专题01 二次方程根的分布问题-高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义与分层练习(人教A版必修第一册)

二次方程根的分布问题

1 概念

二次方程的根(即二次函数零点)的分布问题.

2 常见题型

① 两根与的大小比较(以为例)

 ② 两根分别在区间外

③ 根在区间上的分布(以为例)

【题型一】两根与的大小比较

【典题1】若关于的二次方程的两个互异的实根都小于，则实数的取值范围是　   　．

【解析】关于的二次方程的两个互异的实根都小于，

则 ，

(开口向上，有两根，对称轴在左边，

确定最大根小于)

即     求得，

即的范围为，，故答案为：，．

【点拨】思考下，要确保题意成立，中满足的四项分别属于二次函数的什么性质呢？不要其中一项是否可以，又为什么呢(结合图像)？确定仅满足这四项就行了么？

这属于对题意的必要性与充分性的思考，做到“等价转化”！

【典题2】已知二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范围.

【解析】方法一

当时，若要满足题意，必须；(注意开口方向)

当时，若要满足题意，必须；

 即，解得.

方法二：(韦达定理)

设是的两个根，

若要满足题意，则，

解得.

【点拨】对于一些特殊根的分布问题，我们可灵活采取其他的方法.

【题型二】根在区间上的分布

【典题1】已知关于的二次方程若方程有两根，其中一根在区间

内，另一根在区间内，则的范围是　　．

【解析】设，

问题转化为抛物线与轴的交点分别在区间和内，则 ，解得，

故的范围是 .

【点拨】需要考虑对称轴位置么？需要讨论判别式么？

【典题2】方程在区间内有两个不同的根，的取值范围为　　．

【解析】构造函数，图象恒过点

(能发现很重要，要满足题意只能，避免讨论减少计算量，要注意函数是否过定点)

方程0在区间内有两个不同的根，

.

【典题3】已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为　    　．

【解析】方法1

方程对应的函数为

若要满足题意，

则

故答案是.

方法2 方程  

(发现方程可以直接因式分解求根)

方程两根为，

若要满足题意，则，解得，

故答案是.

【点拨】显然方法2比方法1更简洁些，主要是因为它能通过因式分解求出的根形式简洁！那前面的例题是否都不可以先求出根再求解呢？

我们拿本题型中的典题2看看，很难直接因式分解，利用求根公式得,

，根据题意要计算,

其中还要注意和与的分类讨论,是否突然懵圈了么.

在方法的选取上，我们要清晰方法的适用范围！

【题型三】两根分别在区间外

 【典题1】已知关于的方程的两个实根一个小于，另一个大于，则实数的取值范围是　   　．

 【解析】显然，关于的方程对应的二次函数

  (对开口方向进行讨论，分和)

① 若，即图象开口向上，

的两个实根一个小于，另一个大于，只需，且，

即且，则；

(若发现结合图像也可知不可能)

② 若，即图象开口向下，

的两个实根一个小于，另一个大于，只需，且，

即且，则

综上可得的范围是．

故答案为：．

【方法总结】

① 求解二次方程根的分布问题，最重要是数形结合做到“等价转化”;多画图思考：图像要怎么画才能满足题意，怎么画就不满足题意，它们之间的区别在哪里？

② 画图时注意二次函数四大因素--开口方向，对称轴，判别式，特殊点.

备注：特殊点是指含参的二次函数过的一些定点(比如与轴的交点)或某些函数值的正负.

③ 对于一些特殊情况，还可以利用韦达定理、因式分解求出根再求解等方法.

巩固练习

1(★)已知关于的方程有两个实数根，且一根大于，一根小于，则实数的取值范围为　   　．

【答案】

【解析】令，由题意可得，

即：，整理：，解得，

所以实数的取值范围为；

故答案为：．

2(★)方程的两根都大于，则实数的取值范围是　   　．

【答案】 

【解析】由题意，方程的两根都大于，

令，

可得：，即，

解得：．

3(★★)若方程的一个根在区间上，另一根在区间上，则实数的取值范围为　   　．  

【答案】  

【解析】设函数，

方程的一个根在区间上，另一根在区间，

，，即，

则

即实数的取值范围是；

4(★★)关于的方程在区间内有两个不等实根，则实数的取值范围是　   　．

【答案】 

【解析】关于的方程在区间内有两个不等实根，

令，

则有，求得，

5(★★)若关于的一元二次方程有两个不相等的实根，且，则实数的取值范围是　   　．

【答案】

【解析】由题意设，

方程有两个不相等的实根，

且，，

，则，

解得，

6 (★★★) 求实数的范围，使关于的方程

(1)有两个实根，且一个比大，一个比小；

(2)有两个实根，且满足；

(3)至少有一个正根.

【答案】(1)   (2)   (3)

【解析】 设．

依题意有，即，得．

(2)依题意有，解得．

(3)方程至少有一个正根，则有三种可能：

①有两个正根，此时可得，即

②有一个正根，一个负根，此时可得，得．

③有一个正根，另一根为，此时可得

综上所述，得．

挑战学霸

二次函数中实数满足，其中，

求证：；  方程在内恒有解．

【答案】      

【证明】

由于是二次函数，故．

又，所以．

由题意，得，．

①当时，由(1)知．

若，则，又，

在内有解；

若，则，

又，

所以在内有解．

因此方程在内恒有解．

②当时，同样可以证得结论．