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(辅导班专用)2023-2024年高一数学寒假讲义第12讲 复数的概念及加、减运算（2份打包，原卷版+教师版）
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知识精讲
知识点01 复平面
【即学即练1】 在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在y＝x的图象上，分别求实数m的取值范围．
解 复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i的实部为m2－2m－8，虚部为m2＋3m－10.
(1)由题意得m2－2m－8＝0.解得m＝－2或m＝4.
(2)由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－2m－8＜0，,m2＋3m－10＞0，))∴2(3)由已知得m2－2m－8＝m2＋3m－10，故m＝eq \f(2,5).
反思感悟 利用复数与点的对应关系解题的步骤
(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据．
(2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．
知识点02 复数的几何意义
1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)．
2．复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量eq \(OZ,\s\up6(→)).
【即学即练2】)向量eq \(OZ1,\s\up6(→))对应的复数是5－4i，向量eq \(OZ2,\s\up6(→))对应的复数是－5＋4i，则eq \(OZ1,\s\up6(→))＋eq \(OZ2,\s\up6(→))对应的复数是( )
A．－10＋8i B．10－8i C．0 D．10＋8i
答案 C
解析 由复数的几何意义，可得eq \(OZ1,\s\up6(→))＝(5，－4)，eq \(OZ2,\s\up6(→))＝(－5,4)，
所以eq \(OZ1,\s\up6(→))＋eq \(OZ2,\s\up6(→))＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以eq \(OZ1,\s\up6(→))＋eq \(OZ2,\s\up6(→))对应的复数为0.
知识点03 复数的模
1．定义：向量eq \(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值．
2．记法：复数z＝a＋bi的模记作|z|或|a＋bi|.
3．公式：|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2).
【即学即练3】已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.
解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝eq \r(a2＋b2)，
代入方程得a＋bi＋eq \r(a2＋b2)＝2＋8i，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋\r(a2＋b2)＝2，,b＝8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－15，,b＝8.))∴z＝－15＋8i.
知识点04 共轭复数
1．定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．
2．表示：复数z的共轭复数用eq \x\t(z)表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么eq \x\t(z)＝a－bi.
【即学即练4】若复数z1＝2＋bi与复数z2＝a－4i互为共轭复数，则a＝________，b＝________.
答案 2 4
解析 因为z1与z2互为共轭复数，所以a＝2，b＝4.
能力拓展
考法01 复平面
【典例1】求实数m分别取何值时，复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i(m∈R)对应的点Z满足下列条件：
(1)在复平面内的x轴上方；
(2)在实轴负半轴上．
解 (1)∵点Z在x轴上方，∴m2－3m＋2>0，解得m<1或m>2.
(2)若复数z的对应点在实轴负半轴上，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－m－2<0，,m2－3m＋2＝0，))解得m＝1.
考法02 复数与复平面内的向量的关系
【典例2】在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i,3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数．
解 记O为复平面的原点，
由题意得eq \(OA,\s\up6(→))＝(2,3)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(3,2)，eq \(OC,\s\up6(→))＝(－2，－3)．
设eq \(OD,\s\up6(→))＝(x，y)，则eq \(AD,\s\up6(→))＝(x－2，y－3)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(－5，－5)．
由题意知，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2＝－5，,y－3＝－5，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－3，,y＝－2，))
故点D对应的复数为－3－2i.
反思感悟 复数与平面向量的对应关系
(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．
(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．
【变式训练】已知平面直角坐标系中O是原点，向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量eq \(BA,\s\up6(→))对应的复数是( )
A．－5＋5i B．5－5i C．5＋5i D．－5－5i
答案 B
解析 向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))对应的复数分别记作z1＝2－3i，z2＝－3＋2i，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(2，－3)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(－3,2)．
由向量减法的坐标运算可得向量eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)，
根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量eq \(BA,\s\up6(→))对应的复数是5－5i.
考法03 复数的模及其应用
【典例3】已知x，y∈R，i为虚数单位，若1＋xi＝(2－y)－3i，则|x＋yi|等于( )
A．3 B.eq \r(10) C.eq \r(5) D.eq \r(2)
答案 B
解析 因为1＋xi＝(2－y)－3i，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－y＝1，,x＝－3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－3，,y＝1，))则|x＋yi|＝|－3＋i|＝eq \r(－32＋12)＝eq \r(10).
反思感悟 复数模的计算
(1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．
(2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求
【变式训练】已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，下列选项中正确的是( )
A．z1>z2 B．z1|z2| D．|z1|<|z2|
答案 D
解析 |z1|＝|5＋3i|＝eq \r(52＋32)＝eq \r(34)，|z2|＝|5＋4i|＝eq \r(52＋42)＝eq \r(41).因为eq \r(34)(2)已知0A．(1，eq \r(10)) B．(1，eq \r(3)) C．(1,3) D．(1,10)
答案 A
解析 0分层提分
题组A 基础过关练
一、单选题
1．若向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 对应的复数分别是 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 对应的复数为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】因为向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 对应的复数分别是 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 对应的复数为 SKIPIF 1 < 0 ，故选： SKIPIF 1 < 0 .
2．设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】 SKIPIF 1 < 0 故选：B
3．已知复数 SKIPIF 1 < 0 为虚数单位）满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．2B．1C． SKIPIF 1 < 0 D．4
【答案】A
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以复数 SKIPIF 1 < 0 对应的点的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆，
所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：A
4．复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．5
【答案】C
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 故选：C
5．设 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，其在复平面对应的点为 SKIPIF 1 < 0 ，求点 SKIPIF 1 < 0 构成的集合所表示的图形面积（ ）
A．1B．5C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】设复数 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
则 SKIPIF 1 < 0 等价于 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 .
所以复平面对应的点为 SKIPIF 1 < 0 表示复平面上以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，以2，3为半径的两个圆所夹的圆环（包括边界），故其面积为 SKIPIF 1 < 0 ．故选：D.
6．在复平面内，点 SKIPIF 1 < 0 对应的复数为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为虚数单位），且向量 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 对应复数为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，
则由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 对应复数为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A.
二、多选题
7．设 SKIPIF 1 < 0 ，在复平面内z对应的点为Z，则下列条件的点Z的集合是圆的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，对A， SKIPIF 1 < 0 表示圆，A对.
对B， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 不是圆，B错.
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 化简得 SKIPIF 1 < 0 表示圆，C对.
对于D， SKIPIF 1 < 0 表示线段，D错.故选：AC
8．已知 SKIPIF 1 < 0 为虚数单位，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的充要条件是 SKIPIF 1 < 0
C．若复数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D．复数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【分析】根据复数的模的定义和运算法则可以判断AD对，虚数不能比较大小能判断C对，举一个反例可以判断B错.
【详解】A.根据模的运算法则， SKIPIF 1 < 0 ，A对；B．当 SKIPIF 1 < 0 成立，B错；
C.虚数不能比较大小，复数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，C对；D．复数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D对.
故选：ACD
9．已知复数z满足 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．复数z虚部的最大值为2 B．复数z实部的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的最小值为1 D．复数z在复平面内对应的点位于第一、三、四象限
【答案】ABC
【详解】解：满足 SKIPIF 1 < 0 的复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应点的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，以 SKIPIF 1 < 0 为半径的圆，如图，
由图可知，虚部最大的复数 SKIPIF 1 < 0 ，即复数z虚部的最大值为2．A正确；
实部最小的复数 SKIPIF 1 < 0 ，实部最大的复数 SKIPIF 1 < 0 ，所以实部的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
SKIPIF 1 < 0 表示复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应点到 SKIPIF 1 < 0 的距离，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
由图可知，复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应点位于第一、二、三、四象限，故D错误．
故选：ABC
三、填空题
10．设复数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在复平面的对应的向量分别为 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 对应的复数所对应的点的坐标为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】依题意，复数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在复平面的对应的向量分别为 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以向量 SKIPIF 1 < 0 对应的复数所对应的点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0
11．若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是_______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，则复平面上表示复数 SKIPIF 1 < 0 的点 SKIPIF 1 < 0 在以原点为圆心，1为半径的圆上， SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 的距离，∵ SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
四、解答题
12．已知 SKIPIF 1 < 0 为虚数单位.
(1)若复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点在第三象限，求 SKIPIF 1 < 0 的范围；
(2)若复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求复数 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）因为复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点在第三象限，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是： SKIPIF 1 < 0
（2）设复数 SKIPIF 1 < 0 ，由条件得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 解得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
题组B 能力提升练
一、单选题
1．设 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，其在复平面对应的点为 SKIPIF 1 < 0 ，求点 SKIPIF 1 < 0 构成的集合所表示的图形面积（ ）
A．1B．5C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】设复数 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
则 SKIPIF 1 < 0 等价于 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 .
所以复平面对应的点为 SKIPIF 1 < 0 表示复平面上以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，
以2，3为半径的两个圆所夹的圆环（包括边界），故其面积为 SKIPIF 1 < 0 ．故选：D.
2．若复数z满足 SKIPIF 1 < 0 为纯虚数，且 SKIPIF 1 < 0 ，则z的虚部为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为纯虚数，所以 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即z的虚部为 SKIPIF 1 < 0 .故选：A.
二、多选题
3．设 SKIPIF 1 < 0 ，在复平面内z对应的点为Z，则下列条件的点Z的集合是圆的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，对A， SKIPIF 1 < 0 表示圆，A对.
对B， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 不是圆，B错.
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 化简得 SKIPIF 1 < 0 表示圆，C对.
对于D， SKIPIF 1 < 0 表示线段，D错.故选：AC
4．欧拉公式 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 为虚数单位， SKIPIF 1 < 0 ）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 为纯虚数C． SKIPIF 1 < 0 D．复数 SKIPIF 1 < 0 对应的点位于第三象限
【详解】解：对于A： SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
对于B： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为纯虚数，故B正确；
对于C： SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于D： SKIPIF 1 < 0 ，则复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 位于第二象限，
即复数 SKIPIF 1 < 0 对应的点位于第二象限，故D错误；故选：BC
三、填空题
5．已知复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 是虚数单位），则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则可设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
（其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ），则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
6．已知复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则在复平面内复数 SKIPIF 1 < 0 对应的点 SKIPIF 1 < 0 所在区域的面积为_____．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以复平面内复数 SKIPIF 1 < 0 对应的点 SKIPIF 1 < 0 所在区域是圆 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 围成的圆环，
故所求区域面积 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
7．设全集 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点形成图形的面积为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
因为， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
即集合A在复平面内表示的图形为圆 SKIPIF 1 < 0 及其内部，集合B在复平面内表示的图形为直线 SKIPIF 1 < 0 的左侧，集合 SKIPIF 1 < 0 在复平面内表示的图形为直线 SKIPIF 1 < 0 的右侧（包括直线 SKIPIF 1 < 0 ），如图所示.所以，复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点形成的图形即为图中的弓形 SKIPIF 1 < 0 部分.
弓形 SKIPIF 1 < 0 的面积为扇形 SKIPIF 1 < 0 的面积减去 SKIPIF 1 < 0 的面积，易知扇形的圆心角 SKIPIF 1 < 0 ，
圆的半径 SKIPIF 1 < 0 ，则扇形的面积 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以弓形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
四、解答题
8．已知非零复数 SKIPIF 1 < 0 ；若 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值：
(2)若 SKIPIF 1 < 0 所对应点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上，求 SKIPIF 1 < 0 所对应的点的轨迹.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1） SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，两式相加化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，
代入方程可得 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 所对应点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 所对应的点的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 .
9．已知虚数z满足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求z；
(2)若z的虚部为正数，比较 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的大小.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
10．已知复数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求角 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)复数 SKIPIF 1 < 0 对应的向量分别是 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(3)复数 SKIPIF 1 < 0 对应的向量分别是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，存在 SKIPIF 1 < 0 使等式 SKIPIF 1 < 0 成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1)角 SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 (3) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
（2）由复数的坐标表示得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最大值为4，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
（3）由题意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，由小问2的结论可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
当 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
综合所述， SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
题组C 培优拔尖练
一、单选题
1．已知复数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．3C． SKIPIF 1 < 0 D．1
【答案】B
【详解】根据题意，得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
2．已知设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，可令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为锐角，且 SKIPIF 1 < 0 ）
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为3.故选：A
3．复数 SKIPIF 1 < 0 的模为1，其中 SKIPIF 1 < 0 为虚数单位， SKIPIF 1 < 0 ，则这样的 SKIPIF 1 < 0 一共有（ ）个.
A．9B．10C．11D．无数
【答案】C
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，① SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时，① SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，综上： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，一共有11个.故选：C
二、填空题
4．在复平面中，已知点 SKIPIF 1 < 0 ，复数 SKIPIF 1 < 0 对应的点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】解：因为复数 SKIPIF 1 < 0 对应的点为 SKIPIF 1 < 0
且 SKIPIF 1 < 0 则可确定点 SKIPIF 1 < 0 在以O为圆心，2为半径的圆上
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为圆的直径，即 SKIPIF 1 < 0 关于原点对称所以 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
5．若 SKIPIF 1 < 0 为虚数单位，复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为_______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
即复数 SKIPIF 1 < 0 对应的点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 表示复数 SKIPIF 1 < 0 对应的点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 的距离
数形结合可知 SKIPIF 1 < 0 的最大值 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
6．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且z是复数，当 SKIPIF 1 < 0 的最大值为3，则 SKIPIF 1 < 0 _______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得， SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
三、解答题
7．对于一组复数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，如果存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，那么称 SKIPIF 1 < 0 是该复数组的“ SKIPIF 1 < 0 复数”.
（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 是复数组 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的“ SKIPIF 1 < 0 复数”，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（2）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，是否存在复数 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均是复数组 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的“ SKIPIF 1 < 0 复数”？若存在，求出所有的 SKIPIF 1 < 0 ，若不存在，说明理由；
（3）若 SKIPIF 1 < 0 ，复数组 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 是否存在“ SKIPIF 1 < 0 复数”？给出你的结论并说明理由．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）存在， SKIPIF 1 < 0 ；（3）不存在，答案见解析.
【详解】解：（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 是复数组 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的“ SKIPIF 1 < 0 复数”， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，代入得 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均是复数组 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的“ SKIPIF 1 < 0 复数”，
则 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，2，3，则 SKIPIF 1 < 0 ，
相加得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）因为 SKIPIF 1 < 0 严格递减
当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时，复数组 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 存在“ SKIPIF 1 < 0 复数”， SKIPIF 1 < 0 是复数组 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 的“ SKIPIF 1 < 0 复数”．
SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时，复数组 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 不存在“ SKIPIF 1 < 0 复数”．
8．已知复数 SKIPIF 1 < 0 ，根据以下条件分别求实数 SKIPIF 1 < 0 的值或范围.
（1） SKIPIF 1 < 0 是纯虚数；（2） SKIPIF 1 < 0 对应的点在复平面的第二象限.
【答案】(1) m=3.(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】试题分析：（1）由纯虚数，可知实部等于0，虚部不等于0，即 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）对应点在第二象限，所以实部小于0，且对数的真数大于0，虚部大于0，即 SKIPIF 1 < 0 ．
试题解析：（1）由 SKIPIF 1 < 0 是纯虚数得 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 所以m=3.
（2）根据题意得 SKIPIF 1 < 0 ，由此得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
复数的加、减运算及其几何意义
目标导航
知识精讲
知识点一 复数加法与减法的运算法则
1．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则
(1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.
2．对任意z1，z2，z3∈C，有
(1)z1＋z2＝z2＋z1；
(2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
【即学即练1】
设m∈R，复数z1＝eq \f(m2＋m,m＋2)＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，若z1＋z2是虚数，求m的取值范围．
解 ∵z1＝eq \f(m2＋m,m＋2)＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，
∴z1＋z2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m2＋m,m＋2)－2))＋[(m－15)＋m(m－3)]i＝eq \f(m2－m－4,m＋2)＋(m2－2m－15)i.
∵z1＋z2是虚数，∴m2－2m－15≠0，且m＋2≠0.
∴m≠5，且m≠－3，且m≠－2，m∈R.
即m的取值范围为(－∞，－3)∪(－3，－2)∪(－2,5)∪(5，＋∞)．
反思感悟 复数加、减运算的解题思路
两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减)．复数的减法是加法的逆运算．当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减)．
知识点02 复数加、减法的几何意义
如图，设复数z1，z2对应的向量分别为eq \(OZ1,\s\up6(→))，eq \(OZ2,\s\up6(→))，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则向量eq \(OZ,\s\up6(→))与复数z1＋z2对应，向量eq \(Z2Z1,\s\up6(——→))与复数z1－z2对应．
【即学即练2】若z1＝1＋2i，z2＝2＋ai，复数z2－z1所对应的点在第四象限内，则实数a的取值范围是________．
答案 (－∞，2)
解析 z2－z1＝1＋(a－2)i，由题意知a－2<0，即a<2.
能力拓展
考法01 复数代数形式的加、减运算
【典例1】复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
答案 A
解析 复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)＝(1＋3＋5)＋(2－4＋3)i＝9＋i，其对应的点为(9,1)，在第一象限．
考法02 复数加、减法的几何意义
【典例2】 如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应的复数分别为0,3＋2i，－2＋4i.求：
(1)eq \(AO,\s\up6(→))对应的复数；
(2)eq \(CA,\s\up6(→))对应的复数；
(3)eq \(OB,\s\up6(→))对应的复数及eq \(OB,\s\up6(→))的长度．
解 (1)因为eq \(AO,\s\up6(→))＝－eq \(OA,\s\up6(→))，所以eq \(AO,\s\up6(→))对应的复数为－3－2i.
(2)因为eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))，所以eq \(CA,\s\up6(→))对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)因为eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))，所以eq \(OB,\s\up6(→))对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.
所以|eq \(OB,\s\up6(→))|＝eq \r(12＋62)＝eq \r(37).
反思感悟 复数与向量的对应关系的两个关注点
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)是与以原点为起点，Z(a，b)为终点的向量一一对应的．
(2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数发生改变．
【变式训练】已知复平面内的向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))对应的复数分别是－2＋i,3＋2i，则|eq \(OB,\s\up6(→))|＝________.
答案 eq \r(10)
解析 ∵eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))，∴eq \(OB,\s\up6(→))对应的复数为(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i，∴|eq \(OB,\s\up6(→))|＝eq \r(12＋32)＝eq \r(10).
考法03 复数模的综合问题
【典例3】 如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是( )
A．1 B.eq \f(1,2) C．2 D.eq \r(5)
答案 A
解析 设复数z，－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z，Z1，Z2，Z3，
因为|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2.
所以点Z在线段Z1Z2上移动，|Z1Z3|min＝1，所以|z＋i＋1|min＝1.
反思感悟 两个复数差的模的几何意义
(1)|z－z0|表示复数z，z0对应的点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式．
(2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆．
(3)涉及复数模的最值问题以及点的集合所表示的图形问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．
【变式训练】 △ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点P是△ABC的( )
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
答案 A
解析 由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z对应的点P到△ABC的顶点A，B，C的距离相等，∴P为△ABC的外心．
分层提分
题组A 基础过关练
一、单选题
1．已知复数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．3C． SKIPIF 1 < 0 D．1
【答案】B
【详解】根据题意，得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
2．已知设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，可令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为锐角，且 SKIPIF 1 < 0 ）
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为3.故选：A
3．复数 SKIPIF 1 < 0 的模为1，其中 SKIPIF 1 < 0 为虚数单位， SKIPIF 1 < 0 ，则这样的 SKIPIF 1 < 0 一共有（ ）个.
A．9B．10C．11D．无数
【答案】C
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，① SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时，① SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，综上： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，一共有11个.
故选：C
4．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．4B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，故选：D.
5．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：D
6．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
二、填空题
7．在复平面中，已知点 SKIPIF 1 < 0 ，复数 SKIPIF 1 < 0 对应的点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】解：因为复数 SKIPIF 1 < 0 对应的点为 SKIPIF 1 < 0
且 SKIPIF 1 < 0 则可确定点 SKIPIF 1 < 0 在以O为圆心，2为半径的圆上
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为圆的直径，即 SKIPIF 1 < 0 关于原点对称所以 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
8．若 SKIPIF 1 < 0 为虚数单位，复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为_______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
即复数 SKIPIF 1 < 0 对应的点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 表示复数 SKIPIF 1 < 0 对应的点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 的距离
数形结合可知 SKIPIF 1 < 0 的最大值 SKIPIF 1 < 0 故答案为： SKIPIF 1 < 0
9．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且z是复数，当 SKIPIF 1 < 0 的最大值为3，则 SKIPIF 1 < 0 _______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得， SKIPIF 1 < 0 ，故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
10．已知复数 SKIPIF 1 < 0 为虚数单位，则 SKIPIF 1 < 0 _________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为复数 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
三、解答题
11．对于一组复数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，如果存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，那么称 SKIPIF 1 < 0 是该复数组的“ SKIPIF 1 < 0 复数”.
（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 是复数组 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的“ SKIPIF 1 < 0 复数”，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（2）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，是否存在复数 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均是复数组 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的“ SKIPIF 1 < 0 复数”？若存在，求出所有的 SKIPIF 1 < 0 ，若不存在，说明理由；
（3）若 SKIPIF 1 < 0 ，复数组 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 是否存在“ SKIPIF 1 < 0 复数”？给出你的结论并说明理由．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）存在， SKIPIF 1 < 0 ；（3）不存在，答案见解析.
【详解】解：（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 是复数组 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的“ SKIPIF 1 < 0 复数”， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，代入得 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均是复数组 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的“ SKIPIF 1 < 0 复数”，
则 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，2，3，则 SKIPIF 1 < 0 ，
相加得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）因为 SKIPIF 1 < 0 严格递减
当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时，复数组 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 存在“ SKIPIF 1 < 0 复数”， SKIPIF 1 < 0 是复数组 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 的“ SKIPIF 1 < 0 复数”．
SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时，复数组 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 不存在“ SKIPIF 1 < 0 复数”．
12．已知复数 SKIPIF 1 < 0 ，根据以下条件分别求实数 SKIPIF 1 < 0 的值或范围.
（1） SKIPIF 1 < 0 是纯虚数；（2） SKIPIF 1 < 0 对应的点在复平面的第二象限.
【答案】(1) m=3.(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】试题分析：（1）由纯虚数，可知实部等于0，虚部不等于0，即 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）对应点在第二象限，所以实部小于0，且对数的真数大于0，虚部大于0，即 SKIPIF 1 < 0 ．
试题解析：（1）由 SKIPIF 1 < 0 是纯虚数得 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 所以m=3.
（2）根据题意得 SKIPIF 1 < 0 ，
由此得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
题组B 能力提升练
一、单选题
1．已知关于 SKIPIF 1 < 0 的实系数一元二次方程 SKIPIF 1 < 0 有两个虚根 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】因为方程 SKIPIF 1 < 0 有两个虚根 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又由求根公式知两虚根为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，满足要求，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
2．关于复数，下列说法正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
B．复数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 分别对应向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 对应的复数为 SKIPIF 1 < 0
C．若点Z的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则Z对应的点在第三象限
D．若复数z满足 SKIPIF 1 < 0 ，则复数z对应的点所构成的图形面积为 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】对于A，取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
对于B， SKIPIF 1 < 0 ，B错误；
对于C，点Z的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则Z对应的点在第二象限，C错误；
对于D，设 SKIPIF 1 < 0 ，则由 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 ，
故复数z对应的点所构成的图形面积为 SKIPIF 1 < 0 ，D正确，故选：D.
3．已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为实数，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B．3C． SKIPIF 1 < 0 D．5
【答案】C
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选：C
4．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：D.
5．若|z＋3i|＝|z＋4－i|，则|z|＋|z－2|的最小值为（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，
可以理解为点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 距离之和，设点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
6．欧拉公式被称为世界上最完美的公式，欧拉公式又称为欧拉定理，是用在复分析领域的公式，欧拉公式将三角函数与复数指数函数相关联，即 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）.根据欧拉公式，下列说法不正确的是（ ）
A．对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点在第二象限
C． SKIPIF 1 < 0 的实部为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互为共轭复数
【答案】C
【详解】对于A选项， SKIPIF 1 < 0 ，A正确；对于B选项， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点 SKIPIF 1 < 0 在第二象限，B正确；对于C选项， SKIPIF 1 < 0 ，实部为 SKIPIF 1 < 0 ，C错误；对于D选项， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互为共轭复数，D正确.故选：C.
二、多选题
7．已知 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是虚数单位）， SKIPIF 1 < 0 ，定义： SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A．对任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 是z的共轭复数，则 SKIPIF 1 < 0 恒成立
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D．对任意 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 恒成立
【答案】BD
【详解】对于A，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
对于B， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对于C，若 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 错误，如 SKIPIF 1 < 0 ，满足
SKIPIF 1 < 0 ,但 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
对于D，设 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 恒成立，故D正确．
故选：BD．
三、填空题
8．若复数 SKIPIF 1 < 0 和复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _____．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，根据复数的运算即可求解.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
也即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
9．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ____．
【答案】5
【分析】根据已知条件假设 SKIPIF 1 < 0 ，结合复数模公式，即可求解
【详解】解：假设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ①， SKIPIF 1 < 0 ②， SKIPIF 1 < 0 ③，
∴③-①-②得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：5
10．已知复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则复平面内由点 SKIPIF 1 < 0 形成的区域的面积为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以复平面内由点 SKIPIF 1 < 0 形成的区域是以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，1为半径的圆及其内部，该区域的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
11．已知i为虚数单位，复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点关于原点对称，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据 SKIPIF 1 < 0 找到其在复平面内对应点坐标，再根据复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点关于原点对称确定 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点为 SKIPIF 1 < 0 ，从而求出 SKIPIF 1 < 0 的复数表达形式，根据共轭复数的特点求出 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点关于原点对称，所以 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
四、解答题
12．复数 SKIPIF 1 < 0 ，求实数m的取值范围使得：
(1)z为纯虚数；
(2)z在复平面上对应的点在第四象限．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
(1) SKIPIF 1 < 0 ，
若z为纯虚数，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 .
(2)由题意知， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 .
13．已知复数 SKIPIF 1 < 0 均为锐角，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
(1)因为复数 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 .
(2)
因为 SKIPIF 1 < 0 均为锐角，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 为锐角， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
题组C 培优拔尖练
一、单选题
1．已知复数z满足 SKIPIF 1 < 0 ，则z的虚部是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C． SKIPIF 1 < 0 D．i
【答案】A
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以复数 SKIPIF 1 < 0 的虚部是 SKIPIF 1 < 0 .故选：A
2．设复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面上对应向量 SKIPIF 1 < 0 ，将向量 SKIPIF 1 < 0 绕原点O按顺时针方向旋转 SKIPIF 1 < 0 后得到向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 对应复数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
二、多选题
3．已知复数 SKIPIF 1 < 0 (i为虚数单位)在复平面内对应的点为 SKIPIF 1 < 0 ，复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 点在复平面上的坐标为 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【详解】复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点为 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
复数 SKIPIF 1 < 0 ，所以复数 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以，复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上，其圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 表示的是复数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的两点之间的距离，即 SKIPIF 1 < 0 .
而 SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确，D错误．
故选：ABC．
三、填空题
4．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是_________．
【答案】1
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以z在复平面内所对应的点Z在以原点O为圆心，半径为 SKIPIF 1 < 0 的圆上．
SKIPIF 1 < 0 ，表示Z到点 SKIPIF 1 < 0 所对应的点 SKIPIF 1 < 0 的距离，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．故答案为1．
【点睛】方法点睛：本题考查复数模的几何意义， SKIPIF 1 < 0 表示复平面上 SKIPIF 1 < 0 对应的点 SKIPIF 1 < 0 到原点的距离， SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 在复平面上 SKIPIF 1 < 0 对应的点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 对应的点 SKIPIF 1 < 0 间的距离．因此有 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 对应的点为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆．
5．若复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则复数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】解：设 SKIPIF 1 < 0 ，（ SKIPIF 1 < 0 ）则由 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应点的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，以1为半径的圆，如图：
SKIPIF 1 < 0 表示复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应点到点 SKIPIF 1 < 0 的距离
所以 SKIPIF 1 < 0 最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
6．若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为___________
【答案】4
【详解】复数z满足 SKIPIF 1 < 0 ，点z表示以原点为圆心、1为半径的圆，则 SKIPIF 1 < 0 表示z点对应的复数与点(3,4)之间的距离.原点O到点(3,4)之间的距离d=5，∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值为5-1=4.故答案为：4.
7．若 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 最大值是_______________.
【答案】3
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的几何意义为复平面动点到定点 SKIPIF 1 < 0 距离为1的点的轨迹，可看成圆 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 表示圆上的点到原点的距离，所以 SKIPIF 1 < 0 最大值为圆O1到原点距离加上半径1，即 SKIPIF 1 < 0 .故答案为：3.
8．已知 SKIPIF 1 < 0 为复数，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为____________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由题意设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的模的轨迹可理解为以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，半径为2的圆.
则 SKIPIF 1 < 0 ，可理解为求点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 之间的距离，数形结合可知， SKIPIF 1 < 0 的最大值为4．故答案为： SKIPIF 1 < 0
四、解答题
9．设复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求满足条件的复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面上对应点所构成的图形面积.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，则复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面上对应点的坐标为 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
所以复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面上对应的点构成的图形为以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，半径为3的圆面，
故其面积 SKIPIF 1 < 0
10．已知复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值与最小值．
【答案】最大值 SKIPIF 1 < 0 ，最小值 SKIPIF 1 < 0
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值 SKIPIF 1 < 0 ，最小值 SKIPIF 1 < 0 .
课程标准
课标解读
1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系
.2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念.
3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法．．
1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系
.2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念.
3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法．．
课程标准
课标解读
1.熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则.
2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．
1.在认真学习复数定义的基础上，熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则.
2.进一步加强理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题，提升数学学科素养.
知识精讲
知识点01 复平面
【即学即练1】 在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在y＝x的图象上，分别求实数m的取值范围．
解 复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i的实部为m2－2m－8，虚部为m2＋3m－10.
(1)由题意得m2－2m－8＝0.解得m＝－2或m＝4.
(2)由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－2m－8＜0，,m2＋3m－10＞0，))∴2
反思感悟 利用复数与点的对应关系解题的步骤
(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据．
(2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．
知识点02 复数的几何意义
1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)．
2．复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量eq \(OZ,\s\up6(→)).
【即学即练2】)向量eq \(OZ1,\s\up6(→))对应的复数是5－4i，向量eq \(OZ2,\s\up6(→))对应的复数是－5＋4i，则eq \(OZ1,\s\up6(→))＋eq \(OZ2,\s\up6(→))对应的复数是( )
A．－10＋8i B．10－8i C．0 D．10＋8i
答案 C
解析 由复数的几何意义，可得eq \(OZ1,\s\up6(→))＝(5，－4)，eq \(OZ2,\s\up6(→))＝(－5,4)，
所以eq \(OZ1,\s\up6(→))＋eq \(OZ2,\s\up6(→))＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以eq \(OZ1,\s\up6(→))＋eq \(OZ2,\s\up6(→))对应的复数为0.
知识点03 复数的模
1．定义：向量eq \(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值．
2．记法：复数z＝a＋bi的模记作|z|或|a＋bi|.
3．公式：|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2).
【即学即练3】已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.
解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝eq \r(a2＋b2)，
代入方程得a＋bi＋eq \r(a2＋b2)＝2＋8i，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋\r(a2＋b2)＝2，,b＝8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－15，,b＝8.))∴z＝－15＋8i.
知识点04 共轭复数
1．定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．
2．表示：复数z的共轭复数用eq \x\t(z)表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么eq \x\t(z)＝a－bi.
【即学即练4】若复数z1＝2＋bi与复数z2＝a－4i互为共轭复数，则a＝________，b＝________.
答案 2 4
解析 因为z1与z2互为共轭复数，所以a＝2，b＝4.
能力拓展
考法01 复平面
【典例1】求实数m分别取何值时，复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i(m∈R)对应的点Z满足下列条件：
(1)在复平面内的x轴上方；
(2)在实轴负半轴上．
解 (1)∵点Z在x轴上方，∴m2－3m＋2>0，解得m<1或m>2.
(2)若复数z的对应点在实轴负半轴上，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－m－2<0，,m2－3m＋2＝0，))解得m＝1.
考法02 复数与复平面内的向量的关系
【典例2】在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i,3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数．
解 记O为复平面的原点，
由题意得eq \(OA,\s\up6(→))＝(2,3)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(3,2)，eq \(OC,\s\up6(→))＝(－2，－3)．
设eq \(OD,\s\up6(→))＝(x，y)，则eq \(AD,\s\up6(→))＝(x－2，y－3)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(－5，－5)．
由题意知，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2＝－5，,y－3＝－5，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－3，,y＝－2，))
故点D对应的复数为－3－2i.
反思感悟 复数与平面向量的对应关系
(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．
(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．
【变式训练】已知平面直角坐标系中O是原点，向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量eq \(BA,\s\up6(→))对应的复数是( )
A．－5＋5i B．5－5i C．5＋5i D．－5－5i
答案 B
解析 向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))对应的复数分别记作z1＝2－3i，z2＝－3＋2i，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(2，－3)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(－3,2)．
由向量减法的坐标运算可得向量eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)，
根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量eq \(BA,\s\up6(→))对应的复数是5－5i.
考法03 复数的模及其应用
【典例3】已知x，y∈R，i为虚数单位，若1＋xi＝(2－y)－3i，则|x＋yi|等于( )
A．3 B.eq \r(10) C.eq \r(5) D.eq \r(2)
答案 B
解析 因为1＋xi＝(2－y)－3i，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－y＝1，,x＝－3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－3，,y＝1，))则|x＋yi|＝|－3＋i|＝eq \r(－32＋12)＝eq \r(10).
反思感悟 复数模的计算
(1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．
(2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求
【变式训练】已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，下列选项中正确的是( )
A．z1>z2 B．z1
答案 D
解析 |z1|＝|5＋3i|＝eq \r(52＋32)＝eq \r(34)，|z2|＝|5＋4i|＝eq \r(52＋42)＝eq \r(41).因为eq \r(34)
答案 A
解析 0
题组A 基础过关练
一、单选题
1．若向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 对应的复数分别是 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 对应的复数为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】因为向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 对应的复数分别是 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 对应的复数为 SKIPIF 1 < 0 ，故选： SKIPIF 1 < 0 .
2．设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】 SKIPIF 1 < 0 故选：B
3．已知复数 SKIPIF 1 < 0 为虚数单位）满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．2B．1C． SKIPIF 1 < 0 D．4
【答案】A
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以复数 SKIPIF 1 < 0 对应的点的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆，
所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：A
4．复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．5
【答案】C
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 故选：C
5．设 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，其在复平面对应的点为 SKIPIF 1 < 0 ，求点 SKIPIF 1 < 0 构成的集合所表示的图形面积（ ）
A．1B．5C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】设复数 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
则 SKIPIF 1 < 0 等价于 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 .
所以复平面对应的点为 SKIPIF 1 < 0 表示复平面上以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，以2，3为半径的两个圆所夹的圆环（包括边界），故其面积为 SKIPIF 1 < 0 ．故选：D.
6．在复平面内，点 SKIPIF 1 < 0 对应的复数为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为虚数单位），且向量 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 对应复数为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，
则由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 对应复数为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A.
二、多选题
7．设 SKIPIF 1 < 0 ，在复平面内z对应的点为Z，则下列条件的点Z的集合是圆的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，对A， SKIPIF 1 < 0 表示圆，A对.
对B， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 不是圆，B错.
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 化简得 SKIPIF 1 < 0 表示圆，C对.
对于D， SKIPIF 1 < 0 表示线段，D错.故选：AC
8．已知 SKIPIF 1 < 0 为虚数单位，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的充要条件是 SKIPIF 1 < 0
C．若复数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D．复数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【分析】根据复数的模的定义和运算法则可以判断AD对，虚数不能比较大小能判断C对，举一个反例可以判断B错.
【详解】A.根据模的运算法则， SKIPIF 1 < 0 ，A对；B．当 SKIPIF 1 < 0 成立，B错；
C.虚数不能比较大小，复数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，C对；D．复数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D对.
故选：ACD
9．已知复数z满足 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．复数z虚部的最大值为2 B．复数z实部的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的最小值为1 D．复数z在复平面内对应的点位于第一、三、四象限
【答案】ABC
【详解】解：满足 SKIPIF 1 < 0 的复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应点的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，以 SKIPIF 1 < 0 为半径的圆，如图，
由图可知，虚部最大的复数 SKIPIF 1 < 0 ，即复数z虚部的最大值为2．A正确；
实部最小的复数 SKIPIF 1 < 0 ，实部最大的复数 SKIPIF 1 < 0 ，所以实部的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
SKIPIF 1 < 0 表示复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应点到 SKIPIF 1 < 0 的距离，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
由图可知，复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应点位于第一、二、三、四象限，故D错误．
故选：ABC
三、填空题
10．设复数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在复平面的对应的向量分别为 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 对应的复数所对应的点的坐标为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】依题意，复数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在复平面的对应的向量分别为 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以向量 SKIPIF 1 < 0 对应的复数所对应的点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0
11．若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是_______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，则复平面上表示复数 SKIPIF 1 < 0 的点 SKIPIF 1 < 0 在以原点为圆心，1为半径的圆上， SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 的距离，∵ SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
四、解答题
12．已知 SKIPIF 1 < 0 为虚数单位.
(1)若复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点在第三象限，求 SKIPIF 1 < 0 的范围；
(2)若复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求复数 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）因为复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点在第三象限，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是： SKIPIF 1 < 0
（2）设复数 SKIPIF 1 < 0 ，由条件得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 解得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
题组B 能力提升练
一、单选题
1．设 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，其在复平面对应的点为 SKIPIF 1 < 0 ，求点 SKIPIF 1 < 0 构成的集合所表示的图形面积（ ）
A．1B．5C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】设复数 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
则 SKIPIF 1 < 0 等价于 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 .
所以复平面对应的点为 SKIPIF 1 < 0 表示复平面上以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，
以2，3为半径的两个圆所夹的圆环（包括边界），故其面积为 SKIPIF 1 < 0 ．故选：D.
2．若复数z满足 SKIPIF 1 < 0 为纯虚数，且 SKIPIF 1 < 0 ，则z的虚部为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为纯虚数，所以 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即z的虚部为 SKIPIF 1 < 0 .故选：A.
二、多选题
3．设 SKIPIF 1 < 0 ，在复平面内z对应的点为Z，则下列条件的点Z的集合是圆的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，对A， SKIPIF 1 < 0 表示圆，A对.
对B， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 不是圆，B错.
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 化简得 SKIPIF 1 < 0 表示圆，C对.
对于D， SKIPIF 1 < 0 表示线段，D错.故选：AC
4．欧拉公式 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 为虚数单位， SKIPIF 1 < 0 ）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 为纯虚数C． SKIPIF 1 < 0 D．复数 SKIPIF 1 < 0 对应的点位于第三象限
【详解】解：对于A： SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
对于B： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为纯虚数，故B正确；
对于C： SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于D： SKIPIF 1 < 0 ，则复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 位于第二象限，
即复数 SKIPIF 1 < 0 对应的点位于第二象限，故D错误；故选：BC
三、填空题
5．已知复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 是虚数单位），则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则可设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
（其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ），则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
6．已知复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则在复平面内复数 SKIPIF 1 < 0 对应的点 SKIPIF 1 < 0 所在区域的面积为_____．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以复平面内复数 SKIPIF 1 < 0 对应的点 SKIPIF 1 < 0 所在区域是圆 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 围成的圆环，
故所求区域面积 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
7．设全集 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点形成图形的面积为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
因为， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
即集合A在复平面内表示的图形为圆 SKIPIF 1 < 0 及其内部，集合B在复平面内表示的图形为直线 SKIPIF 1 < 0 的左侧，集合 SKIPIF 1 < 0 在复平面内表示的图形为直线 SKIPIF 1 < 0 的右侧（包括直线 SKIPIF 1 < 0 ），如图所示.所以，复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点形成的图形即为图中的弓形 SKIPIF 1 < 0 部分.
弓形 SKIPIF 1 < 0 的面积为扇形 SKIPIF 1 < 0 的面积减去 SKIPIF 1 < 0 的面积，易知扇形的圆心角 SKIPIF 1 < 0 ，
圆的半径 SKIPIF 1 < 0 ，则扇形的面积 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以弓形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
四、解答题
8．已知非零复数 SKIPIF 1 < 0 ；若 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值：
(2)若 SKIPIF 1 < 0 所对应点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上，求 SKIPIF 1 < 0 所对应的点的轨迹.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1） SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，两式相加化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，
代入方程可得 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 所对应点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 所对应的点的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 .
9．已知虚数z满足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求z；
(2)若z的虚部为正数，比较 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的大小.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
10．已知复数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求角 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)复数 SKIPIF 1 < 0 对应的向量分别是 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(3)复数 SKIPIF 1 < 0 对应的向量分别是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，存在 SKIPIF 1 < 0 使等式 SKIPIF 1 < 0 成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1)角 SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 (3) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
（2）由复数的坐标表示得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最大值为4，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
（3）由题意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，由小问2的结论可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
当 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
综合所述， SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
题组C 培优拔尖练
一、单选题
1．已知复数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．3C． SKIPIF 1 < 0 D．1
【答案】B
【详解】根据题意，得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
2．已知设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，可令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为锐角，且 SKIPIF 1 < 0 ）
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为3.故选：A
3．复数 SKIPIF 1 < 0 的模为1，其中 SKIPIF 1 < 0 为虚数单位， SKIPIF 1 < 0 ，则这样的 SKIPIF 1 < 0 一共有（ ）个.
A．9B．10C．11D．无数
【答案】C
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，① SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时，① SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，综上： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，一共有11个.故选：C
二、填空题
4．在复平面中，已知点 SKIPIF 1 < 0 ，复数 SKIPIF 1 < 0 对应的点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】解：因为复数 SKIPIF 1 < 0 对应的点为 SKIPIF 1 < 0
且 SKIPIF 1 < 0 则可确定点 SKIPIF 1 < 0 在以O为圆心，2为半径的圆上
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为圆的直径，即 SKIPIF 1 < 0 关于原点对称所以 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
5．若 SKIPIF 1 < 0 为虚数单位，复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为_______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
即复数 SKIPIF 1 < 0 对应的点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 表示复数 SKIPIF 1 < 0 对应的点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 的距离
数形结合可知 SKIPIF 1 < 0 的最大值 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
6．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且z是复数，当 SKIPIF 1 < 0 的最大值为3，则 SKIPIF 1 < 0 _______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得， SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
三、解答题
7．对于一组复数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，如果存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，那么称 SKIPIF 1 < 0 是该复数组的“ SKIPIF 1 < 0 复数”.
（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 是复数组 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的“ SKIPIF 1 < 0 复数”，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（2）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，是否存在复数 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均是复数组 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的“ SKIPIF 1 < 0 复数”？若存在，求出所有的 SKIPIF 1 < 0 ，若不存在，说明理由；
（3）若 SKIPIF 1 < 0 ，复数组 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 是否存在“ SKIPIF 1 < 0 复数”？给出你的结论并说明理由．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）存在， SKIPIF 1 < 0 ；（3）不存在，答案见解析.
【详解】解：（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 是复数组 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的“ SKIPIF 1 < 0 复数”， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，代入得 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均是复数组 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的“ SKIPIF 1 < 0 复数”，
则 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，2，3，则 SKIPIF 1 < 0 ，
相加得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）因为 SKIPIF 1 < 0 严格递减
当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时，复数组 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 存在“ SKIPIF 1 < 0 复数”， SKIPIF 1 < 0 是复数组 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 的“ SKIPIF 1 < 0 复数”．
SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时，复数组 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 不存在“ SKIPIF 1 < 0 复数”．
8．已知复数 SKIPIF 1 < 0 ，根据以下条件分别求实数 SKIPIF 1 < 0 的值或范围.
（1） SKIPIF 1 < 0 是纯虚数；（2） SKIPIF 1 < 0 对应的点在复平面的第二象限.
【答案】(1) m=3.(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】试题分析：（1）由纯虚数，可知实部等于0，虚部不等于0，即 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）对应点在第二象限，所以实部小于0，且对数的真数大于0，虚部大于0，即 SKIPIF 1 < 0 ．
试题解析：（1）由 SKIPIF 1 < 0 是纯虚数得 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 所以m=3.
（2）根据题意得 SKIPIF 1 < 0 ，由此得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
复数的加、减运算及其几何意义
目标导航
知识精讲
知识点一 复数加法与减法的运算法则
1．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则
(1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.
2．对任意z1，z2，z3∈C，有
(1)z1＋z2＝z2＋z1；
(2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
【即学即练1】
设m∈R，复数z1＝eq \f(m2＋m,m＋2)＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，若z1＋z2是虚数，求m的取值范围．
解 ∵z1＝eq \f(m2＋m,m＋2)＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，
∴z1＋z2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m2＋m,m＋2)－2))＋[(m－15)＋m(m－3)]i＝eq \f(m2－m－4,m＋2)＋(m2－2m－15)i.
∵z1＋z2是虚数，∴m2－2m－15≠0，且m＋2≠0.
∴m≠5，且m≠－3，且m≠－2，m∈R.
即m的取值范围为(－∞，－3)∪(－3，－2)∪(－2,5)∪(5，＋∞)．
反思感悟 复数加、减运算的解题思路
两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减)．复数的减法是加法的逆运算．当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减)．
知识点02 复数加、减法的几何意义
如图，设复数z1，z2对应的向量分别为eq \(OZ1,\s\up6(→))，eq \(OZ2,\s\up6(→))，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则向量eq \(OZ,\s\up6(→))与复数z1＋z2对应，向量eq \(Z2Z1,\s\up6(——→))与复数z1－z2对应．
【即学即练2】若z1＝1＋2i，z2＝2＋ai，复数z2－z1所对应的点在第四象限内，则实数a的取值范围是________．
答案 (－∞，2)
解析 z2－z1＝1＋(a－2)i，由题意知a－2<0，即a<2.
能力拓展
考法01 复数代数形式的加、减运算
【典例1】复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
答案 A
解析 复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)＝(1＋3＋5)＋(2－4＋3)i＝9＋i，其对应的点为(9,1)，在第一象限．
考法02 复数加、减法的几何意义
【典例2】 如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应的复数分别为0,3＋2i，－2＋4i.求：
(1)eq \(AO,\s\up6(→))对应的复数；
(2)eq \(CA,\s\up6(→))对应的复数；
(3)eq \(OB,\s\up6(→))对应的复数及eq \(OB,\s\up6(→))的长度．
解 (1)因为eq \(AO,\s\up6(→))＝－eq \(OA,\s\up6(→))，所以eq \(AO,\s\up6(→))对应的复数为－3－2i.
(2)因为eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))，所以eq \(CA,\s\up6(→))对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)因为eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))，所以eq \(OB,\s\up6(→))对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.
所以|eq \(OB,\s\up6(→))|＝eq \r(12＋62)＝eq \r(37).
反思感悟 复数与向量的对应关系的两个关注点
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)是与以原点为起点，Z(a，b)为终点的向量一一对应的．
(2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数发生改变．
【变式训练】已知复平面内的向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))对应的复数分别是－2＋i,3＋2i，则|eq \(OB,\s\up6(→))|＝________.
答案 eq \r(10)
解析 ∵eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))，∴eq \(OB,\s\up6(→))对应的复数为(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i，∴|eq \(OB,\s\up6(→))|＝eq \r(12＋32)＝eq \r(10).
考法03 复数模的综合问题
【典例3】 如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是( )
A．1 B.eq \f(1,2) C．2 D.eq \r(5)
答案 A
解析 设复数z，－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z，Z1，Z2，Z3，
因为|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2.
所以点Z在线段Z1Z2上移动，|Z1Z3|min＝1，所以|z＋i＋1|min＝1.
反思感悟 两个复数差的模的几何意义
(1)|z－z0|表示复数z，z0对应的点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式．
(2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆．
(3)涉及复数模的最值问题以及点的集合所表示的图形问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．
【变式训练】 △ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点P是△ABC的( )
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
答案 A
解析 由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z对应的点P到△ABC的顶点A，B，C的距离相等，∴P为△ABC的外心．
分层提分
题组A 基础过关练
一、单选题
1．已知复数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．3C． SKIPIF 1 < 0 D．1
【答案】B
【详解】根据题意，得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
2．已知设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，可令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为锐角，且 SKIPIF 1 < 0 ）
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为3.故选：A
3．复数 SKIPIF 1 < 0 的模为1，其中 SKIPIF 1 < 0 为虚数单位， SKIPIF 1 < 0 ，则这样的 SKIPIF 1 < 0 一共有（ ）个.
A．9B．10C．11D．无数
【答案】C
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，① SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时，① SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，综上： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，一共有11个.
故选：C
4．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．4B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，故选：D.
5．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：D
6．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
二、填空题
7．在复平面中，已知点 SKIPIF 1 < 0 ，复数 SKIPIF 1 < 0 对应的点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】解：因为复数 SKIPIF 1 < 0 对应的点为 SKIPIF 1 < 0
且 SKIPIF 1 < 0 则可确定点 SKIPIF 1 < 0 在以O为圆心，2为半径的圆上
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为圆的直径，即 SKIPIF 1 < 0 关于原点对称所以 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
8．若 SKIPIF 1 < 0 为虚数单位，复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为_______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
即复数 SKIPIF 1 < 0 对应的点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 表示复数 SKIPIF 1 < 0 对应的点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 的距离
数形结合可知 SKIPIF 1 < 0 的最大值 SKIPIF 1 < 0 故答案为： SKIPIF 1 < 0
9．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且z是复数，当 SKIPIF 1 < 0 的最大值为3，则 SKIPIF 1 < 0 _______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得， SKIPIF 1 < 0 ，故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
10．已知复数 SKIPIF 1 < 0 为虚数单位，则 SKIPIF 1 < 0 _________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为复数 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
三、解答题
11．对于一组复数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，如果存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，那么称 SKIPIF 1 < 0 是该复数组的“ SKIPIF 1 < 0 复数”.
（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 是复数组 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的“ SKIPIF 1 < 0 复数”，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（2）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，是否存在复数 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均是复数组 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的“ SKIPIF 1 < 0 复数”？若存在，求出所有的 SKIPIF 1 < 0 ，若不存在，说明理由；
（3）若 SKIPIF 1 < 0 ，复数组 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 是否存在“ SKIPIF 1 < 0 复数”？给出你的结论并说明理由．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）存在， SKIPIF 1 < 0 ；（3）不存在，答案见解析.
【详解】解：（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 是复数组 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的“ SKIPIF 1 < 0 复数”， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，代入得 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均是复数组 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的“ SKIPIF 1 < 0 复数”，
则 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，2，3，则 SKIPIF 1 < 0 ，
相加得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）因为 SKIPIF 1 < 0 严格递减
当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时，复数组 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 存在“ SKIPIF 1 < 0 复数”， SKIPIF 1 < 0 是复数组 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 的“ SKIPIF 1 < 0 复数”．
SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时，复数组 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 不存在“ SKIPIF 1 < 0 复数”．
12．已知复数 SKIPIF 1 < 0 ，根据以下条件分别求实数 SKIPIF 1 < 0 的值或范围.
（1） SKIPIF 1 < 0 是纯虚数；（2） SKIPIF 1 < 0 对应的点在复平面的第二象限.
【答案】(1) m=3.(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】试题分析：（1）由纯虚数，可知实部等于0，虚部不等于0，即 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）对应点在第二象限，所以实部小于0，且对数的真数大于0，虚部大于0，即 SKIPIF 1 < 0 ．
试题解析：（1）由 SKIPIF 1 < 0 是纯虚数得 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 所以m=3.
（2）根据题意得 SKIPIF 1 < 0 ，
由此得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
题组B 能力提升练
一、单选题
1．已知关于 SKIPIF 1 < 0 的实系数一元二次方程 SKIPIF 1 < 0 有两个虚根 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】因为方程 SKIPIF 1 < 0 有两个虚根 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又由求根公式知两虚根为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，满足要求，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
2．关于复数，下列说法正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
B．复数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 分别对应向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 对应的复数为 SKIPIF 1 < 0
C．若点Z的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则Z对应的点在第三象限
D．若复数z满足 SKIPIF 1 < 0 ，则复数z对应的点所构成的图形面积为 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】对于A，取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
对于B， SKIPIF 1 < 0 ，B错误；
对于C，点Z的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则Z对应的点在第二象限，C错误；
对于D，设 SKIPIF 1 < 0 ，则由 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 ，
故复数z对应的点所构成的图形面积为 SKIPIF 1 < 0 ，D正确，故选：D.
3．已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为实数，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B．3C． SKIPIF 1 < 0 D．5
【答案】C
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选：C
4．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：D.
5．若|z＋3i|＝|z＋4－i|，则|z|＋|z－2|的最小值为（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，
可以理解为点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 距离之和，设点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
6．欧拉公式被称为世界上最完美的公式，欧拉公式又称为欧拉定理，是用在复分析领域的公式，欧拉公式将三角函数与复数指数函数相关联，即 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）.根据欧拉公式，下列说法不正确的是（ ）
A．对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点在第二象限
C． SKIPIF 1 < 0 的实部为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互为共轭复数
【答案】C
【详解】对于A选项， SKIPIF 1 < 0 ，A正确；对于B选项， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点 SKIPIF 1 < 0 在第二象限，B正确；对于C选项， SKIPIF 1 < 0 ，实部为 SKIPIF 1 < 0 ，C错误；对于D选项， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互为共轭复数，D正确.故选：C.
二、多选题
7．已知 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是虚数单位）， SKIPIF 1 < 0 ，定义： SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A．对任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 是z的共轭复数，则 SKIPIF 1 < 0 恒成立
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D．对任意 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 恒成立
【答案】BD
【详解】对于A，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
对于B， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对于C，若 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 错误，如 SKIPIF 1 < 0 ，满足
SKIPIF 1 < 0 ,但 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
对于D，设 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 恒成立，故D正确．
故选：BD．
三、填空题
8．若复数 SKIPIF 1 < 0 和复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _____．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，根据复数的运算即可求解.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
也即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
9．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ____．
【答案】5
【分析】根据已知条件假设 SKIPIF 1 < 0 ，结合复数模公式，即可求解
【详解】解：假设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ①， SKIPIF 1 < 0 ②， SKIPIF 1 < 0 ③，
∴③-①-②得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：5
10．已知复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则复平面内由点 SKIPIF 1 < 0 形成的区域的面积为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以复平面内由点 SKIPIF 1 < 0 形成的区域是以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，1为半径的圆及其内部，该区域的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
11．已知i为虚数单位，复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点关于原点对称，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据 SKIPIF 1 < 0 找到其在复平面内对应点坐标，再根据复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点关于原点对称确定 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点为 SKIPIF 1 < 0 ，从而求出 SKIPIF 1 < 0 的复数表达形式，根据共轭复数的特点求出 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点关于原点对称，所以 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
四、解答题
12．复数 SKIPIF 1 < 0 ，求实数m的取值范围使得：
(1)z为纯虚数；
(2)z在复平面上对应的点在第四象限．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
(1) SKIPIF 1 < 0 ，
若z为纯虚数，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 .
(2)由题意知， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 .
13．已知复数 SKIPIF 1 < 0 均为锐角，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
(1)因为复数 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 .
(2)
因为 SKIPIF 1 < 0 均为锐角，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 为锐角， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
题组C 培优拔尖练
一、单选题
1．已知复数z满足 SKIPIF 1 < 0 ，则z的虚部是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C． SKIPIF 1 < 0 D．i
【答案】A
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以复数 SKIPIF 1 < 0 的虚部是 SKIPIF 1 < 0 .故选：A
2．设复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面上对应向量 SKIPIF 1 < 0 ，将向量 SKIPIF 1 < 0 绕原点O按顺时针方向旋转 SKIPIF 1 < 0 后得到向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 对应复数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
二、多选题
3．已知复数 SKIPIF 1 < 0 (i为虚数单位)在复平面内对应的点为 SKIPIF 1 < 0 ，复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 点在复平面上的坐标为 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【详解】复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点为 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
复数 SKIPIF 1 < 0 ，所以复数 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以，复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上，其圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 表示的是复数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的两点之间的距离，即 SKIPIF 1 < 0 .
而 SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确，D错误．
故选：ABC．
三、填空题
4．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是_________．
【答案】1
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以z在复平面内所对应的点Z在以原点O为圆心，半径为 SKIPIF 1 < 0 的圆上．
SKIPIF 1 < 0 ，表示Z到点 SKIPIF 1 < 0 所对应的点 SKIPIF 1 < 0 的距离，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．故答案为1．
【点睛】方法点睛：本题考查复数模的几何意义， SKIPIF 1 < 0 表示复平面上 SKIPIF 1 < 0 对应的点 SKIPIF 1 < 0 到原点的距离， SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 在复平面上 SKIPIF 1 < 0 对应的点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 对应的点 SKIPIF 1 < 0 间的距离．因此有 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 对应的点为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆．
5．若复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则复数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】解：设 SKIPIF 1 < 0 ，（ SKIPIF 1 < 0 ）则由 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应点的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，以1为半径的圆，如图：
SKIPIF 1 < 0 表示复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应点到点 SKIPIF 1 < 0 的距离
所以 SKIPIF 1 < 0 最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
6．若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为___________
【答案】4
【详解】复数z满足 SKIPIF 1 < 0 ，点z表示以原点为圆心、1为半径的圆，则 SKIPIF 1 < 0 表示z点对应的复数与点(3,4)之间的距离.原点O到点(3,4)之间的距离d=5，∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值为5-1=4.故答案为：4.
7．若 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 最大值是_______________.
【答案】3
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的几何意义为复平面动点到定点 SKIPIF 1 < 0 距离为1的点的轨迹，可看成圆 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 表示圆上的点到原点的距离，所以 SKIPIF 1 < 0 最大值为圆O1到原点距离加上半径1，即 SKIPIF 1 < 0 .故答案为：3.
8．已知 SKIPIF 1 < 0 为复数，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为____________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由题意设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的模的轨迹可理解为以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，半径为2的圆.
则 SKIPIF 1 < 0 ，可理解为求点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 之间的距离，数形结合可知， SKIPIF 1 < 0 的最大值为4．故答案为： SKIPIF 1 < 0
四、解答题
9．设复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求满足条件的复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面上对应点所构成的图形面积.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，则复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面上对应点的坐标为 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
所以复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面上对应的点构成的图形为以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，半径为3的圆面，
故其面积 SKIPIF 1 < 0
10．已知复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值与最小值．
【答案】最大值 SKIPIF 1 < 0 ，最小值 SKIPIF 1 < 0
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值 SKIPIF 1 < 0 ，最小值 SKIPIF 1 < 0 .
课程标准
课标解读
1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系
.2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念.
3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法．．
1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系
.2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念.
3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法．．
课程标准
课标解读
1.熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则.
2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．
1.在认真学习复数定义的基础上，熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则.
2.进一步加强理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题，提升数学学科素养.
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