苏科版八年级上册数学专题6.2一次函数与几何图形综合问题六大题型专项讲练含解析答案

这是一份苏科版八年级上册数学专题6.2一次函数与几何图形综合问题六大题型专项讲练含解析答案，共85页。

专题6.2�一次函数与几何图形综合问题六大题型�专项讲练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

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一、单选题
1．如图，点是直线上的动点，过点作轴于点，点是轴上的动点，，且为等腰三角形时点的长为（　　）

A．或 B． C．或 D．
2．如图，在平面直角坐标系中，点…都在x轴上，点⋯都在直线上，⋯都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是（　　　）

A． B． C． D．

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二、解答题
3．如图，直线与x轴、y轴分别交于点，点P在x轴上运动，连接，将沿直线折叠，点O的对应点记为．

(1)求k、b的值；
(2)若点恰好落在直线上，求的面积；
(3)将线段绕点P顺时针旋转45°得到线段，直线与直线的交点为Q，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，直线：与x轴，y轴分别交于A，B两点，点为直线上一点，另一直线：过点P，与x轴交于点C．

(1)求点P的坐标和的表达式；
(2)若动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动．设点Q的运动时间为t秒．
①当点Q在运动过程中，请直接写出的面积S与t的函数关系式；
②求出当t为多少时，的面积等于3；
③在动点Q运动过程中，是否存在点Q使为等腰三角形？若存在，请直接写出此时Q的坐标．
5．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点、点，且a、b满足
．

(1)a＝ ；b＝ ．
(2)点P在直线的右侧，且；
①若点P在x轴上，则点P的坐标为 ；
②若为直角三角形，求点P的坐标．
6．（1）阅读理解：我们知道：平面内两条直线的位置关系是平行和相交，其中垂直是相交的特殊情况．在坐标平面内有两条直线：；，有下列结论：当时，直线直线；当时，直线直线．
（2）实践应用：
①直线与直线垂直，则 ．
②直线m与直线平行，且经过点，则直线m的解析式为 ．
③直线向右平移 个单位，其图像经过点．
（3）深入探索：如图，直线与x轴交于点B，且经过点A，已知A的横坐标为2，点P是x轴上的一动点，当为直角三角形时，求的面积．

7．在平面直角坐标系中，已知点，点，函数的图象与直线交于点M，与y轴交于点C．

(1)求直线的函数解析式；
(2)当点M在线段上时，求m的取值范围；
(3)当为直角三角形时，求m的值．
8．【模型建立】
（1）如图1，等腰RtABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：BEC≌CDA．
【模型应用】
（2）如图2，已知直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕点A逆时针旋转45°至直线l1则直线l2的函数表达式为 ．
（3）如图3，将图1四边形放到平面直角坐标系中，点E与O重合，边ED放到x轴上，若OB＝2，OC＝1，在x轴上存在点M使的以O、A、B、M为顶点的四边形面积为4，请直接写出点M的坐标 ．
（4）如图4，平面直角坐标系内有一点B(3，﹣4)，过点B作BA⊥x轴于点A，BC⊥y轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y＝﹣2x+1上的动点且在第四象限内．若CPD是等腰直角三角形．请直接写出点D的坐标．

9．如图，直线交轴于A点，交x轴于C点，以A，O，C为顶点作矩形AOCB，将矩形AOCB绕O点逆时针旋转，得到矩形DOFE，直线AC交直线DF于G点．

(1)求直线DF的解析式；
(2)求证：OG平分；
(3)在第一象限内，是否存在点H，使以G，O，H为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在请求出点H的坐标；若不存在，请什么理由．
10．如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B．

(1)求点A、B的坐标（用含b的代数式表示）；
(2)若点P是直线上的任意一点，且点P与点O距离的最小值为4，求该直线的表达式；
(3)在（2）的基础上，若点C在第一象限，且为等腰直角三角形，求点C的坐标．
11．如图①，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C，以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC．

(1)求点A、C的坐标；
(2)将△ABC对折，使得点A与点C重合，折痕交AB于点D，求直线CD的解析式（图②）；
(3)在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得△APC与△ABC全等，若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．
12．如图，已知直线AB过点A（5，0）、B（0，﹣5），交直线OC于点C，且直线OC的解析式为y．

（1）求直线AB的解析式；
（2）求△AOC的面积；
（3）若点P在直线OC上，且△BCP的面积是△AOC面积的2倍，求点P的坐标．
13．如图1，在平面直角坐标中，直线：与抽交于点，直线：与轴交于点，与相交于点．

（1）请直接写出点，点，点的坐标：_________，________，_______．
（2）如图2，动直线分别与直线、交于、两点．
①若，求的值；
②若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点和点，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，与直线CD相交于点E，且．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求四边形OBEC的面积四边形OBEC；
（3）在坐标轴上是否存在点P，使得？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

15．模型建立：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作于D，过B作于E．

(1)求证：；
(2)模型应用：
①已知直线：y＝﹣x﹣4与y轴交于A点，将直线绕着A点逆时针旋转45°至，如图2，求的函数解析式；
②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，﹣6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，设PC＝m，已知点D在第四象限，且是直线y＝上的一点，若△APD是不以点A为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．
16．如图，在平面直角坐标系中，点为原点，直线分别交轴，轴于点，，点在轴的负半轴上，且，作直线．

(1)求直线的解析式；
(2)点在线段上，过点作轴交于点，设点的横坐标为，线段的长为，求与之间的函数关系式不要求写出自变量的取值范围；
(3)在（2）的条件下，在直线的右侧以线段为斜边作等腰直角，连接，，点在线段上，且点在直线的右侧，若，且，求点的坐标．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D（0，﹣6）在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处，直线CD交AB于点E．

(1)求点A、B、C的坐标；
(2)求△ADE的面积；
(3)y轴上是否存在一点P，使得＝，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
18．如图1，在平面直角坐标系中，已知四边形的顶点，分别在轴和轴上．直线经过点，与轴交于点已知，，平分，交于点，动点从点出发沿着线段向终点运动，动点从点出发沿着线段向终点运动，，两动点同时出发，且速度相同，当点到达终点时点也停止运动，设．

(1)求和的长；
(2)如图，连接，，求证：四边形为平行四边形；
(3)如图，连接，，当为直角三角形时，求所有满足条件的值．
19．如图，在平面直角坐标系中，两个全等的直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，点在第二象限内，点、点在轴的负半轴上，，．

(1)求点的坐标；
(2)如图，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，其中交直线于点，分别交直线、于点、，则除外，还有哪几对全等的三角形，请直接写出答案；（不再另外添加辅助线）
(3)在（2）的基础上，将绕点按顺时针方向继续旋转，当的面积为时，求直线的函数表达式．
20．如图，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，把射线AB绕点A顺时针旋转90°得射线AC，点P是射线AC上一个动点，点Q是x轴上一个动点．若与全等，试确定点Q的横坐标．

21．【探索发现】
如图1，在等腰直角三角形中，，若点在直线上，且，，则．我们称这种全等模型为“型全等”．
   
【迁移应用】
设直线与轴，轴分别交于，两点．
(1)若，且是以为直角顶点的等腰直角三角形，点在第一象限，如图2．
①直接填写：______，______；
②求点的坐标．
(2)如图3，若，过点在轴左侧作，且，连接．当变化时，的面积是否为定值？请说明理由．
【拓展应用】
(3)如图4，若，点的坐标为．设点，分别是直线和直线上的动点，当是以为斜边的等腰直角三角形时，求点的坐标．
22．如图， 已知直线与轴、 轴分别交于点， 以 为边在第一象限内作长方形 ．

(1)求点的坐标；
(2)将对折， 使得点的与点重合，折痕B'D'交AC于点B'，交AB于点D，求直线的解析式 （图②）；
(3)在坐标平面内， 是否存在点 （除点外）， 使得与全等， 若存在， 请求出 所有符合条件的点的坐标， 若不存在， 请说明理由．
23．如图1，已知长方形OABC的顶点O在坐标原点，A、C分别在x、y轴的正半轴上，顶点B（8，6），直线y＝﹣x+b经过点A交BC于D、交y轴于点M，点P是AD的中点，直线OP交AB于点E．

(1)求点D的坐标及直线OP的解析式；
(2)点N是直线AD上的一动点（不与A重合），设点N的横坐标为a，请写出△AEN的面积S和a之间的函数关系式，并请求出a为何值时S＝12；
(3)在x轴上有一点T（t，0）（5＜t＜8），过点T作x轴的垂线，分别交直线OE、AD于点F、G，在线段AE上是否存在一点Q，使得△FGQ为等腰直角三角形，若存在，请写出点Q的坐标及相应的t的值；若不存在，请说明理由．

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三、填空题
24．如图，正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B与原点重合，点D坐标为，当三角板直角顶点P坐标为时，设一直角边与x轴交于点E，另一直角边与y轴交于点F．在三角板绕点P旋转的过程中，使得成为等腰三角形．请写出所有满足条件的点F的坐标 ．

25．如图，在中，，点A为、点B为，坐标系内有一动点P，使得以P、A、C为顶点的三角形和全等，则P点坐标为 ．

26．在直角坐标系中，已知，在的边上取两点(点是不同于点的点)，若以为顶点的三角形与全等，则符合条件的点的坐标为 ．

27．如图，过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作 轴的垂线，交直线于点按此规律作下去， 则点的坐标为 ；点的坐标为 ．

28．如图，在平面直角坐标系，直线与轴交于点，以为一边在上方作等边，过点作平行于轴，交直线于点，以为一边在上方作等边，过点作平行于轴，交直线于点，以为一边在上方作等边，……，则的横坐标为 ．

29．在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝2x﹣2与x轴交于点A1，如图所示，依次作正方形A1B1C1O，正方形A2B2C2C1，…，正方形AnBn∁nCn﹣1，使得点A1，A2，A3，…An在直线l上，点C1，C2，C3，…∁n在y轴正半轴上，则正方形AnBn∁nCn﹣1的面积是 ．

30．如图，一次函数的图象过点，且与x轴相交于点B．若点P是x轴上的一点，且满足△APB是等腰三角形，则点P的坐标可以是 ．

31．如图，已知直线l：y＝x，过点A(1，0)作x轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交x轴于点；过点作x轴的垂线交直线l于点，过点作直线l的垂线交x轴于点；…；按此作法继续下去，则点的坐标为 ．

32．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（0，），点B为x轴的正半轴上一动点，作直线AB，△ABO与△ABC关于直线AB对称，点D，E分别为AO，AB的中点，连接DE并延长交BC所在直线于点F，连接CE，当∠CEF为直角时，则直线AB的函数表达式为 ．

33．如图，直线y=−x+与坐标轴分别交于A，B两点，在平面直角坐标系内有一点C，使△ABC与△ABO全等，则点C的坐标为 ．

34．如图，直线与轴交于，与轴交于，点在经过点的直线上，当是等腰直角三角形时，点的坐标是 ．


参考答案：
1．D
【分析】先根据，且为等腰三角形，可知为等腰直角三角形，得，易得是等腰直角三角形，设，表示出点坐标，代入直线解析式，求出的值，即可求出的长．
【详解】解：如图所示：

，且为等腰三角形，
为等腰直角三角形，
，
轴，
，
为等腰直角三角形，
，
设，
根据勾股定理，得，，
①，代入直线，
得，
解得，
，
②，代入直线，
得，
此方程无解．
综上所述：．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与等腰直角三角形的综合，灵活运用等腰直角三角形的性质是解决本题的关键．
2．B
【分析】利用直线y＝x上点的坐标特点及等腰直角三角形的性质，可分别求得B1、B2、B3的坐标，由此归纳总结即可求得B2022的坐标．
【详解】解：∵是等腰直角三角形，，
∴A1B1＝OA1＝1，
∴点B1的坐标为（1，1），
∵是等腰直角三角形，
∴A1A2＝A1B1＝1，
又∵是等腰直角三角形，
∴是等腰直角三角形，
∴A2B2＝OA2＝OA1＋A1A2＝2，
∴点B2的坐标为（2，2），
同理可得：点B3的坐标为（22，22），点B4的坐标为（23，23），点B5的坐标为（24，24），
……
∴B2022的坐标为（22021，22021），
故选：B．
【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的坐标，利用等腰直角三角形的性质求得B1、B2、B3的坐标是解题的关键．
3．(1)
(2)或
(3)存在，点P的坐标是或或或

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①当P在的右侧，求，根据三角形面积公式可得结论；②当P在的左侧，同理可得结论；
（3）分4种情况：①当时，如图2，P与O重合，②当时，如图3，③当时，如图4，此时Q与C重合；④当时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于轴对称，根据图形和等腰三角形的性质可计算的长．
【详解】（1）解：∵点在直线上，
∴，
解得：；
（2）解：①如图所示，当P在x轴的正半轴上时，点恰好落在直线上，则，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
由折叠得： ，
∴，
在中， ，
∴；

②如图所示：当P在x轴的负半轴时，

由折叠得：，
∵，
∴，
∴；
综上所述，的面积为或；
（3）解：当时，如图2，P与O重合，此时点P的坐标为；

②当时，如图3，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；

③当时，如图4，此时Q与C重合，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；

④当 时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于y轴对称，
∴此时；

综上，点P的坐标是或或或．
【点睛】本题考查了旋转的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，求一次函数解析式，坐标与图形等等，作出图形分类讨论是解题的关键．
4．(1)，
(2)①当Q在A、C之间时，；当Q在A的右边时，；②7秒或11秒；③存在，点Q坐标为或或或

【分析】（1）将点纵坐标代入可求出横坐标，然后将点坐标代入即可确定的值；
（2）①计算面积，以为底，点纵坐标为高，分点在点左右两侧两种情况考虑，分别用关于的代数式表示出面积即可；②令分别代入①中两种情况下的解析式，然后解方程即可；③设，用关于的代数式分别表示出、、，然后分、和三种情况列方程，解方程即可．
【详解】（1）解：∵点为直线上一点，
∴，
解得，
∴点P的坐标为，
把点P的坐标代入得，
，解得，
∴的表达式为；
（2）解：①由题意可知，P到x轴的距离为3，
令可得，解得，
∴点C坐标为，
在中，令可得，解得，
∴A点坐标为；
∴，
当Q在A、C之间时，则，
∴；
当Q在A的右边时，则，
∴；
②令可得
或，
解得或，
即当t的值为7秒或11秒时的面积等于3；
③设，
∵，，
∴，
，
，
∵为等腰三角形，
∴有、和三种情况，
当时，则，
即，解得，
则Q点坐标为；
当时，则，
即，解得或，
则Q点坐标为或（与A点重合，舍去）；
当时，则，即，
解得，则Q点坐标为或，
综上所述：点Q坐标为或或或．
【点睛】本题考查了一次函数图像与解析式、一元二次方程、勾股定理，采用分情况讨论是解题关键．
5．(1)
(2)①；②或．

【分析】（1）根据，即可求解；
（2）①点P在x轴上，则即可求解；
②由（1）知 ，则，而是直角三角形，且，故只有 或，然后分类求解即可．
【详解】（1）解：，
即：，
故答案为：；
（2）解：①由（1）知，


∵点P在直线的右侧，P在x轴上，

，
故答案为：；
②由（1）知 ，
，
，
当时，过点P作轴于H，


，
又

，
，
故点P的坐标为；
当时，
同理可得：点P的坐标为，
故点P的坐标为或．
【点睛】本题为一次函数综合题，主要考查了非负数的性质，全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，其中（2）②要 注意分类讨论求解．
6．（2）①；②；③；（3）9或
【分析】（2）①根据“当时，直线直线”列式即可求得m；②设直线m的函数解析式为，将代入求得b的值即可；③设直线平移后经过的函数解析式为，然后将代入可求得a的值，然后分别求出平移前后直线于x交点的横坐标，最后作差即可解答；
（3）先确定的坐标，然后分当轴和两种情况分别求出P的坐标，进而求得的面积即可．
【详解】解：（2）①∵直线与直线垂直，
∴，解得：，
故答案为：；
②∵直线m与直线平行，
∴设直线m的函数解析式为，将代入得，
∴直线m的解析式为：，
故答案为：；
③设直线平移后经过的函数解析式为，
∴，
∴，
∴，
∴与x轴交点为，与x轴交点为，
∴向右平移了个单位．
故答案为：．
（3）由题意知：，
当为直角三角形时，存在两种情形，
①当轴时，，
∴
②当时，设的解析式为，
将代入得，解得，
∴直线的解析式为，
∴点，
∴，
∴．
综上：的面积为9或．
【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了运用待定系数法求函数解析式、直角三角形的性质等知识点，读懂题意、运用材料结论解决问题是解题的关键．
7．(1)
(2)
(3)0或-1

【分析】（1）利用待定系数法直接求解即可；
（2）画出图形，即可知当直线在直线AD（包括直线AD）和直线BE（包括直线BE）之间时，点M在线段上．由A、B两点坐标分别求出m，即可得出其取值范围；
（3）分类讨论①当时和②当时，结合图象即可求解．
【详解】（1）设直线的函数解析式为，
则，解得：．
∴直线的函数解析式为；
（2）如图，当直线在直线AD（包括直线AD）和直线BE（包括直线BE）之间时，点M在线段上．

当经过点A时，即直线与直线AD重合，
∴；
当经过点B时，即直线与直线BE重合，
∴，
解得：．
∴当时，点M在线段上；
（3）∵点A在y轴上，
∴不可能为直角．
分类讨论：①当时，如图，此时C点与原点重合，
即直线经过原点，
∴，即；
②当时，如图点，
设
∴，，
∵，
又∵，
∴，
解得：，
∴
当直线y=2x+m经过（0，-1）时，即m=-1，符合题意.

综上可知当为直角三角形时，m的值为0或-1．
【点睛】本题考查利用待定系数法求一次函数解析式，一次函数与几何的综合．利用数形结合的思想是解题关键．
8．（1）见解析；（2）；（3）或；（4）或或
【分析】（1）根据同角的余角相等可证，从而利用可证；
（2）过点作，交于，过作轴于，则是等腰直角三角形，由（1）同理可得，则，利用待定系数法即可求得函数解析式；
（3）由（1）得，得，分两种情况，可求出的值，即可得出点的坐标；
（4）分点为直角顶点或点为直角顶点时或点为直角顶点三种情况，分别画出图形，利用（1）中型全等可得点的坐标，即可解决问题．
【详解】解：证明：（1），，
，
，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）过点作，交于，过作轴于，
则是等腰直角三角形，

由（1）同理可证，
，，
直线与轴交于点，与轴交于点，
，，
，，
，，
，
设的函数解析式为，
将点，的坐标代入得，，
直线的函数解析式为，
故答案为：；
（3）由（1）得，
，，
，

，
，
，
；
当M点在x轴的负半轴上时，如下图，

，
，
，
；
故答案为：或；
（4）①若点为直角顶点时，如图，

设点的坐标为，则的长为，
，，，
，
又，
，
在与中，
，
△，
，，
点的坐标为，
又点在直线上，
，
解得：，
即点的坐标为；
②若点为直角顶点时，如图，

设点的坐标为，则的长为，，
同理可证明，
，，
点的坐标为，
又点在直线上，
，
解得：，
点与点重合，点与点重合，
即点的坐标为；
③若点为直角顶点时，如图，

设点的坐标为，则的长为，，
同理可证明，
，，
，
又点在直线上，
，
解得：，
点与点重合，点与点重合，
即点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或或，
故答案为：或或．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，作辅助线构造模型，运用分类思想是解题的关键．
9．(1)
(2)见解析
(3)存在点H，使以G，O，H为顶点的三角形为等腰直角三角形，点H的坐标是（0.8，1.6）、（1.2，0.4）或（0.4，0.8）．

【分析】（1）首先根据直线交y轴于A点，交x轴于C点，可得A点的坐标是（0，1），C点的坐标是（2，0）；然后根据将矩形绕O点逆时针旋转，得到矩形，可得F点的坐标是（0，2），D点的坐标是（﹣1，0）；最后应用待定系数法，求出直线DF的解析式即可．
（2）首先作，交于点M，作，交于点N，再判断出；然后根据全等三角形判定的方法，判断出，即可判断出，所以平分，据此解答即可．
（3）存在点H，使以G，O，H为顶点的三角形为等腰直角三角形．根据题意，分三种情况：①当时；②当时；③当时；然后根据等腰直角三角形的性质，分类讨论，求出所有满足题意的点H的坐标是多少即可．
【详解】（1）∵直线交y轴于A点，交x轴于C点，
∴A点的坐标是，C点的坐标是，
∵将矩形绕O点逆时针旋转，得到矩形，
∴F点的坐标是，D点的坐标是，
设直线的解析式是，
，
解得，
∴直线DF的解析式是：．
（2）如图1，作OM⊥DF，交DF于点M，作ON⊥CG，交CG于点N，
，
在和中，
（HL）
，
又，
，
在和中，
（HL）
，
，
平分．
（3）存在点H，使以G，O，H为顶点的三角形为等腰直角三角形．
联立
解得
∴点G的坐标是，
∴，
∴OG所在的直线的斜率是：，
①如图2，
，
当时，
设点H的坐标是，
则
解得
∴点H的坐标是．
②如图3，
，
当时，
设点H的坐标是，
则
解得
∴点H的坐标是．
③如图4，
，
当时，
设点H的坐标是，
则
解得
∴点H的坐标是（0.4，0.8）．
综上可得，存在点H，使以G，O，H为顶点的三角形为等腰直角三角形，
点H的坐标是（0.8，1.6）、（1.2，0.4）或（0.4，0.8）．
【点睛】本题考查了一次函数综合题、等腰直角三角形的性质和应用、待定系数法求直线解析式以及全等三角形的判定和性质的应用，熟练掌握性质定理以及数形结合思想是解题的关键．
10．(1)；
(2)；
(3)或或．

【分析】（1）利用坐标轴上的点的特点即可得出结论；
（2）利用直角三角形的面积相等建立方程求出，即可得出结论；
（3）①当时，先判断出四边形是矩形，得出，再判断出，得出，进而得出，进而用建立方程求解即可得出答案；
②当时，构造全等三角形即可得出结论；
③时，同理构造全等三角形即可得出结论
【详解】（1）解：对于直线，
令，
，
令，
，
；
（2）解：由（1）知，，
∴，
∵点P与点O距离的最小值为4，
∴，
∴，
∴直线的解析式为；
（3）解：如图，由（1）知，，
∴，
过点C作轴于D，作轴于E，

∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
是等腰直角三角形，
①当时，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴设点C坐标为，
∴，
∴，
∴，

②当时，过点作轴于F，如图所示：

∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
③当时，同②的方法得，，
点C的坐标为或或．
【点睛】此题是一次函数的综合题，主要考查了坐标轴上的点的特点，直角三角形的面积公式，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，构造出全等三角形是解本题的关键．
11．(1)A（2，0），C（0，4）
(2)
(3)存在，（0，0），（），（－）

【分析】（1）已知直线y=−2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，即可求得A和C的坐标；
（2）根据题意可知△ACD是等腰三角形，由折叠的性质和勾股定理可求出AD长，即可求得D点坐标，最后即可求出CD的解析式；
（3）将点P在不同象限进行分类，根据全等三角形的判定方法找出所有全等三角形，找出符合题意的点P的坐标．
【详解】（1）解：当x=0时，y=4，
∴C（0，4）；
当y=0时，-2x+4=0，解得，
∴A（2，0）；
∴A（2，0）；C（0，4）．
（2）解：由折叠知：．设则，
根据题意得：解得：
此时，，D（2，）
设直线CD为，把代入得  解得：
∴设直线CD解析式为
（3）解：①当点P与点O重合时，，此时P（0，0）
②当点P在第一象限时，如图，

由得，
则点P在直线CD上．过P作于点Q，
在Rt△ADP中，

由得：   
∴
∴，把代入得
此时P（，）
③当点P在第二象限时，如图

由（2）同理可求得：
∴在Rt△PQC中，根据勾股定理

∴
此时
综合得，满足条件的点P有三个，分别为：（0，0）；（）；（－）
【点睛】本题主要考查对于一次函数图象的应用以及勾股定理的运用和全等三角形的判定．
12．（1）；（2）；（3）（8，－12）或（－4，6）
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先将直线AB与直线OC的函数解析式联立方程组求得点C的坐标，由此即可求得△AOC的面积；
（3）先根据△BCP的面积是△AOC面积的2倍求得△BCP的面积，再根据点P在直线AB的右下方或者点P在直线AB的左上方进行分类讨论，由此即可求得答案．
【详解】（1）解：设直线AB的解析式为，
将A（5，0）、B（0，﹣5）代入，得：
，
解得：，
∴直线AB的解析式为；
（2）将与y联立方程组，得：
，
解得：，
∴点C的坐标为（2，－3），
∴

；
（3）∵△BCP的面积是△AOC面积的2倍，，
∴，
如图，当点P在直线AB的右下方时，

∵，
∴，
∴，
解得：，
将代入，得：，
∴点P的坐标为（8，－12）；
如图，当点P在直线AB的左上方时，

∵，，
∴，
∴，
解得：，
又∵此时点P在y轴的左侧，
∴，
将代入，得：，
∴点P的坐标为（－4，6），
综上所述，若△BCP的面积是△AOC面积的2倍，则点P的坐标为（8，－12）或（－4，6）．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，两函数的交点问题以及三角形的面积，正确利用三角形面积公式列方程是关键．
13．（1）（-1，0）、（1，0）、（2，3）；（2）①t=1或3；②（0，-3）或（4，9）
【分析】（1）根据一次函数与x轴的交点纵坐标为0即可求出AB坐标，联立两个一次函数即可求出C点坐标；
（2）①设点P（t，t+1），同理点Q（t，3t-3），则PQ=|t+1-3t+3|=2，即可求解；
②在y轴负半轴取点M使NM=NK，过点M作直线m∥AC交l2于点Q，则点Q为所求点，进而求解；当点M在x轴上方时，同理可得点M（0，5），进而求解．
【详解】（1）对于直线l2：y=3x-3①，
令y=3x-3=0，解得x=1，故点B（1，0），
对于l1：y=x+1，同理可得：点A（-1，0），
则，解得，
故点C的坐标为（2，3），
故答案为：（-1，0）、（1，0）、（2，3）；
（2）①点P在直线l1上，则设点P（t，t+1），同理点Q（t，3t-3），
则PQ=|t+1-3t+3|=2，
解得t=1或3；
②当点Q在x轴下方时，如下图，


设直线l1交y轴于点K，过点B作直线n∥AC交y轴于点N，
在y轴负半轴取点M使NM=2NK，过点M作直线m∥AC交l2于点Q，则点Q为所求点，
理由：∵M、Q在直线m上，且m∥AC，
∴S△MAC=S△QAC，
同理S△NAC=S△BAC，
∵MN=2KN，则m、l1之间的距离等于2倍n、l1之间的距离，
∴S△AQC=2S△ABC，
由直线l1的表达式知点K（0，1），
设直线n的表达式为y=x+b，将点B的坐标代入上式并解得b=-1，
∴ N（0，-1），
∵NK=1-（-1）=2，
∴MN=NK=2，
∴M（0，-3），
在直线m的表达式为y=x-3②，
联立①②解得，
∴Q（0，-3）；
②当点M在x轴上方时，同理可得点M（0，5），
同理可得，过点M且平行于AC的直线表达式为y=x+5③，
联立①③解得，
∴ Q的坐标为（4，9）；
综上，点Q的坐标为（0，-3）或（4，9）．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行线的性质、绝对值的应用、面积的计算等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．
14．（1）；（2）4；（3）存在点P，其坐标为，，，
【分析】（1）根据经过点和点，待定系数法求解析式即可；
（2）根据题意求得，再联立即可求得点的坐标，进而根据四边形OBEC 即可求得；
（3）分两种情况讨论：①当点P在x轴上时，设点P的坐标为，②当点P在y轴上时，设点P的坐标为，根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：（1）因为经过点和点，
所以，解得，
一次函数的解析式为；
（2）因为，又，
所以，即，
所以，所以，
所以直线AB的解析式为，
因为直线交y轴于点B，所以点．
因为直线与直线相交于点E，
所以，
解得：，
即点，
所以四边形OBEC ；
（3）分两种情况讨论：
①当点P在x轴上时，设点P的坐标为，
由题意得：，
解得：或，
所以此时点P的坐标为，；
②当点P在y轴上时，设点P的坐标为，
由题意得：，
解得：或，
所以此时点P的坐标为，，
综上所述，在坐标轴上存在点P，使得，其坐标为，，，
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，利用二元一次方程组求两直线交点，分类讨论是解题的关键．
15．(1)见解析
(2)①y＝﹣x﹣4；②（4，﹣2）或（，﹣）或（，﹣）

【分析】（1）先根据△ABC为等腰直角三角形得出CB＝CA，再由AAS定理可知△ACD≌△CBE；
（2）①过点B作BC⊥AB于点B，交于点C，过C作CD⊥x轴于D，根据∠BAC＝45°可知△ABC为等腰直角三角形，由（1）可知△CBD≌△BAO，由全等三角形的性质得出C点坐标，利用待定系数法求出直线的函数解析式即可；②分三种情况考虑：如图3所示，当∠ADP＝90°时，AD＝PD，设D点坐标为（x，2x+6），利用三角形全等得到，得D点坐标；如图4所示，当∠APD＝90°时，AP＝PD，设点P的坐标为（8，m），表示出D点坐标为（14m，m8），列出关于m的方程，求出m的值，即可确定出D点坐标；如图5所示，当∠ADP＝90°时，AD＝PD时，同理求出D的坐标．
【详解】（1）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴CB＝CA，
又∵AD⊥CD，BE⊥EC，
∴∠D＝∠E＝90°，∠ACD+∠BCE＝180°﹣90°＝90°，
又∵∠EBC+∠BCE＝90°，
∴∠ACD＝∠EBC，
在△ACD与△CBE中，
，
∴△ACD≌△EBC（AAS）；
（2）解：①过点B作BC⊥AB于点B，交于点C，过C作CD⊥x轴于D，如图2，

∵∠BAC＝45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
由（1）可知：△CBD≌△BAO，
∴BD＝AO，CD＝OB，
∵直线：y＝x4，
∴A（0，4），B（3，0），
∴BD＝AO＝4．CD＝OB＝3，
∴OD＝4+3＝7，
∴C（7，3）
设的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∴
∴，
∴的解析式：；
②如图3，当∠ADP＝90°时，AD＝PD，
∵，
∴，
∴
∵点D在第四象限，且是直线y＝上的一点，
∴设D点坐标为（x，2x6），
∵B的坐标为（8，﹣6），
∴
∴，
即
解得，
∴D点坐标（4，2）；

如图4，当∠APD＝90°时，AP＝PD，同理可得，

过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交直线BC于F，
设点P的坐标为（8，m），
则D点坐标为（14m，m8），
由m8＝2（14m）+6，得m＝，
∴D点坐标（，）；
如图5，当∠ADP＝90°时，AD＝PD时，

同理可求得D点坐标（，），
综上可知满足条件的点D的坐标分别为（4，2）或（，）或（，），
【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了点的坐标、矩形的性质、待定系数法、等腰直角三角形的性质以及全等三角形等相关知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行计算，需要考虑的多种情况，解题时注意分类思想的运用．
16．(1)直线的解析式为
(2)与之间的函数关系式为
(3)

【分析】（1）先由直线的解析式求出A、两点的坐标，根据，求出点坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式；
（2）过点作轴于，过点作轴于，令与轴的交点为由点在直线：上，点的横坐标为，得出根据轴，在直线上，得到，进而得出线段的长与之间的函数关系式；
（3）过点作交延长线于，连接，过点作轴于，过点作交的延长线于，交轴于先根据SAS证明≌，得出，，再根据AAS证明≌，得出，那么然后在中，利用勾股定理得出，即，求出，得到设点的横坐标为根据AAS证明≌，得出，由四边形为矩形，求出根据，列出方程，求出，即可得到点坐标．
【详解】（1）解：，
当时，，
，
当时，，
解得，
，
，
．
设直线的解析式为，
则，
解得．
直线的解析式为．
（2）解：过点作轴于，过点作轴于，令与轴的交点为．

点在直线：上，点的横坐标为，
．
轴，
，
轴，
，
点的纵坐标为．
直线的解析式为，
当时，
，
解得，
．
，
四边形是矩形，
，
即与之间的函数关系式为．
（3）解：过点作交延长线于，连接，过点作轴于，过点作交的延长线于，交轴于．

，
，即．
，
，
，
又，
≌（SAS），
，，
又，
．
设，
，
，
又，
≌（AAS），
，，，

，
，．
在中，，
，
解得，舍去，

设点的横坐标为．
，
，，
，
又，
≌（AAS），
，．
四边形为矩形，
．
，
，
，

【点睛】本题是综合题，其中涉及利用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形、矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，综合性较强，有一定难度．准确作出辅助线构造三角形全等，利用数形结合与方程思想是解题的关键．
17．(1)点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4），点C的坐标为（8，0）
(2)9
(3)y轴上存在一点P（0，﹣3）或（0，﹣9），使得＝

【分析】(1) 直线y＝x+4中，分别令x=0、y=0，确定B、A坐标，运用勾股定理计算AB，根据折叠性质，AC=AB，确定OC的长即可确定点C的坐标．
（2）证明Rt△AOD≌Rt△AED，根据计算即可．
（3）设点P的坐标为（0，m），则DP＝|m+6|．根据，计算m的值即可．
【详解】（1）当x＝0时，y＝x+4＝4，
∴点B的坐标为（0，4）；
当y＝0时，x+4＝0，
解得：x＝3，
∴点A的坐标为（3，0）．
在Rt△AOB中，OA＝3，OB＝4，
∴AB＝＝5．
由折叠的性质，可知：∠BDA＝∠CDA，∠D＝∠C，AC＝AB＝5，
∴OC＝OA+AC＝8，
∴点C的坐标为（8，0）．

（2）∵∠B＝∠C，∠OAB＝∠EAC，∠B+∠AOB+∠OAB＝180°，∠C+∠AEC+∠EAC＝180°，
∴∠AEC＝∠AOB＝90°=∠AED＝∠AOD．
又∵∠BDA＝∠CDA，
在Rt△AOD和Rt△AED中，

∴Rt△AOD≌Rt△AED，
∴．
（3）存在点P，且坐标为（0，-3）或（0，-9），理由如下：
设点P的坐标为（0，m），则DP＝|m+6|．
∵＝，
∴，
∴|m+6|＝3，
解得：m＝﹣3或m＝﹣9，
∴y轴上存在点P（0，﹣3）或（0，﹣9），使得＝．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，解析式的确定，折叠的性质，一次函数与几何图形的综合，熟练掌握待定系数法，折叠性质，一次函数与几何图形的综合是解题的关键．
18．(1)16，20
(2)见解析
(3)或或或

【分析】（1）求得A，F两点坐标，进而求得AF长，取AF的中点M，连接OM，作CGAD交AF的延长线于G，作GH⊥OC于H，求得A，F坐标，从而求得AF，推出△AOQ是等边三角形，从而得出∠OAF=60°，从而得出∠CFG=30°，进而得出AGCE，进一步得出四边形AECG是平行四边形，从而CE=AG，进一步求得结果；
（2）在（1）的基础上，证明出结论；
（3）分为三种情形，当∠QFP=90°，解直角三角形CPQ求得CP，进而求得AQ；当∠PQF=90°时，在∠QFP=90°的图形上，根据P′P1=FQ′求得结果；当∠QPF=90°时，分别表示出PQ2和PF2，根据PQ2+PF2=FQ2列出方程，进而求得结果．
【详解】（1）如图，

取的中点，连接，作CGAD交的延长线于，作于，
当时，，
，
当时，
，
，
，
，
，
，是的中点，
，
，
，
，
在四边形中，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，AG//CE
，四边形是平行四边形，
，
设，则，
，
，舍去，
，
；
（2）证明：由（1）知：AF//CE，
，
四边形为平行四边形；
（3）解：如图，

当时，图中，
，
，
，
，
当时，图中，
由得，
，
，
，
如图，

当时，作于作于，
设，
，，，
在中，
，
在中，
，
由得，
，
，，
或，
综上所述：或或或．
【点睛】本题考查了直角三角形性质，平行四边形判定，直角三角形的分类等知识，解决问题的关键是正确分类，根据条件列出方程．
19．(1)
(2)或或
(3)或

【分析】（1）根据30°直角三角形的性质即可求得CO的长，从而得解；
（2）根据已知条件容易得到或或 ；
（3）过点E1作EM⊥OC于点M，利用S△COE1=求得，可以求出点E1的坐标，然后利用待定系数法确定直线CE的解析式．此题有两种情况，分别是E在第二或四象限里．
【详解】（1）解：在中，，，
所以，
则；
（2）解：或或
（3）解：如图1，过点作于点．
∵，
∴．
∵在Rt△AOC中，，IOC=2，∠ACO=90°，
∴，
∴点A(-2，)，
设直线OA的解析是为，则，
∴，
∴直线OA的解析式为，
令y=，则，解得x=，
∴点的坐标为．
设直线的函数表达式为， ，解得 ．
∴．
同理，如图2所示，点的坐标为．
设直线的函数表达式为，则
，解得 ．
∴．
综上所得或．


【点睛】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定，勾股定理，待定系数法求一次函数以及一次函数的图像及性质，熟练掌握一次函数的性质及分类讨论思想是解题的关键．
20．7或8
【分析】根据与全等分两种情况分类讨论即可解答．
【详解】解：在直线中，
当x=0时，y=0+4=4，即，
当y=0时，0=，
∴ ，即；
∵与全等，
∴分两种情况：
当时，，如图所示，
则，
∴点Q的横坐标为：，

当时，，如图所示，
则，
∵ ，
∴点Q的横坐标为：；
综上所述：点Q的横坐标为7或8．

【点睛】本题主要考查三角形全等的应用，一次函数的应用，勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
21．(1)①2，3；②
(2)是，理由见解析
(3)点的坐标为或

【分析】（1）①若k＝，则直线y＝x+3与x轴，y轴分别交于A（2，0），B（0，3）两点，即可求解；
②作ED⊥OB于D，则△BED≌△ABO．由全等三角形的性质得DE＝OB＝3，BD＝OA＝2，即可求解；
（2）过点N作NM⊥OB于M，则△BMN≌△AOB．由全等三角形的性质得MN＝OB＝3，根据三角形的面积公式即可求解；
（3）过点P作PS⊥x轴于S，过点Q作QT⊥PS于T，证明△PCS≌△QPT．分两种情况，由全等三角形的性质得QT＝PS，PT＝SC，可得点Q的坐标，将点Q的坐标代入y＝﹣2x+3求得n的值，即可求解．
【详解】（1）解：①若k＝，则直线y＝kx+3（k≠0）为直线y＝x+3，
当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x，2，
∴A（2，0），B（0，3），
∴OA＝2，OB＝3，
故答案为：2，3；
②作ED⊥OB于D，

∴∠BDE＝∠AOB＝90°，
∵∠ABO+∠EBD＝90°＝∠ABO+∠BAO，
∴∠BAO＝∠EBD，
又∵△ABE是以B为直角顶点的等腰直角三角形，
∴AB＝BE，
∴△BED≌△ABO（AAS），
∴DE＝OB＝3，BD＝OA＝2，
∴OD＝OB+BD＝5，
∴点E的坐标为（3，5）；
（2）解：当k变化时，△OBN的面积是定值，S△OBN＝，理由如下：
过点N作NM⊥OB于M，

∴△BMN≌△AOB（AAS）．
∴MN＝OB＝3，
∴S△OBN＝OB•MN＝×3×3＝，
∴k变化时，△OBN的面积是定值，S△OBN＝ ；
（3）解：n＜3时，过点P作PS⊥x轴于S，过点Q作QT⊥PS于T，

∴△PCS≌△QPT（AAS）．
∴QT＝PS＝2，PT＝SC＝3﹣n，
∴ST＝5﹣n，
∴点Q的坐标为（2+n，n﹣5），
∵k＝﹣2，
∴直线y＝﹣2x+3，
将点Q的坐标代入y＝﹣2x+3得，n﹣5＝﹣2（2+n）+3，
解得：n＝ ，
∴点Q的坐标为（ ，）；
n＞3时，过点P作PS⊥x轴于S，过点Q作QT⊥PS于T，

∴△PCS≌△QPT（AAS）．
∴QT＝PS＝2，PT＝SC＝n﹣3，
∴ST＝n﹣1，
∴点Q的坐标为（n﹣2，1﹣n），
∵k＝﹣2，
∴直线y＝﹣2x+3，
将点Q的坐标代入y＝﹣2x+3得，1﹣n＝﹣2（n﹣2）+3，
解得：n＝6，
∴点Q的坐标为（4，﹣5）．
综上，点Q的坐标为（ ，）或（4，﹣5）．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的图像及性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握一次函数的图像及性质，构造全等三角形解题是关键．
22．(1)
(2)
(3)存在，

【分析】（1）对于直线y=-2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，即可求得A和C的坐标；
（2）根据题意可知△ACD是等腰三角形，算出AD长即可求得D点坐标，最后根据待定系数法求出直线CD的解析式即可；；
（3）分三种情况，根据翻折的性质以及勾股定理、等面积法，即可求得符合题意的点P的坐标．
【详解】（1）对于直线y=-2x+4，当x=0时，y=4；当y=0时，x=2
∴A（2，0），C（0，4），
故答案是：（2，0），（0，4）；
（2）∵四边形是矩形，
∴AO//BC，且BC=AO=2；AB//OC，且AB=OC=4，
∵则B（2，4）．
由折叠知：CD=AD．设AD=x，则CD=x，BD=4-x，
根据题意得：（4-x）2+22=x2，
解得，
此时，AD=
∴D（2，）；
设直线CD为y=kx+b，
把D（2，），C（0，4）代入，得

解得，
∴直线CD解析式为
（3）情形1：如图①，

由△APC≌△CBA得∠ACP=∠CAB，AB=CP，AP=BC=2
则点P在直线CD上．过P作PQ⊥AD于点Q，
在Rt△ADP中，AD=，PD=BD=4-=，
由 得：PQ=3，
∴PQ=．
∴xP=2+=，
把x=代入y=-x+4，得y=．
此时P（，）．
情形2：∵四边形OABC是矩形，
∴OA=BC，AB=OC，
∴△AOC≌△CBA
当点P与点O重合时，△APC≌△CBA，
此时P（0，0）．
情形3：如图②，
由△APC≌△CBA得∠
过点P作于点G，AP与OC交于点H，

设则
在中，
∵
∴
在中，
∴
解得，
经检验，是原方程的解；
∴
∴
设则
在中，
在中，
∴
解得，，即
∴
∴
∴
综上，点P的坐标为
【点睛】本题是一次函数的综合题，主要考查了折叠的性质，一次函数图象及其性质，待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，分类讨论思想的运用是解题的关键．
23．(1)点D的坐标为（2，6），直线OP的解析式为y=x；
(2)S=；a=3或a=13；
(3)在线段AE上存在一点Q，使得△FGQ为等腰直角三角形，当t=时点Q的坐标为（8，）或（8，），当t=时点Q的坐标为（8，）．

【分析】（1）根据长方形的性质可得出点A的坐标，利用待定系数法可求出直线AD的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，再由点P是AD的中点可得出点P的坐标，进而可得出正比例函数OP的解析式；
（2）由直线OP的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点E的坐标，设点N的坐标为（a，-a+8），由△AEN的面积公式，可得出S和a之间的函数关系式，代入数值即可得出结论；
（3）由点T的坐标可得出点F，G的坐标，分∠FGQ=90°、∠GFQ=90°及∠FQG=90°三种情况考虑：①当∠FGQ=90°时，根据等腰直角三角形两直角边相等可得出关于t的一元一次方程，解之可得出t值，再利用等腰直角三角形的性质可得出点Q的坐标；②当∠GFQ=90°时，根据等腰直角三角形两直角边相等可得出关于t的一元一次方程，解之可得出t值，再利用等腰直角三角形的性质可得出点Q的坐标；③当∠FQG=90°时，过点Q作QS⊥FG于点S，根据等腰直角三角形斜边等于斜边上高的二倍可得出关于t的一元一次方程，解之可得出t值，再利用等腰直角三角形的性质可得出点Q的坐标．综上，此题得解．
【详解】（1）解：∵四边形OABC为长方形，点B的坐标为（8，6），
∴点A的坐标为（8，0），BCx轴．
∵直线y=-x+b经过点A，
∴0=-8+b，
∴b=8，
∴直线AD的解析式为y=-x+8．
当y=6时，有-x+8=6，
解得：x=2，
∴点D的坐标为（2，6）．
∵点P是AD的中点，
∴点P的坐标为（，），即（5，3），
设直线OP的解析式为y=kx，
∴3=5k，
解得k=，
∴直线OP的解析式为y=x；
（2）解：当x=8时，y=x=，
∴点E的坐标为（8，）．
设点N的坐标为（a，-a+8）．
∴S=××|8-a|=|8-a|，
当a<8时，S=|8-a|=；
当a>8时，S=|8-a|=；
∴S=；
当S=12时，|8-a|=12，
解得：a=3或a=13；
（3）解：∵点T的坐标为（t，0）（5＜t＜8），
∴点F的坐标为（t，t），点G的坐标为（t，-t+8）．
分三种情况考虑：
①当∠FGQ=90°时，如图1所示．

∵△FGQ为等腰直角三角形，
∴FG=GQ，即t-（-t+8）=8-t，
解得：t=，
此时点Q的坐标为（8，）；
②当∠GFQ=90°时，如图2所示．

∵△FGQ为等腰直角三角形，
∴FG=FQ，即t-（-t+8）=8-t，
解得：t=，
此时点Q的坐标为（8，）；
③当∠FQG=90°时，过点Q作QS⊥FG于点S，如图3所示．

∵△FGQ为等腰直角三角形，
∴FG=2QS，即t-（-t+8）=2（8-t），
解得：t=，
此时点F的坐标为（，4），点G的坐标为（，），
此时点Q的坐标为（8，），即（8，）．
综上所述：在线段AE上存在一点Q，使得△FGQ为等腰直角三角形，当t=时点Q的坐标为（8，）或（8，），当t=时点Q的坐标为（8，）．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、中点坐标公式、三角形的面积以及等腰直角三角形，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）利用三角形的面积公式求解；（3）分∠FGQ=90°、∠GFQ=90°及∠FQG=90°三种情况求出t值．
24．或或或
【分析】根据题意，结合图形，分情况讨论：①；②；③．
【详解】解：是等腰三角形的条件是：、、其中两段相等，，那么有：
①当时，，
则轴，则的坐标是；
②当时，，则点就是；
③当时，则，
的坐标是：或，
故答案为：或或或．

【点睛】本题考查综合应用点的坐标、等腰三角形的判定等知识进行推理论证、运算及探究的能力．
25．，，，
【分析】需分3种情况：①延长到P，使；②过点C作，使；③作，使；分别画出图形，在运用全等三角形的判定与性质求出每种情况即可．
【详解】解：∵点A坐标为、点B坐标为，
∴， ，
∴
∵，
∴ ， ，
与全等分为三种情况：
①如图1，延长到P，使，连接，过P作 轴于M，

则
在和中，
∵，
∴，
∴， ，故点P的坐标为；
②如图2，过点C作，使，则，故， ，
过P作轴于M，此时，在x轴上取一点N，使

∴，即 ，
设，则，
在中，
∵，
∴，解得：，
∴，故点P的坐标为；
③如图3，作，使，连接BP，则

，
∵，且 ，
∴四边形是矩形，
∴ ，即，
过点P作轴，则，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，故点P的坐标为；
当点P与点B重合时，点P的坐标为．
综上，点P的坐标为，，，．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定、勾股定理、含30度角的直角三角形等知识点，掌握全等三角形的判定与性质以及分类讨论思想成为解答本题的关键．
26．或或或
【分析】根据全等三角形的性质，分四种情况讨论，①如图1，过点作，交于点，；②如图2，由①可知，点位置互换，亦满足题意，此时，，③如图3，作的平分线交于点，在上截取，连接，；④如图4，在上截取，取的中点，则， 由得出的坐标．
【详解】解：①如图1，过点作，交于点，

过点作，垂足为，连接，此时，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∴，
②如图2，由①可知，点位置互换，亦满足题意，此时，，

③如图3，作的平分线交于点，在上截取，连接，

此时，
过点作，垂足为，垂足为，则，
由三角形面积公式得，，即，，
∴，
∴点，
④如图4，在上截取，取的中点，则，

过点作，垂足为，在中，，，
∴，
∴点，
故答案为：或或或．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键．
27． （8，0）； （22020，22021）．
【分析】先根据题意求出A2点的坐标，再根据A2点的坐标求出B2的坐标，以此类推总结规律便可求出点A4、B2021的坐标．
【详解】解：∵点A1坐标为（1，0），
∴OA1=1，
过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，点B1在上，y=2×1=2，B1点的坐标为（1，2），
∵点A2与点O关于直线A1B1对称，
∴OA1=A1A2=1，
∴OA2=1+1=2，
∴点A2的坐标为（2，0），点B2在上，y=2×2=4，B2的坐标为（2，4），
∵点A3与点O关于直线A2B2对称．故点A3的坐标为（4，0），点B3在上，y=2×4=8，B3的坐标为（4，8），
此类推便可求出点An的坐标为（2n-1，0），点Bn在上，y=2×2n-1=2n，
点Bn的坐标为（2n-1，2n）．
所以点A4的坐标为（8，0），点的坐标为（8，16）
所以点A2021的坐标为（22020，0），点的坐标为（22020，22021）
故答案为（8，0），（22020，22021）．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了轴对称的性质．
28．
【分析】先根据直线 与x轴交于点，可得 (3,0)，O=3，再过作A⊥O于A，根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，求得的横坐标为，过作于，求得的横坐标为，过作于，求得的横坐标为，同理可得 的横坐标为，由此可得，的横坐标为，进而求得点的横坐标是．
【详解】解：由直线与轴交于点，
可得，
∴，
如图所示，过作于，

则，
即的横坐标为，
由题意可得，，
∴，
∴，
过作于，
则，
即的横坐标为，
过作于，同理可得 横坐标为，
同理可得，的横坐标为，
由此可得，的横坐标为，
点的横坐标是，
故答案为．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等边三角形性质应用，解题的关键是根据性质找出规律，求得坐标．
29．
【分析】由直线点的特点得到，分别可求OA1＝OC1＝1，C1A2＝，C2A3＝，……，从而得到正方形边长的规律为Cn﹣1An＝，即可求正方形面积．
【详解】解：直线l：y＝2x﹣2与x轴交于点A₁（1，0），与y轴交于点D（0，﹣2），
∴，
∵OA1＝OC1＝1，
∴A1B1C1O的面积是1；
∴DC1＝3，
∴C1A2＝，
∴A2B2C2C1的面积是；
∴DC2＝，
∴C2A3＝，
∴A3B3C3C2的面积是；
……
∴Cn﹣1An＝，
∴正方形AnBn∁nCn﹣1的面积是，
故答案为．

【点睛】本题考查的是平面直角坐标系中有规律的点的坐标与图形的探索问题，列出前面几步的数据找到点或图形的变化规律是解答关键.
30．，，，
【分析】先把点A（1，2）代入一次函数y=x+b求出b的值，故可得出B点坐标，再分AB=AP，AB=BP及AP=BP三种情况进行分类讨论．
【详解】解：如图，

∵一次函数y=x+b的图象过点A（1，2），
∴2=1+b,解得b=1，
∴一次函数的解析式为：y=x+1，
∴B（-1，0）．
当AB=AP时，
∵B（-1，0），
∴；
当AB=BP时，
∵，
∴；
当AP=BP时，则，
设P（t，0），则，
解得：t=1，
∴．
综上所述，P点坐标为：，，，．
故答案为：，，，．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
31．(，0)
【分析】依据直线l的解析式为y＝x，即可得到，即，，，，…，为等腰直角三角形．根据等腰三角形“三线合一的性质”可得出，，…，，从而得到(，0)．
【详解】解：∵直线l的解析式为y＝x，
∴，
∴，，，，…，为等腰直角三角形．
∴，，…，．
∵A(1，0)，
∴OA＝1，
∴，
，
，
…
．
∴(，0)．
故答案为：(，0)．
【点睛】本题考查点坐标规律探索，一次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质．根据一次函数解析式得出，从而判断各个三角形为等腰直角三角形是解题关键．
32．y＝﹣x+
【分析】证明△ABO≌△ABC，于是可知∠CBA=∠ABO=30°，得出OB=3即可求出直线AB的函数表达式．
【详解】解：∵△ABO与△ABC关于直线AB对称，
∴∠ACB＝∠AOB＝90°，
∵点E是AB的中点，
∴CE＝BE=EA
∴∠EAC＝∠ECA，
∵∠ECA+∠ECF＝90°，∠ECF+∠CFE＝90°
∴∠CFE＝∠BAC，
而点D，E分别为AO，AB的中点，
∴DFOB，
∴∠CFE＝∠CBO＝2∠CBA＝2∠ABO，
∵△ABO与△ABC关于直线AB对称，
∴△ABO≌△ABC，
∴∠OAB＝∠CAB＝2∠ABO，
∴∠ABO＝30°，
而点A的坐标为（0，），即OA＝，

∴OB＝3即点B的坐标为（3，0），
于是可设直线AB的函数表达式为y＝kx+b，代入A、B两点坐标得

解得k＝﹣，b＝，
故答案为y＝﹣x+．

【点睛】本题考查的是三角形的全等，并考查了用待定系数法求函数解析式，找到两个已知点的坐标是解决本题的关键．
33．(3，)或(，)或(，)
【分析】先求得A(0，)，B(3，0)，再利用特殊角的三角函数值求得∠ABO=30°，再分类讨论即可求解．
【详解】解：令x=0，则y=，令y=0，则x=3，
∴A(0，)，B(3，0)，
∴OA=，OB=3，
∵tan∠ABO==，
∴∠ABO=30°，∠BAO=60°，
当△OAB≌△C1BA时，
∴C1B=OA=，C1A= OB=3，
∴C1 (3，)；
当△OAB≌△C2AB时，
∴C2B= OB=3，C2A=OA=，
∴∠C2AD=180°-60°-60°=60°，则∠DC2A=30°，
∴AD=C2A=，DC2=，
∴C2 (，)；
当△OAB≌△C3BA时，
同理得C3 (，)；

综上，点C的坐标为(3，)或(，)或(，)．
故答案为：(3，)或(，)或(，)．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，特殊角的三角函数值，勾股定理，全等三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．
34．（6，4）或（3，3）/（3，3）或（6，4）
【分析】先求出点A和点B的坐标，用待定系数法求出b，根据△PAB是等腰直角三角形且∠PBA≠90°，所以分∠BAP'=90°、∠BPA=90°两种情况分别求点P的坐标，即可求解．
【详解】对于，令x=0，则y=2，
令y=0，则，解得：x=4，
∴点A（4，0），B（0，2），
∴OB=2，OA=4，
把点B（0，2）代入，得：b=2，
∴直线PB的解析式为，
根据题意得：∠PBA≠90°，

①当∠BA P′=90°且AB=AP′，过A作AP′⊥AB，垂足为A，过P′作P′H′⊥轴，
∴∠AOB=∠P′H′A=90°，∠OAB+∠P′A H′=90°，
∵∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠OBA=∠P′A H′，
又AB=AP′，
∴△AOB≌△P′AH′（AAS），
∴AH′=0B=2，P′H′=0A=4，
∴OH′=OA+AH′=6，
∴P′（6，4），
把x=6代入，得y=4，
∴点P′在直线，符合题意．
②当∠BPA=90°且BP=AP，过A作AP⊥BP于点P，过P作PH⊥y轴，过P作PQ⊥x轴，
∴∠PHO=∠PQO=∠HOQ=90°，
∴四边形OHPQ为矩形，
∴PH=0Q，PQ=OH，∠HPB+∠BPQ=90°，
∵∠APQ+∠BPQ=90°，
∴∠HPB=∠APQ，
又∵BP=AP，
∴△HBP≌△QAP（AAS），
∴HP=PQ，HB=QA，
∴四边形OHPQ为正方形，
∵OH+OQ=（OB+HB）+OQ=OB+AQ+OQ=OB+（AQ+OQ）=OB+OA=4+2=6，
∴PH=PQ=3，
∴P（3，3），
把x=3代入得：y=3，
∴点P在直线，符合题意．
综上所述，点P的坐标为（6，4）或（3，3）．
故答案为：（6，4）或（3，3）
【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数及图像上的点的坐标，其中根据等腰直角三角形的直角分为两种可能，再通过添加辅助线构造全等三角形，是求得点P坐标的关键．