【学考复习】2024年高中数学学业水平（新教材专用） 05第五章 三角函数-讲义

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考点精讲精练 \l "_Tc18055" PAGEREF _Tc18055 \h 8
\l "_Tc31682" 考点一：任意角 PAGEREF _Tc31682 \h 8
\l "_Tc1497" 考点二：弧度制 PAGEREF _Tc1497 \h 9
\l "_Tc13296" 考点三：三角函数的概念 PAGEREF _Tc13296 \h 11
\l "_Tc10119" 考点四：同角三角函数基本关系 PAGEREF _Tc10119 \h 14
\l "_Tc27228" 考点五：诱导公式 PAGEREF _Tc27228 \h 16
\l "_Tc17274" 考点六：三角函数的图象和性质 PAGEREF _Tc17274 \h 19
\l "_Tc9212" 考点七：三角恒等变换 PAGEREF _Tc9212 \h 28
\l "_Tc3284" 考点八：函数 PAGEREF _Tc3284 \h 34
\l "_Tc2397" 考点九：三角函数的应用 PAGEREF _Tc2397 \h 40
\l "_Tc11265" 三角函数实战训练 \l "_Tc779" PAGEREF _Tc779 \h 43
1、角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形
2、角的分类
①正角:按逆时针方向旋转所形成的角.
②负角:按顺时针方向旋转所形成的角.
③零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角.
3、象限角
（1）定义：在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角.
如果角的终边在坐标轴上,那么就认为这个角不属于任何一个象限.
（2）象限角的常用表示：
4、终边相同的角的集合
所有与角终边相同的角为
5、弧度制
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写).
6、角度与弧度的换算
弧度与角度互换公式：
，
7、常用的角度与弧度对应表
8、扇形中的弧长公式和面积公式
弧长公式：(是圆心角的弧度数)，
扇形面积公式：.
9、任意角的三角函数定义
（1）单位圆定义法：
如图,设是一个任意角,,它的终边与单位圆相交于点
①正弦函数：把点的纵坐标叫做的正弦函数,记作,即
②余弦函数：把点的横坐标叫做的余弦函数,记作,即
③正切函数：把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切,记作,即()
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数
（2）终边上任意一点定义法：
在角终边上任取一点，设原点到点的距离为
①正弦函数：
②余弦函数：
③正切函数：()
10、三角函数值在各象限的符号
,,在各象限的符号如下:（口诀“一全正,二正弦,三正切,四余弦”）
11、同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：
（2）商数关系:（，）
诱导公式一
① ②
③其中.
公式二

公式三

公式四

公式五

公式六

公式七

公式八

12、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中)
13、两角和与差的正弦、余弦和正切公式
①两角和与差的正弦公式
②两角和与差的余弦公式
③两角和与差的正切公式
14、二倍角公式
①
②；；
③
15、降幂公式

16、辅助角公式：
(其中)
17、五点法作图
18、三角函数图象变换
参数,,对函数图象的影响
1.对函数,的图象的影响
2、()对函数图象的影响
3、()对的图象的影响
4、由的图象变换得到(，)的图象的两种方法
19、根据图象求解析式
形如的解析式求法：
（1）求法：
①观察法：代表偏离平衡位置的最大距离；平衡位置.
②代数法：记的最大值为,最小值为；则：，联立求解.
（2）求法：通过观察图象，计算周期，利用公式，求出.
（3）求法：最值代入法：通过观察图象的最高点（或者最低点）代入解析式求解.
考点一：任意角
真题讲解
例题1．（2023·河北·高三学业考试）已知是锐角,那么是
A．第一象限角B．第二象限角
C．小于的正角D．不大于直角的正角
【答案】C
【详解】∵是锐角，即，∴.
所以是小于的正角．故选：C．
例题2．（2023秋·广东佛山·高三统考学业考试）下列各角中与终边相同的角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】，，，，
因此，只有A选项中的角与终边相同.
故选：A.
真题演练
1．（2023秋·福建·高二统考学业考试）已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，那么，下列各角与角终边相同的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为与角终边相同的角的集合为，当时，得到，又，所以易知BCD均不符合题意.
故选：A.
2．（2023秋·广东·高三统考学业考试）下列各角中与角的终边相同的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】与角的终边相同的角为，
当时，，B正确；
经验证，其他三个选项均不合要求.
故选：B
考点二：弧度制
真题讲解
例题1．（2023·广东·高三学业考试）已知扇形的半径为1，圆心角为，则这个扇形的弧长为（ ）
A．B．C．D．60
【答案】B
【详解】易知，由扇形弧长公式可得.
故选：B
例题2．（2023·上海·高三统考学业考试）一扇形的圆心角，半径cm，则该扇形的面积为 （cm2）
【答案】/
【详解】因为，，
所以该扇形的弧长为（cm），
故该扇形的面积（cm2）．
故答案为：.
例题3．（2023春·江西南昌·高一校考学业考试）某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)．已知米，米，线段、线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度．
(1)求关于的函数解析式；
(2)记该宣传牌的面积为，试问取何值时，的值最大?并求出最大值．
【答案】(1)；
(2)当时，y的值最大，最大值为．
【详解】（1）根据题意，弧的长度为米，弧的长度米，
，
．
（2）依据题意，可知，
化简得：，，
当，．
∴当时，y的值最大，且最大值为．
真题演练
1．（2023·广东·高三统考学业考试）一个扇形的弧长与面积的数值都是3，则该扇形圆心角的弧度数为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【详解】设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r，则解得
故选：C．
2．（2023·江西宜春·高一江西省宜丰中学校考学业考试）半径为，圆心角为的弧长为 .
【答案】/
【详解】
故答案为：
3．（2023·全国·高一学业考试）彝族图案作为人类社会发展的一种物质文化，有着灿烂历史．按照图案的载体大致分为彝族服饰图案、彝族漆器图案、彝族银器图案等，其中蕴含着丰富的数学文化，如图1，漆器图案中出现的“阿基米德螺线”，该曲线是由一动点匀速离开一个固定点的同时又以固定的角速度绕该固定点转动所形成的轨迹．这些螺线均匀分布，将其简化抽象为图2，若，则所对应的弧长为 ．
【答案】
【详解】由题意，可知圆心角，半径，
所以所对应的弧长为．
故答案为：.
考点三：三角函数的概念
真题讲解
例题1．（2023·广东·高三学业考试）已知角的始边在轴的非负半轴上，终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由已知得，.
故选：D.
例题2．（2023春·浙江·高二统考学业考试）已知点在角的终边上，则角的最大负值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意可知点在第四象限，且，所以,
故当此时为最大的负值，
故选：C
例题3．（2023·北京·高三统考学业考试）在平面直角坐标系xOy中，角以O为顶点，以Ox为始边，终边经过点，则角可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意 ，并且点 在第二象限， ；
故选：C.
例题4．（2023·全国·高一学业考试）若角的始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：因为角的始边与轴的非负半轴重合，终边过点，所以，，
所以
故选：A
例题5．（2023·广东·高二统考学业考试）已知是第二象限角，为其终边上一点，且，则等于
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由三角函数的定义得，
解得．
又点在第二象限内，
所以．选D．
真题演练
1．（2023春·福建·高二统考学业考试）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，
由三角函数的定义可得.
故选：D.
2．（2023·重庆·高二统考学业考试）已知角的终边位于第二象限，则点位于（ ）
A．第二象限B．第三象限C．第四象限D．第一象限
【答案】C
【详解】因为角的终边在第二象限，则，，
所以点P在第四象限．
故选：C.
3．（2023秋·广东·高三统考学业考试）若满足，则的终边在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【详解】由可知的终边在第三象限或第四象限，又，则的终边在第三象限.
故选：C.
4．（2023秋·广东·高三统考学业考试）已知角以坐标原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，终边经过点，且，则实数的值是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意有，解得或，
由于，则，所以满足题意.
故选：A
5．（2023·广东·高三学业考试）在平面直角坐标系中，已知角的始边是轴的非负半轴，终边经过点，则 .
【答案】
【详解】依题意，.
故答案为：
考点四：同角三角函数基本关系
真题讲解
例题1．（2023·江苏·高三统考学业考试）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意，可知，
则，
故选：B
例题2．（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中学校考学业考试）已知为第三象限角，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】∵为第三象限角，且，
∴，
故.
故选：B.
例题3．（多选）（2023春·浙江杭州·高二统考学业考试）已知，且，则关于表述正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【详解】解：因为，且，
所以，
则，，，
故选：AD
例题4．（2023·山西运城·高三校考学业考试）已知，求下列各式的值：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)1
【详解】（1）
（2）
真题演练
1．（2023·上海·高三统考学业考试）已知，且，则( )
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】∵，∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，即.
故选：B.
2．（2023·河北·高三学业考试）已知,则的值为
A．2B．C．-2D．
【答案】B
【详解】由题意可知，，故选：B.
3．（2023·广东·高三统考学业考试）若，则的终边落在
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【详解】由得的终边落在第一或第三象限，由得的终边落在第三或第四象限，所以的终边落在第三象限，选C.
4．（2023春·宁夏银川·高二统考学业考试）已知角是第三象限角，且，则 .
【答案】
【详解】因为，是第三象限角，
所以.
故答案为：.
考点五：诱导公式
真题讲解
例题1．（2023春·天津南开·高一学业考试）的值为（ ）．
A．1B．0C．D．不存在
【答案】C
【详解】.
故选：C
例题2．（2023春·海南·高一统考学业考试）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】依题意，.
故选：D
例题3．（2023·河北·高三学业考试）化简： ．
【答案】
【详解】原式．
故答案为
例题4．（2023秋·广东·高三统考学业考试）已知，则 ．
【答案】/0.75
【详解】解：由题意得：
∵，
∴．
故答案为：
例题5．（2023·江西宜春·高一江西省宜丰中学校考学业考试）求下列各式的值
(1).
(2)
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
；
（2）
.
真题演练
1．（2023春·新疆·高二统考学业考试）（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】由诱导公式可知，.
故选：A
2．（2023·湖南衡阳·高二校联考学业考试）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】依题意，，
.
故选：A
3．（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中学校考学业考试）点在角的终边上，则 ．
【答案】2
【详解】因为点在角的终边上，则，
所以.
故答案为：2
4．（2023·河北·高三学业考试）求值: .
【答案】
【详解】原式
.
故答案为：0.
5．（2023春·江西南昌·高一校考学业考试）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且.
(1)求的值；
(2)求的值
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由三角函数定义得，
两边平方解得，又，故 ，
∴ ．即．
（2），
由（1）得．原式
考点六：三角函数的图象和性质
真题讲解
例题1．（2023春·天津河北·高二学业考试）下列函数中，既是其定义域上的单调函数，又是奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】是非奇非偶函数，不符合题意.
在其定义域上不是单调函数，不符合题意.
在其定义域上不是单调函数，不符合题意.
在其定义域上单调递增，且为奇函数，符合题意.
故选：B
例题2．（2023春·江西南昌·高一校考学业考试）如图所示，函数（且）的图像是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】，
根据正弦函数的图象，作出函数图象如下图所示，

故选：C.
例题3．（2023·湖南衡阳·高二校联考学业考试）函数的图象如图所示，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由图可知，，
则，
则当时，，
由于，所以.
故选：B
例题4．（2023春·河北·高二统考学业考试）已知函数在区间上单调递增，且在区间上有且仅有一个解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】令，解得，，
而函数在区间上单调递增，
所以，解得，
当时，，
因为在区间上有且仅有一个解，
所以，解得.
综上所述，的取值范围是.
故选：D.
例题5．（2023春·江西南昌·高一校考学业考试）已知在上的最大值为，则实数的最大值为 .
【答案】/
【详解】由，得，
因为在上的最大值为，
所以，解得，
所以实数的最大值为.
故答案为：.
6．（2023春·江西南昌·高一校考学业考试）已知函数

(1)请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）；
(2)求在区间上的最大值和最小值及相应的值.
【答案】(1)答案见解析；
(2)时，取最小值0；时，取最大值1.
【详解】（1）分别令，可得：
画出函数在一个周期的图像如图所示：

（2）因为，所以，
所以当，即时，取最小值0；
当，即时，取最大值1.
例题7．（2023·山西·高二统考学业考试）已知函数的部分图像如图示，且，．

(1)求函数的解析式；
(2)若，求的最大值和最小值．
【答案】(1)
(2)的最大值为,的最小值为
【详解】（1）由图像可知，因为，所以函数图像的一条对称轴为直线，
设的最小正周期为，则，即，所以，又，所以，即，
所以，，即，．因为，所以，所以．
（2）,
当即的最小值为；
当即的最大值为.
真题演练
1．（2023春·新疆·高二统考学业考试）已知函数，则的一个单调递增区间是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】函数，由正弦函数的性质知，
函数在、上都不单调，在上单调递减，即选项BCD都不是，
函数在上单调递增，A是.
故选：A
2．（2023·湖南衡阳·高二校联考学业考试）下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．图象关于点成中心对称B．图象关于直线成轴对称
C．在区间上单调递增D．在区间上单调递增
【答案】A
【详解】当时，，所以是函数的中心对称，
所以A选项正确，B选项错误.
C选项，注意到时，，而不存在，所以C选项错误.
D选项，注意到时，，而不存在，所以D选项错误.
故选：A
3．（2023春·湖南邵阳·高三统考学业考试）函数的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由函数，根据最小正周期的计算公式，
可得函数的最小正周期为.
故选：B.
4．（2023春·湖南邵阳·高三统考学业考试）已知的部分图象如图所示，则的解析式为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】由函数的图象，可得且，
可得，所以，即，
又由，解得，
即，因为，所以，所以.
故选：A.
5．（2023·辽宁沈阳·高二学业考试）已知函数的最大值和最小值分别为（ ）
A．3，1B．3，C．，D．，1
【答案】B
【详解】对于
当，即时，函数取最大值，且最大值为3；
当，即时，函数取最小值，且最小值为；
故选：B.
6．（2023春·江西南昌·高一校考学业考试）已知函数，，且在上单调递增
(1)若恒成立，求的值；
(2)在（1）的条件下，若当时，总有使得，求实数的取值范围
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意得，
所以，，解得，.
设的最小正周期为.
因为在上单调递增，由于 故，即，得，
所以，经检验满足题意；
（2）当时，总有使得，
设在上的值域为，在上的值域为，则,
由（1）得
当时，，.
的图象的对称轴为直线
当，即时，在上单调递增，.
由得，解得，所以.
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
由得 解得，
又因为，所以.
当，即时，在上单调递减，
由得，解得，又因为，所以.
综上，的取值范围为.
7．（2023·江西宜春·高一江西省宜丰中学校考学业考试）已知函数的图像向右平移个单位长度得到的图像， 图像关于原点对称，的相邻两条对称轴的距离是.
（1）求的解析式，并求其在上的增区间；
（2）若在上有两解，求实数的取值范围.
【答案】（1），；（2）.
【详解】解:由的相邻两条对称轴的距离是，则，
函数的图像关于原点对称，，所以
（1）由， 得，
令得，得
在增区间是；
令，则所以
若有两解，即在上有两解，
由的图象可得，，即
的取值范围是

考点七：三角恒等变换
真题讲解
例题1．（2023·山西运城·高三校考学业考试）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由得，，
而，
故
，
故选：B
例题2．（多选）（2023·浙江温州·高二统考学业考试）下列化简正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【详解】对A，，故A正确；
对B，，故B正确；
对C，，故C正确；
对D，，故D错误.
故选：ABC.
例题3．（2023·浙江温州·高二统考学业考试）已知函数，．
(1)求的最小正周期；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，求的单调递增区间．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意有，
，
结合二倍角公式，
有，
又且，
因此；
（2）由题意，
又余弦函数的单调增区间为，
依题意有，
解得，
因此的单调递增区间为.
例题4．（2023春·浙江杭州·高二统考学业考试）已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象，当时，求的值域.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
，
即，所以函数的最小正周期.
（2）将函数的图象向右平移个单位长度后得到，
又，所以，所以，
则，即在上的值域为.
例题5．（2023春·浙江·高二统考学业考试）已知函数.
(1)求的最小正周期及其图象的对称轴方程；
(2)若，且，求的值.
【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）因为 ，
所以的最小正周期为；
由可得，
即的对称轴为；
（2）因为，所以，
又，所以，
因此，
故.
真题演练
1．（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】.
则.
故选：D
2．（2023春·天津河北·高二学业考试）已知，.
(1)求和的值；
(2)求的值.
【答案】(1)，.
(2)
【详解】（1）因为，，
所以，
所以，
.
（2）
.
3．（2023春·新疆·高二统考学业考试）已知函数．
(1)求的最小正周期T；
(2)求的最小值以及取得最小值时的集合．
【答案】(1)
(2)；
【详解】（1）由得，
所以；
（2）由（1）知，此时，即，
故x的集合为.
4．（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）已知函数，，，若________.条件①关于直线对称；②向右平移个单位，再向下平移个单位得到的函数为奇函数，请写出你选择的条件，并求当时，方程根的和.
【答案】答案见解析.
【详解】
选①，，，
解得,，因为，
，，
由，解得或，
当时，，，
或，解得或，
当时，，，
所以方程根的和为.
选②，函数，
因为其为奇函数，则，解得，，
因为，则，
以下同①.
5．（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）已知函数，．
(1)求的最小正周期；
(2)若对于任意的，恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
，
所以的最小正周期．
（2）因为，所以，
所以，所以，
当，即时，取得最大值为，
又因为对于任意恒成立，
所以，故．
所以m的取值范围是．
考点八：函数
真题讲解
例题1．（2023·浙江温州·高二统考学业考试）已知函数（，）的部分图象如图所示，则（ ）

A．函数为奇函数B．函数在区间上单调递增
C．函数在区间上的值域为D．函数在区间上有8个零点
【答案】D
【详解】设的最小正周期为，由图象可知，解得，
因为，所以，解得，
将代入解析式得，
因为，所以，
故，
A选项，，故为偶函数，A错误；
B选项，时，，由于在上不单调，
故在区间上不单调，B错误；
C选项，时，，由于在上值域为，
故在区间上的值域为，C错误；
D选项，时，，
画出在上图象，

故函数在区间上有8个零点，D正确.
故选：D
例题2．（2023·广东·高三学业考试）将函数的图像向左平移个单位长度，再将所得图像上各点横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，则函数的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】函数的图像向左平移个单位长度，得函数的图像，
再将图像上各点横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像.
故选：C
例题3．（2023春·浙江·高二统考学业考试）已知且，，则下列说法正确的是（ ）
A．一条对称轴方程为
B．时值域为
C．的图像可由的图像向左平移个单位得到
D．的一个对称中心为
【答案】AD
【详解】因为且，
所以，
即，所以，
因为，所以，
所以
，
因为，所以一条对称轴方程为，故A正确；
当时，，所以，则，故B错误；
将的图像向左平移个单位得到，故C错误；
因为，所以的一个对称中心为，故D正确；
故选：AD
例题4．（2023春·浙江·高二学业考试）已知函数．
(1)求；
(2)将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象，求在上的值域．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）；
（2）
，
图象向左平移个单位长度，得到的图象，
，
，，
的值域为.
真题演练
1．（2023春·天津河北·高二学业考试）将函数，的图象向右平行移动个单位长度，所得图象对应的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】将将函数的图象向右平移个单位，得到.
故选：B
2．（2023春·天津南开·高一学业考试）将函数的图象向右平移个单位，所得图象对应的表达式为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】根据三角函数图象平移规则可知，
将的图象向右平移个单位可以得到，即可得到.
故选：C
3．（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）

A．的图象关于直线对称
B．的图象向左平移个单位后得到的图象
C．在区间上单调递增
D．为偶函数
【答案】B
【详解】因为且，则，所以，，
因为点为函数的图象在轴右侧的第一个最低点，则，
解得，所以，.
对于A选项，因为，故函数的图象关于直线对称，A对；
对于B选项，的图象向左平移个单位后，
可得到函数的图象，且，B错；
对于C选项，当时，，
所以，函数在区间上单调递增，C对；
对于D选项，为偶函数，D对.
故选：B.
4．（多选）（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）函数的图象经过怎样的平移可以得到函数的图象（ ）
A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度
【答案】AD
【详解】函数的图象向左平移个单位长度可以得到函数的图象，函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象.
故选：AD
考点九：三角函数的应用
真题讲解
例题1．（2023春·天津红桥·高二统考学业考试）为了得到函数的图象，只需把余弦函数曲线上所有的点（ ）
A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度
【答案】C
【详解】因为向左平行移动个单位长度得，
故选：C
例题2．（2022·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨工业大学附属中学校校考学业考试）已知函数部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式．
(2)设函数在区间上有两个不同的零点，求．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由图可知：，，，，
，代入点，，
根据五点法作图，得，，
，，
．
（2）函数在区间上有两个不同的零点，即和的图象有两个不同交点，
作出函数在上的图象，其中，，，，
由图可知，不妨设，则关于直线对称，
故，
所以．
真题演练
1．（2023·河北·高三学业考试）函数的对称轴不可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】对于函数，令，解得，
当时，函数的对称轴为，，.
故选：D.
2．（2023·江西宜春·高一江西省宜丰中学校考学业考试）在股票市场上，投资者常根据股价（每股的价格）走势图来操作，股民老张在研究某只股票时，发现其在平面直角坐标系内的走势图有如下特点：每日股价y（元）与时间x（天）的关系在段可近似地用函数的图像从最高点A到最低点C的一段来描述（如图），并且从C点到今天的D点在底部横盘整理，今天也出现了明显的底部结束信号．老张预测这只股票未来一段时间的走势图会如图中虚线段所示，且段与段关于直线对称，点B、D的坐标分别是、．
（1）请你帮老张确定的值，写出段的函数表达式，并指出此时x的取值范围；
（2）请你帮老张确定虚线段的函数表达式，并指出此时x的取值范围；
（3）如果老张预测准确，且在今天买入该只股票，那么最短买入多少天后，股价至少是买入价的两倍？
【答案】（1），，，，
（2），（3）天.
【详解】（1）由图以及两点的纵坐标可知：，，可得：，
则，
由解得：，
所以，，
所以段的函数表达式为，
（2）由题意结合对称性可知：段的函数解析式为：
，
（3）由解得：，
所以买入天后，股票至少是买入价的两倍.
05第五章 三角函数实战训练
一、单选题
1．（2023春·天津河北·高二学业考试）的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由诱导公式可得：.
故选：C
2．（2023春·福建·高二统考学业考试）已知，则上的所有点全部向右移动个单位的函数解析式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】把上的所有点全部向右移动个单位的函数解析式是.
故选：B
3．（2023·重庆·高二统考学业考试）已知角是第一象限角，，则（ ）
A．B．C．
【答案】B
【详解】，且角是第一象限角，
，
.
故选：B.
4．（2023·云南·高二统考学业考试）为得到函数的图象，只要把的图象上所有的点（ ）
A．向左平行移动个单位长度
B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度
D．向右平行移动个单位长度
【答案】B
【详解】由题意，为得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度即可.
故选：B.
5．（2023春·浙江·高二统考学业考试）下列命题中，正确的是（ ）
A．第三象限角大于第二象限角
B．若P(2a，a)是角终边上一点，则
C．若、的终边不相同，则
D．的解集为
【答案】D
【详解】对于A,若分别为第三象限以及第二象限的角，但是，故A错误，
对于B，，故B错误，
对于C，当时，，故C错误，
对于D，得，所以D正确，
故选：D
6．（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中学校考学业考试）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】B
【详解】，
只需将的图象向右平移个单位长度即可.
故选：B.
7．（2023·江苏·高三统考学业考试）若函数的值域为，则实数的可能值共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【详解】当时，，
当时，，
若，的值域为，不合题意；
若，则时，，，由于 ，
由题意可知需使；
若，则时，，，，
故需使，
即实数的可能值共有2个，
故选：B
8．（2023·广东·高三统考学业考试）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】，所以有：
.
故选：B
9．（2023·江西宜春·高一江西省宜丰中学校考学业考试）函数f(x)=在[—π，π]的图像大致为
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】由，得是奇函数，其图象关于原点对称．又．故选D．
10．（2023·广东·高三统考学业考试）函数的图像的一条对称轴是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】对称轴穿过曲线的最高点或最低点，把代入后得到,因而对称轴为，选.
11．（2023·河北·高二统考学业考试）已知函数（，）的图象如图所示，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由图可知，
所以，所以，
则，
把代入得，，
所以，则，
又因，所以.
故选：A.
12．（2023春·江西南昌·高一校考学业考试）已知函数，其图象的两相邻对称中心间的距离为4，若，则（ ）
A．
B．图象的对称轴方程为
C．在上单调递减
D．不等式的解集为
【答案】D
【详解】解：因为函数，其图象的两相邻对称中心间的距离为4，
所以的最小正周期，即，解得，
所以，
由，得，又，
所以，即，则A错误；
由，得，
所以的对称轴方程为，则B错误；
令，得，
所以的单调递减区间为，
不是的子集，则C错误；
由，得，
所以，解得，
所以，不等式的解集为，故D正确．
故选：D．
二、填空题
13．（2023春·海南·高一统考学业考试）已知函数，，若当时，总有，则正实数的最大值为 .
【答案】
【详解】∵
∴令，由题意，在区间上单调递增，
由，，得，，
∴的单调递增区间为，，
当时，在单调递增，（在区间上单调递减）
∴若在区间上单调递增，的最大值为，
∴若当时，总有，则正实数的最大值为.
故答案为：.
14．（2023春·江西南昌·高一校考学业考试）若，则 ．
【答案】/
【详解】令，则，
，
故答案为：
15．（2023·安徽·高二马鞍山二中校考学业考试）已知，，，则 .
【答案】/
【详解】因为，，故，
而，故，而，
故，
所以
.
故答案为：
16．（2023·安徽·高二马鞍山二中校考学业考试）已知函数的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，则的值为 .
【答案】
【详解】，
又的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，
故函数的周期，
所以，
故答案为：.
三、解答题
17．（2023·天津·高二学业考试）已知是第三象限角，且.
(1)求，的值；
(2)求的值.
【答案】(1)，；
(2)
【详解】（1）因为是第三象限角，且，
所以，；
（2）由，
，
所以.
18．（2023·河北·高三学业考试）已知，，求：
(1)的值；
(2)的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以．
又，所以，
则有．
（2）.
19．（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中学校考学业考试）已知函数.
（1）若，求得最小正周期和单调递增区间；
（2）设，求的值域.
【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为，；（2）
【详解】（1）函数，
所以，
令，解得，，
所以函数的单调递增区间为，.
（2）因为，
所以，
因为
所以函数的值域为.
20．（2023春·浙江金华·高二学业考试）已知函数．
（1）求的值；
（2）若角是锐角的一个内角，且，求的值．
【答案】（1）1；（2）
【详解】解：（1）由题意知
，
．
（2），
，
．
21．（2023春·海南·高一统考学业考试）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点.
(1)求，的值；
(2)若，且，求
【答案】(1)，；
(2).
【详解】（1）根据三角函数的定义，可得，.
所以，
.
（2）因为，
所以
所以
.
22．（2023春·江西南昌·高一校考学业考试）已知函数（，，）的部分图象如图所示．
(1)求的解析式以及单调递增区间；
(2)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于x的方程在上有两个不等实根，求实数a的取值范围．
【答案】(1)，递增区间为，
(2)
【详解】（1）设的最小正周期为T．
由题图得，，
因为，所以，解得．
所以，
将，即代入解析式得：，
结合图象可，，
，，又，
∴．
∴．
令，，解得，，
∴的单调递增区间为，．
（2）将的图象向右平移单位长度得到的图象，
再将图象上的所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），
得到函数的图象．
∵方程在上有两个不等实根，与的图象在上有两个不同的交点．
∵函数在上单调递减，在上单调递增，
且，，
∴，
即a的取值范围是．
23．（2023·河北·高三学业考试）已知函数，且．
（1）求的值；
（2）若，求的值域．
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1），，
因此，；
（2）由（1）可得.
当时，，，则.
因此，函数在区间上的值域为.
第一象限角
第二象限角
第三象限角
或
第四象限角
或
角度制
弧制度
函数
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称中心
对称轴方程
无
递增区间
递减区间
无
必备方法：五点法步骤
③
①
②
对于复合函数，
第一步：将看做一个整体，用五点法作图列表时，分别令等于，，，，，对应的则取，，，，。，（如上表中，先列出序号①②两行）
第二步：逆向解出（如上表中，序号③行。）
第三步：得到五个关键点为：，,,,
0
0
x
0
0
1
0
0