高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用同步训练题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用同步训练题，文件包含57函数yAsinωx+φ的图像和性质-高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义与分层练习人教A版必修第一册原卷版docx、57函数yAsinωx+φ的图像和性质-高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义与分层练习人教A版必修第一册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共40页， 欢迎下载使用。

函数y=Asin(ωx+φ)的图像和性质

1 性质
(1) 简谐运动可用函数y=Asinωx+φ，x∈[0,+∞)表示，
A是振幅，周期T=2πω ，频率 f=1T=ω2π ，相位ωx+φ ，初相φ.
(2) A,ω,φ对f(x)=Asinωx+φ的影响
A影响函数y=f(x)的最值，ω影响周期，φ影响函数水平位置.

2 函数的变换
(1) 平移变换
① y=fx⟶ y=f(x±a)(a>0)将y=f(x)图像沿x轴向左(右)平移a个单位(左加右减)；
② y=fx⟶y=fx± b (b>0)将y=f(x)图像沿x轴向上(下)平移b个单位(上加下减).
PS f(x)=3sin(2x+π3)向左平移π4个单位，得到的函数不是f(x)=3sin(2x+π4+π3)， 而是f(x)=3sin[2(x+π4)+π3].
(2) 伸缩变换
① y=fx⟶ y=A fxA>0
将y=f(x)图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A倍(A>1伸长，A<1缩短).
② y=fx⟶ y=fω xω>0
将y=f(x)图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的1ω倍( ω>1缩短，ω<1伸长)；
问题 怎么理解呢？例：若将fx=3sinx+π3图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的12倍，那得到的函数是fx=3sin2x+π3还是fx=3sin12x+π3呢？
解析 我们把fx=3sinx+π3的图象想象成一条弹簧，若纵坐标不变，横坐标缩到原来的12倍，那说明弹簧被压缩了，则周期变小，ω会变大(T=2πω,T与ω成反比)，即变换后的函数应该是fx=3sin2x+π3.
 
【题型一】函数图象的变换
【典题1】 将函数f(x)=Asin(ωx+π6)(A>0,ω>0)的图象上的点的横坐标缩短为原来的12倍，再向右平移π3个单位得到函数g(x)＝2cos(2x+φ)的图象，则下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)的最小正周期为π
B．函数f(x)的单调递增区间为[2kπ-2π3，2kπ+π3](k∈Z)
C．函数f(x)的图象有一条对称轴为x=2π3
D．函数f(x)的图象有一个对称中心为(2π3,0)
【解析】函数f(x)＝Asin(ωx+π6)(A>0,ω>0)的图象上的点的横坐标缩短为原来的12倍，
再向右平移π3个单位得到h(x)＝Asin[2ω(x-π3)+π6]＝Asin(2ωx+π6-2πω3)的图象．
与g(x)＝2cos(2x+φ)＝2sin(2x+φ+π2)比较 (利用诱导公式转化同函数名)
又由于A>0,ω>0，所以A=2,ω=1．
所以f(x)=2sin(x+π6)，故函数f(x)的周期为2π，A错误；
令2kπ-π2≤x+π6≤2kπ+π2,k∈Z，解得2kπ-2π3≤x≤2kπ+π3,k∈Z，
所以函数f(x)单调递增区间为[2kπ-2π3,2kπ+π3](k∈Z)，故B正确；
由于f(2π3)=2sin5π6=1，则f(2π3)取不到最值，∴x=2π3不是对称轴，
∵f(2π3)≠0，∴(2π3,0)不是对称中心，即C，D错误．
故选：B．

巩固练习
1(★) 将函数y=cosx的图象先左移π4，再纵坐标不变，横坐标缩为原来的12，所得图象的解析式为(　　)
A．y=sin(2x+π4) B．y=sin(12x+3π4)
C．y=sin(12x+π4) D．y=sin(2x+3π4)
【答案】D
【解析】函数y=cosx=sin(x+π2)，其图象先左移π4个单位，得y=sin(x+3π4)的图象；
再纵坐标不变，横坐标缩为原来的12，得函数y=sin(2x+3π4)的图象；
所以函数y的解析式为y=sin(2x+3π4)．故选：D．
2(★) 将函数f(x)=3sin(12x-φ)(|φ|<π2)的图象向左平移π3个单位长度得到函数g(x)的图象．若g(π3)=32，则φ=(　　)
A．-π4 B．-π3 C．π6 D．π3
【答案】 C
【解析】将函数f(x)=3sin(12x-φ)(|φ|＜π2)的图象向左平移π3个单位长度，
可得g(x)=3sin[12(x+π3)-φ]=3sin(12x+π6-φ) 的图象，
因为g(π3)=32，所以3sin(π3-φ)=32，即sin(π3-φ)=12，
所以π3-φ=2kπ+π6(k∈Z)或π3-φ=2kπ+5π6(k∈Z)．
因为|φ|＜π2，所以，φ=π6，故选：C．
3(★★) 为了得到函数f(x)=sin(2x+3π4)的图象，可以将函数g(x)=cos2x的图象(　　)
A．向右平移π4个单位 B．向左平移π4个单位
C．向右平移π8个单位 D．向左平移π8个单位
【答案】 D
【解析】为了得到函数f(x)=sin(2x+3π4)的图象，可以将函数g(x)=cos2x=sin(2x+π2)的图象向左平移π8个单位,sin(2(x+π8)+π2)=sin(2x+3π4)．故选：D．
4(★★) 已知函数y=sin(ωx+φ)的两条相邻的对称轴的间距为π2，现将y=sin(ωx+φ)的图象向左平移π8个单位后得到一个偶函数，则φ的一个可能取值为(　　)
A．3π4 B．π4 C．0 D．-π4
【答案】B
【解析】函数y=sin(ωx+φ)的两条相邻的对称轴的间距为π2，所以π2=πω，解得ω=2，
现将y=sin(2x+φ)的图象向左平移π8个单位后得到一个g(x)=sin(2x+π4+φ)为偶函数，
则φ+π4=kπ+π2(k∈Z)，整理得φ=kπ+π4(k∈Z)，
当k=0时，φ=π4．故选：B．
5(★★) 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π，且图象向右平移π12个单位后得到的函数为偶函数，则f(x)的图象(　　)
A．关于点(5π12,0)对称 B．关于直线x=π6对称
C．在[-π12，5π12]单调递增 D．在[π12,7π12]单调递减
【答案】 C
【解析】∵f(x)的最小正周期为π，∴T=2πω=π，得ω=2，
此时f(x)=sin(2x+φ)，
图象向右平移π12个单位后得到y=sin[2(x-π12)+φ]=sin(2x+φ-π6)，
若函数为偶函数，则φ-π6=kπ+π2，k∈Z，得φ=kπ+5π6，
∵|φ|＜π2，∴当k=－1时，φ=-π6，
则f(x)=sin(2x-π3)，
则f(5π12)=sin(2×5π12-π3)=sinπ2≠0，故f(x)关于点(5π12,0)不对称，故A错误，
f(π6)=sin(2×π6-π3)=sin0≠1，故关于直线x=π6不对称，故B错误，
当-π12≤x≤5π12时，-π6≤2x≤5π6，-π2≤2x-π3≤π2，
此时函数f(x)为增函数，故C正确，
当-π12≤x≤7π12时，-π6≤2x≤7π6，-π2≤2x-π3≤5π6，
此时函数f(x)不单调，故D错误，故选：C．
6(★★★) 将函数f(x)=Asin(ωx+π6)(A>0,ω>0)的图象上的点的横坐标缩短为原来的12倍，再向右平移π3个单位得到函数g(x)=2cos(2x+φ)的图象，则下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)的最小正周期为π
B．函数f(x)的单调递增区间为[2kπ-2π3,2kπ+π3](k∈Z)
C．函数f(x)的图象有一条对称轴为x=2π3
D．函数f(x)的图象有一个对称中心为(2π3,0)
【答案】 B
【解析】函数f(x)=Asin(ωx+π6)(A>0,ω>0)的图象上的点的横坐标缩短为原来的12倍，再向右平移π3个单位得到：g(x)=Asin(2ωx+π6-2πω3)的图象．
与g(x)=2cos(2x+φ)=2sin(2x+φ+π2)比较，
又由于A>0,ω>0，所以A=2,ω=1．
故sin(2x-π2)=cos(2x－π)=cos(2x+φ)，得到φ=2kπ－π,k∈Z，
所以：f(x)=2sin(x+π6),g(x)=－2cos2x．
故函数f(x)的周期为2π，A错误；
令2kπ-π2≤x+π6≤2kπ+π2,k∈Z，解得2kπ-2π3≤x≤2kπ+π3,k∈Z，
函数f(x)单调递增区间为[2kπ-2π3,2kπ+π3](k∈Z)，故B正确；
由于f(2π3)=2sin5π6=1，可得C,D错误．故选：B．

【题型二】由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式
【典题1】 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<|φ|<π2)的部分图象如图所示，下述四个结论：①ω=2；②φ=-π3；③f(x+π12)是奇函数；④f(x-π12)是偶函数中，其中所有正确结论的编号是 .

【解析】由函数图象的最值可得A=1，
由34T=π6-(-7π12)=3π4，解得T=π，所以ω=2πT=2，
此时fx=sin⁡(2x+φ)
代入(-7π12,1)得f(-7π12)=sin(-7π6+φ)=1，
∴-7π6+φ=π2+2kπ⇒φ=5π3+2kπ，
又∵0<|φ|<π2，∴φ=-π3，
∴f(x)=sin(2x-π3)，
∴①、②正确；
∵f(x+π12)=sin[2(x+π12)-π3]=sin(2x-π6)不是奇函数，∴③错误；
∵fx-π12=sin2x-π12-π3=sin2x-π2=-cos2x，
∴f(x-π12)为偶函数，④正确．
综上知，正确的命题序号是①②④．
【点拨】由函数y=Asinωx+φ+B(A>0,ω>0)的部分图象求解析式的方法
(1) 求A,B：通过函数最值求解，由fmax=A+Bfmin=-A+B得A=fmax-fmin2， B=fmax+fmin2；
(2) 求ω：根据图象求出周期T，再利用T=2πω求出ω；
(3) 求φ：求出A, ω后代入函数图象一最值点，求出φ.

【典题2】 已知函数f(x)=sin⁡(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)，f(0)=f(29π)=-f(π3)，
且f(x)在(π6, 4π9)上单调，则函数y=f(x)的解析式是 .
【解析】 对于函数fx=sinωx+φ (ω>0,0<φ<π)，
由f(0)=f(2π9)，可得函数的图象关于直线x=12(0+2π9)=π9对称；
又f2π9=-f(π3)，可得函数的图象关于点(2π9+π32，0)对称，即(5π18,0)；
∴T4+kT=5π18-π9=π6，k∈Z, 解得T=2π3(4k+1)，
∴ω=2πT=3(4k+1)；
∵f(x)在(π6, 4π9)上单调
∴T2≥4π9-π6，解得T>5π9，(由单调区间得到周期范围)
∴0<ω≤185，
又ω=2πT=34k+1， ∴ω=3，
∵(5π18，0)是对称中心，∴f5π18=0，
即sin3×5π18+φ=0，又∵0<φ<π ∴φ=π6，
∴f(x)=sin⁡(3x+π6).
【点拨】
① 对于函数y=Asin( ωx+φ)，
若fa=f(b)，则x=a+b2是其对称轴；若fa=-f(b)，则(a+b2,0)是其对称中心；
② 处理三角函数f(x)=Asin( ωx+φ)，多注意其对称性，结合图象进行分析.

巩固练习
1(★) 函数f(x)=Asin( ωx+φ)(其中A>0, ω>0，|φ|<π2)的图象如图，则此函数表达式为 .

【答案】 f(x)=3sin(12x+π4)
【解析】如图所示，A=3，T4=π，可得T=4π，2πω=4π，解得ω=12，
所以f(x)=3sin(12x+φ)，
因为函数过(3π2,0)，代入f(x)，
得3sin(12x+φ)=0，即12×3π2+φ=kπ，φ=kπ-3π4(k∈z)，
当k=1时，φ=π4．所以f(x)=3sin(12x+π4)，故选：B．
2(★★) 如图，函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|≤π2)与坐标轴的三个交点P、Q、R满足P(1,0)，∠PQR=π4，M为QR的中点，PM=342，则A的值为 .

【答案】 52
【解析】由∠PQR=π4，所以OQ=OR，设Q(m,0)，则R(0,－m)，
又M为QR的中点，所以M(m2,-m2)；
又|PM|=342，即(1-m2)2+(0+m2)2=342；
整理得m2－2m－15=0，解得m=5或m=－3(不合题意，舍去)；
所以R(0,－5)，Q(5,0)；
所以12T=4，解得T=8，所以2πω=8，解得ω=π4；
把P(1,0)代入f(x)=Asin(π4x+φ)，即Asin(π4+φ)=0，
由|φ|≤π2，得φ=-π4；
把R(0,－5)代入f(x)=Asin(π4x-π4)，
得Asin(-π4)=－5，解得A=52．
3 (★★) 已知函数f(x)=2sin⁡(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，点A0,3，B(π3,0)，则下列说法中错误的是(　　)
A．直线x=π12是f(x)图象的一条对称轴
B．f(x)的图象可由g(x)=2sin2x向左平移π3个单位而得到
C．f(x)的最小正周期为π
D．f(x)在区间(-π3，π12)上单调递增
【答案】 B
【解析】由函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0＜φ＜π)部分图象，点A(0,3)，B(π3,0)，
∴2sinφ=3，∴sinφ=32，∴φ=π3，∴f(x)=2sin(ωx+π3)．
再根据五点法作图可得ω•π3+π3=π，求得ω=2，故 f(x)=2sin(2x+π3)．
令x=π12，求得f(x)=2，为最大值，
故直线x=π12是f(x)图象的一条对称轴，故A正确；
把g(x)=2sin2x向左平移π3个单位，可得y=2sin(2x+2π3)的图象，故B不正确；
f(x)=2sin(2x+π3)的最小正周期为 2π2=π，故C正确；
在区间(-π3,π12)上，2x+π3∈(-π3,π2)，故f(x)=2sin(2x+π3)单调递增，故选：B．
4 (★★★) 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)的单调递增区间和对称中心坐标；
(3)将f(x)的图象向左平移π6个单位，再讲横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数g(x)的图象，求函数y=g(x)在x∈[0,7π6]上的最大值和最小值．

【答案】 1fx=2sin2x+π3-1
(2) 单调递增区间kπ-5π12,kπ+π12,k∈Z，对称中心坐标 (kπ2-π6,-1),k∈Z
3最小值-2 ,最大值3.
【解析】(1)由图象可知A+B=1-A+B=-3，可得：A=2，B=－1，
又由于T2=7π12-π12，可得：T=π，所以ω=2πT=2，
由图象及五点法作图可知：2×π12+φ=π2，所以φ=π3，
所以f(x)=2sin(2x+π3)－1．
(2)由(1)知,f(x)=2sin(2x+π3)－1，
令2kπ-π2≤2x+π3≤2kπ+π2，k∈Z，
得kπ-5π12≤x≤kπ+π12，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为[kπ-5π12,kπ+π12],k∈Z，
令2x+π3=kπ，k∈Z，得x=kπ2-π6，k∈Z，
所以f(x)的对称中心的坐标为(kπ2-π6,－1),k∈Z．
(3)由已知的图象变换过程可得：g(x)=2sin(x+2π3)，
因为0≤x≤7π6，所以2π3≤x+2π3≤11π6，
所以当x+2π3=3π2，得x=5π6时，g(x)取得最小值g(5π6)=－2，
当x+2π3=2π3，即x=0时，g(x)取得最大值g(0)=3．
5 (★★★) 如图是函数f(x)=A sin (ωx+φ)(A>0, ω>0,0<φ<π2)的部分图象，M、N是它与x轴的两个不同交点，D是M、N之间的最高点且横坐标为π4，点F(0,1)是线段DM的中点．
(1)求函数f(x)的解析式及[π,2π]上的单调增区间；
(2)若x∈[-π12, 5π12]时，函数h(x)=f2(x)-af(x)+1的最小值为12,求实数a的值．

【答案 】 1 fx=2sinx+π4,[5π4,2π]， (2) 32
【解析】(1)取MN的中点为H，则DH⊥MN，
因为F为DM的中点，且F在y轴上，则OF//DH且OF=12DH，则OM=OH，
所以D(π4,2)，M(-π4,0)，则A=2，
T=2πω=4[π4-(-π4)]=2π，所以ω=1
所以f(x)=2sin(x+φ)，
由f(π4)=2，解得φ=2kπ+π4,k∈z，
由0<φ<π2，所以φ=π4，
即f(x)=2sin(x+π4)，
令-π2+2kπ≤x+π4≤π2+2kπ,解得-3π4+2kπ≤x≤π4+2kπ，
又x∈[π,2π]，
所以函数f(x)在[π,2π]上的单调增区间为:[5π4,2π]；
(2)因为-π12≤x≤5π12，所以π6≤x+π4≤2π3，
所以12≤sin(x+π4)≤1，所以1≤f(x)≤2，
令t=f(x)，则t∈[1,2]，
则g(t)=t2－at+1=t-a22+1-a24，
①当a2≤1，即a≤2时，gtmin=g(1)=12，解得:a=32，
②当1 ③当a2≥2即a≥4时，gtmin=g(2)=12，解得a=94(舍)，
综合①②③得实数a的值为32．

【题型三】三角函数模型的简单应用一
【典题1】已知函数f(x)=sin2x-23sinxcosx+sin(x+π4)sin(x-π4)．
(1)求f(x)的最小值并写出此时x的取值集合；
(2)若x∈[0 ,π]，求出f(x)的单调减区间.
【解析】(1)由于fx=sin2x-23sinxcosx+sinx+π4sinx-π4
=1-cos2x2-3sin2x+22(sinx+cosx)22(sinx-cosx)（二倍角公式、两角和差公式）
=1-cos2x2-3sin2x-cos2x2
=12-(3sin2x+cos2x) (辅助角公式)
=12-2sin(2x+π6)
令2x+π6=2kπ+π2，k∈Z，解得x=kπ+π6，k∈Z，
可得f(x)的最小值为-32，此时x的取值集合为{x|x=π6+kπ ,k∈Z}；
(2)由2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，
可得kπ-π3≤x≤kπ+π6，k∈Z，
所以f(x)的单调减区间为[kπ-π3 ,kπ+π6]，k∈Z，
因为x∈[0 ,π]，当k=0时，减区间为[0 ,π6]；
当k=1时，减区间为[2π3 ,π]．
综上，x∈[0 ,π]时的单调减区间为[0 ,π6]和[2π3 ,π]．
【点拨】
① 解析式的化简中用积化和差公式sinx+π4sinx-π4=12cosπ2-cos2x=-12cos2x更简洁些；
②本题通过各种公式(两角和差公式、倍角公式、积化和差公式等)转化，最终把函数的解析式转化为fx=Asinωx+φ+B或fx=Acosωx+φ+B的形式求解函数的各性质(单调性、对称性、周期、最值等).

【典题2】已知函数f(x)=4sin2(π4+x2)sinx+(cosx+sinx)(cosx-sinx)-1．
(1)求f(x)的对称中心；
(2)设常数ω>0，若函数y=f(ωx)在区间[-π2 ,2π3]上是增函数，求ω的取值范围；
(3)若函数g(x)=12[f(2x)+af(x)-af(π2-x)-a]-1在区间[-π4 ,π2]上的最大值为2，求a的值．
【解析】(1) (函数解析式转化为fx=Asinωx+φ+B形式)
f(x)=2[1-cos(π2+x)]⋅sinx+cos2x-sin2x-1
=sinx(2+2sinx)+1-2sin2x-1=2sinx．
所以对称中心kπ ,0,k∈Z，
(2)∵f(ωx)=2sinωx，由-π2+2kπ≤ωx≤π2+2kπ，
解得-π2ω+2kπω≤x≤π2ω+2kπω，
∴f(ωx)的增区间为-π2ω+2kπω ,π2ω+2kπω ,k∈Z，
∵f(ωx)在[-π2 ,2π3]上是增函数，
([-π2 ,2π3]是函数f(ωx)增区间的子集，而0∈[-π2 ,2π3]，故k=0)
∴当k=0时，有[-π2 ,2π3]⊆[-π2ω ,π2ω]，
∴ω>0-π2ω≤-π2π2ω≥2π3，解得0<ω≤34，
∴ω的取值范围是(0 ,34]．
(3)g(x)=2sinxcosx+a(sinx-cosx)-12a-1，
(注意sinx-cosx2=1-sin2x，sinx+cosx2=1+sin2x)
令sinx-cosx=t，
则t=sinx-cosx=2sin(x-π4)，
∵x∈[-π4 ,π2] ，∴x-π4∈[-π2 ,π4]，∴-2≤t≤1
而sin2x=1-t2，
则y=1-t2+at-12a-1=-(t-a2)2+a24-12a，
(问题转化为动轴定区间最值问题，分对称轴t=a2在区间[-2,1]左中右)
①当a2<-2时，即a<-22时，ymax=-(-2-a2)2+a24-a2=-2a-a2-2，
令-2a-a2-2=2，解得a=-822+1(舍)．
②当-2≤a2≤1时，即-22≤a≤2时，ymax=a24-a2，
令a24-a2=2，解得a=-2或a=4(舍)，
③当a2>1时，即a>2时，在t=1处，ymax=a2-1，
由a2-1=2，解得a=6，
综上所述a=－2或6．

【典题3】已知函数f(x)=sin4x+cos4x+asinxcosx(a∈R)．
(1)当a=0时，求函数y=f(x)的单调减区间；
(2)设方程fx-asin2x-1=0在(0 ,π2)内有两个相异的实数根x1、x2，求实数a的取值范围及x1+x2的值；
(3)若对任意实数x，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】(1) fx=sin4x+cos4x+asinxcosx　
=sin2x+cos2x2－2sin2xcos2x+asinxcosx　
=1-12sin22x+12asin2x．
当a=0时，f(x)=1-12sin22x=1-1-cos4x4=14cos4x+34，
(函数化为fx=Acosωx+φ+B)
由2kπ≤4x≤π+2kπ，得kπ2≤x≤π4+kπ2，k∈Z．
∴当a=0时，函数y=f(x)的单调减区间为[kπ2 ,kπ2+π4]，k∈Z；
(2) (将问题逐步等价转化，化成“最简问题”)
方程fx-asin2x-1=0在(0 ,π2)内有两个相异的实数根x1、x2，
即1-12sin22x+12asin2x-asin2x-1=0在(0 ,π2)内有两个相异的实数根x1、x2，
也就是sin22x+asin2x=0在(0 ,π2)内有两个相异的实数根x1、x2，
当x∈(0 ,π2)时，sin2x≠0，
即a=-sin2x在(0 ,π2)内有两个相异的实数根x1、x2，
(数形结合，y=a与y=-sin2x在(0 ,π2)内相交于两点)
易得y=-sin2x在(0 ,π2)内的值域是(-1,0)，
即－1 (3)若对任意实数x，f(x)≥0恒成立，
则1-12sin22x+12asin2x≥0恒成立，
即sin22x-asin2x-2≤0恒成立，(换元法化为二次函数恒成立问题)
令t=sin2x(-1≤t≤1)，则t2-at-2≤0恒成立．
可得(-1)2+a-2≤012-a-2≤0，即-1≤a≤1．
∴实数a的取值范围是[-1 ,1]．　

巩固练习
1(★★) 已知函数fx=3sinxcosx-sin2x．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)的单调增区间；
(3)求函数f(x)在区间[0 ,π2]上的最大值．
【答案】(1) π (2) [-π3+kπ ,π6+kπ]，k∈Z (3) 12
【解析】f(x)=3sinxcosx－sin2x=32sin2x-1-cos2x2
=32sin2x+12cos2x-12
=sin(2x+π6)-12，
(1)最小正周期T=2π2=π；
(2)令-π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，则-π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z，
故单调增区间为：[-π3+kπ ,π6+kπ]，(k∈Z)，
(3)当x∈[0 ,π2]时，2x+π6∈[π6 ,7π6]，则f(x)=sin(2x+π6)-12∈[－1 ,12]，
所以函数f(x)在区间[0 ,π2]上的最大值为12．
2(★★) 已知函数f(x)=sin(π-ωx)cosωx-cos2(ωx+π4)(ω>0)的最小正周期为π．
(1)求f(x)图象的对称轴方程；
(2)将f(x)图象向右平移π6个单位长度后，得到函数g(x)，求函数g(x)在[0 ,π2]上的值域．
【答案】 (1)x=kπ2+π4(k∈Z)．(2)[-32-12 ,12]．
【解析】
(1)f(x)=sin(π-ωx)cosωx-cos2(ωx+π4)=sin(2ωx)2-1-sin2ωx2=sinωx-12，
由于函数的最小正周期为π，故ω=2，所以f(x)=sin2x-12；
令2x=kπ+π2，整理得x=kπ2+π4(k∈Z)，
故函数的对称轴方程为x=kπ2+π4(k∈Z)．
(2)由于g(x)=sin(2x-π3)-12，
由于x∈[0,π2]，所以2x-π3∈[-π3,2π3]，
故g(x)∈[-32-12,12]．
3(★★★) 已知函数f(x)=12cos2x+sinxcosx，其中x∈R．
(1)求使f(x)≥12的x的取值范围；
(2)若函数g(x)=22sin(2x+3π4)，且对任意的0≤x1 【答案】 (1) [kπ ,kπ+π4]，k∈Z (2) π4
【解析】(1)f(x)=12cos2x+sinxcosx=12cos2x+12sin2x=22sin(2x+π4)，
f(x)≥12，即sin(2x+π4)≥22，
所以2kπ+π4≤2x+π4≤2kπ+3π4，k∈Z，解得kπ≤x≤kπ+π4，k∈Z，
即使f(x)≥12的x的取值范围是[kπ ,kπ+π4]，k∈Z．
(2)令F(x)=f(x)－g(x)=22sin⁡(2x+π4)-22sin2x+3π4
=22sin(2x+π4)-22cos(2x+π4)=sin2x，
因为对任意的0≤x1 所以当x∈[0 ,t]时，F(x)=sin2x为增函数，
所以2t≤π2，解得t≤π4，　所以实数t的最大值为π4．　
4(★★★★) 已知函数f(x)=3sin(2ωx+φ)+1(ω>0，-π2<φ<π2)，函数f(x)的图象经过点(-π12 ,1)且f(x)的最小正周期为π2．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)将函数y=f(x)图象上所有的点向下平移1个单位长度，再函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象上所有的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的233倍，得到函数y=h(x)图象，令函数g(x)=h(x)+1，区间[a ,b](a ,b∈R且a (3)若m[1+3(f(x8-π12)－1)]+12+32cosx≤0对任意x∈[0 ,2π]恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】 (1) f(x)=3sin(4x+π3)+1 (2) 43π3 (3) (-∞ ,-2]
【解析】(1)∵f(x)=3sin(2ωx+φ)+1，
又函数f(x)的最小正周期为π2，∴2π2ω=π2，∴ω=2．
∴f(x)=3sin(4x+φ)+1．
又函数f(x)经过点(-π12 ,1)，所以f(-π12)=3sin(-π3+φ)+1=1，
于是 (4×(-π12)+φ)=kπ ,k∈Z
因为-π2<ϕ<π2，所以ϕ=π3．
故f(x)=3sin(4x+π3)+1．
(2)由题意，h(x)=2sin(2x+π3)g(x)=2sin(2x+π3)+1．
令g(x)=0得：sin(2x+π3)=-12，
∴2x+π3=2kπ+7π6或2x+π3=2kπ+11π6，k∈Z
解得：x=kπ+5π12或x=kπ+3π4 ,k∈Z
∴相邻两个零点之间的距离为π3或2π3．
若b－a最小，则a ,b均为g(x)的零点，
此时在区间[a ,π+a] ,[a ,2π+a] ,… ,[a ,mπ+a](m∈N*)分别恰有3，5，…，2m+1个零点．
∴在区间[a ,14π+a]恰有2×14+1=29个零点．
∴(14π+a ,b]至少有一个零点．
∴b-(14π+a)≥π3，即b-a≥14π+π3=43π3．
检验可知，在[5π12 ,5π12+43π4]恰有30个零点，满足题意(可有可无)
∴b－a的最小值为43π3．
(3)由题意得m(3sinx2+1)≤3sin2x2-2．
∵x∈[0 ,2π]，∴x2∈[0 ,π]，
∴sinx2∈[0 ,1] ,m≤3sin2x2-23sinx2+1．
设t=3sinx2+1，t∈[1 ,4]．则sinx2=t-13．
设y=3sin2x2-23sinx2+1．
则y=3⋅19(t-1)2-2t=t2-2t-53t=13(t-5t-2)在t∈[1 ,4]上是增函数．
∴当t=1时，ymin=－2，∴m≤－2．
故实数m的取值范围是(－∞ ,－2]．

【题型四】三角函数模型的简单应用二
【典题1】 如图，一个水轮的半径为6m，水轮轴心O距离水面的高度为3m，已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟转动5圈，当水轮上点P从水中浮现时的起始(图中点P0)开始计时，记f(t)为点P距离水面的高度关于时间t(s)的函数，则下列结论正确的是(　　)
A．f(3)=9
B．f(1)=f(7)
C．若f(t)≥6，则t∈[2+12k,5+12k](k∈N)
D．不论t为何值，f(t)+f(t+4)+f(t+8)是定值
【解析】 方法一 几何法
图中PB⊥水面，OA⊥PB，

(由图ft=PA=PA+3，则需了解PA与t的关系，从几何角度求解)
∵每分钟转动5圈 ∴OP每秒钟内所转过的角度为5×2π60=π6，(角速度)
则t秒转过的角度π6t，即∠P0OP=π6t
如上图依题意可知∠P0OA=π6，即α=π6t-π6
在Rt∆POA中，PA=OPsinα=6sin⁡(π6t-π6)
∴ft=PB=PA+AB=6sinπ6t-π6+3
对于A，f(3)=6sin(π6×3-π6)+3=33+3，即A错误；
对于B，f(1)=6sin(π6×1-π6)+3=3，f(7)=6sin(π6×7-π6)+3=3，即B正确；
(或确定x=1+72=4是函数对称轴也行)
对于C，因为f(t)≥6，所以6sin(π6t-π6)+3≥6，即sin(π6t-π6)≥12，
所以π6t-π6∈[π6+2kπ,5π6+2kπ]，
解得t∈[2+12k,6+12k],k∈N，即C错误；
对于D，ft+ft+4+ft+8
=6sin(π6t-π6)+3+6sin[π6(t+4)-π6]+3+6sin[π6(t+8)-π6]+3
=6sin(π6t-π6)+6sin(π6t+π2)+6sin(π6t+7π6)+9
=6[sin(π6t-π6)+cosπ6t-sin(π6t+π6)]+9
因为sinπ6t-π6+cosπ6t－sinπ6t+π6 =0，
所以f(t)+f(t+4)+f(t+8)=9，即D正确．
故选：BD．
方法二 待定系数法
可知f(x)符合三角函数模型，设f(t)=Asin(ωx+φ)+B(A>0)，
依题意可知f(t)的最大值为9，最小为-3，
∴A+B=9，且-A+B=-3，可得A=6，B=3；
∵每分钟转动5圈，
∴1圈要12秒，即T=12s，
则ω=2πT=π6，得f(t)=6sin(π6t+φ)+3，
(也可由OP每秒钟内所转过的角度为5×2π60=π6得ω=π6)
依题意可知f(0)=0，得sinφ=-12，取φ=-π6，(得到φ的一个值便可)
故所求的函数解析式为f(t)=6sin(π6t-π6)+3，
接下来如同方法一.
【点拨】
① 方法一利用几何性质求出f(t)(即图中的PB)与t之间的关系；
② 方法二是根据题意确定符合三角函数模型，则用待定系数法设函数f(t)=Asin(ωx+φ)+B，根据题意由最大值和最小值求出A,B的值，根据周期性由T=2πω求出ω，注意一个特殊情况代入一个点求出φ.

【典题2】 某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角△ABC和以BC为直径的半圆拼接而成，点P为半圈上一点(异于B,C)，点H在线段AB上，且满足CH⊥AB．已知∠ACB=90°，AB=1dm，设∠ABC=θ．
(1)为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足∠ABC=∠PCB，且CA+CP达到最大．当θ为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；
(2)为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足∠PBA=60°，且CH+CP达到最大．当θ为何值时，CH+CP取得最大值，并求该最大值．

【解析】依题意∠ABC=∠PCB=θ，
则在直角△ABC中，AC=sinθ,BC=cosθ；
在直角△PBC中，PC=BC∙cosθ=cos2θ，PB=BC∙sinθ=sinθcosθ；
(用变量θ表示CA+CP，利用函数最值方法求解)
(1)AC+CP=sinθ+cos2θ=sinθ+1-sin2θ
=-sin2θ+sinθ+1，θ∈(0,π2)，
所以当sinθ=12，即θ=π6，AC+CP的最大值为54；
(2)在直角△ABC中，由S△ABC=12CA⋅CB=12AB⋅CH，(等积法)
可得CH=sinθ⋅cosθ1=sinθ⋅cosθ；
在直角△PBC中，
PC=BC⋅sinπ3-θ=cosθ⋅sinπ3cosθ-cosπ3sinθ=32cos2θ-12cosθsinθ，
所以CH+CP=32cos2θ+12cosθsinθ
=14sin2θ+34cos2θ+34=12sin(2θ+π3)+34，θ∈(0,π2)，
(函数化为fx=Asin(ωx+φ)+B求最值)
所以当θ=π12，CH+CP达到最大，最大值为12+34．
【点拨】
① 利用直角三角形等几何性质用θ表示各线段长度；
② 题目中体现了函数思想，在求解实际问题中，特别要注意自变量θ的取值范围.

巩固练习
1(★★) 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(33,-3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为(x,y)，其纵坐标满足y=f(t)=Rsin(ωt+φ)(t≥0,ω＞0,|φ|<π2)．则下列叙述错误的是(　　)
A．R=6,ω=π30,φ=-π6
B．当t∈[35,55]时，点P到x轴的距离的最大值为6
C．当t∈[10,25]时，函数y=f(t)单调递减
D．当t=20时，|PA|=63

【答案】C
【解析】由题意，R=27+9=6，T=60=2πω，∴ω=π30，
点A(33,－3)代入可得－3=6sinφ，∵|φ|<π2，∴φ=-π6．故A正确；
f(t)=6sin(π30t-π6)，当t∈[35,55]时，π30t-π6∈[π,53π]，
∴点P到x轴的距离的最大值为6，正确；
当t∈[10,25]时，π30t-π6∈[16π,2π3]，函数y=f(t)单调递减，不正确；
当t=20时，π30t-π6=π2，P的纵坐标为6，|PA|=27+81=63，D正确，故选：C．
2(★★) 某游乐场中半径为30米的摩天轮逆时针(固定从一侧观察)匀速旋转，每5分钟转一圈，其最低点离底面5米，如果以你从最低点登上摩天轮的时刻开始计时，那么你与底面的距离高度y(米)随时间t(秒)变化的关系式为 .

【答案】 y=30sin(π150t-π2)+35
【解析】设y=Asin(ωt+φ)+B，
由题意可得A=30，ω=2π300=π150，B=30×2+5－30=35，(0,5)为最低点，
代入可得5=30sinφ+35，sinφ=－1，
φ=-π2+2kπ，k=0时，φ=-π2，
∴y=30sin(π150t-π2)+35，故选：B．
3(★★) 如图，已知扇形AOB的半径为1，中心角为60°，四边形PQRS是扇形的内接矩形，P为AB上一动点，问：点P在怎样的位置时，矩形PQRS的面积最大？并求出这个最大值．

【答案】当P为AB中点时，矩形PQRS的面积取到最大值36
【解析】如图，在Rt△OPS中，设∠POS=α，则OS=cosα，PS=sinα，
在Rt△ORQ中，QROR=tan60°=3，所以OR=33QR=33sinα．
∴RS=OS－OR=cosα-33sinα．
设矩形ABCD的面积为S，则S=(cosα-33sinα)sinα=sinαcosα-33sin2α
=12sin2α+36cos2α-36=33(32sin2α+12cos2α)-36=33sin(2α+π6)-36．
由于0<α<π3，所以当2α+π6=π2，即α=π6时，Smax=33-36=36．
因此，当α=π6时，矩形PQRS的面积最大，最大面积为36．

4(★★★) 如图，某正方形公园ABCD，在ABD区域内准备修建三角形花园BMN，满足MN与AB平行(点N在BD上)，且AB=AD=BM=2(单位：百米)．设∠ABM=θ，△BMN的面积为S(单位：百米平方)．
(1)求S关于θ的函数解析式
(2)求S(θ)的最大值，并求出取到最大值时θ的值．

【答案】 1 Sθ=2sinθcosθ-sinθ，θ∈(0,π4)
(2) S(θ)的最大值为2-1百米平方，此时θ=π8．
5(★★★) 某农场有一块扇形农田，如图所示．已知扇形OAB的圆心角为π4，半径为80米，点P在AB上，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D．现要在△OPC和△OPD区域中分别种植甲、乙两种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜单位面积年产值之比为1：3．设∠AOP=θ，0<θ<π4．
(1)用θ分别表示△OPC和△OPD的面积；
(2)当θ为何值时，读农场种植甲、乙两种蔬菜的年总产值最大？

【答案】 (1) △OPC和△OPD的面积分别为1600sin2θ平方米，1600cos2θ平方米；
(2) 当θ=π12时，该农场种植甲，乙两种蔬菜的年总产值量大.
【解析】(1)直角三角形OPC中，PC=OPsinθ=80sinθ，OC=OPcosθ=80cosθ，
所以△OPC的面积为12×PC×OC=3200sinθcosθ=1600sin2θ，
同理△OPD的面积为1600sin2(π4-θ)=1600cos2θ．
(2)设农场种植甲，乙两种蔬菜的年总产值为y，
甲，乙两种蔬菜每平方米年产值分别为t，3t(t＞0)，
则y=1600sin2θ•t+1600cos2θ•3t=3200tsin(2θ+π3)，
∵0<θ<π4 ∴π3<2θ+π3<5π6．
∴当2θ+π3=π2，即θ=π12时，y取得最大值．
答：(1)△OPC和△OPD的面积分别为1600sin2θ平方米，1600cos2θ平方米；
(2)当θ=π12时，该农场种植甲，乙两种蔬菜的年总产值量大．
6(★★★★) 如图，半圆的直径AB=2，O为圆心，C，D为半圆上的点．
(1)请你为C点确定位置，使△ABC的周长最大，并说明理由；
(2)已知AD=DC，设∠ABD=θ，当θ为何值时，
①四边形ABCD的周长最大，最大值是多少？
②四边形ABCD的面积最大，最大值是多少？

【答案】 1 22+2,此时点C是半圆的中点
(2) ① θ=π6时，最大值是5． ② θ=π6时，最大值是334.
【解析】(Ⅰ)点C在半圆中点位置时，△ABC周长最大；理由如下：

因为点C在半圆上，且AB是圆的直径，所以∠ACB=π2，即△ABC是直角三角形；
设BC=a，AC=b，AB=c，显然a，b，c均为正数，则a2+b2=c2；
因为a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立，
所以2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=a+b2，所以a+b≤2(a2+b2)=2c，
所以△ABC周长为L=a+b+c≤(2+1)c=22+2，当且仅当a=b时等号成立；
即△ABC为等腰直角三角形时，周长取得最大值为22+2；此时点C是半圆的中点．
(Ⅱ)(ⅰ)因为AD=DC，

所以∠ABD=∠DBC=θ；
所以AD=DC=AB•sinθ，CB=AB•cos2θ；
设四边形ABCD的周长为p，
则p=AD+DC+CB+AB=2ABsinθ+ABcos2θ+2
=4sinθ+2(1-2sin2θ)+2=5-4(sinθ-12)2；
显然θ∈(0,π4)，所以当θ=π6时，p取得最大值5．
(ⅱ)过O作OE⊥BC于E，
设四边形ABCD的面积为s，四边形AOCD的面积为s1，△BOC的面积为s2，

则s=s1+s2=12AC⋅OD+12BC⋅OE=12ABsin2θ⋅1+12ABcos2θ⋅sin2θ
=sin2θ+cos2θ•sin2θ=sin2θ(1+cos2θ)；
所以s2=sin22θ1+cos2θ2=1－cos22θ1+cos2θ2=1－cos2θ1+cos2θ3
=33(1-cos2θ)(1+cos2θ)3≤13[3(1-cos2θ)+(1+cos2θ)2]2(1+cos2θ)2
=13[3(1-cos2θ)+(1+cos2θ)2(1+cos2θ)]2≤13[3(1-cos2θ)+(1+cos2θ)2+(1+cos2θ)2]2×2
=13[3(1-cos2θ)+(1+cos2θ)+2(1+cos2θ)4]4 =13(32)4=2716．
当且仅当3(1－cos2θ)=1+cos2θ，即cos2θ=12时，等号成立；
显然θ∈(0,π4)，所以2θ∈(0,π2)，所以此时θ=π6；
所以当θ=π6时，s=334，即四边形ABCD的最大面积是334．