人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.5 空间直线、平面的平行巩固练习

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知识精讲
知识点01 基本事实4
【即学即练1】 如图所示，在三棱锥S－MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是( )
A．平行B．相交
C．异面D．平行或异面
答案 A
解析 在△MPN中，H，G分别为MP，MN的中点，∴GH∥PN，同理EF∥PN，∴GH∥EF.
知识点02 空间等角定理
1．定理
2.推广
如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等．
反思感悟 等角定理的结论是两个角相等或互补，在实际应用时一般是借助于图形判断是相等还是互补，还是两种情况都有可能．
【即学即练2】 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点，求证：△EFG∽△C1DA1.
证明 如图所示，连接B1C.
因为G，F分别为BC，BB1的中点，
所以GF∥B1C.
又ABCD－A1B1C1D1为正方体，
所以CD綊AB，A1B1綊AB，
由基本事实4知CD綊A1B1，
所以四边形A1B1CD为平行四边形，
所以A1D綊B1C.
又B1C∥FG，由基本事实4知A1D∥FG.
同理可证A1C1∥EG，DC1∥EF.
又∠DA1C1与∠EGF，∠A1DC1与∠EFG，∠DC1A1与∠GEF的两条边分别对应平行且均为锐角，
所以∠DA1C1＝∠EGF，∠A1DC1＝∠EFG，∠DC1A1＝∠GEF.
所以△EFG∽△C1DA1.
能力拓展
考法01 基本事实4的应用
【典例1】如图所示，在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
证明 因为在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，
所以EF∥AC，HG∥AC，EF＝HG＝eq \f(1,2)AC，
所以EF∥HG，EF＝HG，
所以四边形EFGH是平行四边形．
反思感悟 基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性，解题时首先找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．
【变式训练】如图，已知在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．求证：四边形MNA1C1是梯形．
证明 如图 ，连接AC，在△ACD中，
∵M，N分别是CD，AD的中点，
∴MN是△ACD的中位线，
∴MN∥AC，且MN＝eq \f(1,2)AC.
由正方体的性质，得
AC∥A1C1，且AC＝A1C1.
∴MN∥A1C1，且MN＝eq \f(1,2)A1C1，
即MN≠A1C1，
∴四边形MNA1C1是梯形．
考法02 等角定理的应用
【典例2】如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且eq \f(OA,OA′)＝eq \f(OB,OB′)＝eq \f(OC,OC′)＝eq \f(2,3)，则eq \f(S△ABC,S△A′B′C′)＝________.
答案 eq \f(4,9)
解析 ∵AA′∩BB′＝O，且eq \f(OA,OA′)＝eq \f(OB,OB′)＝eq \f(2,3)，
∴AB∥A′B′，同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.
∵A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴∠BAC＝∠B′A′C′，
同理∠ABC＝∠A′B′C′，
∴△ABC∽△A′B′C′且eq \f(AB,A′B′)＝eq \f(OA,OA′)＝eq \f(2,3)，
∴eq \f(S△ABC,S△A′B′C′)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2＝eq \f(4,9).
反思感悟
【变式训练】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，E1分别是棱AD，A1D1的中点．求证：∠BEC＝∠B1E1C1.
证明 如图，连接EE1.
∵E1，E分别为A1D1，AD的中点，
∴A1E1綊AE，
∴四边形A1E1EA为平行四边形，
∴A1A綊E1E，
又A1A綊B1B，∴E1E綊B1B，
∴四边形E1EBB1是平行四边形．
∴E1B1∥EB.同理E1C1∥EC.
又∠B1E1C1与∠BEC的两边分别对应平行，
∴∠B1E1C1＝∠BEC.
分层提分
题组A 基础过关练
一、单选题
1．空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α=60°，则β为（ ）
A．60°B．120°C．30°D．60°或120°
【答案】D
【详解】试题分析：根据等角定理，两个角的两边分别对应平行，则两个角相等或互补，所以为或，故选D.
考点：等角定理
2．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（ ）
A．异面或平行B．异面或相交
C．异面D．相交、平行或异面
【答案】D
【分析】根据空间中直线的位置关系，结合已知条件，即可容易判断.
【详解】a和b是异面直线，b和c是异面直线，
根据异面直线的定义可得：
SKIPIF 1 < 0 可以是异面直线，如下所示：
也可以相交
也可以平行
故选： SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】本题考查空间中直线之间的位置关系，属简单题.
3．过平面 SKIPIF 1 < 0 外的直线l作一组平面与 SKIPIF 1 < 0 相交，若所得交线分别为a，b，c…，则这些交线的位置关系为（ ）
A．相交于同一点B．相交但交于不同的点
C．平行D．平行或相交于同一点
【答案】D
【分析】对 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 的位置关系进行分类讨论，由此确定正确选项.
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时，根据线面平行的性质定理以及平行公理可知：所得交线平行.
当 SKIPIF 1 < 0 时，所得交线交于同一点 SKIPIF 1 < 0 .
所以所得交线平行或相交于同一点.
故选：D
4．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】根据等角定理，即可得到结论.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的两边与 SKIPIF 1 < 0 的两边分别平行，
根据等角定理易知 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
【点睛】本题考查等角定理，属基础题.
5．在空间，下列说法正确的是
A．两组对边相等的四边形是平行四边形
B．四边相等的四边形是菱形
C．正方形确定一个平面
D．三点确定一个平面
【答案】C
【解析】考虑特殊情况即可，四边形有可能是空间四边形，三点有可能共线，进而可以确定答案
【详解】四边形可能是空间四边形，故A，B错误；当三点在同一直线上时，存在无数个平面，故D错误.故选C.
【点睛】本题考查点、线、面的空间关系，属于基础题
6．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A．EF与GH平行
B．EF与GH异面
C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上
D．EF与GH的交点M一定在直线AC上
【答案】D
【分析】连接EH，FG，根据F，G分别是边BC，CD上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，和点E，H分别是边AB，AD的中点，得到EH//GF，且EH≠GF判断.
【详解】解：如图所示：
连接EH，FG.
因为F，G分别是边BC，CD上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，
所以GF//BD，且GF＝ SKIPIF 1 < 0 BD.
因为点E，H分别是边AB，AD的中点，
所以EH//BD，且EH＝ SKIPIF 1 < 0 BD，
所以EH//GF，且EH≠GF，
所以EF与GH相交，设其交点为M，
则M∈平面ABC，同理M∈平面ACD.
又平面ABC∩平面ACD＝AC，
所以M在直线AC上．
故选：D.
二、多选题
7． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是空间三条不同的直线，则下列结论错误的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共面D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共面
【答案】ACD
【分析】根据线线的位置关系，结合平面的基本性质判断各选项正误即可.
【详解】解：由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 平行、异面都有可能，故A错误；
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，互相平行但不共面，故C错误；
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共点时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不一定共面，如三棱柱共顶点的三条棱不共面，故D错误；
故选：ACD.
8．(多选题)下列命题中，错误的结论有（ ）
A．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等
B．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等
C．如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补
D．如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行
【答案】AC
【分析】由等角定理可判断A、B的真假；举反例可判断C的真假；由平行公理可判断D的真假.
【详解】对于选项A：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故选项A错误；
对于选项B：由等角定理可知B正确；
对于选项C：如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，这两个角的关系不确定，既可能相等也可能互补，也可能既不相等，也不互补.反例如图，在立方体中， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，但是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，二者不相等也不互补.故选项C错误；
对于选项D：如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行，故选项D正确.
故选：AC.
三、填空题
9．在长方体 SKIPIF 1 < 0 中，与 SKIPIF 1 < 0 平行的棱有____________(填写所有符合条件的棱)
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据长方体结构特点直接写出与 SKIPIF 1 < 0 平行的棱即可.
【详解】长方体具有三组互相平行的棱，并且每一组棱都有四条，
由图可知与 SKIPIF 1 < 0 平行的棱还有： SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
10．如图是正方体的表面展开图，E，F，G，H分别是棱的中点，则EF与GH在原正方体中的位置关系为______.
【答案】平行
【分析】将正方体的表面展开图还原构造成正方体，取AB，AA1的中点Q，P，连接EP，FQ，PQ，A1B，得到EF∥PQ，根据PQ∥A1B，HG∥A1B，即可得到EF∥GH.
【详解】由题意，将正方体的表面展开图还原构造成正方体，如图所示:
分别取AB，AA1的中点Q，P，连接EP，FQ，PQ，A1B，
由正方体的结构特征可得EF∥PQ，
又因为点Q，P，H，G分别是AB，AA1，A1B1，BB1的中点，故PQ∥A1B，HG∥A1B，
故PQ∥HG，所以EF∥GH.
故答案为：平行
11．如图，空间四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 分别是△ SKIPIF 1 < 0 和△ SKIPIF 1 < 0 的重心，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【分析】连接 SKIPIF 1 < 0 并延长交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 并延长交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，再连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，从而可求出答案.
【详解】连接 SKIPIF 1 < 0 并延长交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 并延长交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，再连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
12．已知矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，现将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 翻转，直到与 SKIPIF 1 < 0 首次重合，则此过程中，线段 SKIPIF 1 < 0 的中点的运动轨迹长度为____________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【分析】先分析出点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是一个半圆，再结合三角形中位线定理可得 SKIPIF 1 < 0 中
点的轨迹也是一个半圆，即可得出结果
【详解】由已知得:
四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形， SKIPIF 1 < 0 沿DM翻转的过程中，点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为
以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的半圆，其半径为 SKIPIF 1 < 0 ，这个半圆与DM垂直
设线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，线段EF的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，在以 SKIPIF 1 < 0
为半径的半圆上取一点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，并取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由三角形中位线定理可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的半圆，其半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
线段AC的中点的运动轨迹长度为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
四、解答题
13．如图1所示，在梯形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，将平面 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 翻折起来，使 SKIPIF 1 < 0 到达 SKIPIF 1 < 0 的位置（如图2）， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，求证:四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形.
图1 图2
【答案】证明见详解.
【解析】通过证明EF//GH，且EF=GF，即可证明.
【详解】在题图1中，∵四边形 SKIPIF 1 < 0 为梯形， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
∴ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 .
在题图2中，易知 SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，
∴ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形.即证.
【点睛】本题考查通过线线平行证明平行四边形，主要借助几何关系进行证明.
14．如图所示， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的对应顶点的连线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交于同一点O，且 SKIPIF 1 < 0 .
（1）证明: SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（2）求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】（1）证明见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）根据已知条件可证 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可证明 SKIPIF 1 < 0 ，同理可证 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）根据等角定理得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 进而可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解.
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于点O，所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共面，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
同理 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的方向相反，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
同理 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
15．在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 分别是边 SKIPIF 1 < 0 的中点．
（1）求证：四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求证：四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用三角形中位线的性质，根据平行四边形的判断方法，即可得到结论；
（2）利用有一组邻边相等的平行四边形，可证结论．
【详解】（1）∵ SKIPIF 1 < 0 分别是边 SKIPIF 1 < 0 的中点．
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∵四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形．
【点睛】本题解题的关键是利用三角形中位线的性质，平行四边形的判断方法进行证明，属于基础题．
16．如图，在正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是棱 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的中点．
（1）求证：四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形；
（2）求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据正方体的性质和平面几何知识可得证；
（2）根据空间两个角相等定理或三角形全等可得证.
【详解】解：(1)∵ SKIPIF 1 < 0 为正方体．∴ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为棱 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，∴ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，∴ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形．
(2)法一：由(1)知四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
同理可得四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，∴ SKIPIF 1 < 0 ．∵ SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 方向相同，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
法二：由(1)知四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
同理可得四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
题组B 能力提升练
一、单选题
1．在空间四边形ABCD中，AC=BD，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接各边中点E，F，G，H，所得四边形EFGH的形状是（ ）
A．梯形B．矩形
C．正方形D．菱形
【答案】D
【分析】根据空间四边形中各点的位置，结合中位线的性质可得EFGH是平行四边形，再由AC=BD即可判断四边形EFGH的形状.
【详解】如图所示，空间四边形ABCD中，连接AC，BD可得一个三棱锥，
将四个中点连接，得到四边形EFGH，
由中位线的性质及基本性质4知，EH∥FG，EF∥HG；
∴四边形EFGH是平行四边形，又AC=BD，
∴HG= SKIPIF 1 < 0 AC= SKIPIF 1 < 0 BD=EH，
∴四边形EFGH是菱形.
故选：D
2．已知在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 的中点，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】如图所示，
取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，∵三角形两边之和大于第三边即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故选D.
3．对于空间三条直线，有下列四个条件：
①三条直线两两相交且不共点；
②三条直线两两平行；
③三条直线共点；
④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．
其中，使三条直线共面的充分条件有( )
A．1个B．2个C．3D．4个
【答案】B
【分析】根据公理2以及推论进行判断，对于②③列举出三条直线两两平行在不同平面内的，三条相交直线不共面时，如三棱锥的侧面进行判断．
【详解】①中两直线相交确定平面，则第三条直线在这个平面内，故①正确；
②中可能有其中一条直线和另外两条直线确定的平面平行，还有可能三条直线分别在三个相互平行的平面内，故②不对；
③中三条相交直线不共面时．则它们可确定3个平面，如三棱锥的侧面，故③不对；
④中两直线平行确定一个平面，则第三条直线在这个平面内，故④正确；
故答案为B
【点睛】本题考查了平面公理2以及推论的应用，主要利用公理的作用和公理中的关键条件进行判断，考查了空间想象能力，属于基础题．
4．如图，在棱长为 SKIPIF 1 < 0 的正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，则直线 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据给定条件，证明 SKIPIF 1 < 0 ，把直线 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离转化为点F到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离求解作答.
【详解】在棱长为 SKIPIF 1 < 0 的正方体 SKIPIF 1 < 0 中，取 SKIPIF 1 < 0 中点G，连接 SKIPIF 1 < 0 ，如图，
因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ，即有四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
有 SKIPIF 1 < 0 ，则四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，有 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
因此直线 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离等于点F到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
则四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，有 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
边 SKIPIF 1 < 0 上的高 SKIPIF 1 < 0 ，由三角形面积得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
5．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A．EF与GH平行
B．EF与GH异面
C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上
D．EF与GH的交点M一定在直线AC上
【答案】D
【分析】连接EH，FG，根据F，G分别是边BC，CD上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，和点E，H分别是边AB，AD的中点，得到EH//GF，且EH≠GF判断.
【详解】解：如图所示：
连接EH，FG.
因为F，G分别是边BC，CD上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，
所以GF//BD，且GF＝ SKIPIF 1 < 0 BD.
因为点E，H分别是边AB，AD的中点，
所以EH//BD，且EH＝ SKIPIF 1 < 0 BD，
所以EH//GF，且EH≠GF，
所以EF与GH相交，设其交点为M，
则M∈平面ABC，同理M∈平面ACD.
又平面ABC∩平面ACD＝AC，
所以M在直线AC上．
故选：D.
6．如图，在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 分别为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，则下列说法正确的是
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】由题意结合三角形中位线的性质可得： SKIPIF 1 < 0 ，
由平行公理可得： SKIPIF 1 < 0 .
本题选择C选项.
二、多选题
7．已知三棱柱 SKIPIF 1 < 0 的棱长均相等，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【分析】根据题意结合异面直线夹角逐项分析判断.
【详解】对A：∵ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则AB与CF的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，不一定是直角，A错误；
对B：由题意： SKIPIF 1 < 0 为菱形，则 SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
对C：由题意： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
对D：由题意： SKIPIF 1 < 0 为菱形，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 大小无法确定， D错误.
故选：BC.
8．(多选题)下列说法中，正确的结论有（ ）
A．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等
B．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等
C．如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补
D．如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行
【答案】BD
【分析】由等角定理可判断A的真假；根据直线夹角的定义可判断B的真假；举反例可判断C的真假；由平行公理可判断D的真假.
【详解】对于选项A：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故选项A错误；
对于选项B：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等，故选项B正确；
对于选项C：如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，这两个角的关系不确定，既可能相等也可能互补，也可能既不相等，也不互补.反例如图，在立方体中， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，但是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，二者不相等也不互补.故选项C错误；
对于选项D：如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行，故选项D正确.
故选：BD.
三、填空题
9．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是平行直线的图是________(填序号).
【答案】①②
【分析】根据正方体的结构特征，以及两直线的位置关系的判定方法，即可求解.
【详解】根据正方体的结构特征，可得①②中RS与PQ均是平行直线，④中RS和PQ是相交直线，③中RS和PQ是是异面直线.
故答案为：①②.
10．已知长方体 SKIPIF 1 < 0 的体积为9， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且异面直线AC与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，则该长方体的表面积为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据异面直线夹角的定义分析可得 SKIPIF 1 < 0 ，结合题意列式求长方体的长、宽、高，进而求长方体的面积.
【详解】连接 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
又∵异面直线AC与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，
根据题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则该长方体的表面积为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
11．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，H分别为AB，AD的中点，F，G分别是BC，CD上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ，若BD＝6 cm，梯形EFGH的面积为28 cm2，则平行线EH，FG间的距离为________．
【答案】8
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 间的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )，故答案为 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 ).
12．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是空间中的三条相互不重合的直线，给出下列说法：①若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；②若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交；③若 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 一定是异面直线；④若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 成等角，则 SKIPIF 1 < 0 ．其中正确的说法是______（填序号）．
【答案】①
【分析】根据平行公理可判断①，在空间考虑两直线都与第三条直线直线相交的所有可能情况可判断②，考虑在两个平面内的两条直线的所有位置关系可判断③，两条直线与第三条直线成等角，这两条直线可相交可平行可异面判断④.
【详解】由公理4知①正确；
当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 可能相交、平行，也可能异面，故②不正确；
当 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 可能平行、相交或异面，故③不正确；
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 成等角时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 可能相交、平行，也可能异面，故④不正确．
故答案为：①
【点睛】本题主要考查了空间中线与线的位置关系，考查了空间想象力，属于中档题.
四、解答题
13．如图，E，F分别是长方体ABCD­A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF为平行四边形．
【答案】证明见解析
【分析】结合线线平行以及平行四边形的知识来证得结论成立.
【详解】由于 SKIPIF 1 < 0 分别是长方体 SKIPIF 1 < 0 的中点，
设 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
根据长方体的性质可知 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形.
14．如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）证明：E，F，G，H四点共面.
（2）m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？
【答案】（1）见解析（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，四边形EFGH是平行四边形.
【分析】（1）根据平行线分线段成比例的性质,可得 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ,即可根据空间中平行线的传递性证明 SKIPIF 1 < 0 ,即可得E,F,G,H四点共面.
（2）根据平行线分线段成比例,分别用 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 表示出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ,由平行四边形对边相等即可求得 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1）证明：连接BD
因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
所以E,F,G,H四点共面
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时,四边形EFGH为平行四边形
由（1）可知 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
同理可得 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0
可得 SKIPIF 1 < 0
得 SKIPIF 1 < 0
故当 SKIPIF 1 < 0 时,四边形EFGH是平行四边形
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的性质,由线段比例关系及平行关系得线段关系,属于基础题.
15．梯形ABCD中，AB∥CD，E、F分别为BC和AD的中点，将平面DCEF沿EF翻折起来，使CD到C′D′的位置，G、H分别为AD′和BC′的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形.
【答案】详见解析
【详解】试题分析：根据梯形中位线的性质可得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，根据传递性可得 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得结论.
试题解析：∵梯形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
∴ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点，
∴ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形．
16．在如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中点，
求证：(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2)∠EA1F＝∠E1CF1.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【详解】试题分析：(1)连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由三角形中位线定理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据正方体的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，故而可得结论；（2）取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，首先证明四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，得到 SKIPIF 1 < 0 ，再证四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形及平行的传递性，得到 SKIPIF 1 < 0 ，同理得 SKIPIF 1 < 0 ，结合角两边的方向相反，进而可得结论成立.
试题解析：(1)连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 ，在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
(2)取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，同理可证： SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 两边的方向均相反，所以 SKIPIF 1 < 0 .
题组C 培优拔尖练
一、单选题
1．在正六棱柱 SKIPIF 1 < 0 任意两个顶点的连线中与棱AB平行的条数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】作出几何体的直观图观察即可.
【详解】解：连接CF，C1F1，与棱AB平行的有 SKIPIF 1 < 0 ，共有5条，
故选：D.
2．已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，若对角线BD＝2，AC＝4，则EG2＋HF2的值是（ ）
A．5B．10
C．12D．不能确定
【答案】B
【分析】根据中位线定理判断四边形EFGH是平行四边形，再由 SKIPIF 1 < 0 计算可得解.
【详解】如图所示，由三角形中位线的性质可得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
所以四边形EFGH是平行四边形，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
3．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A．EF与GH平行
B．EF与GH异面
C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上
D．EF与GH的交点M一定在直线AC上
【答案】D
【分析】连接EH，FG，根据F，G分别是边BC，CD上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，和点E，H分别是边AB，AD的中点，得到EH//GF，且EH≠GF判断.
【详解】解：如图所示：
连接EH，FG.
因为F，G分别是边BC，CD上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，
所以GF//BD，且GF＝ SKIPIF 1 < 0 BD.
因为点E，H分别是边AB，AD的中点，
所以EH//BD，且EH＝ SKIPIF 1 < 0 BD，
所以EH//GF，且EH≠GF，
所以EF与GH相交，设其交点为M，
则M∈平面ABC，同理M∈平面ACD.
又平面ABC∩平面ACD＝AC，
所以M在直线AC上．
故选：D.
4．如图，在棱长为 SKIPIF 1 < 0 的正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，则直线 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据给定条件，证明 SKIPIF 1 < 0 ，把直线 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离转化为点F到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离求解作答.
【详解】在棱长为 SKIPIF 1 < 0 的正方体 SKIPIF 1 < 0 中，取 SKIPIF 1 < 0 中点G，连接 SKIPIF 1 < 0 ，如图，
因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ，即有四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
有 SKIPIF 1 < 0 ，则四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，有 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
因此直线 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离等于点F到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
则四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，有 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
边 SKIPIF 1 < 0 上的高 SKIPIF 1 < 0 ，由三角形面积得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
5．如图，在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 分别为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，则下列说法正确的是
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】由题意结合三角形中位线的性质可得： SKIPIF 1 < 0 ，
由平行公理可得： SKIPIF 1 < 0 .
本题选择C选项.
6．如图所示，在直角梯形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 上的点， SKIPIF 1 < 0 且， SKIPIF 1 < 0 （如图1）.将四边形 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 折起，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （如图2）.在折起的过程中，则下列表述：
① SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
②四点B、C、E、F可能共面；
③ SKIPIF 1 < 0 ，则平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
④平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 可能垂直.
其中正确的是（ ）
A．①④B．①③C．②③④D．①②④
【答案】B
【分析】连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，证明四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，可判断命题①的正误；利用线面平行的性质定理和空间平行线的传递性可判断命题②的正误；连接 SKIPIF 1 < 0 ，证明出 SKIPIF 1 < 0 ，结合线面垂直和面面垂直的判定定理可判断命题③的正误；假设平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 垂直，利用面面垂直的性质定理可判断命题④的正误.综合可得出结论.
【详解】对于命题①，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，如下图所示：
则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，命题①正确；
对于命题②， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
若四点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 共面，则这四点可确定平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，由线面平行的性质定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，但四边形 SKIPIF 1 < 0 为梯形且 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为两腰， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交，矛盾，所以，命题②错误；
对于命题③，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，
且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 内的两条相交直线，所以， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，命题③正确；
对于命题④，假设平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 垂直，过点 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 内作 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不垂直，命题④错误.
所以正确的选项为：①③，
故选：B.
二、解答题
7．在长方体 SKIPIF 1 < 0 中，求证：
（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且方向相同可证得结论；
（2）根据 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且方向相同可证得结论.
【详解】
（1）由长方体的性质可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且方向相同，
由等角定理可得： SKIPIF 1 < 0 .
（2）由长方体的性质可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且方向相同，
由等角定理可得： SKIPIF 1 < 0 .
8．如图，P是△ABC所在平面外一点，D、E分别是△PAB和△PBC的重心．求证：DE//AC， SKIPIF 1 < 0 .
【答案】证明见解析
【分析】连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 并延长分别交 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据重心的性质得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，进而可得结论成立.
【详解】如图，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 并延长分别交 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的重心，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，
连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ①，
在 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ②，
由①②及平行线的传递性得： SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 .
9．如图，在正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是棱 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的中点．
（1）求证：四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形；
（2）求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据正方体的性质和平面几何知识可得证；
（2）根据空间两个角相等定理或三角形全等可得证.
【详解】解：(1)∵ SKIPIF 1 < 0 为正方体．∴ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为棱 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，∴ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，∴ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形．
(2)法一：由(1)知四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
同理可得四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，∴ SKIPIF 1 < 0 ．∵ SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 方向相同，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
法二：由(1)知四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
同理可得四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
10．正方体 SKIPIF 1 < 0 中：
（1）求AC与 SKIPIF 1 < 0 所成角的大小；
（2）若F分别为AD的中点，求 SKIPIF 1 < 0 与CF所成角的余弦值.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 是正方体，可得从而 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角就是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角，根据三角形的几何性质即可求解.
（2）连接 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角就是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角，在 SKIPIF 1 < 0 中利用余弦定理可求得 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值.
【详解】（1）如图所示，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 是正方体，
易知 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角就是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）连接 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角就是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角，在底面正方形 SKIPIF 1 < 0 中，由正方形性质可知， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的三等分点，也是 SKIPIF 1 < 0 的三等分点，由 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的三等分点，设正方体边长为2，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，利用勾股定理可知 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，利用余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0
课程标准
课标解读
1.会判断空间两直线的位置关系.2.能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题．
．
1.本节内容包含一个基本事实、一个定理，是对学生原有的平面知识结构基础的拓展，同时 也是后面研究空间直线与平面平行、平面与平面平行的基础，它在知识结构上起着承上启下的 作用.教材以长方体为载体，让学生直观认识空间中直线与直线的位置关系，通过观察得出基 本事实 4.基本事实 4 表明了平行线的传递性，可以作为判断空间两条直线平行的依据， 同时它 给出了空间两条直线平行的一种证法
2.通过本节内容的学习，为学生学习立体几何知识打下基础， 同时能更好地提升学生直观想 象和罗辑推理等数学学科核心素养.
文字语言
平行于同一条直线的两条直线平行
图形语言
符号语言
直线a，b，c，a∥b，b∥c⇒a∥c
作用
证明两条直线平行
说明
基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性
文字语言
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
符号语言
OA∥O′A′，OB∥O′B′⇒∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°
图形语言
作用
判断或证明两个角相等或互补