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人教版数学九年级下册 期中数学真题1
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这是一份人教版数学九年级下册 期中数学真题1，共13页。试卷主要包含了在下列各数中，最小的数是，下列计算正确的是，方程＝的解为，抛物线y＝ax2+bx+c等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（每题4分，共40分）
1．在下列各数中，最小的数是（ ）
A．﹣1.5B．﹣3C．﹣1D．﹣5
2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的名称是（ ）
A．正方体B．圆柱C．圆锥D．球
3．2020年，新冠肺炎疫情席卷全球，截至2020年12月30日，累计确诊人数超过78400000人，抗击疫情成为全人类共同的战役，寒假要继续做好疫情防控．将“78400000”用科学记数法可表示为（ ）
A．7.84×105B．7.84×106C．7.84×107D．78.4×106
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，sinA＝，则AC的长为（ ）
A．4B．6C．8D．10
5．下列计算正确的是（ ）
A．2a2+a3＝3a5B．（﹣b2）5＝﹣b10
C．（2ab）2÷（ab）＝2abD．（﹣1﹣ab）2＝1﹣2ab+a2b2
6．某交警在一个路口统计的某时段来往车辆的车速情况如表：
则上述车速的中位数和众数分别是（ ）
A．60，8B．60，60C．55，60D．55，8
7．方程＝的解为（ ）
A．x＝1B．x＝2C．x＝3D．x＝4
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，连接OD，CD，若CD＝OD，则∠B的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．70°
9．抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过点（1，0）和点（0，﹣3），且顶点在第三象限，设m＝a﹣b+c，则m的取值范围是（ ）
A．﹣6＜m＜0B．﹣6＜m＜﹣3C．﹣3＜m＜0D．﹣3＜m＜﹣1
10．如图，正方形ABCD内一点E，满足△CDE为正三角形，直线AE交BC于F点，过E点的直线GH⊥AF，交AB于点G，交CD于点H．以下结论：
①∠AFC＝105°；②GH＝2EF；③；④
其中正确的有（ ）
A．①②③B．①③④C．①④D．①②③④
二．填空题（每题4分，共20分）
11．若|a﹣2|+（b+3）2＝0，则a+b＝ ．
12．若A（﹣3，y1），B（1，y2），C（2，y3）是反比例函数y＝（k＞0）图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是 （用“＜”号连接）．
13．如图，在△ABC中，AB＝5，D，E分别是边AC和AB上的点，且∠AED＝∠C，若AD•BC＝，则DE的长为 ．
14．如图，在△ABC中，∠B＝90°，sinA＝，BD⊥AC，垂足为D，按如下步骤作图：①以A点为圆心，以大于AB的长度m为半径作弧；②以B点为圆心，以同样大小为半径作弧，两弧交点分别为E，F；③连接EF，直线EF与AC交于点G，则AB与DG的比是 ．
15．如图．在矩形ABCD中，AD＝2AB＝6，点E是AD的中点．连接BE．点M是BE上一动点，取CM的中点为N．连接AN，则AN的最小值是 ．
三．解答题（共7小题，共60分）
16．（1）计算：﹣（4﹣π）0+（cs60°）﹣2﹣|﹣3|；
（2）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
17．计算：（1﹣）÷．
18．在学完锐角三角函数后，某班利用自制的测角仪和卷尺，测量校国旗杆的高度，他们制定了如下两种测量方案．
方案一：第一步：在国旗杆前平地上选择一点A作为测量点，用自制的测角仪测出观察者看国旗杆顶端D的仰角α；第二步：在点A和国旗杆底端点C之间选择一点B，测出由点B看国旗顶端D的仰角β；第三步：测出AB两点间的距离；第四步：计算国旗杆的高度CD．
方案二：第一步：在国旗杆前平地上选择一点A，用自制的测角仪测出观察者（竖直站立）看国旗杆顶端D的仰角α；第二步：测量观察者眼睛到地面的竖直高度AE；第三步：测量点A到国旗杆底端C的水平距离AC；第四步：在点A处重复上述操作，得到仰角及距离；第五步：计算国旗杆的高度CD．根据以上方案，测量信息汇总如下：
（1）①填空：a＝ ，b＝ ；
②请判断哪个方案更好，并说明理由．
（2）根据你的判断，选择合适的数据计算出国旗杆的高度．（结果保留一位小数．参考数据：sin33°≈0.545，cs33°≈0.839，tan33°≈0.649）
19．阳光中学为了解学生零花钱的使用情况，校团委随机调查了本校部分学生每人一周的零花钱数额，并绘制了如下两幅不完整的统计图．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）随机调查的学生人数是 ，并补全条形统计图；
（2）求被调查的学生每人一周零花钱数额的中位数及众数；
（3）为捐助贫困山区儿童学习，全校800名学生每人自发地捐出一周的零花钱，请估计全校学生共捐款钱数．
20．由于疫情的影响，“地摊经济“成为了很多人经济来原的一种形式．李叔叔从市场得知如下信息：
李叔叔计划购进A．B商品共100件进行销售，设购进A商品x件，A．B商品全部销售完后获得利润为y元．
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）若李叔叔用不超过2000元资金一次性购进A．B两种商品，则如何进货，才能使得获利最大？并求出最大利润．
21．在平面直角坐标系xOy中，对于两个点A，B和图形ω，如果在图形ω上存在点P、Q（P、Q可以重合），使得AP＝2BQ，那么称点A与点B是图形ω的一对“倍点”．已知⊙O的半径为1，点B（3，0）．
（1）①点B到⊙O的最大值是 ，最小值是 ；
②在点A（5，0），D（0，10）这两个点中，与点B是⊙O的一对“倍点”的是 ；
（2）在直线y＝x+b上存在点A与点B是⊙O的一对“倍点”，求b的取值范围；
（3）已知直线y＝x+b，与x轴、y轴分别交于点M、N，若线段MN（含端点M、N）上所有的点与点B都是⊙O的一对“倍点”，请直接写出b的取值范围．
22．如图，已知抛物线y＝x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求线段BC所在直线的解析式；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP为等腰三角形？若存在，求出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．D．
2．C．
3．C．
4．C．
5．B．
6．B．
7．A．
8．C．
9．A．
10．A．
11．﹣1．
12．y1＜y3＜y2．
13．．
14．2．
15．3．
16．解：（1）﹣（4﹣π）0+（cs60°）﹣2﹣|﹣3|
＝2﹣1+4+﹣3
＝3；
（2），
解不等式①得x≥﹣1，
解不等式②得x＜3，
故原不等式组的解集为﹣1≤x＜3，
故它的所有整数解为﹣1，0，1，2．
17．解：原式＝•
＝．
18．解：（1）①根据方案二的两次测量结果的平均数为a＝＝33°，
根据法案二的两次测量结果取平均值即可b＝＝17.46（m），
故答案为：33°，17.46m；
②方案二更好，理由：方案一测量点A在水平地面上，不易观察，容易产生误差，方案二考虑测量点的位置，并多次测量求其平均值，减少误差，因此方案二更好；
（2）方案二的数据进行计算：
过点E作EF⊥CD，垂足为F，则AE＝CF＝1.52，AC＝EF＝17.46，∠DEF＝33°，
在Rt△DEF中，
DF＝EF•tan33°≈17.46×0.649≈11.33（m），
∴CD＝DF+FC＝11.33+1.52≈12.9（m），
答：旗杆CD的高度约为12.9m．
19．解：（1）校团委随机调查的学生有：10÷25%＝40（人），
零花钱有20元的学生有：40×15%＝6（人），
补全统计图如下：
故答案为：40；
（2）把这些数从小到大排列，中位数是第20、21个数的平均数，
则中位数是＝30（元）；
30元出现的次数最多，则众数是30元；
答：被调查的学生每人一周零花钱数额的中位数是30元，众数是30元；
（3）根据题意得：
800×＝26400（元），
答：估计全校学生共捐款26400元．
20．解：（1）由题意可得：y＝（45﹣35）x+（8﹣5）（100﹣x）＝7x+300，
∴y与x之间的函数关系式为y＝7x+300；
（2）由题意可得：35x+5（100﹣x）≤2000，
解得：x≤50，
又∵x≥0，
∴0≤x≤50，
∵y＝7x+300，7＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝50时，可获得最大利润，最大利润为：
y＝7×50+300＝650（元），
100﹣x＝100﹣50＝50（件）．
答：当购进A种商品50件，B种商品50件时，可使得A、B商品全部销售完后获得的利润最大，最大利润650元．
21．解：（1）①点B到⊙O的最大值是BO+r＝3+1＝4；
点B到⊙O的最小值是BO﹣r＝3﹣1＝2；
②∵A到圆O的最大值6，最小值4；D到圆O的最大值11，最小值9；
又∵点B到⊙O的最大值是4，最小值是2；
在圆O上存在点P，Q，使得AP＝2BQ，
∴A与B是⊙O的一对“倍点”，
故答案为2，4，A；
（2）如图，设直线y＝x+b与x轴交于点E，与y轴交于点C，过点O作OD⊥CE于D，
∵点B到⊙O的最大值是4，最小值是2
∴4≤2BQ≤8，
∴O到直线y＝x+b的最大距离是9，即OD＝9，
∵直线y＝x+b与x轴交于点E，与y轴交于点C，
∴点C（0，b），点E（﹣b，0），
∴CO＝|b|，OE＝|﹣b|，
∴CE＝＝|b|，
∴sin∠CEO＝，
∴|b|＝15，
∴﹣15≤b≤15；
（3）如图，
∵线段MN（含端点M、N）上所有的点与点B都是⊙O的一对“倍点”，
∴2×2+1≤ON≤2×4+1，
∴5≤|b|≤9，
∴5≤b≤9或﹣9≤b≤﹣5．
22．解：（1）将点A（﹣2，0）代入y＝x2+bx+4中，
得，
解得：b＝，
∴抛物线的解析式为y＝x2+x+4；
（2）当x＝0时，y＝4，
∴点C的坐标为（0，4），
当y＝0时，x2+x+4＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝6，
∴点B的坐标为（6，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+n，
将点B （6，0），点C （0，4）代入解析式y＝kx+n，得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4；
（3）∵抛物线y＝x2+x+4与x轴相交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，
∴抛物线的对称轴为x＝，
假设存在点P，设P（2，t），
则AC＝＝，
AP＝＝，
CP＝＝，
∵△ACP为等腰三角形，
故可分三种情况：
①当AC＝AP时，，
解得：t＝±2，
∴点P的坐标为（2，2）或（2，﹣2）；
②当AC＝CP时，，
解得：t＝0或t＝8，
∴点P的坐标为（2，0）或（2，8），
设直线AC的解析式为y＝mx+n，
将点A（﹣2，0）、C （0，4）代入得，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝2x+4，
当x＝2时，y＝4+4＝8，
∴点（2，8）在直线AC上，
∴A、C、P在同一直线上，点（2，8）应舍去；
③当AP＝CP时，，
解得：t＝，
∴点P的坐标为（2，）；
综上可得，符合条件的点P存在，点P的坐标为：（2，2）或（2，﹣2）或（2，0）或（2，）．
车速（km/h）
50
55
60
65
70
车辆数（辆）
5
4
8
2
1
课题
测量校园旗杆的高度
方案
方案一
方案二
测量示意图
测量数据
测量项目
α
β
AB的长
测量项目
α
AE的长
AC的长
数据
33°
45°
5.99m
数据
第一次
32.7°
151cm
17.47m
第二次
33.3°
153cm
17.45m
平均值
a
152cm
b
A商品
B商品
进价（元/件）
35
5
售价（元/件）
45
8
一．选择题（每题4分，共40分）
1．在下列各数中，最小的数是（ ）
A．﹣1.5B．﹣3C．﹣1D．﹣5
2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的名称是（ ）
A．正方体B．圆柱C．圆锥D．球
3．2020年，新冠肺炎疫情席卷全球，截至2020年12月30日，累计确诊人数超过78400000人，抗击疫情成为全人类共同的战役，寒假要继续做好疫情防控．将“78400000”用科学记数法可表示为（ ）
A．7.84×105B．7.84×106C．7.84×107D．78.4×106
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，sinA＝，则AC的长为（ ）
A．4B．6C．8D．10
5．下列计算正确的是（ ）
A．2a2+a3＝3a5B．（﹣b2）5＝﹣b10
C．（2ab）2÷（ab）＝2abD．（﹣1﹣ab）2＝1﹣2ab+a2b2
6．某交警在一个路口统计的某时段来往车辆的车速情况如表：
则上述车速的中位数和众数分别是（ ）
A．60，8B．60，60C．55，60D．55，8
7．方程＝的解为（ ）
A．x＝1B．x＝2C．x＝3D．x＝4
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，连接OD，CD，若CD＝OD，则∠B的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．70°
9．抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过点（1，0）和点（0，﹣3），且顶点在第三象限，设m＝a﹣b+c，则m的取值范围是（ ）
A．﹣6＜m＜0B．﹣6＜m＜﹣3C．﹣3＜m＜0D．﹣3＜m＜﹣1
10．如图，正方形ABCD内一点E，满足△CDE为正三角形，直线AE交BC于F点，过E点的直线GH⊥AF，交AB于点G，交CD于点H．以下结论：
①∠AFC＝105°；②GH＝2EF；③；④
其中正确的有（ ）
A．①②③B．①③④C．①④D．①②③④
二．填空题（每题4分，共20分）
11．若|a﹣2|+（b+3）2＝0，则a+b＝ ．
12．若A（﹣3，y1），B（1，y2），C（2，y3）是反比例函数y＝（k＞0）图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是 （用“＜”号连接）．
13．如图，在△ABC中，AB＝5，D，E分别是边AC和AB上的点，且∠AED＝∠C，若AD•BC＝，则DE的长为 ．
14．如图，在△ABC中，∠B＝90°，sinA＝，BD⊥AC，垂足为D，按如下步骤作图：①以A点为圆心，以大于AB的长度m为半径作弧；②以B点为圆心，以同样大小为半径作弧，两弧交点分别为E，F；③连接EF，直线EF与AC交于点G，则AB与DG的比是 ．
15．如图．在矩形ABCD中，AD＝2AB＝6，点E是AD的中点．连接BE．点M是BE上一动点，取CM的中点为N．连接AN，则AN的最小值是 ．
三．解答题（共7小题，共60分）
16．（1）计算：﹣（4﹣π）0+（cs60°）﹣2﹣|﹣3|；
（2）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
17．计算：（1﹣）÷．
18．在学完锐角三角函数后，某班利用自制的测角仪和卷尺，测量校国旗杆的高度，他们制定了如下两种测量方案．
方案一：第一步：在国旗杆前平地上选择一点A作为测量点，用自制的测角仪测出观察者看国旗杆顶端D的仰角α；第二步：在点A和国旗杆底端点C之间选择一点B，测出由点B看国旗顶端D的仰角β；第三步：测出AB两点间的距离；第四步：计算国旗杆的高度CD．
方案二：第一步：在国旗杆前平地上选择一点A，用自制的测角仪测出观察者（竖直站立）看国旗杆顶端D的仰角α；第二步：测量观察者眼睛到地面的竖直高度AE；第三步：测量点A到国旗杆底端C的水平距离AC；第四步：在点A处重复上述操作，得到仰角及距离；第五步：计算国旗杆的高度CD．根据以上方案，测量信息汇总如下：
（1）①填空：a＝ ，b＝ ；
②请判断哪个方案更好，并说明理由．
（2）根据你的判断，选择合适的数据计算出国旗杆的高度．（结果保留一位小数．参考数据：sin33°≈0.545，cs33°≈0.839，tan33°≈0.649）
19．阳光中学为了解学生零花钱的使用情况，校团委随机调查了本校部分学生每人一周的零花钱数额，并绘制了如下两幅不完整的统计图．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）随机调查的学生人数是 ，并补全条形统计图；
（2）求被调查的学生每人一周零花钱数额的中位数及众数；
（3）为捐助贫困山区儿童学习，全校800名学生每人自发地捐出一周的零花钱，请估计全校学生共捐款钱数．
20．由于疫情的影响，“地摊经济“成为了很多人经济来原的一种形式．李叔叔从市场得知如下信息：
李叔叔计划购进A．B商品共100件进行销售，设购进A商品x件，A．B商品全部销售完后获得利润为y元．
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）若李叔叔用不超过2000元资金一次性购进A．B两种商品，则如何进货，才能使得获利最大？并求出最大利润．
21．在平面直角坐标系xOy中，对于两个点A，B和图形ω，如果在图形ω上存在点P、Q（P、Q可以重合），使得AP＝2BQ，那么称点A与点B是图形ω的一对“倍点”．已知⊙O的半径为1，点B（3，0）．
（1）①点B到⊙O的最大值是 ，最小值是 ；
②在点A（5，0），D（0，10）这两个点中，与点B是⊙O的一对“倍点”的是 ；
（2）在直线y＝x+b上存在点A与点B是⊙O的一对“倍点”，求b的取值范围；
（3）已知直线y＝x+b，与x轴、y轴分别交于点M、N，若线段MN（含端点M、N）上所有的点与点B都是⊙O的一对“倍点”，请直接写出b的取值范围．
22．如图，已知抛物线y＝x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求线段BC所在直线的解析式；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP为等腰三角形？若存在，求出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．D．
2．C．
3．C．
4．C．
5．B．
6．B．
7．A．
8．C．
9．A．
10．A．
11．﹣1．
12．y1＜y3＜y2．
13．．
14．2．
15．3．
16．解：（1）﹣（4﹣π）0+（cs60°）﹣2﹣|﹣3|
＝2﹣1+4+﹣3
＝3；
（2），
解不等式①得x≥﹣1，
解不等式②得x＜3，
故原不等式组的解集为﹣1≤x＜3，
故它的所有整数解为﹣1，0，1，2．
17．解：原式＝•
＝．
18．解：（1）①根据方案二的两次测量结果的平均数为a＝＝33°，
根据法案二的两次测量结果取平均值即可b＝＝17.46（m），
故答案为：33°，17.46m；
②方案二更好，理由：方案一测量点A在水平地面上，不易观察，容易产生误差，方案二考虑测量点的位置，并多次测量求其平均值，减少误差，因此方案二更好；
（2）方案二的数据进行计算：
过点E作EF⊥CD，垂足为F，则AE＝CF＝1.52，AC＝EF＝17.46，∠DEF＝33°，
在Rt△DEF中，
DF＝EF•tan33°≈17.46×0.649≈11.33（m），
∴CD＝DF+FC＝11.33+1.52≈12.9（m），
答：旗杆CD的高度约为12.9m．
19．解：（1）校团委随机调查的学生有：10÷25%＝40（人），
零花钱有20元的学生有：40×15%＝6（人），
补全统计图如下：
故答案为：40；
（2）把这些数从小到大排列，中位数是第20、21个数的平均数，
则中位数是＝30（元）；
30元出现的次数最多，则众数是30元；
答：被调查的学生每人一周零花钱数额的中位数是30元，众数是30元；
（3）根据题意得：
800×＝26400（元），
答：估计全校学生共捐款26400元．
20．解：（1）由题意可得：y＝（45﹣35）x+（8﹣5）（100﹣x）＝7x+300，
∴y与x之间的函数关系式为y＝7x+300；
（2）由题意可得：35x+5（100﹣x）≤2000，
解得：x≤50，
又∵x≥0，
∴0≤x≤50，
∵y＝7x+300，7＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝50时，可获得最大利润，最大利润为：
y＝7×50+300＝650（元），
100﹣x＝100﹣50＝50（件）．
答：当购进A种商品50件，B种商品50件时，可使得A、B商品全部销售完后获得的利润最大，最大利润650元．
21．解：（1）①点B到⊙O的最大值是BO+r＝3+1＝4；
点B到⊙O的最小值是BO﹣r＝3﹣1＝2；
②∵A到圆O的最大值6，最小值4；D到圆O的最大值11，最小值9；
又∵点B到⊙O的最大值是4，最小值是2；
在圆O上存在点P，Q，使得AP＝2BQ，
∴A与B是⊙O的一对“倍点”，
故答案为2，4，A；
（2）如图，设直线y＝x+b与x轴交于点E，与y轴交于点C，过点O作OD⊥CE于D，
∵点B到⊙O的最大值是4，最小值是2
∴4≤2BQ≤8，
∴O到直线y＝x+b的最大距离是9，即OD＝9，
∵直线y＝x+b与x轴交于点E，与y轴交于点C，
∴点C（0，b），点E（﹣b，0），
∴CO＝|b|，OE＝|﹣b|，
∴CE＝＝|b|，
∴sin∠CEO＝，
∴|b|＝15，
∴﹣15≤b≤15；
（3）如图，
∵线段MN（含端点M、N）上所有的点与点B都是⊙O的一对“倍点”，
∴2×2+1≤ON≤2×4+1，
∴5≤|b|≤9，
∴5≤b≤9或﹣9≤b≤﹣5．
22．解：（1）将点A（﹣2，0）代入y＝x2+bx+4中，
得，
解得：b＝，
∴抛物线的解析式为y＝x2+x+4；
（2）当x＝0时，y＝4，
∴点C的坐标为（0，4），
当y＝0时，x2+x+4＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝6，
∴点B的坐标为（6，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+n，
将点B （6，0），点C （0，4）代入解析式y＝kx+n，得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4；
（3）∵抛物线y＝x2+x+4与x轴相交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，
∴抛物线的对称轴为x＝，
假设存在点P，设P（2，t），
则AC＝＝，
AP＝＝，
CP＝＝，
∵△ACP为等腰三角形，
故可分三种情况：
①当AC＝AP时，，
解得：t＝±2，
∴点P的坐标为（2，2）或（2，﹣2）；
②当AC＝CP时，，
解得：t＝0或t＝8，
∴点P的坐标为（2，0）或（2，8），
设直线AC的解析式为y＝mx+n，
将点A（﹣2，0）、C （0，4）代入得，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝2x+4，
当x＝2时，y＝4+4＝8，
∴点（2，8）在直线AC上，
∴A、C、P在同一直线上，点（2，8）应舍去；
③当AP＝CP时，，
解得：t＝，
∴点P的坐标为（2，）；
综上可得，符合条件的点P存在，点P的坐标为：（2，2）或（2，﹣2）或（2，0）或（2，）．
车速（km/h）
50
55
60
65
70
车辆数（辆）
5
4
8
2
1
课题
测量校园旗杆的高度
方案
方案一
方案二
测量示意图
测量数据
测量项目
α
β
AB的长
测量项目
α
AE的长
AC的长
数据
33°
45°
5.99m
数据
第一次
32.7°
151cm
17.47m
第二次
33.3°
153cm
17.45m
平均值
a
152cm
b
A商品
B商品
进价（元/件）
35
5
售价（元/件）
45
8
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