(辅导班专用)2023-2024年高一数学寒假讲义第09讲 余弦定理（2份打包，原卷版+教师版）

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知识精讲
知识点01 余弦定理
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
【即学即练1】 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2－b2＋c2＝eq \r(3)ac，则角B为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,3)或eq \f(2π,3) D.eq \f(π,6)或eq \f(5π,6)
答案 A
解析 ∵a2－b2＋c2＝eq \r(3)ac，∴cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(\r(3)ac,2ac)＝eq \f(\r(3),2)，
又B为△ABC的内角，∴B＝eq \f(π,6).
反思感悟
已知三角形的两边及一角解三角形的方法
已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边．
知识点02 解三角形
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
【即学即练2】在△ABC中，a＝7，b＝4eq \r(3)，c＝eq \r(13)，则△ABC的最小角为( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(π,6) C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,12)
答案 B
解析 ∵a>b>c，∴C为最小角且C为锐角，
由余弦定理，得cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(72＋4\r(3)2－\r(13)2,2×7×4\r(3))＝eq \f(\r(3),2).又∵C为锐角，∴C＝eq \f(π,6).
能力拓展
考法01 已知两边及一角解三角形
【典例1】已知在△ABC中，a＝1，b＝2，cs C＝eq \f(1,4)，则c＝ ，sin A＝ .
答案 2 eq \f(\r(15),8)；解析 根据余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcs C＝12＋22－2×1×2×eq \f(1,4)＝4，解得c＝2.
由a＝1，b＝2，c＝2，得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(7,8)，所以sin A＝eq \f(\r(15),8).
反思感悟 已知三角形的两边及一角解三角形的方法
已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边．
【变式训练】(1)在△ABC中，已知b＝3，c＝2eq \r(3)，A＝30°，求a的值；
(2)在△ABC中，已知b＝3，c＝3eq \r(3)，B＝30°，解这个三角形．
解析 (1)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccs A＝32＋(2eq \r(3))2－2×3×2eq \r(3)cs 30°＝3，所以a＝eq \r(3).
(2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accs B，得32＝a2＋(3eq \r(3))2－2a×3eq \r(3)×cs 30°，
即a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6.当a＝3时，A＝30°，C＝120°；
当a＝6时，由余弦定理得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝0，A＝90°，C＝60°.
考法02 已知三边解三角形
【典例2】在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角的大小．
解析 ∵a>c>b，∴A为最大角．由余弦定理的推论，得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(32＋52－72,2×3×5)＝－eq \f(1,2).
又∵0°反思感悟 已知三角形的三边解三角形的方法
利用余弦定理求出三个角的余弦值，进而求出三个角
【变式训练】在△ABC中，已知a＝2eq \r(6)，b＝6＋2eq \r(3)，c＝4eq \r(3)，求A，B，C的大小．
解析 根据余弦定理，得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(6＋2\r(3)2＋4\r(3)2－2\r(6)2,2×4\r(3)×6＋2\r(3))＝eq \f(\r(3),2).
∵A∈(0，π)，∴A＝eq \f(π,6)，cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(2\r(6)2＋6＋2\r(3)2－4\r(3)2,2×2\r(6)×6＋2\r(3))＝eq \f(\r(2),2)，
∵C∈(0，π)，∴C＝eq \f(π,4).∴B＝π－A－C＝π－eq \f(π,6)－eq \f(π,4)＝eq \f(7π,12)，∴A＝eq \f(π,6)，B＝eq \f(7π,12)，C＝eq \f(π,4).
考法03 余弦定理的简单应用
【典例3】在△ABC中，A＝60°，a2＝bc，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
答案 D
解析 在△ABC中，因为A＝60°，a2＝bc，所以由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccs A＝b2＋c2－bc，
所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0，所以b＝c，结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形．
反思感悟 (1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线
①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系．
②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系．
(2)判断三角形的形状时，经常用到以下结论
①△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2.
②△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2.
③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2④若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝eq \f(π,2).
【变式训练】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2－c2＋eq \r(2)ac，则角B的大小是( )
A．45° B．60° C．90° D．135°
答案 A
解析 因为a2＝b2－c2＋eq \r(2)ac，所以a2＋c2－b2＝eq \r(2)ac，
由余弦定理，得cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(\r(2)ac,2ac)＝eq \f(\r(2),2)，又0°分层提分
题组A 基础过关练
1．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ,
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选:C.
2．△ABC中，若a2=b2+c2+bc，则∠A=（ ）
A．60°B．45°C．120°D．30°
【答案】C
【详解】根据余弦定理 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：C
3．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 的对边， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 由余弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）故选：D
4．在 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则A=（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】 SKIPIF 1 < 0 可整理为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
5．在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 所对边分别是 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
6．若满足 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 有两个，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理为关于 SKIPIF 1 < 0 的一元二次方程 SKIPIF 1 < 0 ，
根据题意，该一元二次方程有两个不相等的正实数根，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为: SKIPIF 1 < 0 .
7．在△ABC中，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由余弦定理可知， SKIPIF 1 < 0 ，化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
8．在高铁建设中需要确定隧道的长度和隧道两端的施工方向，为解决这个问题，某校综合实践活动小组提供了如下方案：先测量出隧道两端的两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 到某一点 SKIPIF 1 < 0 的距离，再测出 SKIPIF 1 < 0 的大小.现已测得 SKIPIF 1 < 0 约为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 约为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 （如图所示），则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点之间的距离约为______ SKIPIF 1 < 0 .（结果四舍五入保留整数）
【答案】3
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则由余弦定理可知 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，四舍五入为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0
9．在 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为_________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由余弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由三角形面积公式得： SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0
10．在 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _____．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 故答案为: SKIPIF 1 < 0
11．在 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的长为_____．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由余弦定理可得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
12．在 SKIPIF 1 < 0 中，有 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求角 SKIPIF 1 < 0 的大小；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）解：由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
（2）解：由三角形的面积公式可得 SKIPIF 1 < 0 .因此， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 .
题组B 能力提升练
1．在 SKIPIF 1 < 0 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若 SKIPIF 1 < 0 ，则B等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】解：在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ,
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选：B
2．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2B．3C．5D．6
【答案】C
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选：C
3．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小角为 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】由已知，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小角为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
4． SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别是 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0
又余弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
5．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．－ SKIPIF 1 < 0 C．－ SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以设 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
6．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则边 SKIPIF 1 < 0 的长为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】解：在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由余弦定理 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）.故选：C
7．（多选） SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 为钝角三角形，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 有两解
D．若三角形 SKIPIF 1 < 0 为斜三角形，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【详解】对于A，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，A正确；对于B，若 SKIPIF 1 < 0 为钝角三角形，假设 SKIPIF 1 < 0 为钝角，
则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，B错误；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，如图：
所以 SKIPIF 1 < 0 有两解，C正确；
对于D，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，D正确.故选：ACD
8．定义： SKIPIF 1 < 0 .已知 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的三个内角 SKIPIF 1 < 0 所对的边，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由题可知 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
C为三角形内角，解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
9．在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所对的边为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值等于__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
10． SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别是 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的面积为24.
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)64(2)6
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 的面积为24，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理可得： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
题组C 培优拔尖练
1．如图，在正四面体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 上的三等分点，记二面角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的平面角分别为 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】如图1，
在正四面体ABCD中，取AB的中点G，连接CG,DG，则 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面CDG，连接EG,FG，因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .由二面角的平面角的定义可以判断 SKIPIF 1 < 0 ，由对称性容易判断 SKIPIF 1 < 0 .
设该正四面体的棱长为6，如图2，
CD=6，易得 SKIPIF 1 < 0 ，取CD的中点H，则 SKIPIF 1 < 0 ，CE=2，EH=HF=1，在 SKIPIF 1 < 0 中，由勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 .
于是，在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 .故选：D.
2．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．0B． SKIPIF 1 < 0 C．1D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，依题意， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，因 SKIPIF 1 < 0 ，则有点C在半径为1，所含圆心角为 SKIPIF 1 < 0 的扇形 SKIPIF 1 < 0 的弧 SKIPIF 1 < 0 上，如图，因 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 表示直线 SKIPIF 1 < 0 上的点Q与直线 SKIPIF 1 < 0 上的点P间距离， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别是点C到点Q，P的距离，因此， SKIPIF 1 < 0 表示三点Q，P，C两两距离的和，
作点C关于直线OA对称点N，关于直线OB对称点M，连MN交OA，OB分别于点F，E，连FC，EC，ON，OM，则有 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
于是得 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 ，
对于直线 SKIPIF 1 < 0 上任意点Q、直线 SKIPIF 1 < 0 上任意点P，连接CQ，NQ，QP，CP，PM，PN，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当点Q与F重合且点P与点E重合时取“=”，
从而得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .故选：D
3．（多选）下列四个选项中哪些是正确的（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C．在任意斜三角形中 SKIPIF 1 < 0
D．在三角形中 SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【详解】对于A， SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
对于B， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，B错误；
对于C，在任意斜三角形中， SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
对于D，在三角形中， SKIPIF 1 < 0 ，D正确.故选：ACD.
4．如图，为了测量 SKIPIF 1 < 0 两点间的距离，选取同一平面上的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，测出四边形 SKIPIF 1 < 0 各边的长度（单位：km）： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 四点共圆，则 SKIPIF 1 < 0 的长为_________ SKIPIF 1 < 0 .
【答案】7
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 四点共圆，圆内接四边形的对角和为 SKIPIF 1 < 0 ﹒∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,故答案为：7
5．在△ABC中，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则△ABC周长为______．
【答案】12
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理得， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则△ABC周长为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为：12.
6．已知 SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，______且 SKIPIF 1 < 0 ，请从① SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 ，③ SKIPIF 1 < 0 这三个条件中任选一个补充在横线上，求出此时 SKIPIF 1 < 0 的面积.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】解：若选择① SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中由正弦定理 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
若选择② SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中由正弦定理 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
若选择③ SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中由正弦定理 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
7．已知四边形ABCD是圆内接四边形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，对角线AC与BD交于点O，则 SKIPIF 1 < 0 ______； SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】 2 SKIPIF 1 < 0
【详解】四边形ABCD是圆的内接四边形，则 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解之得 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，则 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 解之得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍）
故答案为：2； SKIPIF 1 < 0
8．在 SKIPIF 1 < 0 中，角A，B，C所对的边长分别为a，b， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有9个零点.
(1)求a，b的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求c的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
解析 (1)设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ①，
SKIPIF 1 < 0 ，∴方程①有两个不相等的实数根，分别设为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，不妨假定 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，方程 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上解的个数之和是偶数，不合题意，舍去.
同理 SKIPIF 1 < 0 不合题意，舍去.
当 SKIPIF 1 < 0 时，方程 SKIPIF 1 < 0 与方程 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上解的个数之和是偶数，不合题意，舍去.
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
根据曲线 SKIPIF 1 < 0 得，方程 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上解的个数之和为9，
则 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
根据曲线 SKIPIF 1 < 0 得，方程 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上解的个数之和是偶数，
不合题意，舍去.
所以 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，解得: SKIPIF 1 < 0 .
(2)∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，解得: SKIPIF 1 < 0 .
由于 SKIPIF 1 < 0 ，
∴c的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
课程标准
课标解读
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法.
2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．
1.通过阅读课本知识的学习弄懂余弦定理的形式与证明方法，提升公式变形技巧，灵活掌握余弦定理.
2.在熟练学习基础知识的基础上，会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，并能够灵活应用.
余弦定理
语言叙述
三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
公式表达
a2＝b2＋c2－2bccs A，
b2＝a2＋c2－2accs B，
c2＝a2＋b2－2abcs C
推论
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，
cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)，
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)