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人教B版（2019）数学必修第一册《第三章 函数》单元测试
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这是一份人教B版（2019）数学必修第一册《第三章 函数》单元测试，共16页。
人教B版（2019）必修第一册《第三章 函数》单元测试
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）设f(x)是区间[a,b]上的单调函数，且f(a)f(b)<0，则方程f(x)=0在区间[a,b]上( )
A. 至少有一实根
B. 至多有一实根
C. 没有实根
D. 必有唯一实根
2.（5分）设函数f（x）=lnx+e-x，g（x）=lnx-e-x的零点分别为x1，x2，则（ ）
A. x1•x2≥2 B. 1＜x1•x2＜2
C. 0＜x1•x2＜1 D. x1•x2=1
3.（5分）反映函数f(x)=|x|-x-2基本性质的图象大致为( )
A. B.
C. D.
4.（5分）已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|+1(m∈R)为偶函数．记a=f(log122)，b=f(log24)，c=f(2m)，则a，b，c的大小关系为( )
A. a
A. 0,1 B. 0,1 C. 1,3 D. 1,3
6.（5分）函数y=2|x|在区间[m,n]的值域为[1,4]，则m2+n2-2m的取值范围是( )
A. [8,12] B. [22,23]
C. [4,12] D. [2,23]
7.（5分）已知函数f(x)=x2-2x23x+1+1.若存在m∈(1,4)使得不等式f(4-ma)+f(m2+3m)>2成立，则实数a的取值范围是( )
A. (- ∞,7) B. (-∞,7] C. (-∞,8) D. (-∞,8]
8.（5分）已知f(x)=(3-a)x-a,x⩽1logax,x>1是(-∞,+∞)上是增函数，那么实数a的取值范围是( )
A. (1,+∞) B. (32,3) C. [32,3) D. (1,3)
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）对于定义域为D的函数y=fx，若同时满足下列条件：
①fx在D内单调递增或单调递减；
②存在区间[a,b]⊆D，使fx在[a,b]上的值域为[a,b]，那么把y=fxx∈D称为闭函数．
下列结论正确的是( )
A. 函数y=x2+1是闭函数
B. 函数y=-x3是闭函数
C. 函数y=xx+1是闭函数
D. 函数y=-2+x+2是闭函数
10.（5分）如果函数fx在a,b上是增函数，对于任意的x1,x2∈a,bx1≠x2，则下列结论中正确的是 ( )
A. fx1-fx2x1-x2>0 B. x1-x2fx1-fx2>0
C. fa⩽fx1fx2
11.（5分）设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中错误的是( )
A. f(x)g(x)是偶函数
B. |f(x)|g(x)是奇函数
C. f(x)|g(x)|是奇函数
D. |f(x)g(x)|是奇函数
12.（5分）已知函数f(x)=2x,x⩾sinθ-x,x
13.（5分）函数f(x)=x3-2x2+3x-6的零点所在的区间可能是( )
A. [0,52] B. [52,4]
C. [1,74] D. [74,52]
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）若函数f(x)=ax-b+2在[0,+∞)上为增函数，则实数a,b的取值范围是__________.
15.（5分）设函数f(x)=2x+x2,x⩾012x+x2,x<0，已知对任意的a∈[1,3]，若x1∈[a-ka,a-k2a],x2∈[a-k3a,a-k4a](k∈R且k>0)，恒有f(x1)⩾f(x2)，则k的最小值是______．
16.（5分）已知函数f(x)=sin(πx-π)与g(x)=14(x-1)的图象所有交点的横坐标为x1，x2，…，xn，则x1+x2+…+xn=______．
17.（5分）已知A(x1,y1)、B(x2,y2)，O为平面直角坐标系原点，满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=12，则∠AOB=______，|x1+y1-1|2+2|x2+y2-1|的最大值为 ______.
18.（5分）设函数f(x)=x2+3x,x⩾0f(x+2),x<0，则f(-3)=______．
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）若f(x)=logmx-3x+3，设其定义域上的区间[α,β](β>α>0)．
(1)判断该函数的奇偶性，并证明；
(2)当m>1时，判断函数在区间[α,β](β>α>0)上的单调性，并证明；
(3)当0α>0)，使函数f(x)在该区间上的值域为[logmm(β-1),logmm(α-1)]，求实数m的取值范围．
20.（12分）对于定义域为D的函数y=f(x)，若有常数M，使得对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D满足等式f(x1)+f(x2)2=M，则称M为函数y=f(x)的“均值”．
(1)判断1是否为函数f(x)=2x+1(-1⩽x⩽1)的“均值”，请说明理由；
(2)若函数f(x)=ax2-2x(1
21.（12分）已知关于x的方程(1-lg2a)x2+(1-lga)x+2=0，试解，
(1)当x=-1是方程的一个解时，求实数a的值；
(2)当方程只有一解时，求实数a的值．
22.（12分）如果函数f(x)在定义域的某个区间[m,n]上的值域恰为[m,n]，则称函数f(x)为[m,n]上的等域函数，[m,n]称为函数f(x)的一个等域区间．
(1)若函数f(x)=x2+2x，x∈R，则函数f(x)存在等域区间吗？若存在，试写出其一个等域区间，若不存在，说明理由；
(2)已知函数f(x)=ax+(a-p)x+b，其中a>0且a≠1，p>0，b∈R.
(Ⅰ)当a=p时，若函数f(x)是[0,1]上的等域函数，求f(x)的解析式；
(Ⅱ)证明：当0a+1时，函数f(x)不存在等域区间．
23.（12分）已知函数f(x)=ax-2x．
(1)求定义域，并判断函数f(x)的奇偶性；
(2)若f(1)+f(2)=0，证明函数f(x)在(0,+∞)上的单调性，并求函数f(x)在区间[1,4]上的最值．
答案和解析
1.【答案】D;
【解析】解：函数f(x)在区间[a,b]上单调，且f(a)⋅f(b)<0，所以f(x)在区间[a,b]上的图象与x轴有唯一的交点，所以函数f(x)在区间[a,b]上有唯一的零点，方程f(x)=0在区间[a,b]上必有唯一的实根．
故选：D.
直接利用函数的零点判定定理说明结果即可．
此题主要考查函．数的零点判定定理的应用，是基础题
2.【答案】C;
【解析】解：由题意，f（
1
e
）＜0，f（1）＞0，
∴
1
e
＜x1＜1，g（1）＜0，g（e）＞0，∴1＜x2＜e，
∴
1
e
＜x1•x2＜e，且lnx1•x2=lnx1+lnx2=-e-x1+e-x2＜0，
∴0＜x1•x2＜1．
故选C．
3.【答案】A;
【解析】解：函数f(-x)=|-x|-(-x)-2=|x|-x-2=f(x)，则f(x)是偶函数，排除C
且在(0,+∞)上是增函数，排除B、D，
故选：A．
判断函数的奇偶性，利用当x>0时的单调性进行排除即可．
此题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性以及单调性使用排除法是解决本题的关键．
4.【答案】B;
【解析】解：∵函数f(x)=2|x-m|+1(m∈R)为偶函数，∴f(x)=f(-x)，∴|x-m|=|-x-m|，∴m=0，f(x)=2|x|+1．
记a=f(log122)=f(-1)=21+1=3，b=f(log24)=f(2)=22+1=5，c=f(2m)=f(0)=20+1=2，
则a，b，c的大小关系为：b>a>c，
故选：B．
根据 f(x)=f(-x)，求得m=0，可得f(x)的解析式．再计算a=f(log122)，b=f(log24)，c=f(2m)的值，可得结论．
这道题主要考查函数的奇偶性的应用，求函数的值，属于基础题．
5.【答案】B;
【解析】
此题主要考查函数零点与方程根的关系及函数图象的应用，同时考查分段函数，，将问题转化为于y=f(x)的图象与y=m的图象有5 个不同的交点，然后利用定义，画出函数图象，数形结合求解即可.
解： 函数g(x)=f(x)-m有5个不同的零点等价于y=f(x)的图象与y=m的图象有5个不同的交点，
根据运算a⊗b={a,a⩽bb,a>b，画出y=f(x)=2x⊗|x2-4x+3|与y=m的图象如图，
结合图象可知， y=f(x)的图象与y=m的图象有5 个不同的交点实数m的取值范围是(0,1)，
所以g(x)=f(x)-m有5个零点时，实数m的取值范围是(0,1).
故选B.
6.【答案】C;
【解析】解：由题意函数y=2|x|在区间[m,n]的值域为[1,4]，
可得：n=2或m=-2，定义域范围一定包括0．
当n=2时，那么m的范围是[-2,0]，
此时m2+4-2m=(m-1)2+3，可得最小值为4．
当m=-2时，那么n的范围是[0,2]，
此时m2+n2-2m=8+n2，可得最大值为12．
故选：C．
根据指数函数的性质可得值域为[1,4]，那么：n=2或m=-2，一定取得到0.分情况讨论可得m，n的值，即可求解m2+n2-2m的取值范围
该题考查指数函数的值域的应用，情况讨论思想，属于中档题．
7.【答案】C;
【解析】
此题主要考查函数的单调性、函数的奇偶性.
构造函数h(x)=f(x)-1，即h(x)=x2-2x23x+1=x2.3x-13x+1，首先利用函数的奇偶性的定义，可判断函数为奇函数，再利用单调性的判定，可知函数为增函数，化简f(4-ma)+f(m2+3m)>2，即hm2+3m>hma-4，可得a
解：因为函数f(x)=x2-2x23x+1+1，设h(x)=f(x)-1，
所以h(x)=x2-2x23x+1=x2.3x-13x+1，hx的定义域为R，
所以h(-x)=-x2.3-x-13-x+1=x2.1-3x3x+1=-h(x)，所以hx为奇函数，
令0
=x12-x223x1+x2-1+x12+x223x1-3x23x1+13x2+1，
因为x12-x22<0,3x1+x2-1>0,x12+x22>0,3x1-3x2<0,3x1+1>0,3x2+1>0，
所以hx1-hx2<0，所以函数hx在0,+∞单调递增，
又因为hx为奇函数，且h0=0，
所以hx在R上单调递增，
若存在m∈(1,4)使得不等式f(4-ma)+f(m2+3m)>2成立，
则f(4-ma)-1+f(m2+3m)-1>0，即h4-ma+hm2+3m>0，
所以hm2+3m>-h4-ma，所以hm2+3m>hma-4，
所以m2+3m>ma-4，即a
由对勾函数的性质知1,2时，函数gm单调递减，2,4时，gm单调递增，
所以g(m)
故选C.
8.【答案】C;
【解析】解：由f(x)为R上的增函数，可得
3-a>0，①
a>1，②
且3-a-a⩽loga1，即为3-2a⩽0③
由①②③可得32⩽a<3．
故选：C．
由增函数的定义，可得3-a>0，①a>1，②且3-a-a⩽loga1，即为3-2a⩽0③，解不等式求交集即可得到所求范围．
该题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，注意分界点的函数值，属于中档题和易错题．
9.【答案】BD;
【解析】
此题主要考查了新定义问题，考查函数的单调性和值域问题，属于中档题．
利用新定义逐项验证是否为闭函数.
解：A:y=x2+1在定义域上不是单调函数，则该函数不是闭函数；
B:由题意，y=-x3在R上递减，则设存在x∈[a,b]时的值域也是[a,b]，
则有{b=-a3a=-b3b>a，所以存在这样的区间为[-1,1]，故该函数为闭函数；
C:f(x)=xx+1=1-1x+1，在(-∞,-1)上单调递增，在(-1,+∞)上单调递减，
所以函数在定义域上不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数．
D:y=-2+x+2上是单调递增函数，设存在x∈[a,b]时的值域也是[a,b]，
则有{-2+a+2=a-2+b+2=ba
10.【答案】AB;
【解析】
此题主要考查函数单调性定义的应用，属于基础题.
根据函数的单调性逐一判断即可.
解：函数f(x)在区间[a,b]上是增函数，
对于任意的x1,x2∈a,bx1≠x2，
则x1-x2与fx1-fx2同号，所以A与B正确；
因为x1,x2∈a,bx1≠x2，x1,x2大小关系不确定，
所以fa⩽fx1fx2不一定成立，
因此C，D不正确.
故选AB.
11.【答案】ABD;
【解析】
此题主要考查函数的奇偶性，难度一般．
根据奇函数和偶函数的定义分别判断即可.
解：因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
所以f(-x)=-f(x)，g(-x)=g(x)，
A.f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)，因此f(x)g(x)是奇函数，A错;
B.|f(-x)|g(-x)=|f(x)|g(x)，因此|f(x)|g(x)是偶函数，B错;
C.f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|，因此 f(x)|g(x)|是奇函数 ，C对;
D.|f(-x)g(-x)|=|f(x)g(x)|，因此|f(x)g(x)|是偶函数，D错.
故选ABD.
12.【答案】CD;
【解析】解：根据题意，函数f(x)=2x,x⩾sinθ-x,x
必有当x
故选：CD．
根据题意，由函数零点的定义可得f(x)=0有解，必有当x0，
该题考查分段函数的性质以及函数的零点，注意函数零点的定义，属于基础题．
13.【答案】AD;
【解析】解：函数f(x)=x3-2x2+3x-6，函数是连续函数，
由于f(0)<0，f(2)=0，f(4)>0，
f(1)<0，f(52)>0，f(74)<0，
所以零点在区间[74,52]，[0,52]内．
故选：AD.
利用函数的解析式，求解函数值，结合零点判断定理，判断选项即可．
此题主要考查零点判断定理的应用，是基本知识的考查，基础题．
14.【答案】a>0且b≤0;
【解析】由单调性可作图：
由图知，a>0且b⩽0.
15.【答案】24;
【解析】解：当x>0，可得-x<0，f(-x)=2x+x2=f(x)，
同样可得x<0时，f(-x)=f(x)，且f(0)=1，
可得f(x)为偶函数，
画出f(x)的图象，可得f(x)在[0,+∞)递增，
由f(x1)⩾f(x2)，可得f(|x1|)⩾f(|x2|)，即有|x1|⩾|x2|，
即x12-x22⩾0，即(x1-x2)(x1+x2)⩾0，
由x1∈[a-ka,a-k2a],x2∈[a-k3a,a-k4a](k∈R且k>0，a>0)，
可得x1
由任意的a∈[1,3]，可得k⩾8×93=24，
则k的最小值为24．
故答案为：24．
根据奇偶性的定义可判断f(x)为偶函数，画出f(x)的图象，可得f(x)在[0,+∞)递增，由f(x)=f(|x|)，可得|x1|⩾|x2|，结合条件可得所求最小值．
此题主要考查分段函数的单调性和奇偶性的判断和运用，考查转化思想和推理能力与计算能力，属于难题．
16.【答案】7;
【解析】解：f(x)=sin(πx-π)=-sinπx，g(x)=14(x-1)，
在同一平面直角坐标系内作出两函数的图象如图：
两函数的图象关于点(1,0)中心对称，且有7个交点，
则x1+x2+…+xn=3×2+1=7．
故答案为：7．
由题意画出两函数的图象，数形结合得答案．
该题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
17.【答案】π3 7+322;略;
【解析】解：A(x1,y1)、B(x2,y2)，由题意，知A、B位于单位圆上，
x1x2+y1y2=12⇒cos∠AOB=OA→⋅OB→|OA→|⋅|OB→|=12⇒∠AOB=π3，
则|x1+y1-1|2、|x2+y2-1|2分别表示A、B到直线l：x+y-1=0的距离AA1、BB1，
于是，|x1+y1-1|2+2|x2+y2-1|=|AA1|+2|BB1|，
分别取AB、A1B1靠近B、B1的三等分点为C、C1，
联结CC1，过点B作AA1的垂线，交AA1、CC1于M、N，
则|CC1|=|CN|+|NC1|=13|AM|+|NC1|=13(|AA1|-|BB1|)+|BB1|=13|AA1|+23|BB1|，
在ΔBOC中，由余弦定理可得，|OC|2=|OB|2+|BC|2-2|OB|⋅|BC|⋅cosπ3=79，
∴|OC|=73，
容易知道O到直线x+y-1=0的距离d=|-1|1+1=22，
∴|CC1|⩽|OC|+d=73+22，
从而|x1+y1-1|2+2|x2+y2-1|=3|CC1|⩽7+322.
故填：π3；7+322
由题意得到A，B位于单位圆上的，画出图像由x1x2+y1y2=12，可以推出∠AOB=π3；把|x1+y1-1|2+2|x2+y2-1|转换为A，B到直线x+y-1=0的距离及距离的2倍，
结合余弦定理，可求出最大值为7+322.
此题主要考查了余弦定理，平面向量数量积的应用，属于较难题．
18.【答案】4;
【解析】
该题考查函数值的计算，涉及分段函数解析式，属于基础题．
根据题意，由函数的解析式可得f(-3)=f(-1)=f(1)，又由解析式求出f(1)的值，即可得答案．
解：根据题意，函数f(x)=x2+3x,x⩾0f(x+2),x<0，
当x<0时，有f(-3)=f(-1)=f(1)，
当x>0时，f(1)=1+3=4，
则f(-3)=4．
故答案为4．
19.【答案】解：（1）因为f(x)=logmx-3x+3，
由x-3x+3＞0解得x＞3或x＜-3，即f（x）的定义域为（-∞，-3）∪（3，+∞），关于原点对称．
又f(-x)=logm-x-3-x+3=logmx+3x-3=logm(x-3x+3)-1=-f(x)，
∴f（x）为奇函数．
（2）f（x）在[α，β]（β＞α＞0）为增函数，
证明如下：∵f（x）的定义域为[α，β]（β＞α＞0），则[α，β]⊆（3，+∞）．
设x1，x2∈[α，β]，x1＜x2，x1＞3，x2＞3，
则f(x1)-f(x2)=logmx1-3x1+3-logmx2-3x2+3=logm(x1-3)(x2+3)(x1+3)(x2-3)，
∵（x1-3）（x2+3）-（x1+3）（x2-3）=6（x1-x2）＜0，
∴（x1-3）（x2+3）＜（x1+3）（x2-3），即0＜(x1-3)(x2+3)(x1+3)(x2-3)＜1，
因为m＞1，所以logm(x1-3)(x2+3)(x1+3)(x2-3)＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在[α，β]（β＞α＞0）为增函数，
（3）由（1）得，当0＜m＜1时，f（x）在[α，β]为减函数，
∴若存在定义域[α，β]（β＞α＞0），使值域为[logmm（β-1），logmm（α-1）]，
则有logmα-3α+3=logmm(α-1)logmβ-3β+3=logmm(β-1)，
∴α-3α+3=m(α-1)β-3β+3=m(β-1)，
∴α，β是方程x-3x+3=m(x-1)在（3，+∞）上的两个相异的根，
∴m（x-1）（x+3）=x-3，即mx2+（2m-1）x+3-3m=0，
即mx2+（2m-1）x+3-3m=0在（3，+∞）上的两个相异的根，
令h（x）=mx2+（2m-1）x+3-3m，则h（x）在（3，+∞）有2个零点，
∴0＜m≤1h(3)＞0-2m-12m＞3h(-2m-12m)＜0，解得0＜m＜2-34，
即当0＜m＜2-34时，[α，β]=[1-2m-16m2-16m+12m，1-2m+16m2-16m+12m]，
当2-34≤m＜1时，方程组无解，即[α，β]（β＞α＞0），不存在．;
【解析】
(1)首先求出函数的定义域，再根据定义法证明函数的奇偶性；
(2)利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；
(3)由(1)得，当0α>0)，使值域为[logmm(β-1),logmm(α-1)]，则有logmα-3α+3=logmm(α-1)logmβ-3β+3=logmm(β-1)，从而问题可转化为α，β是方程x-3x+3=m(x-1)的两个解，进而问题得解．
这道题主要考查函数奇偶性的证明以及函数单调性和值域的关系，结合对数函数的性质转化为一元二次方程，利用根的分布是解决本题的关键，考查学生的转化能力，属于难题．
20.【答案】解：(1)对任意的x1∈[-1,1]，有-x1∈[-1,1]，
当且仅当x2=-x1时，有f(x1)+f(x2)2=x1+x2+1=1，
故存在唯一x2∈[-1,1]，满足f(x1)+f(x2)2=1，
所以1是函数f(x)=2x+1(-1⩽x⩽1)的“均值”．
(2)当a=0时，f(x)=-2x(1
解得a⩾1或a<0或0
(3)①当I=(a,b)或[a,b]时，函数f(x)存在唯一的“均值”．
这时函数f(x)的“均值”为a+b2；
②当I为(-∞,+∞)时，函数f(x)存在无数多个“均值”．
这时任意实数均为函数f(x)的“均值”；
③当I=(a,+∞)或(-∞,a)或[a,+∞)或(-∞,a]或[a,b)或(a,b]时，
函数f(x)不存在“均值”．
故答案为：
①当且仅当I形如(a,b)、[a,b]其中之一时，函数f(x)存在唯一的“均值”．
这时函数f(x)的“均值”为a+b2；
②当且仅当I为(-∞,+∞)时，函数f(x)存在无数多个“均值”．
这时任意实数均为函数f(x)的“均值”；
③当且仅当I形如(a,+∞)、(-∞,a)、[a,+∞)、(-∞,a]、[a,b)、(a,b]其中之一时，
函数f(x)不存在“均值”．;
【解析】
(1)根据均值的定义，要判断1是函数f(x)=2x+1(-1⩽x⩽1)的“均值”，即要验证f(x1)+f(x2)2=x1+x2+1=1；
(2)函数f(x)=ax2-2x(1
此题是个中档题，考查函数单调性的理解，和学生的阅读能力，以及分析解决问题的能力，其中问题(3)是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．
21.【答案】解：（1）若x=-1是方程的一个解，则1-lg2a-（1-lga）+2=0，即lg2a-lga-2=0，
解得lga=2或lga=-1，
∴a=100或a=110，经检验均符合题意，
∴实数a的值为100或110；
（2）若方程只有一解，则△=（1-lga）2-8（1-lg2a）=0，即9lg2a-2lga-7=0，
解得lga=1或lga=-79，
∴a=10或a=10-79，
又当a=10时，原方程为2=0不合题意，故a=10-79．;
【解析】
(1)将x=-1代入，可得lg2a-lga-2=0，解该方程即可求得实数a的值；
(2)依题意，Δ=(1-lga)2-8(1-lg2a)=0，解该方程即可求得实数a的值．
此题主要考查方程解的求法及对数运算，考查运算求解能力，属于基础题．
22.【答案】解：（1）函数f（x）=x2+2x存在等域区间，如[-1，0]；
（2）（Ⅰ）当a=p时，f（x）=ax+b，
若函数f（x）是[0，1]上的等域函数，
当a＞1时，f（x）为增函数，
则f(0)=1+b=0f(1)=a+b=1，
所以a=2b=-1，
此时f（x）=2x−1；
当0＜a＜1时，f（x）为减函数，
则f(0)=1+b=1f(1)=a+b=0，
解得a=0b=1，不满足条件，故舍去，
所以f（x）=2x−1；
（Ⅱ）证明：当0＜a＜1，p＞a+1时，
-p＜-a-1，
即a-p＜-1＜0，
所以函数f（x）=ax+（a-p）x+b为减函数，
假设存在等域区间[m，n]，
则f(m)=am+(a-p)m+b=nf(n)=an+(a-p)n+b=m，
两式作差得，am−an+（a−p）（m−n）=n−m，
即am−an=−（a−p）（m−n）+（n−m）=（p−a−1）（m−n），
因为m＜n，p＞a+1，
所以am−an＜0，
即am＜an
而0＜a＜1时，y=ax为减函数，
故应有am＞an，两者矛盾，
故函数f（x）不存在等域区间．;
【解析】
(1)分析函数f(x)的定义域值域即可判断；
(2)(Ⅰ)a=p时，f(x)=ax+b，根据等域函数定义，列方程组求解a，b；
(Ⅱ)反证法证明．
此题主要考查了函数的值域，解析式，反证法证明等知识，属于综合题．
23.【答案】解：（1）由题意可得，x≠0，
∵f（-x）=-ax+2x=-f（x），
∴f（x）为奇函数；
（2）由f（1）+f（2）=a-2+2a-1=0，
∴a=1，f（x）=x-2x，
设0＜x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=x1-x2+2x2-2x1=（x1-x2）（1+2x1x2），
∵0＜x1＜x2，
∴x1-x2＜0，1+2x1x2＞0，
∴（x1-x2）（1+2x1x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（0，+∞）上的单调递增，
∴函数f（x）在区间[1，4]上的最大值f（4）=72，f（1）=-1．;
【解析】
(1)由题意可得，x≠0，然后检验f(-x)与f(x)的关系即可判断；
(2)由f(1)+f(2)=a-2+2a-1=0，代入可求a，然后结合单调性的定义即可判断单调性，再由单调性可证函数f(x)在区间[1,4]上的最大值f(4)，f(1).即可求解．
这道题主要考查了函数奇偶性的判断及函数单调性的定义在单调性判断中的应用，属于函数性质的简单应用．
人教B版（2019）必修第一册《第三章 函数》单元测试
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）设f(x)是区间[a,b]上的单调函数，且f(a)f(b)<0，则方程f(x)=0在区间[a,b]上( )
A. 至少有一实根
B. 至多有一实根
C. 没有实根
D. 必有唯一实根
2.（5分）设函数f（x）=lnx+e-x，g（x）=lnx-e-x的零点分别为x1，x2，则（ ）
A. x1•x2≥2 B. 1＜x1•x2＜2
C. 0＜x1•x2＜1 D. x1•x2=1
3.（5分）反映函数f(x)=|x|-x-2基本性质的图象大致为( )
A. B.
C. D.
4.（5分）已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|+1(m∈R)为偶函数．记a=f(log122)，b=f(log24)，c=f(2m)，则a，b，c的大小关系为( )
A. a
A. 0,1 B. 0,1 C. 1,3 D. 1,3
6.（5分）函数y=2|x|在区间[m,n]的值域为[1,4]，则m2+n2-2m的取值范围是( )
A. [8,12] B. [22,23]
C. [4,12] D. [2,23]
7.（5分）已知函数f(x)=x2-2x23x+1+1.若存在m∈(1,4)使得不等式f(4-ma)+f(m2+3m)>2成立，则实数a的取值范围是( )
A. (- ∞,7) B. (-∞,7] C. (-∞,8) D. (-∞,8]
8.（5分）已知f(x)=(3-a)x-a,x⩽1logax,x>1是(-∞,+∞)上是增函数，那么实数a的取值范围是( )
A. (1,+∞) B. (32,3) C. [32,3) D. (1,3)
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）对于定义域为D的函数y=fx，若同时满足下列条件：
①fx在D内单调递增或单调递减；
②存在区间[a,b]⊆D，使fx在[a,b]上的值域为[a,b]，那么把y=fxx∈D称为闭函数．
下列结论正确的是( )
A. 函数y=x2+1是闭函数
B. 函数y=-x3是闭函数
C. 函数y=xx+1是闭函数
D. 函数y=-2+x+2是闭函数
10.（5分）如果函数fx在a,b上是增函数，对于任意的x1,x2∈a,bx1≠x2，则下列结论中正确的是 ( )
A. fx1-fx2x1-x2>0 B. x1-x2fx1-fx2>0
C. fa⩽fx1
11.（5分）设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中错误的是( )
A. f(x)g(x)是偶函数
B. |f(x)|g(x)是奇函数
C. f(x)|g(x)|是奇函数
D. |f(x)g(x)|是奇函数
12.（5分）已知函数f(x)=2x,x⩾sinθ-x,x
13.（5分）函数f(x)=x3-2x2+3x-6的零点所在的区间可能是( )
A. [0,52] B. [52,4]
C. [1,74] D. [74,52]
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）若函数f(x)=ax-b+2在[0,+∞)上为增函数，则实数a,b的取值范围是__________.
15.（5分）设函数f(x)=2x+x2,x⩾012x+x2,x<0，已知对任意的a∈[1,3]，若x1∈[a-ka,a-k2a],x2∈[a-k3a,a-k4a](k∈R且k>0)，恒有f(x1)⩾f(x2)，则k的最小值是______．
16.（5分）已知函数f(x)=sin(πx-π)与g(x)=14(x-1)的图象所有交点的横坐标为x1，x2，…，xn，则x1+x2+…+xn=______．
17.（5分）已知A(x1,y1)、B(x2,y2)，O为平面直角坐标系原点，满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=12，则∠AOB=______，|x1+y1-1|2+2|x2+y2-1|的最大值为 ______.
18.（5分）设函数f(x)=x2+3x,x⩾0f(x+2),x<0，则f(-3)=______．
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）若f(x)=logmx-3x+3，设其定义域上的区间[α,β](β>α>0)．
(1)判断该函数的奇偶性，并证明；
(2)当m>1时，判断函数在区间[α,β](β>α>0)上的单调性，并证明；
(3)当0
20.（12分）对于定义域为D的函数y=f(x)，若有常数M，使得对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D满足等式f(x1)+f(x2)2=M，则称M为函数y=f(x)的“均值”．
(1)判断1是否为函数f(x)=2x+1(-1⩽x⩽1)的“均值”，请说明理由；
(2)若函数f(x)=ax2-2x(1
21.（12分）已知关于x的方程(1-lg2a)x2+(1-lga)x+2=0，试解，
(1)当x=-1是方程的一个解时，求实数a的值；
(2)当方程只有一解时，求实数a的值．
22.（12分）如果函数f(x)在定义域的某个区间[m,n]上的值域恰为[m,n]，则称函数f(x)为[m,n]上的等域函数，[m,n]称为函数f(x)的一个等域区间．
(1)若函数f(x)=x2+2x，x∈R，则函数f(x)存在等域区间吗？若存在，试写出其一个等域区间，若不存在，说明理由；
(2)已知函数f(x)=ax+(a-p)x+b，其中a>0且a≠1，p>0，b∈R.
(Ⅰ)当a=p时，若函数f(x)是[0,1]上的等域函数，求f(x)的解析式；
(Ⅱ)证明：当0
23.（12分）已知函数f(x)=ax-2x．
(1)求定义域，并判断函数f(x)的奇偶性；
(2)若f(1)+f(2)=0，证明函数f(x)在(0,+∞)上的单调性，并求函数f(x)在区间[1,4]上的最值．
答案和解析
1.【答案】D;
【解析】解：函数f(x)在区间[a,b]上单调，且f(a)⋅f(b)<0，所以f(x)在区间[a,b]上的图象与x轴有唯一的交点，所以函数f(x)在区间[a,b]上有唯一的零点，方程f(x)=0在区间[a,b]上必有唯一的实根．
故选：D.
直接利用函数的零点判定定理说明结果即可．
此题主要考查函．数的零点判定定理的应用，是基础题
2.【答案】C;
【解析】解：由题意，f（
1
e
）＜0，f（1）＞0，
∴
1
e
＜x1＜1，g（1）＜0，g（e）＞0，∴1＜x2＜e，
∴
1
e
＜x1•x2＜e，且lnx1•x2=lnx1+lnx2=-e-x1+e-x2＜0，
∴0＜x1•x2＜1．
故选C．
3.【答案】A;
【解析】解：函数f(-x)=|-x|-(-x)-2=|x|-x-2=f(x)，则f(x)是偶函数，排除C
且在(0,+∞)上是增函数，排除B、D，
故选：A．
判断函数的奇偶性，利用当x>0时的单调性进行排除即可．
此题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性以及单调性使用排除法是解决本题的关键．
4.【答案】B;
【解析】解：∵函数f(x)=2|x-m|+1(m∈R)为偶函数，∴f(x)=f(-x)，∴|x-m|=|-x-m|，∴m=0，f(x)=2|x|+1．
记a=f(log122)=f(-1)=21+1=3，b=f(log24)=f(2)=22+1=5，c=f(2m)=f(0)=20+1=2，
则a，b，c的大小关系为：b>a>c，
故选：B．
根据 f(x)=f(-x)，求得m=0，可得f(x)的解析式．再计算a=f(log122)，b=f(log24)，c=f(2m)的值，可得结论．
这道题主要考查函数的奇偶性的应用，求函数的值，属于基础题．
5.【答案】B;
【解析】
此题主要考查函数零点与方程根的关系及函数图象的应用，同时考查分段函数，，将问题转化为于y=f(x)的图象与y=m的图象有5 个不同的交点，然后利用定义，画出函数图象，数形结合求解即可.
解： 函数g(x)=f(x)-m有5个不同的零点等价于y=f(x)的图象与y=m的图象有5个不同的交点，
根据运算a⊗b={a,a⩽bb,a>b，画出y=f(x)=2x⊗|x2-4x+3|与y=m的图象如图，
结合图象可知， y=f(x)的图象与y=m的图象有5 个不同的交点实数m的取值范围是(0,1)，
所以g(x)=f(x)-m有5个零点时，实数m的取值范围是(0,1).
故选B.
6.【答案】C;
【解析】解：由题意函数y=2|x|在区间[m,n]的值域为[1,4]，
可得：n=2或m=-2，定义域范围一定包括0．
当n=2时，那么m的范围是[-2,0]，
此时m2+4-2m=(m-1)2+3，可得最小值为4．
当m=-2时，那么n的范围是[0,2]，
此时m2+n2-2m=8+n2，可得最大值为12．
故选：C．
根据指数函数的性质可得值域为[1,4]，那么：n=2或m=-2，一定取得到0.分情况讨论可得m，n的值，即可求解m2+n2-2m的取值范围
该题考查指数函数的值域的应用，情况讨论思想，属于中档题．
7.【答案】C;
【解析】
此题主要考查函数的单调性、函数的奇偶性.
构造函数h(x)=f(x)-1，即h(x)=x2-2x23x+1=x2.3x-13x+1，首先利用函数的奇偶性的定义，可判断函数为奇函数，再利用单调性的判定，可知函数为增函数，化简f(4-ma)+f(m2+3m)>2，即hm2+3m>hma-4，可得a
解：因为函数f(x)=x2-2x23x+1+1，设h(x)=f(x)-1，
所以h(x)=x2-2x23x+1=x2.3x-13x+1，hx的定义域为R，
所以h(-x)=-x2.3-x-13-x+1=x2.1-3x3x+1=-h(x)，所以hx为奇函数，
令0
=x12-x223x1+x2-1+x12+x223x1-3x23x1+13x2+1，
因为x12-x22<0,3x1+x2-1>0,x12+x22>0,3x1-3x2<0,3x1+1>0,3x2+1>0，
所以hx1-hx2<0，所以函数hx在0,+∞单调递增，
又因为hx为奇函数，且h0=0，
所以hx在R上单调递增，
若存在m∈(1,4)使得不等式f(4-ma)+f(m2+3m)>2成立，
则f(4-ma)-1+f(m2+3m)-1>0，即h4-ma+hm2+3m>0，
所以hm2+3m>-h4-ma，所以hm2+3m>hma-4，
所以m2+3m>ma-4，即a
由对勾函数的性质知1,2时，函数gm单调递减，2,4时，gm单调递增，
所以g(m)
故选C.
8.【答案】C;
【解析】解：由f(x)为R上的增函数，可得
3-a>0，①
a>1，②
且3-a-a⩽loga1，即为3-2a⩽0③
由①②③可得32⩽a<3．
故选：C．
由增函数的定义，可得3-a>0，①a>1，②且3-a-a⩽loga1，即为3-2a⩽0③，解不等式求交集即可得到所求范围．
该题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，注意分界点的函数值，属于中档题和易错题．
9.【答案】BD;
【解析】
此题主要考查了新定义问题，考查函数的单调性和值域问题，属于中档题．
利用新定义逐项验证是否为闭函数.
解：A:y=x2+1在定义域上不是单调函数，则该函数不是闭函数；
B:由题意，y=-x3在R上递减，则设存在x∈[a,b]时的值域也是[a,b]，
则有{b=-a3a=-b3b>a，所以存在这样的区间为[-1,1]，故该函数为闭函数；
C:f(x)=xx+1=1-1x+1，在(-∞,-1)上单调递增，在(-1,+∞)上单调递减，
所以函数在定义域上不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数．
D:y=-2+x+2上是单调递增函数，设存在x∈[a,b]时的值域也是[a,b]，
则有{-2+a+2=a-2+b+2=ba
10.【答案】AB;
【解析】
此题主要考查函数单调性定义的应用，属于基础题.
根据函数的单调性逐一判断即可.
解：函数f(x)在区间[a,b]上是增函数，
对于任意的x1,x2∈a,bx1≠x2，
则x1-x2与fx1-fx2同号，所以A与B正确；
因为x1,x2∈a,bx1≠x2，x1,x2大小关系不确定，
所以fa⩽fx1
因此C，D不正确.
故选AB.
11.【答案】ABD;
【解析】
此题主要考查函数的奇偶性，难度一般．
根据奇函数和偶函数的定义分别判断即可.
解：因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
所以f(-x)=-f(x)，g(-x)=g(x)，
A.f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)，因此f(x)g(x)是奇函数，A错;
B.|f(-x)|g(-x)=|f(x)|g(x)，因此|f(x)|g(x)是偶函数，B错;
C.f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|，因此 f(x)|g(x)|是奇函数 ，C对;
D.|f(-x)g(-x)|=|f(x)g(x)|，因此|f(x)g(x)|是偶函数，D错.
故选ABD.
12.【答案】CD;
【解析】解：根据题意，函数f(x)=2x,x⩾sinθ-x,x
必有当x
故选：CD．
根据题意，由函数零点的定义可得f(x)=0有解，必有当x
该题考查分段函数的性质以及函数的零点，注意函数零点的定义，属于基础题．
13.【答案】AD;
【解析】解：函数f(x)=x3-2x2+3x-6，函数是连续函数，
由于f(0)<0，f(2)=0，f(4)>0，
f(1)<0，f(52)>0，f(74)<0，
所以零点在区间[74,52]，[0,52]内．
故选：AD.
利用函数的解析式，求解函数值，结合零点判断定理，判断选项即可．
此题主要考查零点判断定理的应用，是基本知识的考查，基础题．
14.【答案】a>0且b≤0;
【解析】由单调性可作图：
由图知，a>0且b⩽0.
15.【答案】24;
【解析】解：当x>0，可得-x<0，f(-x)=2x+x2=f(x)，
同样可得x<0时，f(-x)=f(x)，且f(0)=1，
可得f(x)为偶函数，
画出f(x)的图象，可得f(x)在[0,+∞)递增，
由f(x1)⩾f(x2)，可得f(|x1|)⩾f(|x2|)，即有|x1|⩾|x2|，
即x12-x22⩾0，即(x1-x2)(x1+x2)⩾0，
由x1∈[a-ka,a-k2a],x2∈[a-k3a,a-k4a](k∈R且k>0，a>0)，
可得x1
由任意的a∈[1,3]，可得k⩾8×93=24，
则k的最小值为24．
故答案为：24．
根据奇偶性的定义可判断f(x)为偶函数，画出f(x)的图象，可得f(x)在[0,+∞)递增，由f(x)=f(|x|)，可得|x1|⩾|x2|，结合条件可得所求最小值．
此题主要考查分段函数的单调性和奇偶性的判断和运用，考查转化思想和推理能力与计算能力，属于难题．
16.【答案】7;
【解析】解：f(x)=sin(πx-π)=-sinπx，g(x)=14(x-1)，
在同一平面直角坐标系内作出两函数的图象如图：
两函数的图象关于点(1,0)中心对称，且有7个交点，
则x1+x2+…+xn=3×2+1=7．
故答案为：7．
由题意画出两函数的图象，数形结合得答案．
该题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
17.【答案】π3 7+322;略;
【解析】解：A(x1,y1)、B(x2,y2)，由题意，知A、B位于单位圆上，
x1x2+y1y2=12⇒cos∠AOB=OA→⋅OB→|OA→|⋅|OB→|=12⇒∠AOB=π3，
则|x1+y1-1|2、|x2+y2-1|2分别表示A、B到直线l：x+y-1=0的距离AA1、BB1，
于是，|x1+y1-1|2+2|x2+y2-1|=|AA1|+2|BB1|，
分别取AB、A1B1靠近B、B1的三等分点为C、C1，
联结CC1，过点B作AA1的垂线，交AA1、CC1于M、N，
则|CC1|=|CN|+|NC1|=13|AM|+|NC1|=13(|AA1|-|BB1|)+|BB1|=13|AA1|+23|BB1|，
在ΔBOC中，由余弦定理可得，|OC|2=|OB|2+|BC|2-2|OB|⋅|BC|⋅cosπ3=79，
∴|OC|=73，
容易知道O到直线x+y-1=0的距离d=|-1|1+1=22，
∴|CC1|⩽|OC|+d=73+22，
从而|x1+y1-1|2+2|x2+y2-1|=3|CC1|⩽7+322.
故填：π3；7+322
由题意得到A，B位于单位圆上的，画出图像由x1x2+y1y2=12，可以推出∠AOB=π3；把|x1+y1-1|2+2|x2+y2-1|转换为A，B到直线x+y-1=0的距离及距离的2倍，
结合余弦定理，可求出最大值为7+322.
此题主要考查了余弦定理，平面向量数量积的应用，属于较难题．
18.【答案】4;
【解析】
该题考查函数值的计算，涉及分段函数解析式，属于基础题．
根据题意，由函数的解析式可得f(-3)=f(-1)=f(1)，又由解析式求出f(1)的值，即可得答案．
解：根据题意，函数f(x)=x2+3x,x⩾0f(x+2),x<0，
当x<0时，有f(-3)=f(-1)=f(1)，
当x>0时，f(1)=1+3=4，
则f(-3)=4．
故答案为4．
19.【答案】解：（1）因为f(x)=logmx-3x+3，
由x-3x+3＞0解得x＞3或x＜-3，即f（x）的定义域为（-∞，-3）∪（3，+∞），关于原点对称．
又f(-x)=logm-x-3-x+3=logmx+3x-3=logm(x-3x+3)-1=-f(x)，
∴f（x）为奇函数．
（2）f（x）在[α，β]（β＞α＞0）为增函数，
证明如下：∵f（x）的定义域为[α，β]（β＞α＞0），则[α，β]⊆（3，+∞）．
设x1，x2∈[α，β]，x1＜x2，x1＞3，x2＞3，
则f(x1)-f(x2)=logmx1-3x1+3-logmx2-3x2+3=logm(x1-3)(x2+3)(x1+3)(x2-3)，
∵（x1-3）（x2+3）-（x1+3）（x2-3）=6（x1-x2）＜0，
∴（x1-3）（x2+3）＜（x1+3）（x2-3），即0＜(x1-3)(x2+3)(x1+3)(x2-3)＜1，
因为m＞1，所以logm(x1-3)(x2+3)(x1+3)(x2-3)＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在[α，β]（β＞α＞0）为增函数，
（3）由（1）得，当0＜m＜1时，f（x）在[α，β]为减函数，
∴若存在定义域[α，β]（β＞α＞0），使值域为[logmm（β-1），logmm（α-1）]，
则有logmα-3α+3=logmm(α-1)logmβ-3β+3=logmm(β-1)，
∴α-3α+3=m(α-1)β-3β+3=m(β-1)，
∴α，β是方程x-3x+3=m(x-1)在（3，+∞）上的两个相异的根，
∴m（x-1）（x+3）=x-3，即mx2+（2m-1）x+3-3m=0，
即mx2+（2m-1）x+3-3m=0在（3，+∞）上的两个相异的根，
令h（x）=mx2+（2m-1）x+3-3m，则h（x）在（3，+∞）有2个零点，
∴0＜m≤1h(3)＞0-2m-12m＞3h(-2m-12m)＜0，解得0＜m＜2-34，
即当0＜m＜2-34时，[α，β]=[1-2m-16m2-16m+12m，1-2m+16m2-16m+12m]，
当2-34≤m＜1时，方程组无解，即[α，β]（β＞α＞0），不存在．;
【解析】
(1)首先求出函数的定义域，再根据定义法证明函数的奇偶性；
(2)利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；
(3)由(1)得，当0
这道题主要考查函数奇偶性的证明以及函数单调性和值域的关系，结合对数函数的性质转化为一元二次方程，利用根的分布是解决本题的关键，考查学生的转化能力，属于难题．
20.【答案】解：(1)对任意的x1∈[-1,1]，有-x1∈[-1,1]，
当且仅当x2=-x1时，有f(x1)+f(x2)2=x1+x2+1=1，
故存在唯一x2∈[-1,1]，满足f(x1)+f(x2)2=1，
所以1是函数f(x)=2x+1(-1⩽x⩽1)的“均值”．
(2)当a=0时，f(x)=-2x(1
解得a⩾1或a<0或0
(3)①当I=(a,b)或[a,b]时，函数f(x)存在唯一的“均值”．
这时函数f(x)的“均值”为a+b2；
②当I为(-∞,+∞)时，函数f(x)存在无数多个“均值”．
这时任意实数均为函数f(x)的“均值”；
③当I=(a,+∞)或(-∞,a)或[a,+∞)或(-∞,a]或[a,b)或(a,b]时，
函数f(x)不存在“均值”．
故答案为：
①当且仅当I形如(a,b)、[a,b]其中之一时，函数f(x)存在唯一的“均值”．
这时函数f(x)的“均值”为a+b2；
②当且仅当I为(-∞,+∞)时，函数f(x)存在无数多个“均值”．
这时任意实数均为函数f(x)的“均值”；
③当且仅当I形如(a,+∞)、(-∞,a)、[a,+∞)、(-∞,a]、[a,b)、(a,b]其中之一时，
函数f(x)不存在“均值”．;
【解析】
(1)根据均值的定义，要判断1是函数f(x)=2x+1(-1⩽x⩽1)的“均值”，即要验证f(x1)+f(x2)2=x1+x2+1=1；
(2)函数f(x)=ax2-2x(1
此题是个中档题，考查函数单调性的理解，和学生的阅读能力，以及分析解决问题的能力，其中问题(3)是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．
21.【答案】解：（1）若x=-1是方程的一个解，则1-lg2a-（1-lga）+2=0，即lg2a-lga-2=0，
解得lga=2或lga=-1，
∴a=100或a=110，经检验均符合题意，
∴实数a的值为100或110；
（2）若方程只有一解，则△=（1-lga）2-8（1-lg2a）=0，即9lg2a-2lga-7=0，
解得lga=1或lga=-79，
∴a=10或a=10-79，
又当a=10时，原方程为2=0不合题意，故a=10-79．;
【解析】
(1)将x=-1代入，可得lg2a-lga-2=0，解该方程即可求得实数a的值；
(2)依题意，Δ=(1-lga)2-8(1-lg2a)=0，解该方程即可求得实数a的值．
此题主要考查方程解的求法及对数运算，考查运算求解能力，属于基础题．
22.【答案】解：（1）函数f（x）=x2+2x存在等域区间，如[-1，0]；
（2）（Ⅰ）当a=p时，f（x）=ax+b，
若函数f（x）是[0，1]上的等域函数，
当a＞1时，f（x）为增函数，
则f(0)=1+b=0f(1)=a+b=1，
所以a=2b=-1，
此时f（x）=2x−1；
当0＜a＜1时，f（x）为减函数，
则f(0)=1+b=1f(1)=a+b=0，
解得a=0b=1，不满足条件，故舍去，
所以f（x）=2x−1；
（Ⅱ）证明：当0＜a＜1，p＞a+1时，
-p＜-a-1，
即a-p＜-1＜0，
所以函数f（x）=ax+（a-p）x+b为减函数，
假设存在等域区间[m，n]，
则f(m)=am+(a-p)m+b=nf(n)=an+(a-p)n+b=m，
两式作差得，am−an+（a−p）（m−n）=n−m，
即am−an=−（a−p）（m−n）+（n−m）=（p−a−1）（m−n），
因为m＜n，p＞a+1，
所以am−an＜0，
即am＜an
而0＜a＜1时，y=ax为减函数，
故应有am＞an，两者矛盾，
故函数f（x）不存在等域区间．;
【解析】
(1)分析函数f(x)的定义域值域即可判断；
(2)(Ⅰ)a=p时，f(x)=ax+b，根据等域函数定义，列方程组求解a，b；
(Ⅱ)反证法证明．
此题主要考查了函数的值域，解析式，反证法证明等知识，属于综合题．
23.【答案】解：（1）由题意可得，x≠0，
∵f（-x）=-ax+2x=-f（x），
∴f（x）为奇函数；
（2）由f（1）+f（2）=a-2+2a-1=0，
∴a=1，f（x）=x-2x，
设0＜x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=x1-x2+2x2-2x1=（x1-x2）（1+2x1x2），
∵0＜x1＜x2，
∴x1-x2＜0，1+2x1x2＞0，
∴（x1-x2）（1+2x1x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（0，+∞）上的单调递增，
∴函数f（x）在区间[1，4]上的最大值f（4）=72，f（1）=-1．;
【解析】
(1)由题意可得，x≠0，然后检验f(-x)与f(x)的关系即可判断；
(2)由f(1)+f(2)=a-2+2a-1=0，代入可求a，然后结合单调性的定义即可判断单调性，再由单调性可证函数f(x)在区间[1,4]上的最大值f(4)，f(1).即可求解．
这道题主要考查了函数奇偶性的判断及函数单调性的定义在单调性判断中的应用，属于函数性质的简单应用．
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