高中湘教版（2019）1.2 等差数列课文课件ppt

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1.理解等差数列就是一个定义域为正整数集或它的有限子集的函数;2.通过函数的引入增强运用等差数列解决问题的能力;3.能够运用一次函数的知识解决等差数列相关问题.
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对于一般的等差数列{an},其通项公式为an=a1+(n-1)d,将其中的正整数自变量n换成实数自变量x,得到y=a1+(x-1)d=dx+(a1-d).
这不是关于n的一次函数的标准形式
名师点睛等差数列的图象由通项公式对应的关于n的函数的图象上的孤立点(n,an)组成,其中点的横坐标为项数n,纵坐标为项an.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)所有的等差数列的通项公式都可以写成关于n的一次函数形式.(　　)(2)等差数列{an}的项数n,项an构成的坐标为(n,an)的点都在直线y=2x-1上,则数列的公差为d=2.(　　)2.若等差数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d,则该通项公式对应的一定是关于n的一次函数吗?
提示当d≠0时是关于n的一次函数,此时一次函数的斜率就是公差d.当d=0时不是关于n的一次函数.
3.若等差数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d,函数为y=dx+(a1-d),这个函数的图象与等差数列{an}的图象相同吗?
提示不相同,函数y=dx+(a1-d)的图象是一条连续的直线并且x的取值范围可以是R,而等差数列{an}的图象是一些孤立点(n,an),且n只能是正整数.
等差数列{an}的单调性与公差d的关系如下:
名师点睛当d>0时,直线y=dx+(a1-d)从左至右上升,等差数列{an}递增;当d<0时,直线y=dx+(a1-d)从左至右下降,等差数列{an}递减;当d=0时,y=a1为水平方向的直线,数列{an}为常数列.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若等差数列的图象上的点(n,an)都在直线y=5-2x上,则数列是递减数列.(　　)(2)若数列{an}是等差数列,且a3>a1,则数列不一定是递增数列.(　　)
2.若数列{an}的图象上的点(n,an)都在直线y=3x-1上,则以下关系成立的是(　　)A.a5≤a6B.a6>a7C.a6解析 由数列{an}的图象上的点(n,an)都在直线y=3x-1上,可知an=3n-1,因此数列{an}是递增数列,所以a8>a6,故选C.
3.若(3,6),(5,-3)是等差数列{an}的图象上的两点,则该数列的公差d满足(　　)A.d>0B.d<0C.d=0D.无法确定符号
解析 由题意可知a3=6,a5=-3,因此等差数列{an}是递减数列,所以公差d<0.
探究点一 利用等差数列与一次函数的关系证明等差数列
【例1】 已知数列{an}的通项公式为an=an2+bn+c(a,b,c为常数,且a≠0),求证:数列{an}不是等差数列.分析 利用等差数列的定义,证明an-an-1(n≥2)是否为常数.
证明当a≠0,n≥2时,由an=an2+bn+c,可知an-an-1=an2+bn+c-a(n-1)2-b(n-1)-c =2an+b-a.由a≠0,n≥2知an-an-1是一个与n有关的量,因此{an}不是等差数列.
规律方法　由数列通项公式证明数列为等差数列的方法
变式训练1已知点(n,an)在直线y=3x+1上,证明数列{an}是等差数列,并求其公差.
证明∵点(n,an)在直线y=3x+1上,∴an=3n+1,∴an-1=3(n-1)+1(n≥2).∴an-an-1=3n+1-[3(n-1)+1]=3.∴数列{an}是等差数列,且公差为d=3.
探究点二 等差数列与一次函数关系的应用
【例2】已知{an}是等差数列,且a3=10,a5=16.(1)求a7;(2)若an=31,求n的值.分析 设出等差数列的首项与公差,列方程求出通项公式后,依次求解,也可以利用等差数列的函数性质求解.
解 (1)(方法1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则
因此an=4+3(n-1)=3n+1.故a7=3×7+1=22.
(方法2)由题意知等差数列公差d≠0.因此设{an}的通项公式为an=pn+q(p,q∈R).
(2)由an=3n+1,知当an=31时,3n+1=31,解得n=10.
规律方法　已知等差数列中的两项,求等差数列的项(或项数)的方法:一是设出等差数列的首项和公差,列方程组求通项公式;二是利用等差数列对应的点在一次函数图象上(公差d≠0),利用直线或函数的特征求解.
变式训练2已知数列{an}是等差数列,a3=11,且当m,n∈N+,且m≠n时, =4,求a7.
解 ∵{an}是等差数列,且 =4,∴{an}的公差d=4.∴a7=a3+4d=27.
探究点三 等差数列的单调性
【例3】 已知首项为a1=5的数列{an}的图象上的点(n,an)都在一次函数f(x)=kx+2(k≠0)的图象上.(1)求k的值;(2)证明数列{an}是递增数列.
(1)解 由题意可知一次函数f(x)=kx+2(k≠0)且f(1)=5,则k+2=5,则k=3.(2)证明由(1)得an=3n+2,设数列{an}的任意相邻两项为an与an-1(n≥2),则an-an-1=3n+2-[3(n-1)+2]=3>0.即an>an-1(n≥2),因此数列{an}是递增数列.
规律方法　根据等差数列的通项公式{an}判断数列单调性的方法:计算an-an-1=d(n≥2),d>0,则{an}为递增数列;d<0,则{an}为递减数列;d=0,则{an}为常数列.
变式训练3已知点(2,1),(3,3)是等差数列{an}的图象上的两点.(1)求数列{an}的通项公式;(2)判断并证明数列的单调性.
解 (1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d.因为点(2,1),(3,3)是等差数列{an}的图象上的两点,
因此an=a1+(n-1)d=-1+2(n-1)=2n-3.
(2)由于d=2>0,因此数列{an}是递增数列.证明如下:设数列{an}的任意相邻两项为an与an-1(n≥2),则an-an-1=2n-3-[2(n-1)-3]=2>0.即an>an-1(n≥2),因此数列{an}是递增数列.
1.知识清单:(1)等差数列与一次函数的关系;(2)等差数列的单调性.2.方法归纳:定义法证明等差数列;待定系数法求通项公式;定义法证明(判断)数列的单调性.3.注意事项:公差d与一次函数的斜率的关系,等差数列的单调性的充要条件.
1.已知数列{an}是等差数列,则a1解析 设{an}的公差为d,则a10⇒d>0.若{an}为递增数列,则对任意的正整数n有an+1>an,则a2>a1.故a12.已知数列{an},对任意的n∈N+,点(n,an)都在直线y=2x+1上,则{an}为(　　)A.公差为2的等差数列B.公差为1的等差数列C.公差为-2的等差数列D.公差为0的等差数列
解析 由题意知an=2n+1,∴an+1-an=2,故选A.
3.在等差数列{an}中,已知a3=10,a8=-20,则公差d等于(　　)A.3B.-6C.4D.-3
解析 由等差数列与一次函数的关系可得a8-a3=(8-3)d=5d,则d= =-6.
4.已知数列{an}是等差数列,且(n,an)在函数f(x)=(k-2)x+3的图象上,若{an}是递增数列,则实数k的取值范围是　　　　　. 
解析 由{an}是等差数列且是递增数列,可知函数f(x)=(k-2)x+3在R上是增函数,根据一次函数的图象与性质,可得k-2>0,即k>2,所以实数k的取值范围是(2,+∞).