初中数学苏科版八年级上册3.1 勾股定理精品巩固练习

专题3.1�勾股定理�重难点题型

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

1．如图，分别以直角△ABC的三边AB、BC、CA为直径向外作半圆，图中阴影部分面积分别为S1，S2，S3，S1=13平方厘米，S2=10平方厘米，则S3的值为（  ）

A．6 B．5 C．4 D．3

2．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a＋b）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（   ）

A．3 B．4 C．5 D．6

3．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“勾股方圆图”（又称赵爽弦图），它是由四个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积为11，小正方形的面积为3，则的值为（    ）

A．68 B．89 C．119 D．130

4．如图，在甲、乙两个大小不同的6×6的正方形网格中，正方形ABCD，EFGH分别在两个网格上，且各顶点均在网格线的交点上．若正方形ABCD，EFGH的面积相等，甲、乙两个正方形网格的面积分别记为，，有如下三个结论：

①正方形ABCD的面积等于的一半；

②正方形EFGH的面积等于的一半；

③．

上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）

A．①② B．②③ C．③ D．①②③

5．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，于点D，则AD的长为（    ）

A．1 B．2 C． D．

6．学习了勾股定理之后，老师给大家留了一个作业题，小明看了之后，发现三角形各边都不知道，无从下手，心中着急．请你帮助一下小明．如图，的顶点，，在边长为1的正方形网格的格点上，于点，则的长为（　　）

A． B． C． D．

7．如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按照此规律继续下去，则的值为           ．

8．如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，正方形A，B，C的面积分别是，，，则正方形的面积是      ．

9．如图，铁路MN和公路PQ在O点处交汇，公路PQ上A处点距离O点240米，距离MN 120米，如果火车行驶时，周围两百米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向，以144千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间是       s

10．如图，，，，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着方向匀速滚向点，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，则机器人行走的路程BC为          ．

11．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，点在小正方形的格点上，连接，则        ．

12．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2＋n2），其中m，n（m＞n）是互质的奇数，则a，b，c为勾股数．

我们令n＝1，得到下列顺序排列的等式：

①32＋42＝52，

②52＋122＝132，

③72＋242＝252，

④92＋402＝412，

…

根据规律写出第⑥个等式为               ．

13．如图，一架25米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，梯子底端离墙有7米．

（1）求梯子靠墙的顶端距地面有多少米？

（2）小燕说“如果梯子的顶端沿墙下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向就滑动了4米．”她的说法正确吗？若不正确，请说明理由．

14．一梯子长2.5m，如图那样斜靠在一面墙上，梯子底端离墙0.7m．

(1)这架梯子的顶端离地面有多高？

(2)设梯子顶端到水平地面的距离为，底端到垂直墙面的距离为，若，根据经验可知：当时，梯子最稳定，使用时最安全．若梯子的顶端下滑了，请问这时使用是否安全．

15．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”(注：1步＝5尺)

译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，问绳索有多长．”

16．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A、B的距离分别为300km和400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．

(1)海港C会受台风影响吗？为什么？

(2)若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？

17．我国在防控新冠疫情上取得重大成绩，但新冠疫情在国外开始蔓延，为了防止境外输入病例的增加，我国暂时停止了一切国际航班、水运．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我国海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，乙巡航艇的航向为北偏西．

（1）求甲巡逻艇的航行方向（用含n的式子表示）

（2）成功拦截后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，3分钟后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？

18．如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，于A，于B，已知，现在要在铁路上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？

19．如图所示，MN以左为我国领海，以右为公海，上午9时50分我国缉私艇A发现在其正东方向有一走私艇C并以每小时13海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知距其5海里，并在MN线上巡逻的缉私艇B密切注意，并告知A和C两艇的距离是13海里，缉私艇B测得C与其距离为12海里，若走私艇C的速度不变，最早在什么时间进入我国海域？

20．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A的正前方50米处的C点，过了6秒后，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为130米．

（1）求BC间的距离；

（2）这辆小汽车超速了吗？请说明理由．

21．某城市规定小汽车在街道上的行驶速度不得超过70千米/时，一辆小汽车在一条城市街道上直行，某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪A”正前方30米C处，过了2秒后，测得小汽车位置B与“车速检测仪A”之间的距离为50米，这辆小汽车超速了吗？请说明理由．

22．某路段限速标志规定：小汽车在此路段上的行驶速度不得超过70 km/h，如图，一辆小汽车在该笔直路段l上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面的车速检测仪A的正前方30 m的点C处，2s后小汽车行驶到点B处，测得此时小汽车与车速检测仪A间的距离为 50m．

(1)求BC的长．

(2)这辆小汽车超速了吗？并说明理由．

23．如图，在中，，，，的垂直平分线分别交、于点，．

（1）求的长度；

（2）求的长．

24．如图，在△ABC中．D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，交AC于点E，且AE2﹣CE2＝BC2，

（1）试说明：∠C＝90°；

（2）若DE＝6，BD＝8，求CE的长．

25．如图，在中，，是的平分线，于点E．

（1）求证：；

（2）若，求线段的长度．

26．如图，在中，，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．

（1）求的长．

（2）求的长．

参考答案：

1．D

【分析】根据勾股定理，圆的面积公式计算即可．

【详解】解：由勾股定理得：

∵S1=13平方厘米，S2=10平方厘米，

平方厘米，

故选：D．

【点睛】本题主要考查的是勾股定理，直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么

2．C

【分析】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积，利用已知 =21，大正方形的面积为13，可以得以直角三角形的面积，进而求出答案。

【详解】由于大正方形的边长为，又大正方形的面积为13，

即，而小正方形的面积表达式为，而小正方形的面积表达式为

故本题正确答案为C．

【点睛】本题主要考查直角三角形，用到勾股定理的证明，正确计算是解题的关键．

3．B

【分析】利用含a，b，c表示出大正方形和小正方形的面积，由两式相减可求得，再对利用完全平方公式进行变形即可求得答案．

【详解】解：大正方形的面积为：，

小正方形的面积为：，

由得，

，即，

，

故选B．

【点睛】本题考查了勾股定理的应用、已知等式的值求多项式的值的问题。正方形的面积公式，把多项式化为已知多项式形的形式是解题的关键．

4．B

【分析】设甲正方形网格中每一小格长度为a，乙正方形网格中每一小格长度为b，分别求出，，和，根据S正方形ABCD＝，S正方形EFGH＝即可判断①②，再由正方形ABCD，EFGH的面积相等得出，进而判断③．

【详解】解：设甲正方形网格中每一小格长度为a，乙正方形网格中每一小格长度为b，

则，，，，

∴S正方形ABCD＝，S正方形EFGH＝，

∴正方形ABCD的面积大于的一半；正方形EFGH的面积等于的一半；

∵S正方形ABCD＝S正方形EFGH，

∴，

∴，

∴，即，

∴正确结论的序号是②③，

故选：B．

【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，解题关键在于设出甲正方形网格中每一小格长度为a，乙正方形网格中每一小格长度为b．本题还可以根据正方形在正方形网格中占面积的比例进行求解．

5．B

【分析】根据勾股定理计算BC的长，再利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．

【详解】解：由勾股定理得：，

∵，

∴，

∴，

故选：B．

【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．

6．C

【分析】由勾股定理求出AC=5，再由等面积法求出BD即可．

【详解】解：由勾股定理得：，

∵BD⊥AC，

∴△ABC的面积=，

∴BD=，

故选：C．

【点睛】本题考查了勾股定理以及三角形面积的计算，熟练掌握勾股定理及等面积法的应用是解题的关键．

7．

【分析】根据勾股定理可得，从而得到，依次类推，即可得到，找出规律，进而得到S2022的值．

【详解】解：如图所示，△CDE为等腰直角三角形，

则CE=DE，，

∴，

即，

同理可得：，，

∴．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用，解题的关键是根据勾股定理与正方形面积的关键找出规律．

8．17

【分析】根据勾股定理有，，，等量代换即可求正方形D的面积．

【详解】如图，

根据勾股定理可知，

∵，，，

∴，

∴正方形D的面积=49-8-10-14=17（cm2）；

故答案为：17．

【点睛】此题主要考查了勾股定理，注意根据正方形的面积公式以及勾股定理得到图中正方形的面积之间的关系：以直角三角形的两条直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的面积．

9．8

【分析】过点A作AC⊥ON，根据题意可知AC的长与200米相比较，发现受到影响，然后过点A作AD=AB=200米，求出BD的长即可得出居民楼受噪音影响的时间．

【详解】解：如图：过点A作AC⊥ON，AB=AD=200米，

∵公路PQ上A处点距离O点240米，距离MN 120米，

∴AC=120米，

当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200米，

∵AB=200米，AC=120米，

∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米，

∵144千米/小时=40米/秒，

∴影响时间应是：320÷40=8秒．

故答案为：8．

【点睛】本题考查勾股定理的应用．根据题意构建直角三角形是解题关键．

10．5m

【分析】由题意根据小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，得到BC=AC，设BC=AC=xm，根据勾股定理求出x的值即可．

【详解】解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，

∴BC=AC，

设BC=AC=xm，

则OC=（9-x）m，

在Rt△BOC中，

∵OB2+OC2=BC2，

∴32+（9-x）2=x2，

解得x=5．

故答案为：5m．

【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟知在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．

11．45

【分析】连接利用勾股定理求解 证明为等腰直角三角形，从而可得答案．

【详解】解：如图，连接

由勾股定理得：

为等腰直角三角形，

故答案为：

【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，勾股定理的逆定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．

12．132＋842＝852

【分析】通过观察可知，所列出的等式都符合勾股定理公式，在观察各底数的特点，找到规律即可得出第⑥个等式．

【详解】解：∵3＝2×1＋1，5＝2×2＋1，7＝2×3＋1，9＝2×4＋1，

∴第一个数的底数是2n＋1，指数是2，

∵4＝2×12＋2×1，12＝2×22＋2×2，24＝2×32＋2×3，40＝2×42＋2×4，

∴第二个数的底数是2n2＋2n，指数是2，

∵第三个数的底数比第二个数的底数大1，指数是2，

∴第n个等式为（2n＋1）2＋（2n2＋2n）2＝（2n2＋2n＋1）2，

∴第⑥个等式为132＋842＝852，

故答案为：132＋842＝852.

【点睛】本题主要考查了整式的数字规律，解题的关键在于能够根据题意得到每一组数据的规律.

13．（1）24米；（2）不正确，理由见解析．

【分析】（1）利用勾股定理，即可求出答案；

（2）由题意，先求出，，，然后利用勾股定理求出，即可得到答案．

【详解】解：（1）如图，

由题意得，，

∴

∴

即顶端距地面有24米

（2）她的说法不正确；

由题意得，，，

∴，

∴，

∴，

∴梯子水平滑动了8米，

∴她的说法不正确．

【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合思想的应用．

14．(1)这架梯子的顶端离地面2.4m；

(2)此时使用不安全

【分析】（1）利用勾股定理求解；

（2）由勾股定理求出，利用公式求出a进行判断即可．

【详解】（1）解：由题意可知

在中，，，，

∴由勾股定理可得，，

即，

∴，即这架梯子的顶端离地面2.4m；

（2）解：如图所示，，则在中，，，

∴由勾股定理可得，，

∴可得，

∴此时使用不安全．

．

【点睛】此题考查了勾股定理的实际应用，正确掌握勾股定理的计算公式及正确理解题意是解题的关键．

15．尺

【分析】设秋千的绳索长为x尺，根据题意可得AB=（x-4）尺，利用勾股定理可得x2=102+（x-4）2，解之即可．

【详解】解：设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为：

x2=102+（x-4）2，

解得：x=，

∴秋千的绳索长为尺．

【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出AB、AC的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．

16．(1)会，理由见解析

(2)7h

【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，从而判断出海港C是否受台风影响；

（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．

【详解】（1）解：如图所示，过点C作CD⊥AB于D点，

∵AC=300km，BC=400km，AB=500km，

∴，

∴△ABC为直角三角形，

∴，

∴，

∴，

∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，

∴海港C会受到台风影响；

（2）由（1）得CD=240km，

如图所示，当EC=FC=250km时，即台风经过EF段时，正好影响到海港C，

此时△ECF为等腰三角形，

∵，

∴EF=140km，

∵台风的速度为20km/h，

∴140÷20=7h，

∴台风影响该海港持续的时间有7h．

【点睛】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．

17．（1）；（2）海里

【分析】（1）先用路程等于速度乘以时间计算出，的长，利用勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形，再利用在直角三角形中两锐角互余求解；

（2）分别求得甲、乙航行3分钟的路程，然后由勾股定理来求甲乙的距离．

【详解】解：（1）（海里），

（海里），

又AB=13海里

所以，

所以是直角三角形，

所以

由已知得，所以，

所以甲的航向为北偏东，

（2）甲巡逻船航行3分钟的路程为（海里）

乙甲巡逻船航行3分钟的路程为（海里）

所以3分钟后甲、乙两艘巡逻船相距为：（海里）．

【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定、勾股定理及方向角的理解及运用，难度适中．利用勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形是解题的关键．

18．E点应建在距A站10千米处．

【分析】根据产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，在和中，设出的长，可将和的长表示出来，列出等式进行求解即可．

【详解】解：设，

∵C、D两村到E站的距离相等，

∴，即，

由勾股定理，得,

∴，

解得．

∴E点应建在距A站10千米处．

【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，两边相等求解即可．

19．走私艇最早在10时41分进入我国领海．

【分析】先判断出△ABC是直角三角形，再用面积相等计算出BD，在Rt△BCD中，由勾股定理计算出CD，算出走私艇行驶的时间，即可求出进入我国领海的时刻．

【详解】∵  ，

∴  △ABC为直角三角形．

∴  ∠ABC＝90°．

又BD⊥AC，

∴,

∴,

在Rt△BCD中，由勾股定理得：．

∴≈0.85(h)＝51(分)．

所以走私艇最早在10时41分进入我国领海．

【点睛】本题是与航海有关的实际应用题，考查了勾股定理及其逆定理的应用，用面积相等计算直角三角形斜边上的高是常用的方法．

20．（1）120米；（2）超速，理由见解析

【分析】（1）根据勾股定理求出BC的长；

（2）直接求出小汽车的时速，进而比较得出答案．

【详解】解：（1）在Rt△ABC中，

∵AC=50m，AB=130m，且AB为斜边，

根据勾股定理得：BC=120（m）；

（2）这辆小汽车超速了．

理由：∵120÷6=20（m/s），平均速度为：20m/s，

20m/s=72km/h，

72＞70，

∴这辆小汽车超速了．

【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出BC的长是解题关键．

21．该小汽车超速了，平均速度大于70千米/时．

【分析】直接利用勾股定理得出BC的长，进而得出汽车的速度，即可比较得出答案．

【详解】解：由题意知，AB＝50米，AC＝30米，且在Rt△ABC中，AB是斜边，

根据勾股定理，可以求得BC＝40米＝0.04千米，

且2秒时，所以速度为千米/时，

∵72>70，∴该小汽车超速了．

【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意得出汽车的速度是解题关键．

22．(1)40

(2)超速

【分析】（1）首先结合题目中所给的数据，，，根据勾股定理求出BC的长；

（2）求出小汽车的时速与限定时速比较即可得出答案．

【详解】（1）解：则根据题意可以得到，

根据勾股定理可得：

，

∴BC的长为40m.

（2）解：∵该小汽车的速度为：，

，

这辆小汽车超速了．

【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据已知得出BC的长是解题关键．

23．（1）15；（2）

【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论；

（2）设，则AE=12-x，根据勾股定理列方程，即可得到结论．

【详解】解：（1）在中，

∵，，，

∴．

（2）∵垂直平分，

∴，

设，则，

在中，

∵，

∴，解得．

∴．

【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．

24．（1）见解析；（2）2.8．

【分析】（1）连接BE，依据DE垂直平分AB，即可得到AE＝BE，再根据AE2﹣CE2＝BC2，可得BE2﹣CE2＝BC2，进而得到△BCE是直角三角形；

（2）依据勾股定理可得BE的长为10，再根据勾股定理即可得到方程，解方程即可得出CE的长．

【详解】解：（1）如图所示，连接BE，

∵D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，

∴DE垂直平分AB，

∴AE＝BE，

又∵AE2﹣CE2＝BC2，

∴BE2﹣CE2＝BC2，

∴△BCE是直角三角形，且∠C＝90°；

（2）Rt△BDE中，

∴AE＝10，

设CE＝x，则AC＝10+x，而AB＝2BD＝16，

Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝

Rt△BCE中，BC2＝EB2﹣EC2＝

∴

解得x＝2.8，

∴CE＝2.8．

【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

25．（1）见解析；（2）3

【分析】（1）已知∠DAC=∠DAE，即可证明△ACD≌△AED，即可解题；

（2）由（1）结论可得∠AED=∠ACD，AE=AC，即可求得BE的长，进而利用勾股定理解答即可．

【详解】解：证明：（1）∵DE⊥AB，

∴∠AED=90°，

∵AD平分∠CAB，

∴∠DAC=∠DAE，

在△ACD和△AED中，

，

∴△ACD≌△AED（AAS）；

（2）∵Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∠C=90°，

∴AB2=AC2+BC2=100，

∴AB=10，

∵△ACD≌△AED，

∴∠AED=∠ACD=90°，AE=AC=6，

∴BE=AB-AE=4，

∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，

∴CD=DE，

设DE=CD=x，DB=8-x，

在Rt△DEB中，DB2=DE2+BE2，

即（8-x）2=x2+42，

解得：x=3，

∴DE=3．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ACD≌△AED是解题的关键．

26．（1）5；（2）

【分析】（1）根据勾股定理求出AB，根据线段垂直平分线的定义求出AD；

（2）连接BE，用未知数表示出EC，BE的长，再利用勾股定理得出EC的长，进而得出答案．

【详解】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8．

根据勾股定理得：AB=＝10，

∵DE是AB的垂直平分线，

∴AD＝AB＝5；

（2）连接BE，

∵DE垂直平分AB，

∴BE＝AE，

设EC＝x，则AE＝BE＝8−x，

∴在Rt中， 62＋x2＝（8−x）2，

解得：x＝，

∴AE＝8−＝，

在Rt中，DE＝．

【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质、勾股定理，添加辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理列出方程，是解题的关键．