系中,“V”字图形的三个点的坐标分别是A(2,3),B(1,0),C(0,3).(1) 画出“V”字图形向左平移2个单位长度后的图形;(2) 画出原“V”字图形关于x轴对称的图形;(3) 所得图形与原图形结合起来,你能从中看出什么英文字母(任意答一个即可)?
(1) 如图①　(2) 如图②　(3) 图①是W,图②是X
第9题
10. 经过试验获得两个变量x(x>0),y(y>0)的部分对应值如下表:(1) 请在如图所示的平面直角坐标系中画出相应函数的图像,并求出函数表达式.(2) 点A(x1,y1),B(x2,y2)在此函数图像上.若x1 
第10题
(2) y1>y2　 理由:∵ k=6>0,∴ 在第一象限内,y随x的增大而减小.∴ 当0y2.
第10课时　一次函数的图像和性质
1. 结合具体情境体会一次函数的意义,能根据已知条件确定一次函 数的表达式.2. 经历列表、描点、连线画一次函数图像的过程,根据一次函数的 图像和表达式y=kx+b(k≠0),探索并理解当k>0和k<0时图像的变 化情况,并能灵活运用.3. 理解正比例函数,掌握正比例函数的图像和性质,并能灵活运用.4. 会运用待定系数法确定正比例函数和一次函数的表达式.5. 会利用函数图像求方程(组)的解与不等式的解集.
知识点1　一次函数的图像和性质1. 一次函数与正比例函数的概念:一般地,形如　　　 　(k,b是常数, k≠0)的函数,叫做一次函数.特别地,当b=0时,一次函数为y=______ (k≠0),这时,y叫做x的　　　 　函数. 2. 一次函数的图像特征: 一次函数y=kx+b(k≠0)的图像是经过点(0,　　　)和(　　　　,0) 的一条　　　 　.特别地,正比例函数y=kx(k≠0)的图像是经过点 (0,　　　　)和(1,　　　　)的一条　　　　. 
y=kx+b
kx
正比例
b
 
直线
0
k
直线
3. 一次函数的图像和性质:
4. 一次函数图像的平移:
简记为“左加右减,上加下减”
+m
-m
+m
-m
5. 同一平面直角坐标系中两直线(l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2)的位置关系:
知识点2　一次函数表达式的确定1. 待定系数法:先根据明确的函数关系设出函数表达式中的未知系数, 再根据条件确定表达式中未知的系数,从而求出函数表达式的方法, 叫做待定系数法.2. 用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤: (1) 设函数的表达式为　　　　 　　　;  (2) 找到两个已知点的坐标,并代入所设函数表达式,得到关于k,b的 方程组; (3) 解方程组求出k,b的值; (4) 把得到的k,b的值代入所设的函数表达式.
y=kx+b(k,b为常数,k≠0)
 
横
②
2. 一次函数与不等式的关系:设关于x的不等式kx+b>0③,kx+b<0④(k> 0).(1) 当函数y=kx+b的函数值y大于0时,自变量x的取值范围就是不等式③的解集,即当y>0时,x的取值范围是　　　　; (2) 当函数y=kx+b的函数值y小于0时,自变量x的取值范围就是不等式④的解集,即当y<0时,x的取值范围是　　　　. 
 
 
考点一　一次函数的图像和性质例1 (2022·沈阳)在平面直角坐标系中,一次函数y=-x+1的图像是(　　)　　 　　 [非常点评] 直线y=kx+b(k≠0)的位置与k,b的符号有直接的关系.当k>0时,直线必经过第一、三象限;当k<0时,直线必经过第二、四象限.当b>0时,直线与y轴的正半轴相交;当b=0时,直线经过原点;当b<0时,直线与y轴的负半轴相交.因此k,b的符号决定了一次函数图像的走向和位置.反之,由一次函数的图像可确定k,b的符号.
∵ k=-1<0,b=1>0,∴ 直线经过第一、二、四象限.故选C.
 
 
 
 
[方法归纳] 用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤 (1) 设所求的一次函数表达式为y=kx+b(k,b是常数,k≠0);(2) 根据已知条件列出关于k,b的方程组;(3) 解方程组,求出k,b的值;(4) 将求得的k,b的值代入函数表达式y=kx+b中,从而表示出一次函数的表达式.
考点三　一次函数与方程(组)、不等式之间的联系例4 (2022·南通)如图,根据图像,可得关于x的不等式kx>-x+3的解集是 (　　)A. x<2 B. x>2 C. x<1 D. x>1[非常点评] (1) 一次函数的图像是一条直线,由一次函数的图像,可知直线y=kx+b(k≠0)落在x轴上方的部分所对应的x的取值范围,即为不等式kx+b>0的解集;(2) 在两个函数图像有交点的情况下,比较两个函数值大小的方法是先求出交点的横坐标,再结合在平面直角坐标系中两图像位置的上下关系得出结论.
由题图,可知两函数图像的交点坐标为(1,2),∴ 关于x的不等式kx>-x+3的解集为x>1.故选D.
 
例5图
 
考点四　一次函数图像的平移例6 (2022·广安)在平面直角坐标系中,将函数y=3x+2的图像向下平移3个单位长度,所得图像对应的函数表达式为 (　　)A. y=3x+5 B. y=3x-5C. y=3x+1 D. y=3x-1[非常点评] 把直线y=kx+b(k≠0)向上平移p(p>0)个单位长度后得到的图像对应的函数表达式为y=kx+b+p;把直线y=kx+b(k≠0)向下平移q(q>0)个单位长度后得到的图像对应的函数表达式为y=kx+b-q;把直线y=kx+b(k≠0)向右平移m(m>0)个单位长度后得到的图像对应的函数表达式为y=k(x-m)+b;把直线y=kx+b(k≠0)向左平移n(n>0)个单位长度后得到的图像对应的函数表达式为y=k(x+n)+b.
将函数y=3x+2的图像向下平移3个单位长度,所得图像对应的函数表达式为y=3x+2-3=3x-1.故选D.
 
[非常点评] 当一次函数的图像遇上特殊角(如30°,45°,60°)时,一般构造直角三角形或一线三直角模型,借助勾股定理及边角关系解决问题,因此当遇上特殊角时,构造特殊图形是解题的一般思路.
 
 
D
D
A
4. (2022·辽宁)如图,在同一平面直角坐标系中,一次函数y=k1x+b1与y= k2x+b2的图像分别为直线l1和直线l2,下列结论正确的是 (　　) A. k1·k2<0 B. k1+k2<0 C. b1-b2<0 D. b1·b2<0　　　
D
5. (2022·柳州)如图,直线y1=x+3分别与x轴、y轴交于点A,C,直线y2=-x +3分别与x轴、y轴交于点B,C,P(m,2)是△ABC内部(包括边上)的一点, 则m的最大值与最小值之差为 (　　) A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
B
解析:∵ P(m,2)是△ABC内部(包括边上)的一点,∴ 点P在直线y=2上.如图,当P为直线y=2与直线y2=-x+3的交点时,m取最大值;当P为直线y=2与直线y1=x+3的交点时,m取最小值.∵ 在y2=-x+3中,令y=2,则x=1,在y1=x+3中,令y=2,则x=-1,∴ m的最大值为1,最小值为-1.∴ m的最大值与最小值之差为1-(-1)=2.故选B.
6. (2022·无锡)请写出一个函数的表达式,使其图像分别与x轴的负半 轴、y轴的正半轴相交:　　　　　　 . 7. (2022·海陵二模)在平面直角坐标系中,将直线y=-2x沿x轴向右平移, 使平移后的直线经过点(-1,6),则该直线应向右平移　　　　个单位 长度. 8. (2022·扬州)如图,若函数y=kx+b(k<0)的图像经过点P,则关于x的不 等式kx+b>3的解集为　　　　　. 　　　
答案不唯一,如y=x+1
2
x<-1
 
20
 
10. (2022·北京)在平面直角坐标系中,函数y=kx+b(k≠0)的图像过点(4,3),(-2,0),且与y轴交于点A.(1) 求该函数的表达式及点A的坐标;(2) 当x>0时,对于x的每一个值,函数y=x+n的值大于函数y=kx+b(k≠0)的值,直接写出n的取值范围.
 
11. (2022·南京二模)已知一次函数y1=ax+3a+2(a为常数,a≠0)和y2=x+1.(1) 当a=-1时,求这两个函数图像的交点坐标;(2) 不论a为何值,函数y1=ax+3a+2(a为常数,a≠0)的图像都经过一个定点,这个定点坐标是　　　　; (3) 若两个函数图像的交点在第三象限,结合图像,直接写出a的取值范围.
(1) 当a=-1时,y1=-x-1,令y1=y2,得-x-1=x+1,解得x=-1.当x=-1时,y1=-(-1)-1=0,∴ 这两个函数图像的交点坐标为(-1,0)　(3) 函数的图像如图所示,根据图像,可知两个函数的图像的交点在第三象限,a的取值范围是a<-1或a>1
(-3,2)
第11课时　反比例函数的图像和性质
 
 
≠
 
知识点2　反比例函数的图像和性质
一、三
减小
二、四
增大
[温馨提示] 双曲线不是连续曲线,是两支不同的曲线,所以在比较函数值大小时,一定要注意所判断的点是否在同一象限.当k>0时,在两支上,第一象限函数值大于第三象限函数值;当k<0时,在两支上,第二象限函数值大于第四象限函数值.
 
 
考点一　反比例函数表达式的确定例1 (2022·盐城)已知反比例函数的图像经过点(2,3),则该函数的表达式为　　　　. [非常点评] 确定反比例函数表达式的关键是确定k的值,在用待定系数法确定反比例函数的表达式时,只要代入x,y的一组对应值,便可得到一个关于k的方程,从而求出k的值,即可确定反比例函数的表达式.
 
 
 
[误区警示] 本题易错在只关注反比例函数的图像在每个象限内y随x的增大而增大,错误地由1>-2得y2>y3.在比较函数值的大小时,一定要先明确两个点所处的象限,再结合反比例函数的性质解题.本题还可利用数形结合的思想比较纵坐标的大小.
 
 
 
 
[非常点评] 对于两个不同的函数图像共存于同一平面直角坐标系中的问题,应根据同一平面直角坐标系中的两个图像确定表达式中待定系数的取值范围,若不同函数中相同字母的取值范围相同,则正确;或者根据字母的取值范围判断两个图像所处的象限,若象限相同则正确,反之则不正确.
 
 
[非常点评] 本题考查的是反比例函数与几何图形的性质,涉及反比例函数图像上点的坐标特点、正方形的性质、全等三角形的判定与性质,作辅助线构造出全等三角形,并求出点C的坐标是解题的关键.
 
 
[非常点评] 本题考查反比例函数与一次函数的综合应用,解题的关键是熟练掌握待定系数法确定表达式并能利用面积数量关系构建方程解决问题.
 
 
C
B
 
B
C
 
D
 
 
m<2
6
(2,3)
 
 
第9题
 
 
 
第10题
 
 
第12课时　二次函数的图像和性质(一)
1. 通过对实际问题的分析,体会二次函数的意义.2. 会用描点法画出二次函数的图像,通过图像了解二次函数的性质.3. 会用配方法将二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式,并能由 此得到二次函数图像的顶点坐标,知道图像的开口方向,会画出图 像的对称轴,知道二次函数的增减性,并掌握二次函数图像的平移 规律.
知识点1　二次函数的概念一般地,形如　　　　　　 　　　　　　的函数叫做二次函数.当a　　　　,b　　　　时,是一次函数. 知识点2　二次函数的图像及画法
y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
=0
≠0
 
知识点3　二次函数的图像和性质
上
下
减小
增大
增大
减小
知识点4　二次函数图像的平移1. 二次函数一般式平移:
+m
+m
-m
-m
+m
-m
2. 二次函数顶点式平移: (1) 平移的步骤: ① 将抛物线对应的函数表达式转化为顶点式y=a(x-h)2+k,确定其顶 点坐标; ② 保持抛物线的形状不变,平移顶点坐标(h,k)即可. (2) 平移的规律:
±n
±n
[温馨提示] 1. 点坐标的平移规律:“左减右加,上加下减”;函数图像的平移规律:“左加右减,上加下减”,两者要区分开.2. 确定抛物线平移后的表达式最好利用顶点式,利用顶点的平移来研究图形的平移.
考点一　二次函数的图像和性质例1 (2022·郴州)关于函数y=(x-1)2+5,下列说法正确的是 (　　)A. 函数图像开口向下B. 函数图像的顶点坐标是(-1,5)C. 该函数有最大值,最大值是5D. 当x>1时,y随x的增大而增大
在函数y=(x-1)2+5中,二次项的系数为1,1>0,∴ 函数图像开口向上.故选项A错误.函数图像的顶点坐标是(1,5),故选项B错误.∵ 函数图像开口向上,∴ 该函数有最小值,最小值是5.故选项C错误.∵ 函数图像的对称轴为直线x=1,∴ 当x<1时,y随x的增大而减小;当x>1时,y随x的增大而增大.故选项D正确.故选D.
 
例2 (2022·射阳一模)在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+2mx-m2+1与y轴的交点为A,过点A作直线l⊥y轴.(1) 当m=1时,求抛物线的顶点坐标.(2) 若点(m-3,y1),(m,y2),(m+1,y3)都在抛物线y=-x2+2mx-m2+1上,则y1,y2,y3的大小关系为　　　　　　(用“>”连接). (3) 将抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折,其余部分保持不变,组成图形G.已知M(x1,y1),N(x2,y2)为图形G上任意两点.当m=0时,若x1 
[方法归纳] 抛物线上点的纵坐标比较大小的基本方法 (1) 利用抛物线上的对称点的纵坐标相等,把各点转化到对称轴的同侧,再利用二次函数的增减性进行比较.(2) 当已知具体的抛物线对应的函数表达式及相应点的横坐标时,可先求出相应点的纵坐标,然后比较大小.(3) 利用“开口向上,抛物线上的点距离对称轴越近,点的纵坐标越小;开口向下,抛物线上的点距离对称轴越近,点的纵坐标越大”比较大小.
考点二　抛物线的平移例3 (2022·通辽)在平面直角坐标系中,将二次函数y=(x-1)2+1的图像向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得图像对应的函数表达式为 (　　)A. y=(x-2)2-1 B. y=(x-2)2+3C. y=x2+1 D. y=x2-1
将二次函数y=(x-1)2+1的图像向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得图像对应的函数表达式为y=(x-1+1)2+1-2,即y=x2-1.故选D.
[非常点评] 抛物线的平移需将抛物线对应的函数表达式化成顶点式,再遵循“左加右减,上加下减”的原则.具体原则如下:(1) 上下平移:抛物线y=a(x-h)2+k向上平移m(m>0)个单位长度,所得抛物线对应的函数表达式为y=a(x-h)2+k+m;抛物线y=a(x-h)2+k向下平移m(m>0)个单位长度,所得抛物线对应的函数表达式为y=a(x-h)2+k-m.(2) 左右平移:抛物线y=a(x-h)2+k向左平移n(n>0)个单位长度,所得抛物线对应的函数表达式为y=a(x-h+n)2+k;抛物线y=a(x-h)2+k向右平移n(n>0)个单位长度,所得抛物线对应的函数表达式为y=a(x-h-n)2+k.
 
 
[非常点评] 二次函数的最值问题离不开抛物线的对称轴,若对称轴未确定,则需根据自变量的取值范围分三类讨论最值;若对称轴确定,则根据在对称轴左右两侧的增减性解决问题.
考点四　同一平面直角坐标系中二次函数图像与其他函数图像的共存 问题例5 (2021·东营)一次函数y=ax+b(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图像可能是 (　　) [思路点拨] 先根据二次函数图像的开口方向以及对称轴的位置,得出a,b的正负,由此即可得出一次函数图像经过的象限.
当二次函数图像开口向下,对称轴在y轴左侧时,a<0,b<0.此时,一次函数图像应该过第二、三、四象限.故选项C符合题意,选项A,D不符合题意.当二次函数图像开口向上,对称轴在y轴右侧时,a>0,b<0.此时,一次函数图像应该过第一、三、四象限.故选项B不符合题意.故选C.
[非常点评] 多种函数图像在同一平面直角坐标系中的识别,一般可以先确定其中一种函数的图像,再根据函数图像得到该函数表达式中系数的特点,最后结合另一种函数图像的特点对各选项进行逐一观察,从而得出结论.
考点五　二次函数的图像与几何的综合应用例6 (2022·东台模拟)如图,抛物线y=-x2+4x+1与y轴交于点P,其顶点是A,点P'的坐标是(3,-2),将该抛物线沿PP'方向平移,使点P平移到点P',则平移过程中线段AP所扫过的面积是　　　　. [思路点拨] 连接AP',根据抛物线对应的函数表达式求出点A,P的坐标,利用待定系数法求出直线AP'对应的函数表达式,过点P作x轴的平行线交AP'于点M,再求出点M的坐标及PM的长,然后求出△AP'P的面积,再根据平移的性质,知线段AP所扫过的图形是平行四边形,面积等于△AP'P面积的2倍,最后计算即可得解.
[非常点评] 本题考查了二次函数图像与几何的综合应用,作辅助线求出平移扫过的面积的一半,即△AP'P的面积是解题的关键.
 
1. (2022·新疆生产建设兵团)已知抛物线y=(x-2)2+1,下列结论错误的 是 (　　) A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴为直线x=2 C. 抛物线的顶点坐标为(2,1) D. 当x<2时,y随x的增大而增大2. (2022·荆门)抛物线y=x2+3上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),若y1D
D
3. (2022·玉林)小嘉说:“将二次函数y=x2的图像平移或翻折后经过点 (2,0)有4种方法:① 向右平移2个单位长度;② 向右平移1个单位长 度,再向下平移1个单位长度;③ 向下平移4个单位长度;④ 沿x轴翻 折,再向上平移4个单位长度.”小嘉说的方法中,正确的个数是(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 44. (2021·深圳)二次函数y=ax2+bx+1与一次函数y=2ax+b在同一平面直 角坐标系中的图像可能是 (　　)
D
A
5. 将二次函数y=-x2+2x+3(0≤x≤4)位于x轴下方的图像沿x轴向上翻折, 与原二次函数位于x轴上方的图像组成一个新图像,这个新图像对应 的函数最大值与最小值之差为 (　　) A. 1 B. 3 C. 4 D. 5
D
解析:如图,二次函数y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4的图像的对称轴为直线x=1,顶点P的坐标为(1,4).令y=0,则-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3;令x=0,则y=3.设抛物线与x轴右侧的交点为A,则A(3,0).根据点的对称性,翻折后图像与原图像关于x轴对称,∴ 翻折后的图像对应的函数表达式为y'=x2-2x-3,当x=4时,y'=5.∴ 当0≤x≤4时,函数的最小值为0,最大值为5.∴ 函数最大值与最小值之差为5.故选D.
6. (2022·六盘水)如图所示为二次函数y=x2+bx+c的图像,则该函数的最 小值是　　　　. 7. 如图,二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴相交于点A,B,与y轴相交于点C. 过点C作CD⊥y轴,交该图像于点D.若B(8,0),D(6,4),则△ABC的面积为 　　　　. 
-4
20
8. (2022·锡山二模)当1≤x≤3时,二次函数y=x2-2ax+3的最小值为-1, 则a的值为　　　　. 
2
 
9. (2022·北京)在平面直角坐标系中,点(1,m),(3,n)在抛物线y=ax2+bx +c(a>0)上,设抛物线的对称轴为直线x=t. (1) 当c=2,m=n时,求抛物线与y轴交点的坐标及t的值; (2) 点(x0,m)(x0≠1)在抛物线上,若m 
 
②
7
 
第13课时　二次函数的图像和性质(二)
1. 能根据图像确定a,b,c的符号.2. 会用待定系数法求二次函数的表达式.3. 理解二次函数与一元二次方程的关系,并能用二次函数的图像得 到一元二次方程的根及确定当函数值大于或小于0时自变量的取 值范围.
知识点1　二次函数表达式的求法1. 选用表达式的形式:
2. 确定二次函数表达式的步骤: (1) 根据已知条件设合适的二次函数的表达式; (2) 代入已知条件,得到关于待定系数的方程组; (3) 解方程组,求出待定系数的值,从而写出函数的表达式.知识点2　二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像特征与a,b,c及判别式b2- 4ac的符号之间的关系
上
下
y
原点
知识点3　二次函数与方程、不等式的关系1. 二次函数与一元二次方程:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根,函数图像与x轴的交点情况可由对应方程的根的判别式　　　　的符号来判定.当b2-4ac　　0时,抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点,一元二次方程ax2+bx+c=0有　　 　个不相等的实数根;当b2-4ac　　　　0时,抛物线y=ax2+bx+c与x轴有　　　　个交点,一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根;当b2-4ac　　　　0时,抛物线y=ax2+bx+c与x轴无交点,一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根. 
b2-4ac
>
两
=
一
<
2. 二次函数与不等式: 设二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴的交点为(x1,0),(x2,0), x10,则当xx2时,y>0;当x1x2时,y<0;当x10.以a>0为例,如下表:
考点一　求二次函数的表达式例1 (2022·牡丹江)如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,顶点为D.(1) 求该抛物线对应的函数表达式;(2) 连接BC,CD,BD,P为BD的中点,连接CP,求线段CP的长.[思路点拨] (1) 直接将A(-1,0),B(3,0)代入y=-x2+bx+c得关于b,c的方程组,解之即可;(2) 把二次函数的表达式化成顶点式,即可求得点D的坐标,进一步求得点P的坐标,令x=0即可求得点C的坐标,最后利用勾股定理可求得CP的长.
 
[方法归纳] 二次函数表达式的三种形式 一般式:y=ax2+bx+c;顶点式:y=a(x-h)2+k;交点式(与x轴有交点时):y=a(x-x1)(x-x2).用待定系数法求二次函数的表达式时,要注意二次函数表达式的三种形式的联系与区别,根据题意选择合适的二次函数表达式的形式来求解.
考点二　二次函数的各项系数与图像之间的关系例2 (2022·毕节)在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示,有下列结论:① abc>0;② 2a-b=0;③ 9a+3b+c>0;④ b2>4ac;⑤ a+c[非常点评] 一般地,由抛物线的开口方向确定a的正负:当开口向上时,a>0;当开口向下时,a<0.抛物线与x轴的交点个数可以确定b2-4ac与0的关系:当抛物线与x轴有两个交点时,b2-4ac>0;当抛物线与x轴只有一个交点时,b2-4ac=0;当抛物线与x轴没有交点时,b2-4ac<0.x=±1对应的函数值的大小确定了a±b+c的值的大小,x=±3对应的函数值的大小确定了9a±3b+c的值的大小.
 
考点三　二次函数与一元二次方程的关系例3 (2022·青岛)已知二次函数y=x2+mx+m2-3(m为常数,m>0)的图像经过点P(2,4).(1) 求m的值;(2) 判断二次函数y=x2+mx+m2-3的图像与x轴交点的个数.[思路点拨] (1) 将(2,4)代入函数表达式求解;(2) 令y=0,由根的判别式的符号可判断抛物线与x轴交点的个数.[非常点评] 解答判断函数图像与x轴交点个数的问题时,可令函数值为0,求对应的一元二次方程根的判别式的值,由根的判别式的符号可判断出函数图像与x轴的交点情况.
(1) 将(2,4)代入y=x2+mx+m2-3,得4=4+2m+m2-3,解得m1=1,m2=-3.又∵ m>0,∴ m=1.(2) ∵ m=1,∴ y=x2+x-2.令y=0,则x2+x-2=0.∵ b2-4ac=12+8=9>0,∴ 二次函数y=x2+x-2的图像与x轴有2个交点.
 
[非常点评] 对于抛物线与直线的交点问题,解题时需借助数形结合思想,再利用一元二次方程根的判别式解决问题.
 
 
C
B
3. (2022·成都)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴相交于A(-1,0), B两点,对称轴是直线x=1,下列说法正确的是 (　　) A. a>0 B. 当x>-1时,y随x的增大而增大 C. 点B的坐标为(4,0) D. 4a+2b+c>04. (2022·鄂州)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)的图 像顶点为P(1,m),经过点A(2,1).有下列结论:① a<0;② abc>0; ③ 4a+2b+c=1;④ 当x>1时,y随x的增大而减小;⑤ 对于任意实数t, 总有at2+bt≤a+b.其中,正确的有 (　　) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
D
C
5. (2022·高邮模拟)若二次函数y=a(x+m)2+b(a,m,b均为常数,a≠0)的 图像与x轴的两个交点的坐标是(-2,0)和(1,0),则关于x的方程a(x+m +2)2+b=0的解是　　　　　　. 6. (2022·无锡)把二次函数y=x2+4x+m的图像向上平移1个单位长度,再 向右平移3个单位长度,如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一 个公共点,那么m应满足的条件是　　　　. 7. (2022·大庆)已知函数y=mx2+3mx+m-1的图像与坐标轴恰有两个公共 点,则实数m的值为　　　　. 
x1=-4,x2=-1
m>3
 
 
8. 如图,抛物线经过(-1,0)和(0,3)两点,对称轴为直线x=1,则当y<0时, x的取值范围是　 　　　. 
x<-1或x>3
9. (2021·温州)已知抛物线y=ax2-2ax-8(a≠0)经过点(-2,0).(1) 求抛物线对应的函数表达式和顶点坐标.(2) 直线l交抛物线于点A(-4,m),B(n,7),n为正数.若点P在抛物线上且在直线l下方(不与点A,B重合),分别求出点P的横坐标与纵坐标的取值范围.
(1) 把(-2,0)代入y=ax2-2ax-8,得0=4a+4a-8,解得a=1,∴ 抛物线对应的函数表达式为y=x2-2x-8.∵ y=x2-2x-8=(x-1)2-9,∴ 抛物线的顶点坐标为(1,-9)　(2) 把(-4,m)代入y=x2-2x-8,得m=(-4)2-2×(-4)-8=16.把(n,7)代入y=x2-2x-8,得7=n2-2n-8,解得n=5或n=-3.∵ n为正数,∴ n=5.∴ 点A的坐标为(-4,16),点B的坐标为(5,7).∵ 抛物线开口向上,顶点坐标为(1,-9),∴ 抛物线的顶点在线段AB下方.∴ 点P的横坐标xP的取值范围是-4 
 
第10题
 
 
第14课时　一次函数与反比例函数的应用
1. 能够从运动变化中发现变量,建立函数模型,体会数学来源于生活.2. 会用一次函数、反比例函数解决实际问题,初步形成用数学模型 解题的思想.
1. 用函数知识解决实际问题的步骤: (1) 设:设定题目中的两个变量,一般是设x是自变量,y为x的　　　. (2) 列:根据题目中的等量关系,列出函数表达式. (3) 定:根据数学意义和实际意义确定自变量的取值范围. (4) 解:利用相关性质解决问题. (5) 答:检验后写出合适的答案.2. 利用一次函数解决实际问题: 一次函数的实际应用关键在于通过建立　　　 　模型解决实际问 题,其基本解题思路:问题情境→建立模型→解决问题→拓展应用. 3. 利用反比例函数解决实际问题: 实际问题中的反比例函数由于实际问题的要求,其函数值与自变量的 值一般均为　　　　,这就决定了其函数图像只能是双曲线的两个分 支中位于第一象限内的部分,据此情况来具体分析.它的基本解题思 路与一次函数问题类似. 
函数
一次函数
正数
考点一　一次函数的实际应用例1 (2022·苏州)某水果店经销甲、乙两种水果,两次购进水果的情况如下表:(1) 求甲、乙两种水果的进价.(2) 销售完前两次购进的水果后,该水果店决定回馈顾客,开展促销活动.第三次购进甲、乙两种水果共200千克,且投入的资金不超过3360元.将其中的m千克甲种水果和3m千克乙种水果按进价销售,剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售.若第三次购进的200千克水果全部售出后,获得的最大利润不低于800元,求m的最大整数值.
[非常点评] 本题涉及二元一次方程组、一次函数的性质等,对于这类应用问题,首先要找出题中存在的等量关系,再列出方程(组)求解,最后根据一次函数的增减性得出问题的答案.解题时要仔细审题,注意题中的隐含条件.
 
例2 (2022·南京一模)一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发,沿一条笔直的公路匀速开往乙地.如图,线段OA和线段BC分别表示货车和轿车离甲地的距离y(km)与货车出发时间x(h)之间的函数关系.(1) 轿车出发时,两车相距多少千米?(2) 若轿车比货车提前0.6h到达乙地,求线段BC对应的函数表达式及a的值.(3) 若轿车出发1.6h,此时与货车的距离小于12km,直接写出轿车速度v(km/h)的取值范围. [思路点拨] (1) 由题图易求出货车速度,再根据“距离=速度×时间”解决问题;(2) 易知C(4.4,300),进而确定线段BC对应的函数表达式,最后由“ah轿车追上货车”构造方程求解;(3) 根据“轿车出发1.6h,此时与货车的距离小于12km”列出不等式组求出v(km/h)的取值范围.
 
[非常点评] 一次函数的图像含有大量有价值的信息,从函数图像中获取有价值的信息、正确地进行“形”和“数”的转换、理解图像、读取信息、数形结合是解决函数图像应用问题的关键.求函数图像对应的表达式,大多用待定系数法,先根据函数图像的特点确定函数类型,设出函数表达式,然后将函数图像上点的坐标代入表达式得到方程(组),解方程(组),得到待定系数,从而得到所求的函数表达式.
考点二　反比例函数的实际应用例3 (2022·山西)根据物理学知识,在压力不变的情况下,某物体承受的压强P(Pa)是它的受力面积S(m2)的反比例函数,其函数图像如图所示.当S=0.25时,该物体承受的压强P的值为　　　　. 
 
[方法归纳] 用反比例函数解决实际问题的注意点(1) 要理清题目中的常量与变量及其基本数量的关系,将实际问题抽象成数学问题并建立数学模型;(2) 要分清自变量和因变量,以便写出正确的函数表达式,结合问题的实际意义,确定自变量的取值范围;(3) 要熟练掌握反比例函数的意义、图像和性质,特别是图像,要做到数形结合,这样有利于分析和解决问题.
考点三　反比例函数与一次函数的综合应用例4 (2022·枣庄)为加强生态文明建设,某市环保局对某企业排污情况进行检测,结果显示:所排污水中硫化物的浓度超标,即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L.环保局要求该企业立即整改,在15天内(含15天)排污达标.整改过程中,所排污水中硫化物的浓度y(mg/L)与时间x(天)的变化规律如图所示,其中线段AC表示前3天的变化规律,第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L.从第3天起,所排污水中硫化物的浓度y(mg/L)与时间x(天)满足的关系如下表:
(1) 在整改过程中,当0≤x<3时,求硫化物的浓度y与时间x之间的函数表达式;(2) 在整改过程中,当x≥3时,求硫化物的浓度y与时间x之间的函数表达式;(3) 该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天内(含15天)排污达标? [思路点拨] (1) 观察图像,可知当0≤x<3时,y与x为一次函数关系,从而可用待定系数法确定函数表达式;(2) 当x≥3时,易知y与x为反比例函数关系,进而由表格中数据确定函数表达式;(3) 将x=15代入反比例函数表达式,从而求得y的值,结合反比例函数的图像性质,从而得出结论.
[非常点评] 本题考查了一次(反比例)函数的应用、待定系数法求一次(反比例)函数表达式、一次(反比例)函数图像上点的坐标特征及一次(反比例)函数的图像.解题的关键是利用待定系数法求出函数表达式,再根据函数的性质解决问题.
 
1. (2022·宜昌)已知经过闭合电路的电流I(A)与电路的电阻R(Ω)是反 比例函数关系.根据下表判断a和b的大小关系为 (　　) A. a>b B. a≥b C. aA
B
3. (2021·南通)下表中记录了一次实验中时间和温度的数据. 若温度的变化是均匀的,则14min时的温度是　　　　℃. 
52
4. (2022·台州)如图,根据小孔成像的科学原理,当像距(小孔到像的距 离)和物高(蜡烛火焰高度)不变时,火焰的像高y(cm)是物距(小孔到 蜡烛的距离)x(cm)的反比例函数,当x=6时,y=2. (1) 求y关于x的函数表达式; (2) 若火焰的像高为3cm,求小孔到蜡烛的距离.
 
5. (2022·新疆生产建设兵团)A,B两地相距300km,甲、乙两人分别开车 从A地出发前往B地,其中甲先出发1h.如图所示为甲、乙两人的行驶 路程y甲(km),y乙(km)随甲行驶时间x(h)变化的图像,请结合图像信息, 解答下列问题: (1) 甲的速度为　　　　km/h;  (2) 分别求出y甲,y乙与x之间的函数表达式; (3) 求出点C的坐标,并写出点C的实际意义.
 
第5题
60
(3) 根据题意,得60x=100x-100,解得x=2.5,∴ 60×2.5=150(km).∴ 点C的坐标为(2.5,150),点C的实际意义是甲出发2.5h后被乙追上,此时两人行驶的路程为150km
第15课时　二次函数的实际应用
1. 通过对在应用过程中函数图像变化的研究,培养阅读能力和统筹 决策的能力.2. 能用二次函数知识解决营销类、决策类、最值类问题,综合运用 多种函数解决实际问题,培养分析问题、解决问题的能力.
1. 利用二次函数解决“图形最值”问题的一般过程: (1) 将实际问题转化为　　　 　;  (2) 利用二次函数的　　　　解题. 2. 利用二次函数解决“利润最大化”问题的一般过程: (1) 将利润表示成相关量的二次函数; (2) 利用二次函数的性质求出利润的最　　　　值;  (3) 写出答案.
数学模型
性质
大
考点一　利用二次函数求与几何图形面积有关的问题例1 (2022·无锡)如图,某农场计划建造一个矩形养殖场,为充分利用现有资源,该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为10m),另外三面用栅栏围成,中间再用栅栏把它分成两个面积比为1∶2的矩形.已知栅栏的总长度为24m,设较小矩形平行于墙的边长为xm.(1) 若矩形养殖场的总面积为36m2,求此时x的值.(2) 当x的值为多少时,矩形养殖场的总面积最大?最大为多少?
 
 
[非常点评] 对于二次函数的几何图形应用问题,解题的关键是通过几何图形的性质得出二次函数的表达式,然后确定其最大值,实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义,因此在求二次函数的最值时,一定要注意自变量x的取值范围.
考点二　利用二次函数求最大利润例2 (2022·鄂尔多斯)某超市购进了两批同样的挂件,第一批花了6600元,第二批花了8000元,第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍,且第二批比第一批多购进50个.(1) 求第二批每个挂件的进价.(2) 两批挂件售完后,该超市以第二批每个挂件的进价又购进了一批同样的挂件,经市场调查发现,当售价为每个60元时,每周能卖出40个,若每降价1元,则每周能多卖出10个,由于货源紧缺,每周最多能卖出90个.当每个挂件的售价定为多少元时,每周可获得最大利润?最大利润是多少?[思路点拨] (1) 设第二批每个挂件的进价为x元,则第一批每个挂件的进价为1.1x元,根据题意列出方程,求解即可,分式方程要注意验根;(2) 设每个挂件的售价定为y元,每周所获得的利润为w元,则可列出w关于y的函数表达式,再根据“每周最多能卖出90个”得出y的取值范围,最后根据二次函数的性质可得出结论.
[非常点评] 利润问题是二次函数应用的热点问题,常用公式:利润=售价-进价,总利润=单个商品的利润×销售量,利润率=利润÷进价×100%.解题时应通过这些公式建立二次函数模型,把利润问题转化为二次函数的最值问题,从而使问题得到解决.
 
考点三　二次函数与一次函数的综合应用例3 (2022·辽宁)某超市以每件13元的价格购进一种商品,销售时这种商品的销售单价不低于进价且不高于18元.经过市场调查发现,这种商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足如图所示的一次函数关系.(1) 求y与x之间的函数表达式.(2) 当销售单价定为多少时,该超市每天销售这种商品所获得的利润最大?最大利润是多少?[思路点拨] (1) 设y与x之间的函数表达式为y=kx+b(k≠0),然后用待定系数法求函数表达式;(2) 根据“总利润=单件利润×销售量”列出函数表达式,然后由函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最值.
[非常点评] 解决这类问题的一般方法是先根据函数图像或表格信息求得一次函数表达式,再根据实际问题中的相关公式求得二次函数表达式,解决这类问题的关键是确定函数表达式.
 
考点四　利用二次函数解抛物线形的实际问题例4 (2022·河南)小红看到一处喷水景观,喷出的水柱呈抛物线形状,她测得喷水头P距地面0.7m,水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高,最高点距地面3.2m,建立如图所示的平面直角坐标系,并设抛物线对应的函数表达式为y=a(x-h)2+k,其中x(m)是水柱距喷水头的水平距离,y(m)是水柱距地面的高度.(1) 求抛物线对应的函数表达式;(2) 小明站在水柱正下方,且距喷水头P的水平距离为3m,身高1.6m的小红在水柱下方走动,当小红的头顶恰好接触到水柱时,求她与小明的水平距离.
[思路点拨] (1) 由抛物线的顶点坐标为(5,3.2),知抛物线对应的函数表达式为y=a(x-5)2+3.2,再用待定系数法可求得抛物线对应的函数表达式;(2) 把y=1.6代入函数表达式,求出x的值,进而可得她与小明的水平距离.
 
[非常点评] 利用二次函数解抛物线形的实际问题时,需先确定二次函数的表达式,像本题确定表达式时只需将已知点的坐标代入即可,若没有平面直角坐标系背景及表达式,则需建立合适的坐标系并灵活设二次函数表达式解题,得到二次函数表达式后再根据二次函数的性质解决其他问题.
1. (2022·镇江一模)如图,在长为20m、宽为14m的矩形花圃里建有等宽 的“十”字形小径.若小径的宽不超过1m,则花圃中的涂色部分的面 积 (　　) A. 最小为247m2 B. 最小为266m2 C. 最大为247m2 D. 最大为266m2
A
2. (2021·陕西)某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流呈抛物线形,该 水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系如图所示,D为该水 流的最高点,DA⊥OB,垂足为A.已知OC=OB=8m,OA=2m,则该水流距水平 面的最大高度AD为 (　　) A. 9m B. 10m C. 11m D. 12m 
A
3. (2022·聊城)某食品零售店新上架一款冷饮产品,每个成本为8元,在 销售过程中,每天的销售量y(个)与销售价格x(元/个)的关系如图所 示,当10≤x≤20时,其图像是线段AB,则该食品零售店每天销售这款 冷饮产品的最大利润为　　　　元(利润=总销售额-总成本).
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4. (2022·沈阳)如图,用一根60cm长的铁丝制作一个“日”字形矩形框 架ABCD,铁丝恰好全部用完. (1) 若所围成的矩形框架ABCD的面积为144cm2,则AB的长为多少? (2) 矩形框架ABCD的最大面积为多少?
 
第4题
5. (2021·淮安)某超市经销一种商品,每件成本为50元.经市场调研,当该种商品每件的销售价为60元时,每个月可销售300件,若每件的销售价每增加1元,则每个月的销售量将减少10件.设该种商品每件的销售价为x元,每个月的销售量为y件.(1) 求y与x之间的函数表达式.(2) 当该种商品每件的销售价为多少元时,每个月的销售利润最大?最大利润是多少?
(1) 根据题意,得y=300-10(x-60)=-10x+900,∴ y与x之间的函数表达式为y=-10x+900　(2) 设每个月的销售利润为w元.由(1),知w=(x-50)(-10x+900)=-10x2+1400x-45000=-10(x-70)2+4000.∵ -10<0,∴ 当x=70时,w取得最大值,为4000.∴ 当该种商品每件的销售价为70元时,每个月的销售利润最大,最大利润是4000元
6. (2022·陕西)现要修建一条隧道,其截面为抛物线形,如图,线段OE表示水平的路面,以O为坐标原点,OE所在直线为x轴,过点O且垂直于x轴的直线为y轴,建立平面直角坐标系.根据设计要求:OE=10m,该抛物线的顶点P到OE的距离为9m.(1) 求满足设计要求的抛物线对应的函数表达式.(2) 现需在这一条隧道的内壁上,即在该抛物线上的点A,B处分别安装照明灯.已知点A,B到OE的距离均为6m,求点A,B的坐标.
 
第6题
 
 
 
第16课时　二次函数的综合应用
能用二次函数知识解决线段、三角形、四边形等问题,综合运用多种函数解决实际问题,培养分析问题、解决问题的能力.
二次函数的综合应用主要涉及二次函数表达式的确定、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等内容.
考点一　二次函数与线段问题例1 (2022·郴州)已知抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于点A(-1,0),B(3,0),与y轴相交于点C.(1) 求抛物线对应的函数表达式.(2) 如图①,将直线BC向上平移,得到过原点O的直线MN,已知D是直线MN上任意一点.① 当点D在抛物线的对称轴上时,连接CD,与x轴相交于点E,求线段OE的长.② 如图②,在抛物线的对称轴上是否存在点F,使得以B,C,D,F为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点F与点D的坐标;若不存在,请说明理由.
[思路点拨] (1) 根据点A,B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线对应的函数表达式.(2) ① 求出直线CD对应的函数表达式为y=4x-3,当y=0时,求出x的值,则可得出答案;② 分别以已知线段BC为边、BC为对角线,画出图形,利用平行四边形的性质及全等三角形的性质求点F的坐标和点D的坐标即可.
 
 
② 存在点F,使得以B,C,D,F为顶点的四边形是平行四边形.(Ⅰ) 若平行四边形以BC为边时,由BC∥FD,可知FD在直线MN上,∴ 点F是直线MN与对称轴的交点,即F(1,1).由点D在直线MN上,设D(t,t).如图①,若四边形BCFD是平行四边形,则DF=BC,过点D作对称轴的垂线,交对称轴于点G,则G(1,t).∵ BC∥MN,∴ ∠OBC=∠DOB.∵ 易得GD∥x轴,∴ ∠GDF=∠DOB.∴ ∠GDF=∠OBC.又∵ ∠DGF=∠BOC=90°,DF=BC,∴ △DGF≌△BOC.∴ GD=OB.∵ GD=t-1,OB=3,∴ t-1=3.∴ t=4.∴ D(4,4).如图②,若四边形BCDF是平行四边形,则DF=CB,过点D作DK∥y轴,过点F作FK∥x轴,交DK于点K.同理可证△DKF≌△COB,∴ KD=OC.∵ KD=1-t,OC=3,∴ 1-t=3.∴ t=-2.∴ D(-2,-2).(Ⅱ) 若平行四边形以BC为对角线时,由于点D在BC的上方,则点F一定在BC的下方.如图③,四边形BFCD为平行四边形,过点D作DH⊥y轴于点H,设P为对称轴与x轴的交
 
[非常点评] 本题是二次函数综合题,考查了用待定系数法求二次函数表达式,平移的性质,全等三角形的判定与性质,二次函数的性质,平行四边形的判定与性质,熟练掌握平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键.
考点二　二次函数与三角形的结合例2 (2022·河池)在平面直角坐标系中,抛物线L1:y=ax2+2x+b与x轴交于A,B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3).(1) 求抛物线L1对应的函数表达式,并直接写出顶点D的坐标.(2) 如图,连接BD,若点E在线段BD上运动(不与点B,D重合),过点E作EF⊥x轴于点F,设EF=m,当m为何值时,△BFE与△DEC的面积之和最小?(3) 若将抛物线L1绕点B旋转180°得抛物线L2,其中C,D两点的对应点分别记作M,N.在抛物线L2的对称轴上是否存在点P,使得以B,M,P为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
例2图
[思路点拨] (1) 利用待定系数法求出a,b的值即可;(2) 连接BC,过点C作CH⊥BD于点H,设抛物线的对称轴交x轴于点T,首先证明∠BCD=90°,利用面积法求出CH的长,构建二次函数,利用二次函数的性质即可解决问题;(3) 由题意,得抛物线L2的对称轴为直线x=5,M(6,-3),设P(5,n),分三种情形讨论:当BP=BM时,当PB=PM时,当BM=PM时,分别构建方程求解即可.
 
 
 
[非常点评] 本题属于二次函数综合题,考查了二次函数的性质,等腰三角形的判定和性质,中心对称变换等知识,解题的关键是学会将几何图形的面积问题转化为二次函数问题并学会用分类讨论的思想解决等腰三角形的存在性问题.
 
[思路点拨] (1) 根据抛物线与x轴有公共点,可得b2-4ac≥0,从而求得m的值,进而求得抛物线对称轴解决问题;(2) 根据图像平移的特征可得出平移后抛物线对应的函数表达式,根据x=0和y=0可分别得出点C和点A的坐标,根据OC=OA列出方程,进而求得结果;(3) 由抛物线对应的函数表达式可得出点B,C,D,E的坐标,进而求得直线BE对应的函数表达式,从而得出点F的坐标,进而得出CG=EG=DG=FG=1,进一步得出结论.
 
 
[非常点评] 本题是二次函数的综合题,考查了二次函数及其图像性质,用待定系数法求一次函数的表达式,平移图像的特征,正方形的判定等知识,解决问题的关键是平移前后抛物线对应的函数表达式之间的关系及熟练运用正方形的判定解决问题.
考点四　二次函数与相似的结合例4 (2022·绵阳)如图,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A(-1,0),B两点,交y轴于点C(0,3),顶点D的横坐标为1.(1) 求抛物线对应的函数表达式.(2) 在y轴的负半轴上是否存在点P,使得∠APB+∠ACB=180°?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.(3) 过点C作直线l与y轴垂直,与抛物线的另一个交点为E,连接AD,AE,DE,在直线l下方的抛物线上是否存在点M,过点M作MF⊥l,垂足为F,使得以M,F,E为顶点的三角形与△ADE相似?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
[思路点拨] (1) 由抛物线的对称轴可得点B的坐标,由此设出交点式,代入点C的坐标,即可得出抛物线对应的函数表达式;(2) 由题意,可知A,C,B,P四点共圆,画出图形,即可得出点P的坐标;(3) 由抛物线的对称性可得出点D的坐标和点E的坐标,从而求出AD,DE,AE的长,可得出△ADE是直角三角形,且∠AED=90°,DE∶AE=1∶3,再根据相似三角形的性质可得出EF和MF的比,由此可得出点M的坐标.
(1) ∵ 顶点D的横坐标为1,∴ 抛物线的对称轴为直线x=1.∵ A(-1,0),∴ B(3,0).∴ 设抛物线对应的函数表达式为y=a(x+1)(x-3).将C(0,3)代入,得-3a=3,解得a=-1.∴ 抛物线对应的函数表达式为y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3.
(2) 存在.∵ ∠APB+∠ACB=180°,∴ ∠CAP+∠CBP=180°.∴ A,C,B,P四点共圆,如图①所示.由(1),知OB=OC=3,∴ ∠OCB=∠OBC=45°.∴ ∠APC=∠ABC=45°.∴ △AOP是等腰直角三角形.∴ OP=OA=1.∴ P(0,-1).
 
[非常点评] 本题属于二次函数综合题,主要考查了用待定系数法求函数表达式,圆内接四边形的性质,相似三角形的性质与判定,分类讨论思想等,第(2)问得出四点共圆是解题关键;第(3)问得出△ADE是直角三角形并得出DE∶AE的值是解题关键.
1. (2022·百色)如图,抛物线经过A(-1,0),B(0,3),C(3,0)三点,O为坐标原点,抛物线交正方形OBDC的边BD于点E,M为射线BD上一动点,连接OM,交BC于点F,连接DF.(1) 求抛物线对应的函数表达式.(2) 求证:∠BOF=∠BDF.(3) 是否存在点M,使△MDF为等腰三角形?若存在,求ME的长;若不存在,请说明理由.
 
第1题
(2) ∵ 四边形OBDC为正方形,∴ ∠OBC=∠DBC,BD=BO.∵ BF=BF,∴ △BOF≌△BDF.∴ ∠BOF=∠BDF