数学八年级下册第十七章 勾股定理17.1 勾股定理优秀同步测试题

17.1.2 勾股定理与实际问题

【题型一】求梯子滑落的高度

【典题】（2022秋·河北石家庄·八年级石家庄市第二十二中学校考期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5m，则小巷的宽为（　　　）．

A．2.4m B．2.5m C．2.6m D．2.7m

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1．（）（2022秋·福建漳州·八年级校联考期中）如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得．若梯子的顶端沿墙下滑，这时梯子的底端也恰好外移，则梯子的长度为（       ）．

A．2.5 B．3 C．1.5 D．3.5

2．（）（2022秋·全国·八年级期中）如图，一架2.5m长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子的底部距墙底端0.7m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子的底部将平滑（　　）

A．0.9m B．1.5m C．0.5m D．0.8m

3．（）（2022春·湖北随州·八年级统考期中）如图，一架长2.5m的梯子AB斜靠在墙AC上，∠C＝90°，此时，梯子的底端B离墙底C的距离BC为0.7m

（1）求此时梯子的顶端A距地面的高度AC；

（2）如果梯子的顶端A下滑了0.9m，那么梯子的底端B在水平方向上向右滑动了多远？

4．（）（2022春·山东滨州·八年级统考期中）一梯子长2.5m，如图那样斜靠在一面墙上，梯子底端离墙0.7m．

(1)这架梯子的顶端离地面有多高？

(2)设梯子顶端到水平地面的距离为，底端到垂直墙面的距离为，若，根据经验可知：当时，梯子最稳定，使用时最安全．若梯子的顶端下滑了，请问这时使用是否安全．

【题型二】求旗杆高度

【典题】（2022春·福建龙岩·八年级统考期中）为预防新冠疫情，民生大院入口的正上方 A 处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离 AB＝2.4 米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温.当身高为 1.8 米的市民 CD 正对门缓慢走到离门 0.8 米的地方时（即 BC＝0.8 米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离 AD 等于（　　）

A．1.0 米 B．1.2 米 C．1.25 米 D．1.5 米

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1．（）（2022春·河南新乡·八年级统考期中）如图，为了测算出学校旗杆的高度，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在与旗杆等长的地方打了一个结，然后将绳子底端拉到离旗杆底端5米的地面某处，发现此时绳子底端距离打结处约1米，则旗杆的高度是（    ）

A．12 B．13 C．15 D．24

2．（）（2022秋·广东清远·八年级统考期末）如图，小华将升旗的绳子拉紧到旗杆底端点B，绳子末端刚好接触到地面，然后拉紧绳子使其末端到点D处，点D到地面的距离CD长为2m，点D到旗杆AB的水平距离为8m，若设旗杆的高度AB长为xm，则根据题意所列的方程是（    ）．

A． B．

C． D．

3．（）（2022春·新疆乌鲁木齐·八年级乌鲁木齐市第六十八中学校考期中）太原的五一广场视野开阔，是一处设计别致，造型美丽的广场园林，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度，他们进行了如下操作：

①测得的长为15米（注：）；

②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；

③牵线放风筝的小明身高1.7米．

(1)求风筝的高度．

(2)过点D作，垂足为H，求的长度．

4．（）（2022秋·广东深圳·八年级校考期中）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．

【题型三】求小鸟飞行距离

【典题】（2022秋·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期中）如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（）．

A．8米 B．10米 C．12米 D．14米

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1．（）（2022秋·福建宁德·八年级统考期中）如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（   ）

A．8米 B．9米 C．10米 D．11米

2．（）（2022秋·江苏南京·八年级校考期中）如图，在一棵树CD的10m高处的B点有两只猴子，它们都要到A处池塘边喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树20m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线跃入池塘的A处．如果两只猴子所经过的路程相等，试问这棵树多高？

【题型四】求树枝折断前高度

【典题】（2022秋·江苏扬州·八年级校考期中）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面10m处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为24m，则这棵大树折断处到树顶的长度是（　　）

A．10m B．15m C．26m D．30m

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1．（）（2022春·山东德州·八年级校考期中）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（　　）

A．4尺 B．4.55尺 C．5尺 D．5.55尺

2．（）（2022春·山东济宁·八年级统考期中）如图，一棵大树在离地面3，5两处折成三段，中间一段恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部6处，则大树折断前的高度是（   ）

A． B． C． D．

3．（）（2022秋·福建三明·八年级统考期中）由于大风，山坡上的一颗甲树从A点处被拦腰折断，其顶点恰好落在一棵树乙的底部C处，如图所示，已知AB＝4米，BC＝13米，两棵树的水平距离是12米，求甲树原来的高度．

【题型五】求水中筷子长

【典题】（2022春·吉林松原·八年级统考期中）如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为、、，现有一长为的吸管插入盒的底部，则吸管漏在盒外面的部分的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

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1．（）（2022春·山东济宁·八年级统考期末）如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池边，它的顶端恰好到达池边的水面，求水的深度是（　　）尺

A．8 B．10 C．13 D．12

2．（）（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期中）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是3，高是4，上底面中心有一个小圆孔，则一条长10cm的直吸管露在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（    ）

A． B． C． D．

3．（）（2022春·山东济宁·八年级统考期中）如图长方体木箱的长、宽、高分别为，则能放进木箱中的直木棒最长为（    ）

A． B． C． D．

4．（）（2022春·广西百色·八年级统考期末）如图是长、宽、高的长方体容器．

(1)求底面矩形的对角线的长；

(2)长方体容器内可完全放入的棍子最长是多少？

【题型六】航海问题

【典题】（2022春·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期中）如图，一轮船以12海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以5海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后两船相距（   ）

A．13 海里 B．16 海里 C．20 海里 D．26 海里

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1．（）（2022春·河北保定·八年级统考期中）一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是.若轮船速度为，轮船从C岛沿返回A港所需的时间是（    ）

A． B． C． D．

2．（）（2022春·辽宁营口·八年级统考期末）如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A出发，沿北偏东60°方向走了m 到达点B，然后再沿北偏西30°方向走了50m到达目的地C．

（1）求A、C两点之间的距离；

（2）确定目的地C在营地A的北偏东多少度方向．

3．（）（2022春·河南·八年级校考期末）如图，明明在距离水面高度为5m的岸边C处，用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m．若明明收绳6m后，船到达D处，则船向岸A移动了多少米？

4．（）（2022秋·广东深圳·八年级深圳市高级中学校考期中）如图所示，一艘轮船由A港口沿着北偏东的方向航行到达B港口，然后再沿北偏西方向航行到达C港口．

(1)求A，C两港口之间的距离；（结果保留根号）

(2)C港口在A港口的什么方向．

【题型七】求台阶上的电梯长度

【典题】（2022秋·广东茂名·八年级校考期中）如图所示：是一段楼梯，高BC是3m，斜边AC是5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（ ）

A．5m B．6m C．7m D．8m

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1．（）（2022春·重庆九龙坡·八年级统考期末）如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米．

(1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？

(2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？

2．（）（2022春·广西百色·八年级统考期中）如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于7cm、6cm、2cm，A和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有多长？

【题型八】汽车超速问题

【典题】（2022春·河北保定·八年级校联考期中）《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：）

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1．（）（2022春·重庆梁平·八年级统考期末）交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路1旁选取一点P，在公路1上确定点O、B，使得PO⊥l，PO＝100米，∠PBO＝45°．这时，一辆轿车在公路1上由B向A匀速驶来，测得此车从B处行驶到A处所用的时间为3秒，并测得∠APO＝60°．此路段限速每小时80千米，试判断此车是否超速？请说明理由（参考数据：＝1.41，＝1.73）．

2．（）（2022春·陕西西安·八年级陕西师大附中校考期末）超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在到迎泽大街（直线AO）的距离（线段PO）为120米的点P处.这时，一辆小轿车由点A向点O匀速行驶，测得此车从点A处行驶到点B处所用的时间为5秒，且∠APO＝60°，∠BPO＝45°．（参考数据：≈1.414，≈1.732）

(1)求点A，B之间的距离；（精确到0.1米）

(2)请判断此车是否超过了迎泽大街每小时60千米的限制速度，并说明理由．

【题型九】是否受台风影响问题

【典题】（2022春·山东济宁·八年级统考期中）拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域．

（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？

（2）若拖拉机的行驶速度为每分钟50米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？

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1．（）（2022秋·四川达州·八年级校考期中）为了积极响应国家新农村建设，遂宁市某镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传动员．如图，笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离为600米，假使宣讲车P周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路MN上沿PN方向行驶时：

（1）请问村庄能否听到宣传，请说明理由；

（2）如果能听到，已知宣讲车的速度是200米/分钟，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？

2．（）（2022秋·江苏·八年级期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由行驶向，已知点为海港，且点与直线上的两点，的距离分别为，，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．已知台风运动速度为．

(1)求的度数；

(2)求海港到直线的最短距离；

(3)海港受台风影响吗？若受影响请计算受影响时间，若不受影响请说明理由．

3．（）（2022秋·四川遂宁·八年级四川省遂宁市第二中学校校考期末）在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一处需要爆破．已知点与公路上的停靠站A的距离为米，与公路上另一停靠站的距离为米，且，如图，为了安全起见，爆破点周围半径米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路段是否有危险，是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．

【题型十】选址到两地距离相等

【典题】（2022秋·福建·八年级统考期末）如图，，点C在OA边上，OA=36cm，OB=12cm，点P从点A出发，沿着AO方向匀速运动，点Q同时从点B出发，以相同的速度沿BC方向匀速运动，P、Q两点恰好在C点相遇，求BC的长度？

 巩固练习

1．（）（2022秋·江苏·八年级统考期中）“三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，公路上两点相距50km，为两村庄，于，于，已知，，现在要在公路上建一个土特产品市场，使得两村庄到市场的距离相等，则市场应建在距多少千米处?并判断此时的形状，请说明理由．

2．（）（2022秋·陕西汉中·八年级统考期末）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．

【知识运用】

(1)如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为          米．

(2)在（1）的背景下，若千米，千米，千米，现要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图中作出P点的位置并求出的距离．

(3)【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，则代数式（其中）最小值为     ．

【题型十一】最短路径问题

【典题】（2022秋·广东揭阳·八年级统考期中）如图，正方体盒子的棱长为2，M为BC的中点，则一只蚂蚁从A点沿盒子的表面爬行到M点的最短距离为（   ）

A． B．

C． D．

 巩固练习

1．（）（2022春·江西赣州·八年级统考期中）如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，点B离点C的距离为1，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是（    ）

A． B．5 C． D．

2．（）（2022春·新疆乌鲁木齐·八年级新疆师范大学附属中学校考期中）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（    ）

A． B． C． D．

3．（）（2022秋·河南鹤壁·八年级统考期末）如图，一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是多少？

4．（）（2022春·四川广元·八年级统考期末）如图，亮亮在A处看护羊群吃草，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC=200m，BD=100m，CD=400m，亮亮从A处把羊群赶到河边饮水后回家，作图说明亮亮如何行走路程最短，并求出亮亮走的最短路程．

5．（）（2022秋·全国·八年级期中）如图，长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深为，在水面上紧贴内壁处有一鱼饵，在水面线上，且；一小虫想从鱼缸外的点沿壁爬进鱼缸内处吃鱼饵，求小动物爬行的最短距离．（鱼缸厚度忽略不计）

6．（）（2022春·河南许昌·八年级校考期末）如图，一个牧童在小河正南方向4km的处牧马，若牧童从点向南继续前行7km到达点．则此时牧童的家位于点正东方向8km的处．牧童打算先把在点吃草的马牵到小河边饮水后再回家，请问他应该如何选择行走路径才能使所走的路程最短？最短路程是多少？请先在图上作出最短路径，再进行计算．