苏科版数学 八上 第三章 勾股定理 单元能力测试卷
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一.选择题(共30分)
1.若3、4、为勾股数,则a的值为( )
A.-5 B.5 C.-5或 D.5或
2.直角三角形的两条直角边的长分别为5和12,则斜边上的高为( )
A. B. C.6 D.13
3.如图,在直线m上依次摆放着七个正方形,已知斜放置的三个正方形的面积分别是3,6,9,正放置的四个正方形的面积依次是,,,,则=( )
A.6 B.6.5 C.7 D.8
4.九章算术》中的“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去根六尺.问折高者几何?意思是:一根竹子,原高一丈(一丈=10尺),一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处离竹子底部6尺远,问折断处离地面的高度是多少?设折断处离地面的高度为尺,则可列方程为( )
A. B.
C. D.
5.将一个等腰三角形纸板沿垂线段,进行剪切,得到三角形①②③,再按如图2方式拼放,其中与共线.若,则的长为( )
A. B. C. D.7
6.有一个著名的希波克拉蒂月牙问题,如图:以AB为直径作半圆,点C从点A出发,沿着圆弧向点B方向运动(与点A、B不重合),连接AC、BC,以AC、BC为直径分别向外作半圆,将围成两个月牙形(阴影部分),面积分别为和,在点C的运动过程中,与之和的变化情况是( )
A.一直增大 B.一直减少 C.一直不变 D.先增大后减小
7.如图,已知长方形纸板的边长,,在纸板内部画,并分别以三边为边长向外作正方形,当边、和点K、J都恰好在长方形纸板的边上时,则的面积为( )
A.6 B. C. D.
8.下列说法:(1)在△ABC中,若a2+b2≠c2,则△ABC不是直角三角形;(2)若△ABC是直角三角形,∠C=90°,则a2+b2=c2;(3)在△ABC中,若a2+b2=c2,则∠C=90°;(4)直角三角形的两条直角边的长分别为5和12,则斜边上的高为.其中说法正确的有( ).
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
9.若的三边、、满足,则形状为( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.等腰三角形或直角三角形
10.在中,,点D为中点,绕点D旋转,、分别与边、交于E、F两点.下列结论:
①;②始终为等腰直角三角形;③;④.其中正确的是( )
A.①②③④ B.①④ C.②③ D.①②③
二、填空题(共24分)
11.《九章算术》卷九勾股第五题原文“今有木长二丈,围之三尺.葛生其下,缠木七周,上与木齐.问葛几何?”题目大意为:现有一棵大树,长为2丈,周长为3尺.葛就生长在树下,缠绕了大树七周,顶端与树一样齐.问葛有多长?葛为 尺(1丈尺).
12.如图,将两个完全相同的含的直角三角板叠放在一起,已知每个三角板的面积为8,则 .
13.如图,把四边形EDFB纸片分别沿AB和DC折叠,恰好使得点E和点D、点F和点B重合,在折叠成的新四边形ABCD中,,,则的面积是 .
14.如图,圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm,在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm.
15.如图,,点A是延长线上的一点,,动点P从点A出发沿以的速度移动,动点Q从点O出发沿以的速度移动,如果点同时出发,用表示移动的时间,当 s时,是等腰三角形;当 s时,是直角三角形.
16.已知任意直角三角形的两直角边a,b和斜边c之间存在关系式:a2+b2=c2.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D在BC上,BD=3,CD=4,以AD为一边作△ADE,使∠DAE=90°,AD=AE.若点M是DE上一个动点,则线段CM长的最小值为 .
三、解答题(共66分)
17.(6分)如图,由△ABC中,,,.按如图所示方式折叠,使点B、C重合,折痕为DE,求出AE和AD的长.
18.(8分)森林火灾是一种常见的自然灾害,危害很大,随着中国科技、经济的不断发展,开始应用飞机洒水的方式扑灭火源.如图,有一台救火飞机沿东西方向AB,由点A飞向点B,已知点C为其中一个着火点, 且点 C与直线 AB上两点A,B的距离分别为600m和800m,又AB=1000m,飞机中心周围500m 以内可以受到洒水影响.
(1)着火点C受洒水影响吗?为什么?
(2)若飞机的速度为10 m/s,要想扑灭着火点C估计需要13秒,请你通过计算判断着火点C能否被扑灭?
19.(8分)如图,在中,分别为边的中线,分别交于点D、E.
(1)若,求证:;
(2)若,,,求的长.
20.(10分)如图,在中,平分交于点D,E是上的一点,且,交于点F.
(1)求证:.
(2)若,,,求的长.
21.(10分)在△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3.
(1) 如图1,D为线段BC上一点,点C关于AD的对称点C恰好落在AB边上,求CD的长;
(2) 如图2,E为线段AB上一点,沿CE翻折△CBE得到△CEB′,若EB′∥AC,求证:AE=AC;
(3) 如图3,D为线段BC上一点,点C关于AD的对称为点C′,是否存在异于图1的情况的C′、B、D为顶点的三角形为直角三角形,若存在,请直接写出BC′长;若不存在,请说明理由.
22.(12分)阅读材料:如图1,如果直角三角形两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
(1) 若直角三角形两直角边长分别为3和4,则斜边长为 ;
(2) 如图2,中,,设AC长为x,BC长为y,,中,,.
① 请用含有x,y的代数式表示的面积 ;
② 四边形CADB的面积是否为定值,若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.
23.(12分)如图1,直角三角形和直角三角形的直角顶点重合,点在斜边上,,,连接AE.
(1) 求证:.
(2) 若,求的长.
(3) 如图2,点也在边上,且在点A,D之间,若,求证:.