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初中数学苏科版八年级上册第三章 勾股定理综合与测试单元测试达标测试
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这是一份初中数学苏科版八年级上册第三章 勾股定理综合与测试单元测试达标测试，共27页。试卷主要包含了0分），【答案】C，【答案】D，【答案】B等内容，欢迎下载使用。
苏科版初中数学八年级上册第三章《勾股定理》单元测试卷
考试范围：第三章；考试时间：120分钟；总分120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 如图，RtΔACB中，∠ACB=90∘，AB=25cm，AC=7cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为ts，当ΔAPB为等腰三角形时，t的值为( )
A. 62596或252 B. 252或24或12 C. 62596或24或12 D. 62596或252或24
2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F.若AC=3，AB=5，则CE的长为( )
A. 32 B. 43 C. 53 D. 85
3. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4.分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4.则S1+S2+S3+S4等于( )
A. 14 B. 16 C. 18 D. 20
4. 如图，在△ABC中，AB=6，AC=10，BC边上的中线AD=4，则△ABC的面积为( )
A. 30
B. 24
C. 20
D. 48
5. 如图，线段OA=2，OP=1，将线段OP绕点O任意旋转时，线段AP的长度也随之改变，则下列结论：
①AP的最小值是1，最大值是4；
②当AP=2时，△APO是等腰三角形；
③当AP=1时，△APO是等腰三角形；
④当AP=3时，△APO是直角三角形；
⑤当AP=5时，△APO是直角三角形．
其中正确的是( )
A. ①④⑤ B. ②③⑤ C. ②④⑤ D. ③④⑤
6. 如图，在△ABC中，AC=4，BC=3，AB=5，AD为△ABC的角平分线，则CD的长度为( )
A. 1
B. 54
C. 32
D. 43
7. 如图①，分别以Rt△PMN(MN>NP)的三边为斜边向外作三个等腰直角三角形，再按图②的方式将两个较小的等腰直角三角形放在最大的等腰直角三角形内，则下列结论不成立的是( )
A. CF=AG
B. 以EF，CD，AB为三边的三角形是直角三角形
C. AE+CG=AB
D. 四边形ABDC的面积与△EFG的面积相等
8. 已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是( )
A. b2−c2=a2 B. a：b：c=3：4：5
C. ∠A：∠B：∠C=9：12：15 D. ∠C=∠A−∠B
9. 在活动课上，同学们用4张图1所示的纸片拼出了两个不同的六边形(图2，图3中的空白部分)，将两个六边形分割，图形Ⅰ，Ⅱ均为正方形．已知BC=10，AC=2，则CD等于( )
A. 20 B. 23 C. 5 D. 26
10. 代数式(x−3)2+25+(4−x)2+9的最小值是( )
A. 62 B. 65 C. 69 D. 71
11. 如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm．( )
A. 15 B. 97
C. 12 D. 18
12. 如图，长方体的底面邻边长分别是5 cm和7 cm，高为20 cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B(点B为棱的中点)，那么所用细线最短为( )
A. 20 cm
B. 24 cm
C. 26 cm
D. 28 cm
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，AC=BC=6cm，∠ACB=∠ADB=90°.若BE=2AD，则△ABE的面积是______cm2，∠AEB=______度．
14. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，分别以AB、AC为边作正三角形ABD、ACE，连接DE，交AB于点F，则DF的长为______．
15. 如图，在△ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，则△ABD的面积是______．
16. 如图，已知CD=6m，AD=8m，∠ADC=90∘，BC=24m，AB=26m.图中阴影部分的面积=______．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）
17. 如图，一条笔直的竹竿斜靠在一道垂直于地面的增面上，一端在墙面A处，另一端在地面B处，墙角记为点C．
(1)若AB=6.5米，BC=2.5米．
①竹竿的顶端A沿墙下滑1米，那么点B将向外移动多少米？
②竹竿的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，请求出移动的距离(保留根号)．
(2)若AC=BC，则顶端A下滑的距离与底端B外移的距离，有可能相等吗？若能相等，请说明理由；若不等，请比较顶端A下滑的距离与底端B外移的距离的大小．
18. 在△ABC中，AB=10，AC=17，BC边上的高AD=8，求BC长．
19. 将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为多少？
20. 如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其 中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
(1)当t=2秒时，求PQ的长；
(2)求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？
(3)若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
21. 如图，边长为4a的正方形ABCD中，M是CD的中点，N是BC上一点，且BN=34BC，求证：AM⊥MN．
22. 已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，且AB⊥BC.求四边形ABCD的面积．
23. 在一次综合实践活动中，老师让同学们测量公园里凉亭A，B之间的距离(A,B之间有水池，无法直接测量).智慧小组的同学们在公园里选了凉亭C，D，测得AD=CD=10m，∠D=90°，BC=40m，∠DCB=135°.请你根据上述数据求出A，B之间的距离．
24. 在一条南北向的海岸边建有一港口O，A、B两支舰队从O点出发，分别前往不同的方向进行海上巡查，已知A舰队以15海里/小时的速度向北偏东40°方向行驶，B舰队以8海里/小时的速度向另一个方向行驶，2小时后，A、B两支舰队相距34海里，你知道B舰队是往什么方向行驶的吗？
25. 今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC=300km，BC=400km，又AB=500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响．
(1)求∠ACB的度数；
(2)海港C受台风影响吗？为什么？
(3)若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查勾股定理，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB=BP时；②当AB=AP时；③当BP=AP时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．
【解答】
解：∵∠BCA=90°，AB=25cm，AC=7cm，
∴BC=24cm．
①当BP=BA=25时，t=252s.
②当AB=AP时，BP=2BC=48cm，则t=24s．
③当PB=PA时，PB=PA=2t cm，CP=(24−2t)cm，AC=7cm，
在Rt△ACP中，AP2=AC2+CP2，
∴(2t)2=72+(24−2t)2，解得t=62596s.
综上，当△ABP为等腰三角形时，t=62596s或252s或24s，
故选：D．
2.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定，三角形的内角和定理以及勾股定理等知识，关键是推出∠CEF=∠CFE．
根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线定义和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出CE=CF，再利用全等三角形的判定与性质及勾股定理得出答案．
【解答】
解：过点F作FG⊥AB于点G，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠FAD，
∴∠CFA=∠AED=∠CEF，
∴CE=CF，
∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，
∴FC=FG，
又AF=AF，
∴Rt△ACF≌Rt△AGF，
∴CF=FG，AG=AC=3，
∴BG=2，
∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，
∴BC=4，
在Rt△BGF中，FG2+BG2=BF2，
即CF2+4=(4−CF)2，
解得：FC=32，
即CE的长为32．
故选：A．
3.【答案】C
【解析】
【分析】
过F作AM的垂线交AM于D，通过证明S 1+S 2+S 3+S 4=Rt△ABC的面积×3，依此即可求解．
本题考查勾股定理的知识，有一定难度，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用．
【解答】
解：过F作AM的垂线交AM于D，
可证明Rt△ADF≌Rt△ABC，Rt△DFK≌Rt△CAT，
所以S2=SRt△ABC．
由Rt△DFK≌Rt△CAT可进一步证得：Rt△FPT≌Rt△EMK，
∴S3=S△FPT，
又可证得Rt△AQF≌Rt△ACB，
∴S1+S3=SRt△AQF=SRt△ABC．
易证Rt△ABC≌Rt△EBN，
∴S4=SRt△ABC，
∴S1+S2+S3+S4
=(S1+S3)+S2+S4
=SRt△ABC+SRt△ABC+SRt△ABC
=SRt△ABC×3
=4×3÷2×3
=18．
故选C．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查的是勾股定理及逆定理，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理逆定理是解本题的关键．
延长AD到E，使DE=AD，连接CE，由D为BC的中点，得到CD=BD，再由一对对顶角相等，利用SAS得出△ADB与△EDC全等，由全等三角形的对应边相等得到AB=CE，由AE=2AD，利用勾股定理的逆定理得到△ACE为直角三角形，即AE垂直于CE，△ABC的面积等于△ACE的面积，利用三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】
解：延长AD到E，使DE=AD，连接CE，
∵D为BC的中点，
∴DC=BD，
在△ADB与△EDC中，
∵AD=DE∠ADB=∠EDCBD=CD,
∴△ADB≌△EDC(SAS)，
∴CE=AB=6．
又∵AE=2AD=8，AB=CE=6，AC=10，
∴AC2=AE2+CE2，
∴∠E=90°，
则S△ABC=S△ACE=12CE⋅AE=12×6×8=24．
故选B．
5.【答案】C
【解析】【试题解析】
解：①当点P在线段OA上时，AP最小，最小值为2−1=1，
当点P在线段AO的延长线上时，AP最大，最大值为2+1=3，①错误；
②当AP=2时，AP=AO，
则△APO是等腰三角形，②正确；
③当AP=1时，AP+OP=OA，△AOP不存在，
△APO是等腰三角形错误，③错误；
④当AP=3时，AP2+OP2=3+1=4，OA2=4，
∴AP2+OP2=OA2，
∴△APO是直角三角形，④正确；
⑤当AP=5时，AP2=5，OP2+OA2=1+4=5，
∴AO2+OP2=PA2，
∴△APO是直角三角形，⑤正确，
故选：C．
①根据题意求出AP的最小值和最大值是，判断即可；
②根据等腰三角形的定义得到△APO是等腰三角形；
③根据三角形的三边关系得到△APO不存在；
④根据勾股定理的逆定理计算，得到△APO是直角三角形；
⑤根据勾股定理的逆定理计算，得到△APO是直角三角形．
本题考查的是等腰三角形的判定、直角三角形的判定，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理的逆定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．根据角平分线的性质可知∠CAD=∠BAD，过D作DP⊥AP于P，利用AAS定理可知△ACD≌APD.在Rt△DPB中，设DP为x，则BD=3−x，利用勾股定理即可得出结论．
【解答】
解：∵AC=4，BC=3，AB=5，
∴BC2+AC2=32+42=52=AB2，
∴∠C=90°，
过D作DP⊥AP于P，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD．
又∵DC⊥AC、DP⊥AB，
∴∠C=∠APD．
在△ACD与APD中，
∵∠C=∠APD∠CAD=∠BADAD=AD,
∴△ACD≌APD(AAS)，
∴AP=AC=4，CD=PD，
∵AB=5，
∴BP=AB−AP=5−4=1，
设DP为x，BD=3−x，在Rt△DPB中，∠DPB=90°，
∴DP2+PB2=DB2，
即x2+12=(3−x)2，
解得x=43，
∴CD=DP=43．
故选D．
7.【答案】C
【解析】解：设Rt△PMN的边MP=c，MN=b，NP=a，其中c>b>a，
则AB=c，CD=b，EF=a，a2+b2=c2．
∵△EFG，△CDG，△ABG为等腰直角三角形，
∴FG=EG=22a，DG=CG=22b，BG=AG=22c.
∴CF=GF2+GC2=(22a)2+(22b)2=22a2+b2=22c，
∵AG=22c，
∴CF=AG．
∴A选项正确；
∵AB=c，CD=b，EF=a，
∴CD2+EF2=b2+a2，AB2=c2，
∴CD2+EF2=AB2．
∴以EF，CD，AB为三边的三角形是直角三角形．
∴B选项正确；
∵AE+CG=AC+CE+CG=AG+EC=AG+GC−GE=22(c+b−a)，
AB=c，
∴AE+CG≠AB．
∴C选项错误；
∵四边形ABDC的面积=S△ABG−S△GDC
=12BG⋅AG−12DG⋅GC
=12×22c×22c−12×22b×22b
=14c2−14b2
=14(c2−b2)
=14a2，
S△EFG=12×FG⋅EG=12×22a×22a=14a2，
∴四边形ABDC的面积与△EFG的面积相等．
∴D选项正确．
综上，结论不成立的是：C．
故选：C．
设Rt△PMN的边MP=c，MN=b，NP=a，其中c>b>a，则AB=c，CD=b，EF=a，利用等腰直角三角形的性质可得FG=EG=22a，DG=CG=22b，BG=AG=22c；利用勾股定理通过计算对每个选项的结论作出判断即可得出结论．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理的应用，利用拼接前后的图形全等不变性解答是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：A、∵b2−c2=a2，∴b2=c2+a2，故△ABC为直角三角形；
B、∵32+42=52，∴△ABC为直角三角形；
C、∵∠A：∠B：∠C=9：12：15，∴∠C=159+12+15×180°=75°，故不能判定△ABC是直角三角形；
D、∵∠C=∠A−∠B，且∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=90°，故△ABC为直角三角形；
故选：C．
根据勾股定理逆定理可判断出A、B是否是直角三角形；根据三角形内角和定理可得C、D是否是直角三角形．
本题考查勾股定理的逆定理的应用，以及三角形内角和定理．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．
9.【答案】D
【解析】分析：
本题注意考查的是勾股定理的应用和线段的求解，难度较大．
利用三角形全等以及勾股定理，即可判断．
解答：
解：如图所示，过D点做BC的垂线交BC与点M，交EF与点N。
由图2Ⅰ，Ⅱ均为正方形，可知图3△ABC为直角三角形，
且AB的长度与图2 图形Ⅰ的正方形的边长相等，AC的长度与图2 图形Ⅱ的正方形边长相等，
所以△ABC与图2的三角形全等，
所以BC=BE，
则四边形BEFC为正方形。
因为BC=10，AC=2，则AB=22
因为AB=DF=22，AC=DE=2，BC=EF=10
设EN=t，则FN=10−t
可得(2)2−t2=(22)2−(10−t)2，化解可得t=105
所以DN=2105，所以DM=DN+MN=7105
则DC=71052+10−1052=26．
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了勾股定理的运用．
先得到(x−3)2+25+(4−x)2+9=(x−3)2+(0−5)2+(x−4)2+(0+3)2，设P(x,0)，M(3,5)，N(4,−3)，可得(x−3)2+(0−5)2+(x−4)2+(0+3)2的最小值等于线段MN的长，利用勾股定理，即可得到MN的长．
【解答】
解：(x−3)2+25+(4−x)2+9
=(x−3)2+(0−5)2+(x−4)2+(0+3)2，
设P(x,0)，M(3,5)，N(4,−3)，则(x−3)2+(0−5)2+(x−4)2+(0+3)2表示点P到点M与点N的距离之和，当点P在线段MN上时，点P到点M与点N的距离之和最短，即(x−3)2+(0−5)2+(x−4)2+(0+3)2的最小值等于线段MN的长，
∵MN=(3−4)2+(5+3)2=65，
∴代数式(x−3)2+25+(4−x)2+9的最小值是65．
11.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理，平面展开−最短路径问题．关键是找出最短路线．
过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出A′Q，CQ，根据勾股定理求出A′C即可．
【解答】
解：沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，
过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，
∵AE=A′E，A′P=AP，
∴AP+PC=A′P+PC=A′C，
∵CQ=12×18=9(cm)，A′Q=12−4+4=12(cm)，
在Rt△A′QC中，由勾股定理得：A′C=122+92=15(cm)，
故选A．
12.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了平面展开−最短路径问题，本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，用勾股定理解决．要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
【解答】
解：将长方体展开，连接A、B′，
则AA′=5+7+5+7=24(cm)，A′B′=10cm，
根据两点之间线段最短，AB′2=242+102=676．
∴AB=26cm
故选C．
13.【答案】36−182 112.5
【解析】解：过E作EH⊥AB于H，如图：
设AD=x cm，CE=y cm，则BE=2x cm，AE=(6−y)cm，
∵∠ADB=∠ACB=90°，∠AED=∠CEB，
∴△AED∽△BEC，
∴BCAD=BEAE，即6x=2x6−y，
∴x2=18−3y①，
在Rt△BCE中，BC2+CE2=BE2，
∴62+y2=(2x)2②，
由①②得y=62−6(负值已舍去)，
∴CE=(62−6)cm，AE=(12−62)cm，
∴S△ABE=S△ABC−S△BCE=12×6×6−12×6×(62−6)=(36−182)cm2，
∵AC=BC=6，∠ACB=90°，
∴∠CAB=45°，AB=62cm，
∴△AEH是等腰直角三角形，
∴∠AEH=45°，AH=AE2=12−622=(62−6)cm，
∴∠CEH=180°−∠AEH=135°，BH=AB−AH=62−(62−6)=6cm，
∴BH=6cm=BC，
又BE=BE，∠BCE=90°=∠BHE，
∴Rt△BCE≌Rt△BHE(HL)，
∴∠BEH=∠BEC=12∠CEH=67.5°，
∴∠AEB=∠AEH+∠BEH=45°+67.5°=112.5°，
故答案为：36−182，112.5．
过E作EH⊥AB于H，设AD=x cm，CE=y cm，则BE=2xcm，AE=(6−y)cm，由△AED∽△BEC，有6x=2x6−y，x2=18−3y①，在Rt△BCE中，62+y2=(2x)2②，可解得CE=(62−6)cm，AE=(12−62)cm，即得S△ABE=S△ABC−S△BCE=(36−182)cm2，由AC=BC=6，∠ACB=90°，可得△AEH是等腰直角三角形，故∠AEH=45°，AH=AE2=(62−6)cm，从而知BH=6cm=BC，证明Rt△BCE≌Rt△BHE(HL)，得∠BEH=∠BEC=12∠CEH=67.5°，即得∠AEB=∠AEH+∠BEH=45°+67.5°=112.5°．
本题考查等腰直角三角形性质及应用，涉及三角形全等的判定与性质，勾股定理及应用，三角形面积等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
14.【答案】132
【解析】解：如图所示，过D作DG⊥AB于G，过E作EH⊥DA，交DA的延长线于H，
∵∠EAC=60°，∠BAC=30°，
∴∠EAG=∠AGD=90°，
∵BC=1，
∴Rt△ABC中，AC=3，AB=2，
又∵△ABD和△ACE是等边三角形，
∴AE=3，DG=3，
∴DG=AE，
又∵∠DFG=∠EAF，
∴△AEF≌△GDF(AAS)，
∴DF=12DE，
又∵Rt△AEH中，∠EAH=30°，
∴HE=12AE=123，AH=32，
∴DH=DA+AH=2+32=72，
∴Rt△DEH中，DE=HE2+DH2=(123)2+(72)2=13，
∴DF的长为132，
故答案为：132．
过D作DG⊥AB于G，过E作EH⊥DA，交DA的延长线于H，依据全等三角形的性质即可得到DF=12DE，再根据勾股定理即可得到DE的长，进而得出DF的长．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以及等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
15.【答案】15
【解析】解：延长AD到点E，使DE=AD=6，连接CE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△ABD和△CED中，
BD=CD∠ADB=∠CDEAD=DE，
∴△ABD≌△ECD(SAS)，
∴CE=AB=5，∠BAD=∠E，
∵AE=2AD=12，CE=5，AC=13，
∴CE2+AE2=AC2，
∴∠E=90°，
∴∠BAD=90°，
即△ABD为直角三角形，
∴△ABD的面积=12AD⋅AB=15，
故答案为：15．
延长AD到点E，使DE=AD=6，连接CE，可证明△ABD≌△ECD，所以CE=AB，再利用勾股定理的逆定理证明△CAE是直角三角形即：△ABD为直角三角形，进而可求出△ABD的面积．
本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形，题目的设计很新颖，是一道不错的中考题．
16.【答案】96m2
【解析】
【分析】
本题考查的是勾股定理的运用和勾股定理的逆定理运用，解题的关键是根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACB为直角三角形．先根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACB为直角三角形，再根据S阴影=12AC×BC−12AD×CD即可得出结论．
【解答】
解：在Rt△ADC中，
∵CD=6m，AD=8m，∠ADC=90°，BC=24m，AB=26m，
∴AC2=AD2+CD2=82+62=100，
∴AC=10m，(取正值)．
在△ABC中，∵AC2+BC2=102+242=676，AB2=262=676．
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ACB为直角三角形，∠ACB=90°．
∴S阴影=12AC×BC−12AD×CD=12×10×24−12×8×6=96(m2).
故答案为96m2．
17.【答案】解：(1)①在Rt△ABC中，AB=6.5米，BC=2.5米，
∴AC2=AB2−BC2=6.52−2.52=36，
∴AC=6米，
∵AA1=1米，
∴A1C=AC−AA1=5米，
在Rt△A1B1C中，A1B1=AB=6.5米，
∴B1C2=A1B12−A1C2=6.52−52=694，
∴B1C=692米，
∴B1B=B1C−BC=692−2.5=69−52米，
答：点B将向外移动69−52米；
②相等．
∵AC=6米，AA1=BB1，
∴A1C=AC−AA1=6−AA1=6−BB1，
∵B1C=BC+BB1=2.5+BB1，B1C2=A1B12−A1C2，
∴(2.5+BB1)2=6.52−(6−BB1)2，
解得BB1=3.5或0(舍去)，
故竹竿的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离会相等，移动距离为3.5米；
(2)不相等．
当AC=BC时，AB=6.5米，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
∴AC2+BC2=6.52，
解得AC=BC=1324，
在Rt△A1B1C中，B1C2+A1C2=A1B12，
即(1324+BB1)2+(1324−AA1)2=6.52，
解得1322AA1=1322BB1+BB1+AA12，
∴AA1>BB1，
故顶端A下滑的距离大于底端B外移的距离．
【解析】(1)①利用勾股定理可求解AC的长，即可求得A1C的长，再利用勾股定理可求解B1C2，进而可求解；
②利用勾股定理列式(2.5+BB1)2=6.52−(6−BB1)2，计算可求解BB1的长，即可求解；
(2)利用勾股定理可求解AC，BC的长，再利用勾股定理列式(1324+BB1)2+(1324−AA1)2=6.52，计算可得1322AA1=1322BB1+BB1+AA12，进而可求解．
本题主要考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
18.【答案】解：Rt△ACD中，AC=17，AD=8，由勾股定理得：CD=AC2−AD2=15；
Rt△ABD中，AB=10，AD=8，由勾股定理得：BD=AB2−AD2=6；
①点D在线段BC上时，BC=BD+CD=21，
②点D在CB的延长线上时，BC=CD−BD=9，
故BC的长为9或21．
【解析】由勾股定理可分别在Rt△ABD和Rt△ADC中求出BD、DC的长，然后分两种情况考虑：①D点在线段BC上，②D点在CB的延长线上；根据D点的不同位置可得BD、DC、BC三条线段不同的数量关系，从而得到BC的值．
此题主要考查的是勾股定理的应用，应注意的是点D的位置有两种情况，要分类讨论，不要漏解．
19.【答案】解：过点C作CD⊥AD于点D，
∵纸带宽=3cm，
∴CD=3cm．
直角△ADC中，
∵∠CAD=30°，
∴AC=2CD=2×3=6．
∵三角板是有15°角的三角板，
∴AB=AC=6，
∴BC2=AB2+AC2=62+62=72，
∴BC=62．
∴三角板的最大边的长为62cm．
【解析】过点C作CD⊥AD于点D，根据直角三角形的性质可得出AC的长，再根据勾股定理可得出BC的长．
本题考查的是勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
20.【答案】(1)解：(1)BQ=2×2=4cm，
BP=AB−AP=8−2×1=6cm，
∵∠B=90°，
PQ=BQ2+BP2=42+62=213(cm)；
(2)解：根据题意得：BQ=BP，
即2t=8−t，
解得：t=83；
即出发时间为83秒时，△PQB是等腰三角形；
(3)解：分三种情况：
①当CQ=BQ时，如图1所示：
则∠C=∠CBQ，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBQ+∠ABQ=90°，
∠A+∠C=90°，
∴∠A=∠ABQ
∴BQ=AQ，
∴CQ=AQ=5
∴BC+CQ=11，
∴t=11÷2=5.5秒．
②当CQ=BC时，如图2所示：
则BC+CQ=12
∴t=12÷2=6秒．
③当BC=BQ时，如图3所示：
过B点作BE⊥AC于点E，
则BE=AB⋅BCAC=6×810=4.8(cm)
∴CE=BC2−BE2=3.6(cm)，
∴CQ=2CE=7.2cm，
∴BC+CQ=13.2cm，
∴t=13.2÷2=6.6秒．
由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，
△BCQ为等腰三角形．
【解析】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用．
(1)根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；
(2)由题意得出BQ=BP，即2t=8−t，解方程即可；
(3)当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：
①当CQ=BQ时(图1)，则∠C=∠CBQ，可证明∠A=∠ABQ，则BQ=AQ，则CQ=AQ，从而求得t；
②当CQ=BC时(图2)，则BC+CQ=12，易求得t；
③当BC=BQ时(图3)，过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t．
21.【答案】解：设NC=a，
∵BN=34BC，
∴BN=3a，BC=4a，
∵在正方形ABCD中，
AD=AB=BC=DC=4a，
∵M是CD的中点，
∴DM=CM=2a，
在Rt△ABN中，根据勾股定理，得AN2=(4a)2+(3a)2=25a2，
在Rt△ADM中，根据勾股定理，得AM2=(4a)2+(2a)2=20a2，
在Rt△NCM中，根据勾股定理，得MN2=(2a)2+a2=5a2，
∴AN2=AM2+MN2，
∴∠AMN=90°，
∴AM⊥MN．
【解析】本题主要考查了勾股定理、勾股逆定理，掌握勾股定理、勾股逆定理的综合应用，其中勾股逆定理的应用是解题关键．
设NC=a，根据正方形性质得出AD=AB=BC=DC=4a，再根据勾股定理表示AN、AM、MN，再根据勾股逆定理判断∠AMN=90°．
22.【答案】解：连接AC．
∵∠ABC=90°，AB=1，BC=2，
∴AC=AB2+BC2=12+22=5，
在△ACD中，AC2+CD2=5+4=9=AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S四边形ABCD=12AB⋅BC+12AC⋅CD，
=12×1×2+12×5×2，
=1+5．
故四边形ABCD的面积为1+5．
【解析】先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，再利用三角形的面积公式求解即可．
本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状是解答此题的关键．
23.【答案】解：连接AC
在△ADC中，∠D=90°，DC=AD=10m，
∴∠ACD=∠CAD=12(180°−∠D)=45°，
由勾股定理得AC=AD2+CD2=102+102=102，
∵∠BCD=135°，∴∠ACB=∠BCD−∠ACD=135°−45°=90°，
在Rt△ACB中，BC=40m，
由勾股定理得AB=AC2+BC2=(102)2+402=1800=302m，
答：A，B之间的距离为302m．
【解析】连接AC，构造直角三角形，利用勾股定理求得答案即可．<
考查了勾股定理的应用，解题的关键是了解如何构造直角三角形，难度不大．
24.【答案】解：如图所示：
由题意可得：OA=30海里，OB=16海里，AB=34海里，
∵302+162=342，
∴AO2+BO2=AB2，
∴△AOB是直角三角形，
∵A舰队以15海里/小时的速度向北偏东40°方向行驶，
∴B舰队是往南偏东50度方向行驶；
或B舰队是往北偏西50度方向行驶．
【解析】直接利用勾股定理逆定理结合方向角分析得出答案．
此题主要考查了勾股定定理的应用以及方向角，正确分类讨论是解题关键．
25.【答案】解：(1)∵AC=300km，BC=400km，AB=500km，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°；
(2)海港C受台风影响，理由：过点C作CD⊥AB于D，
∵△ABC是直角三角形，
∴AC×BC=CD×AB，
∴300×400=500×CD，
∴CD=240(km)，
∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域，
∴海港C受台风影响；
(3)当EC=260km，FC=260km时，正好影响C港口，
∵ED=EC2−CD2=2602−2402=100(km)，
∴EF=2ED=200km，
∵台风的速度为28千米/小时，
∴200÷28=257(小时)．
答：台风影响该海港持续的时间为257小时．
【解析】(1)利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而得出∠ACB的度数；
(2)利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；
(3)利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
苏科版初中数学八年级上册第三章《勾股定理》单元测试卷
考试范围：第三章；考试时间：120分钟；总分120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 如图，RtΔACB中，∠ACB=90∘，AB=25cm，AC=7cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为ts，当ΔAPB为等腰三角形时，t的值为( )
A. 62596或252 B. 252或24或12 C. 62596或24或12 D. 62596或252或24
2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F.若AC=3，AB=5，则CE的长为( )
A. 32 B. 43 C. 53 D. 85
3. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4.分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4.则S1+S2+S3+S4等于( )
A. 14 B. 16 C. 18 D. 20
4. 如图，在△ABC中，AB=6，AC=10，BC边上的中线AD=4，则△ABC的面积为( )
A. 30
B. 24
C. 20
D. 48
5. 如图，线段OA=2，OP=1，将线段OP绕点O任意旋转时，线段AP的长度也随之改变，则下列结论：
①AP的最小值是1，最大值是4；
②当AP=2时，△APO是等腰三角形；
③当AP=1时，△APO是等腰三角形；
④当AP=3时，△APO是直角三角形；
⑤当AP=5时，△APO是直角三角形．
其中正确的是( )
A. ①④⑤ B. ②③⑤ C. ②④⑤ D. ③④⑤
6. 如图，在△ABC中，AC=4，BC=3，AB=5，AD为△ABC的角平分线，则CD的长度为( )
A. 1
B. 54
C. 32
D. 43
7. 如图①，分别以Rt△PMN(MN>NP)的三边为斜边向外作三个等腰直角三角形，再按图②的方式将两个较小的等腰直角三角形放在最大的等腰直角三角形内，则下列结论不成立的是( )
A. CF=AG
B. 以EF，CD，AB为三边的三角形是直角三角形
C. AE+CG=AB
D. 四边形ABDC的面积与△EFG的面积相等
8. 已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是( )
A. b2−c2=a2 B. a：b：c=3：4：5
C. ∠A：∠B：∠C=9：12：15 D. ∠C=∠A−∠B
9. 在活动课上，同学们用4张图1所示的纸片拼出了两个不同的六边形(图2，图3中的空白部分)，将两个六边形分割，图形Ⅰ，Ⅱ均为正方形．已知BC=10，AC=2，则CD等于( )
A. 20 B. 23 C. 5 D. 26
10. 代数式(x−3)2+25+(4−x)2+9的最小值是( )
A. 62 B. 65 C. 69 D. 71
11. 如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm．( )
A. 15 B. 97
C. 12 D. 18
12. 如图，长方体的底面邻边长分别是5 cm和7 cm，高为20 cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B(点B为棱的中点)，那么所用细线最短为( )
A. 20 cm
B. 24 cm
C. 26 cm
D. 28 cm
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，AC=BC=6cm，∠ACB=∠ADB=90°.若BE=2AD，则△ABE的面积是______cm2，∠AEB=______度．
14. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，分别以AB、AC为边作正三角形ABD、ACE，连接DE，交AB于点F，则DF的长为______．
15. 如图，在△ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，则△ABD的面积是______．
16. 如图，已知CD=6m，AD=8m，∠ADC=90∘，BC=24m，AB=26m.图中阴影部分的面积=______．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）
17. 如图，一条笔直的竹竿斜靠在一道垂直于地面的增面上，一端在墙面A处，另一端在地面B处，墙角记为点C．
(1)若AB=6.5米，BC=2.5米．
①竹竿的顶端A沿墙下滑1米，那么点B将向外移动多少米？
②竹竿的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，请求出移动的距离(保留根号)．
(2)若AC=BC，则顶端A下滑的距离与底端B外移的距离，有可能相等吗？若能相等，请说明理由；若不等，请比较顶端A下滑的距离与底端B外移的距离的大小．
18. 在△ABC中，AB=10，AC=17，BC边上的高AD=8，求BC长．
19. 将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为多少？
20. 如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其 中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
(1)当t=2秒时，求PQ的长；
(2)求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？
(3)若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
21. 如图，边长为4a的正方形ABCD中，M是CD的中点，N是BC上一点，且BN=34BC，求证：AM⊥MN．
22. 已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，且AB⊥BC.求四边形ABCD的面积．
23. 在一次综合实践活动中，老师让同学们测量公园里凉亭A，B之间的距离(A,B之间有水池，无法直接测量).智慧小组的同学们在公园里选了凉亭C，D，测得AD=CD=10m，∠D=90°，BC=40m，∠DCB=135°.请你根据上述数据求出A，B之间的距离．
24. 在一条南北向的海岸边建有一港口O，A、B两支舰队从O点出发，分别前往不同的方向进行海上巡查，已知A舰队以15海里/小时的速度向北偏东40°方向行驶，B舰队以8海里/小时的速度向另一个方向行驶，2小时后，A、B两支舰队相距34海里，你知道B舰队是往什么方向行驶的吗？
25. 今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC=300km，BC=400km，又AB=500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响．
(1)求∠ACB的度数；
(2)海港C受台风影响吗？为什么？
(3)若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查勾股定理，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB=BP时；②当AB=AP时；③当BP=AP时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．
【解答】
解：∵∠BCA=90°，AB=25cm，AC=7cm，
∴BC=24cm．
①当BP=BA=25时，t=252s.
②当AB=AP时，BP=2BC=48cm，则t=24s．
③当PB=PA时，PB=PA=2t cm，CP=(24−2t)cm，AC=7cm，
在Rt△ACP中，AP2=AC2+CP2，
∴(2t)2=72+(24−2t)2，解得t=62596s.
综上，当△ABP为等腰三角形时，t=62596s或252s或24s，
故选：D．
2.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定，三角形的内角和定理以及勾股定理等知识，关键是推出∠CEF=∠CFE．
根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线定义和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出CE=CF，再利用全等三角形的判定与性质及勾股定理得出答案．
【解答】
解：过点F作FG⊥AB于点G，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠FAD，
∴∠CFA=∠AED=∠CEF，
∴CE=CF，
∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，
∴FC=FG，
又AF=AF，
∴Rt△ACF≌Rt△AGF，
∴CF=FG，AG=AC=3，
∴BG=2，
∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，
∴BC=4，
在Rt△BGF中，FG2+BG2=BF2，
即CF2+4=(4−CF)2，
解得：FC=32，
即CE的长为32．
故选：A．
3.【答案】C
【解析】
【分析】
过F作AM的垂线交AM于D，通过证明S 1+S 2+S 3+S 4=Rt△ABC的面积×3，依此即可求解．
本题考查勾股定理的知识，有一定难度，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用．
【解答】
解：过F作AM的垂线交AM于D，
可证明Rt△ADF≌Rt△ABC，Rt△DFK≌Rt△CAT，
所以S2=SRt△ABC．
由Rt△DFK≌Rt△CAT可进一步证得：Rt△FPT≌Rt△EMK，
∴S3=S△FPT，
又可证得Rt△AQF≌Rt△ACB，
∴S1+S3=SRt△AQF=SRt△ABC．
易证Rt△ABC≌Rt△EBN，
∴S4=SRt△ABC，
∴S1+S2+S3+S4
=(S1+S3)+S2+S4
=SRt△ABC+SRt△ABC+SRt△ABC
=SRt△ABC×3
=4×3÷2×3
=18．
故选C．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查的是勾股定理及逆定理，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理逆定理是解本题的关键．
延长AD到E，使DE=AD，连接CE，由D为BC的中点，得到CD=BD，再由一对对顶角相等，利用SAS得出△ADB与△EDC全等，由全等三角形的对应边相等得到AB=CE，由AE=2AD，利用勾股定理的逆定理得到△ACE为直角三角形，即AE垂直于CE，△ABC的面积等于△ACE的面积，利用三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】
解：延长AD到E，使DE=AD，连接CE，
∵D为BC的中点，
∴DC=BD，
在△ADB与△EDC中，
∵AD=DE∠ADB=∠EDCBD=CD,
∴△ADB≌△EDC(SAS)，
∴CE=AB=6．
又∵AE=2AD=8，AB=CE=6，AC=10，
∴AC2=AE2+CE2，
∴∠E=90°，
则S△ABC=S△ACE=12CE⋅AE=12×6×8=24．
故选B．
5.【答案】C
【解析】【试题解析】
解：①当点P在线段OA上时，AP最小，最小值为2−1=1，
当点P在线段AO的延长线上时，AP最大，最大值为2+1=3，①错误；
②当AP=2时，AP=AO，
则△APO是等腰三角形，②正确；
③当AP=1时，AP+OP=OA，△AOP不存在，
△APO是等腰三角形错误，③错误；
④当AP=3时，AP2+OP2=3+1=4，OA2=4，
∴AP2+OP2=OA2，
∴△APO是直角三角形，④正确；
⑤当AP=5时，AP2=5，OP2+OA2=1+4=5，
∴AO2+OP2=PA2，
∴△APO是直角三角形，⑤正确，
故选：C．
①根据题意求出AP的最小值和最大值是，判断即可；
②根据等腰三角形的定义得到△APO是等腰三角形；
③根据三角形的三边关系得到△APO不存在；
④根据勾股定理的逆定理计算，得到△APO是直角三角形；
⑤根据勾股定理的逆定理计算，得到△APO是直角三角形．
本题考查的是等腰三角形的判定、直角三角形的判定，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理的逆定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．根据角平分线的性质可知∠CAD=∠BAD，过D作DP⊥AP于P，利用AAS定理可知△ACD≌APD.在Rt△DPB中，设DP为x，则BD=3−x，利用勾股定理即可得出结论．
【解答】
解：∵AC=4，BC=3，AB=5，
∴BC2+AC2=32+42=52=AB2，
∴∠C=90°，
过D作DP⊥AP于P，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD．
又∵DC⊥AC、DP⊥AB，
∴∠C=∠APD．
在△ACD与APD中，
∵∠C=∠APD∠CAD=∠BADAD=AD,
∴△ACD≌APD(AAS)，
∴AP=AC=4，CD=PD，
∵AB=5，
∴BP=AB−AP=5−4=1，
设DP为x，BD=3−x，在Rt△DPB中，∠DPB=90°，
∴DP2+PB2=DB2，
即x2+12=(3−x)2，
解得x=43，
∴CD=DP=43．
故选D．
7.【答案】C
【解析】解：设Rt△PMN的边MP=c，MN=b，NP=a，其中c>b>a，
则AB=c，CD=b，EF=a，a2+b2=c2．
∵△EFG，△CDG，△ABG为等腰直角三角形，
∴FG=EG=22a，DG=CG=22b，BG=AG=22c.
∴CF=GF2+GC2=(22a)2+(22b)2=22a2+b2=22c，
∵AG=22c，
∴CF=AG．
∴A选项正确；
∵AB=c，CD=b，EF=a，
∴CD2+EF2=b2+a2，AB2=c2，
∴CD2+EF2=AB2．
∴以EF，CD，AB为三边的三角形是直角三角形．
∴B选项正确；
∵AE+CG=AC+CE+CG=AG+EC=AG+GC−GE=22(c+b−a)，
AB=c，
∴AE+CG≠AB．
∴C选项错误；
∵四边形ABDC的面积=S△ABG−S△GDC
=12BG⋅AG−12DG⋅GC
=12×22c×22c−12×22b×22b
=14c2−14b2
=14(c2−b2)
=14a2，
S△EFG=12×FG⋅EG=12×22a×22a=14a2，
∴四边形ABDC的面积与△EFG的面积相等．
∴D选项正确．
综上，结论不成立的是：C．
故选：C．
设Rt△PMN的边MP=c，MN=b，NP=a，其中c>b>a，则AB=c，CD=b，EF=a，利用等腰直角三角形的性质可得FG=EG=22a，DG=CG=22b，BG=AG=22c；利用勾股定理通过计算对每个选项的结论作出判断即可得出结论．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理的应用，利用拼接前后的图形全等不变性解答是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：A、∵b2−c2=a2，∴b2=c2+a2，故△ABC为直角三角形；
B、∵32+42=52，∴△ABC为直角三角形；
C、∵∠A：∠B：∠C=9：12：15，∴∠C=159+12+15×180°=75°，故不能判定△ABC是直角三角形；
D、∵∠C=∠A−∠B，且∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=90°，故△ABC为直角三角形；
故选：C．
根据勾股定理逆定理可判断出A、B是否是直角三角形；根据三角形内角和定理可得C、D是否是直角三角形．
本题考查勾股定理的逆定理的应用，以及三角形内角和定理．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．
9.【答案】D
【解析】分析：
本题注意考查的是勾股定理的应用和线段的求解，难度较大．
利用三角形全等以及勾股定理，即可判断．
解答：
解：如图所示，过D点做BC的垂线交BC与点M，交EF与点N。
由图2Ⅰ，Ⅱ均为正方形，可知图3△ABC为直角三角形，
且AB的长度与图2 图形Ⅰ的正方形的边长相等，AC的长度与图2 图形Ⅱ的正方形边长相等，
所以△ABC与图2的三角形全等，
所以BC=BE，
则四边形BEFC为正方形。
因为BC=10，AC=2，则AB=22
因为AB=DF=22，AC=DE=2，BC=EF=10
设EN=t，则FN=10−t
可得(2)2−t2=(22)2−(10−t)2，化解可得t=105
所以DN=2105，所以DM=DN+MN=7105
则DC=71052+10−1052=26．
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了勾股定理的运用．
先得到(x−3)2+25+(4−x)2+9=(x−3)2+(0−5)2+(x−4)2+(0+3)2，设P(x,0)，M(3,5)，N(4,−3)，可得(x−3)2+(0−5)2+(x−4)2+(0+3)2的最小值等于线段MN的长，利用勾股定理，即可得到MN的长．
【解答】
解：(x−3)2+25+(4−x)2+9
=(x−3)2+(0−5)2+(x−4)2+(0+3)2，
设P(x,0)，M(3,5)，N(4,−3)，则(x−3)2+(0−5)2+(x−4)2+(0+3)2表示点P到点M与点N的距离之和，当点P在线段MN上时，点P到点M与点N的距离之和最短，即(x−3)2+(0−5)2+(x−4)2+(0+3)2的最小值等于线段MN的长，
∵MN=(3−4)2+(5+3)2=65，
∴代数式(x−3)2+25+(4−x)2+9的最小值是65．
11.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理，平面展开−最短路径问题．关键是找出最短路线．
过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出A′Q，CQ，根据勾股定理求出A′C即可．
【解答】
解：沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，
过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，
∵AE=A′E，A′P=AP，
∴AP+PC=A′P+PC=A′C，
∵CQ=12×18=9(cm)，A′Q=12−4+4=12(cm)，
在Rt△A′QC中，由勾股定理得：A′C=122+92=15(cm)，
故选A．
12.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了平面展开−最短路径问题，本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，用勾股定理解决．要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
【解答】
解：将长方体展开，连接A、B′，
则AA′=5+7+5+7=24(cm)，A′B′=10cm，
根据两点之间线段最短，AB′2=242+102=676．
∴AB=26cm
故选C．
13.【答案】36−182 112.5
【解析】解：过E作EH⊥AB于H，如图：
设AD=x cm，CE=y cm，则BE=2x cm，AE=(6−y)cm，
∵∠ADB=∠ACB=90°，∠AED=∠CEB，
∴△AED∽△BEC，
∴BCAD=BEAE，即6x=2x6−y，
∴x2=18−3y①，
在Rt△BCE中，BC2+CE2=BE2，
∴62+y2=(2x)2②，
由①②得y=62−6(负值已舍去)，
∴CE=(62−6)cm，AE=(12−62)cm，
∴S△ABE=S△ABC−S△BCE=12×6×6−12×6×(62−6)=(36−182)cm2，
∵AC=BC=6，∠ACB=90°，
∴∠CAB=45°，AB=62cm，
∴△AEH是等腰直角三角形，
∴∠AEH=45°，AH=AE2=12−622=(62−6)cm，
∴∠CEH=180°−∠AEH=135°，BH=AB−AH=62−(62−6)=6cm，
∴BH=6cm=BC，
又BE=BE，∠BCE=90°=∠BHE，
∴Rt△BCE≌Rt△BHE(HL)，
∴∠BEH=∠BEC=12∠CEH=67.5°，
∴∠AEB=∠AEH+∠BEH=45°+67.5°=112.5°，
故答案为：36−182，112.5．
过E作EH⊥AB于H，设AD=x cm，CE=y cm，则BE=2xcm，AE=(6−y)cm，由△AED∽△BEC，有6x=2x6−y，x2=18−3y①，在Rt△BCE中，62+y2=(2x)2②，可解得CE=(62−6)cm，AE=(12−62)cm，即得S△ABE=S△ABC−S△BCE=(36−182)cm2，由AC=BC=6，∠ACB=90°，可得△AEH是等腰直角三角形，故∠AEH=45°，AH=AE2=(62−6)cm，从而知BH=6cm=BC，证明Rt△BCE≌Rt△BHE(HL)，得∠BEH=∠BEC=12∠CEH=67.5°，即得∠AEB=∠AEH+∠BEH=45°+67.5°=112.5°．
本题考查等腰直角三角形性质及应用，涉及三角形全等的判定与性质，勾股定理及应用，三角形面积等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
14.【答案】132
【解析】解：如图所示，过D作DG⊥AB于G，过E作EH⊥DA，交DA的延长线于H，
∵∠EAC=60°，∠BAC=30°，
∴∠EAG=∠AGD=90°，
∵BC=1，
∴Rt△ABC中，AC=3，AB=2，
又∵△ABD和△ACE是等边三角形，
∴AE=3，DG=3，
∴DG=AE，
又∵∠DFG=∠EAF，
∴△AEF≌△GDF(AAS)，
∴DF=12DE，
又∵Rt△AEH中，∠EAH=30°，
∴HE=12AE=123，AH=32，
∴DH=DA+AH=2+32=72，
∴Rt△DEH中，DE=HE2+DH2=(123)2+(72)2=13，
∴DF的长为132，
故答案为：132．
过D作DG⊥AB于G，过E作EH⊥DA，交DA的延长线于H，依据全等三角形的性质即可得到DF=12DE，再根据勾股定理即可得到DE的长，进而得出DF的长．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以及等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
15.【答案】15
【解析】解：延长AD到点E，使DE=AD=6，连接CE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△ABD和△CED中，
BD=CD∠ADB=∠CDEAD=DE，
∴△ABD≌△ECD(SAS)，
∴CE=AB=5，∠BAD=∠E，
∵AE=2AD=12，CE=5，AC=13，
∴CE2+AE2=AC2，
∴∠E=90°，
∴∠BAD=90°，
即△ABD为直角三角形，
∴△ABD的面积=12AD⋅AB=15，
故答案为：15．
延长AD到点E，使DE=AD=6，连接CE，可证明△ABD≌△ECD，所以CE=AB，再利用勾股定理的逆定理证明△CAE是直角三角形即：△ABD为直角三角形，进而可求出△ABD的面积．
本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形，题目的设计很新颖，是一道不错的中考题．
16.【答案】96m2
【解析】
【分析】
本题考查的是勾股定理的运用和勾股定理的逆定理运用，解题的关键是根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACB为直角三角形．先根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACB为直角三角形，再根据S阴影=12AC×BC−12AD×CD即可得出结论．
【解答】
解：在Rt△ADC中，
∵CD=6m，AD=8m，∠ADC=90°，BC=24m，AB=26m，
∴AC2=AD2+CD2=82+62=100，
∴AC=10m，(取正值)．
在△ABC中，∵AC2+BC2=102+242=676，AB2=262=676．
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ACB为直角三角形，∠ACB=90°．
∴S阴影=12AC×BC−12AD×CD=12×10×24−12×8×6=96(m2).
故答案为96m2．
17.【答案】解：(1)①在Rt△ABC中，AB=6.5米，BC=2.5米，
∴AC2=AB2−BC2=6.52−2.52=36，
∴AC=6米，
∵AA1=1米，
∴A1C=AC−AA1=5米，
在Rt△A1B1C中，A1B1=AB=6.5米，
∴B1C2=A1B12−A1C2=6.52−52=694，
∴B1C=692米，
∴B1B=B1C−BC=692−2.5=69−52米，
答：点B将向外移动69−52米；
②相等．
∵AC=6米，AA1=BB1，
∴A1C=AC−AA1=6−AA1=6−BB1，
∵B1C=BC+BB1=2.5+BB1，B1C2=A1B12−A1C2，
∴(2.5+BB1)2=6.52−(6−BB1)2，
解得BB1=3.5或0(舍去)，
故竹竿的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离会相等，移动距离为3.5米；
(2)不相等．
当AC=BC时，AB=6.5米，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
∴AC2+BC2=6.52，
解得AC=BC=1324，
在Rt△A1B1C中，B1C2+A1C2=A1B12，
即(1324+BB1)2+(1324−AA1)2=6.52，
解得1322AA1=1322BB1+BB1+AA12，
∴AA1>BB1，
故顶端A下滑的距离大于底端B外移的距离．
【解析】(1)①利用勾股定理可求解AC的长，即可求得A1C的长，再利用勾股定理可求解B1C2，进而可求解；
②利用勾股定理列式(2.5+BB1)2=6.52−(6−BB1)2，计算可求解BB1的长，即可求解；
(2)利用勾股定理可求解AC，BC的长，再利用勾股定理列式(1324+BB1)2+(1324−AA1)2=6.52，计算可得1322AA1=1322BB1+BB1+AA12，进而可求解．
本题主要考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
18.【答案】解：Rt△ACD中，AC=17，AD=8，由勾股定理得：CD=AC2−AD2=15；
Rt△ABD中，AB=10，AD=8，由勾股定理得：BD=AB2−AD2=6；
①点D在线段BC上时，BC=BD+CD=21，
②点D在CB的延长线上时，BC=CD−BD=9，
故BC的长为9或21．
【解析】由勾股定理可分别在Rt△ABD和Rt△ADC中求出BD、DC的长，然后分两种情况考虑：①D点在线段BC上，②D点在CB的延长线上；根据D点的不同位置可得BD、DC、BC三条线段不同的数量关系，从而得到BC的值．
此题主要考查的是勾股定理的应用，应注意的是点D的位置有两种情况，要分类讨论，不要漏解．
19.【答案】解：过点C作CD⊥AD于点D，
∵纸带宽=3cm，
∴CD=3cm．
直角△ADC中，
∵∠CAD=30°，
∴AC=2CD=2×3=6．
∵三角板是有15°角的三角板，
∴AB=AC=6，
∴BC2=AB2+AC2=62+62=72，
∴BC=62．
∴三角板的最大边的长为62cm．
【解析】过点C作CD⊥AD于点D，根据直角三角形的性质可得出AC的长，再根据勾股定理可得出BC的长．
本题考查的是勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
20.【答案】(1)解：(1)BQ=2×2=4cm，
BP=AB−AP=8−2×1=6cm，
∵∠B=90°，
PQ=BQ2+BP2=42+62=213(cm)；
(2)解：根据题意得：BQ=BP，
即2t=8−t，
解得：t=83；
即出发时间为83秒时，△PQB是等腰三角形；
(3)解：分三种情况：
①当CQ=BQ时，如图1所示：
则∠C=∠CBQ，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBQ+∠ABQ=90°，
∠A+∠C=90°，
∴∠A=∠ABQ
∴BQ=AQ，
∴CQ=AQ=5
∴BC+CQ=11，
∴t=11÷2=5.5秒．
②当CQ=BC时，如图2所示：
则BC+CQ=12
∴t=12÷2=6秒．
③当BC=BQ时，如图3所示：
过B点作BE⊥AC于点E，
则BE=AB⋅BCAC=6×810=4.8(cm)
∴CE=BC2−BE2=3.6(cm)，
∴CQ=2CE=7.2cm，
∴BC+CQ=13.2cm，
∴t=13.2÷2=6.6秒．
由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，
△BCQ为等腰三角形．
【解析】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用．
(1)根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；
(2)由题意得出BQ=BP，即2t=8−t，解方程即可；
(3)当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：
①当CQ=BQ时(图1)，则∠C=∠CBQ，可证明∠A=∠ABQ，则BQ=AQ，则CQ=AQ，从而求得t；
②当CQ=BC时(图2)，则BC+CQ=12，易求得t；
③当BC=BQ时(图3)，过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t．
21.【答案】解：设NC=a，
∵BN=34BC，
∴BN=3a，BC=4a，
∵在正方形ABCD中，
AD=AB=BC=DC=4a，
∵M是CD的中点，
∴DM=CM=2a，
在Rt△ABN中，根据勾股定理，得AN2=(4a)2+(3a)2=25a2，
在Rt△ADM中，根据勾股定理，得AM2=(4a)2+(2a)2=20a2，
在Rt△NCM中，根据勾股定理，得MN2=(2a)2+a2=5a2，
∴AN2=AM2+MN2，
∴∠AMN=90°，
∴AM⊥MN．
【解析】本题主要考查了勾股定理、勾股逆定理，掌握勾股定理、勾股逆定理的综合应用，其中勾股逆定理的应用是解题关键．
设NC=a，根据正方形性质得出AD=AB=BC=DC=4a，再根据勾股定理表示AN、AM、MN，再根据勾股逆定理判断∠AMN=90°．
22.【答案】解：连接AC．
∵∠ABC=90°，AB=1，BC=2，
∴AC=AB2+BC2=12+22=5，
在△ACD中，AC2+CD2=5+4=9=AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S四边形ABCD=12AB⋅BC+12AC⋅CD，
=12×1×2+12×5×2，
=1+5．
故四边形ABCD的面积为1+5．
【解析】先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，再利用三角形的面积公式求解即可．
本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状是解答此题的关键．
23.【答案】解：连接AC
在△ADC中，∠D=90°，DC=AD=10m，
∴∠ACD=∠CAD=12(180°−∠D)=45°，
由勾股定理得AC=AD2+CD2=102+102=102，
∵∠BCD=135°，∴∠ACB=∠BCD−∠ACD=135°−45°=90°，
在Rt△ACB中，BC=40m，
由勾股定理得AB=AC2+BC2=(102)2+402=1800=302m，
答：A，B之间的距离为302m．
【解析】连接AC，构造直角三角形，利用勾股定理求得答案即可．<
考查了勾股定理的应用，解题的关键是了解如何构造直角三角形，难度不大．
24.【答案】解：如图所示：
由题意可得：OA=30海里，OB=16海里，AB=34海里，
∵302+162=342，
∴AO2+BO2=AB2，
∴△AOB是直角三角形，
∵A舰队以15海里/小时的速度向北偏东40°方向行驶，
∴B舰队是往南偏东50度方向行驶；
或B舰队是往北偏西50度方向行驶．
【解析】直接利用勾股定理逆定理结合方向角分析得出答案．
此题主要考查了勾股定定理的应用以及方向角，正确分类讨论是解题关键．
25.【答案】解：(1)∵AC=300km，BC=400km，AB=500km，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°；
(2)海港C受台风影响，理由：过点C作CD⊥AB于D，
∵△ABC是直角三角形，
∴AC×BC=CD×AB，
∴300×400=500×CD，
∴CD=240(km)，
∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域，
∴海港C受台风影响；
(3)当EC=260km，FC=260km时，正好影响C港口，
∵ED=EC2−CD2=2602−2402=100(km)，
∴EF=2ED=200km，
∵台风的速度为28千米/小时，
∴200÷28=257(小时)．
答：台风影响该海港持续的时间为257小时．
【解析】(1)利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而得出∠ACB的度数；
(2)利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；
(3)利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
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