【学考复习】2024年高中数学学业水平（新教材专用） 07第七章 立体几何初步-讲义

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TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc32373" \l "_Tc147996536" 知识梳理 PAGEREF _Tc32373 \h 1
\l "_Tc15086" 考点精讲精练 PAGEREF _Tc15086 \h 8
\l "_Tc15461" 考点一：基本立体图形 PAGEREF _Tc15461 \h 8
\l "_Tc31053" 考点二：立体图形直观图 PAGEREF _Tc31053 \h 11
\l "_Tc3293" 考点三：简单几何体的表面积和体积 PAGEREF _Tc3293 \h 13
\l "_Tc2247" 考点四：空间点、直线、平面的位置关系 PAGEREF _Tc2247 \h 16
\l "_Tc28901" 考点五：空间直线、平面的平行 PAGEREF _Tc28901 \h 22
\l "_Tc26089" 考点六：空间直线、平面的垂直 PAGEREF _Tc26089 \h 28
\l "_Tc31732" 立体几何初步实战训练 \l "_Tc8958" PAGEREF _Tc8958 \h 37
1、空间几何体的结构特征
（1）棱柱的定义
定义：一般地，有两个面互相平行 ，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行 ，由这些面所围成的多面体叫做棱柱
底面(底)：两个互相平行的面
侧面：其余各面
侧棱：相邻侧面的公共边
顶点：侧面与底面的公共顶点
（2）棱锥的定义
定义：有一面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥
底面：多边形面
侧面：有公共顶点的各三角形面
侧棱：相邻侧面的公共边
顶点：各侧面的公共顶点
（3）棱台的定义
定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台
上底面：原棱锥的截面
下底面：原棱锥的底面
侧面：除上下底面以外的面
侧棱：相邻侧面的公共边
顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点
（4）圆柱的定义
以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体
圆柱的轴：旋转轴
圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面
圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面
圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边
（5）圆锥的定义
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体
轴：旋转轴叫做圆锥的轴
底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面
侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面
母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
锥体：棱锥和圆锥统称为锥体
（6）圆台的定义
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台
轴：圆锥的轴
底面：圆锥的底面和截面
侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分
母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分
台体：棱台和圆台统称为台体
（7）球
球的表面积和体积
（1）球的表面积：
（2）球的体积:
2、直观图
（1）空间几何体的直观图的绘制方法
（1）画轴. 在平面图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点, 画直观图时，把它们分别画成对应的轴与轴，两轴交于点, 且使”(或）, 它们确定的平面表示水平面；
（2）画底面. 已知图形中，平行于轴轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴、轴或轴的线段；
（3）画侧棱. 已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于轴的线段，长度变为原来的一半；
（4）成图. 连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.
简记为：①画轴；②画底面；③画侧棱；④成图.
（2）斜二测画法保留了原图形中的三个性质
①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变．
3、柱、锥、台、球的表面积和体积
4、圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
5、与平面有关的三个基本事实
（1）基本事实1：过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面
数学语言：,,三点不共线有且只有一个平面,使,,.
（2）基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内
数学语言：,,且,
（3）基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
数学语言：,且 ,且
6、基本事实1的三个推论
推论1:经过一条直线与这条直线外一点,有且只有一个平面;
推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面;
推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.
7、空间点、直线、平面之间的位置关系
8、直线与平面平行
（1）直线与平面平行的定义
直线与平面没有公共点，则称直线与平面平行.
（2）直线与平面平行的判定定理
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
符号表述：
（3）直线与平面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行
符号表述：，，
9、平面与平面平行
（1）平面与平面平行的定义
两个平面没有公共点
（2）平面与平面平行的判定定理
如果一个平面内的有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.
符号表述：
（3）平面与平面平行的性质定理
性质定理
两个平行平面，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.
符号语言
性质
两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行与另一平面
符号语言：
10、直线与平面垂直
（1）直线和平面垂直的定义
如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么直线垂直于平面，记为．直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，垂线与平面的交点P叫垂足.
符号语言：对于任意，都有.
（2）直线和平面垂直的判定定理
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.
简记：线线垂直线面垂直
符号语言：，，，，
（3）直线和平面垂直的性质定理
定义转化性质：如果一条直线与平面垂直，那么直线垂直于平面内所有直线.
符合语言：，.
性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.
符合语言：，
11、平面与平面垂直
11.1、平面与平面垂直的定义
（1）定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.
（2）符号语言:
（3）图形语言
11.2、平面与平面垂直的判定
（1）定理：如果一个平面过另一个平面的的垂线，那么这两个平面垂直.(线面垂直，则面面垂直)
（2）符号（图形）语言:，
11.3、平面与平面垂直的性质定理
（1）定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．
(2)符号（图形）语言：，， .
考点一：基本立体图形
真题讲解
例题1．（2023春·河北·高二统考学业考试）在正方体中，棱长为2，E为的中点，点P在平面内运动，则的最小值为（ ）
A．3B．C．D．5
【答案】A
【详解】解：取的中点F，连接，如下图：
因为E为的中点，所以点E、F关于平面对称，所以，最小值为.
故选：A.
例题2．（2023·上海·高三统考学业考试）如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形为截面，长方形为底面，则四边形的形状为（ ）
A．梯形B．平行四边形
C．可能是梯形也可能是平行四边形D．不确定
【答案】B
【详解】由长方体的性质：各对面平行，易知，
∴为平行四边形.
故选：B
真题演练
1．（2023·上海·高三统考学业考试）如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是（ ）

A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥的组合体D．不能确定
【答案】A
【详解】如图.

∵平面AA1D1D∥平面BB1C1C，
∴有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都易证是平行四边形(水面与两平行平面的交线)，因此呈棱柱形状.
故选：A
2．（2023春·河北·高二统考学业考试）过棱锥的高的两个三等分点，分别作与底面平行的两个平行截面，则自上向下的两个截面与底面的面积之比是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】如图所示：当棱锥为三棱锥时，易知，相似比为，
则，
易知，，
同理，，故，
相似比为，故面积比为，
当棱锥为棱锥，时，可以看成是多个三棱锥的组合体，面积比不改变.
综上所述：两个截面与底面的面积之比是.
故选：C.
3．（2023·河北·高三学业考试）下列命题中正确的有（ ）
①一个棱柱至少有5个平面；
②正棱锥的侧面都是全等的等腰三角形；
③有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台；
④正方形的直观图是正方形；
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】解：①因为底面最少为三角形，故3个侧面，2个底面，共5个面，故①正确；
②正棱锥的底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心，
射影侧面都是全等的等腰三角形，故②正确；
③不正确，因为不能保证各侧棱的延长线交与一点；
④正方形的直观图是平行四边形，所以④不正确；
正确的命题只有①②．
故选：B．
考点二：立体图形直观图
真题讲解
例题1．（2023·河北·高三学业考试）用斜二测画法画边长为2的正方形的直观图时，以射线，分别为轴、轴的正半轴建立直角坐标系，在相应的斜角坐标系中得到直观图，则该直观图的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设原图的面积为，直观图的面积为，则.
正方形的面积为，所以其直观图的面积为.
故选：A
例题2．（2023秋·广东·高三统考学业考试）水平放置的的直观图如图所示，已知， ，则边上的中线的实际长度为 ．
【答案】
【详解】根据斜二测画法的原则,由直观图知，原平面图形为直角三角形，且，,
所以，
所以，
故边上中线长为.
故答案为：2.5.
真题演练
1．（2023·上海·高三统考学业考试）已知水平放置的是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，那么原的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：设原图面积是，对应直观图面积为直观图，由图可知，
根据“斜二测画法”的原则：“横不变纵减半，两轴夹角”，，即.
中，，高，
故的面积为，
那么的面积为.
故选：A．
2．（2023·安徽·高二马鞍山二中校考学业考试）如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形ABC的直观图，其中，则三角形的面积为 .
【答案】
【详解】由已知可得
则
故答案为：.
考点三：简单几何体的表面积和体积
真题讲解
例题1．（2023·浙江温州·高二统考学业考试）已知一个圆台的上底面半径为2，下底面的半径为5，其侧面积为，则该圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】设圆台上下底面的半径分别为，母线为，
由题意可得：，
则圆台的高为，
所以圆台的体积为.
故选：D
例题2．（2023春·天津河北·高二学业考试）长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】依题意得长方体的对角线长为，
又长方体的外接球的直径是长方体的对角线，
所以长方体的外接球的直径，
所以长方体的外接球的表面积为.
故选：C
例题3．（2023·辽宁沈阳·高二学业考试）过棱长为2的正方体的三个顶点作一截面，此截面恰好切去一个三棱锥，则该正方体剩余几何体的体积为（ ）
A．4B．6C．D．
【答案】C
【详解】截去的三棱锥的底面是直角边为2的等腰直角三角形，高为2，
三棱锥的体积为
正方体的体积为，
则该正方体剩余几何体的体积为

故选：C
例题4．（2023·湖南衡阳·高二统考学业考试）体积为1的正方体其外接球的表面积为 ．
【答案】
【详解】体积为的正方体的棱长为，其体对角线即为外接球的直径，
设外接球的半径为，所以，即，
所以外接球的表面积.
故答案为：
例题5．（2023春·浙江·高二学业考试）如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内，如果四边形是边长为2的正方形，则这个八面体的体积是 ．

【答案】/
【详解】可知正四棱锥的高为，
所以八面体体积为.
故答案为：
真题演练
1．（2023·重庆·高二统考学业考试）圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为（ ）
A．1:1B．1:2C．2:1
【答案】A
【详解】设球的半径的r，依题意圆柱的底面半径也是r，高是2r，
圆柱的侧面积= ，球的表面积为 ，
其比例为1:1，
故选：A.
2．（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中学校考学业考试）已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】A
【详解】设底面半径为r，侧面展开是半圆，圆心角为，所以母线长
则圆锥的表面积：，
.
故选：A.
3．（2023·北京·高三统考学业考试）已知三棱柱的体积为12，则三棱锥的体积为（ ）
A．3B．4C．6D．8
【答案】B
【详解】三棱锥与三棱柱等底等高，则三棱锥的体积是三棱柱体积的，即三棱锥的体积为4.
故选：B
4．（2023·江苏·高三统考学业考试）若圆柱的上､下底面的圆周都在一个半径为2的球面上，则该圆柱侧面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设底面圆半径为，则圆柱的高为，
圆柱侧面积为，
当且仅当，即时等号成立.
故选：B.
5．（2023·上海·高三统考学业考试）如图，在直三棱柱中，是等腰直角三角形.若，则该直三棱柱的体积为 .
【答案】24
【详解】因为在直三棱柱中，是等腰直角三角形，
，则 为直角，
故可得：，
故答案为：24
考点四：空间点、直线、平面的位置关系
真题讲解
例题1．（2023·广东·高三学业考试）如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成的角的大小为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【详解】如图，连接，，则,

，分别是，的中点，
，
是异面直线与所成的角，且是等边三角形，
.
故选：.
例题2．（2023春·浙江·高二学业考试）若不同直线a，b，l与平面，且满足，则“a与b异面”是“b与l相交”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】因为，又因为a与b异面，所以b与l相交；
因为，又因为b与l相交，所以a与b异面.
所以“a与b异面”是“b与l相交”的充要条件.
故选：C
例题3．（2023·天津·高二学业考试）已知空间三条直线，，.若，，则（ ）
A．与平行B．与相交
C．与异面D．与平行、相交、异面都有可能
【答案】D
【详解】如图，在长方体中，，，则与平行、相交、异面都有可能.
故选：D.
例题4．（2023·河北·高三学业考试）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的为（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则∥
D．若，则
【答案】D
【详解】对于A，当时，可能平行，也可能相交，所以A错误，
对于B，当时，可能平行，可能异面，所以B错误，
对于C，当时，∥或，所以C错误，
对于D，当时，由面面平行的性质可得，所以D正确，
故选：D
例题5．（2023春·安徽马鞍山·高二安徽省马鞍山市第二十二中学校考学业考试）如图，在正方体中，直线与所成的角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】连接，，在正方体中，
因为，且，所以四边形为平行四边形，所以，则即为直线与所成的角或其补角，由正方体的性质可得：为正三角形，所以，则直线与所成的角是，
故选：.
例题6．（2023·上海·高三统考学业考试）如图，在中，，斜边AB=4，D是AB的中点；现将以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上的一点，且；
(1)求该圆锥的全面积和体积；
(2)求异面直线AO与CD所成角的正切值；
【答案】(1)全面积为，体积为；
(2).
【详解】（1）在中且，即圆锥高为，底面半径为2．
圆锥的侧面积，圆锥的底面积，
故圆锥的全面积；体积为.
（2）过D作交BO于点M，连接CM，则为异面直线AO与CD所成角．
因为平面OBC，所以平面OBC，因为平面OBC，
所以．
在中，所以．
由D是AB的中点知：M是OB的中点，所以，结合题设易知：．
在中，．
即异面直线AO与CD所成角的正切值为：.
真题演练
1．（2023春·湖南·高二统考学业考试）如图，在正方体中，异面直线AC与所成的角为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意，正方体中得，故异面直线AC与所成的角，即正方形对角线与的夹角，
故选：D
2．（2023·北京·高三统考学业考试）四棱锥如图所示，则直线PC（ ）
A．与直线AD平行B．与直线AD相交
C．与直线BD平行D．与直线BD是异面直线
【答案】D
【详解】根据异面直线的定义，不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线，可以判断直线PC与直线AD、直线BD是异面直线.
故选：D.
3．（2023·云南·高二统考学业考试）在正方体中，异面直线与所成角的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】连结、，如下图：
在正方体中，且；
四边形为平行四边形，则；
又在正方体中，为等边三角形，
就是异面直线与所成角,，
异面直线与所成角的大小为.
故选：C.
4．（2023·江苏·高三统考学业考试）已知直线平面，直线平面，则与不可能（ ）
A．平行B．相交C．异面D．垂直
【答案】B
【详解】直线平面，直线平面，则与可能平行，异面和垂直，
若与相交，，则，，直线平面，故，
即与有交点，这与题设矛盾.
故选：B
5．（2023·上海·高三统考学业考试）在空间中，设是不同的直线，是不同的平面，则下形命题中真命题是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】B
【详解】若，则或与相交或与是异面直线，故A错误；
若，则，故B正确；
若，则或与相交，故C错误；
若，则或与相交，故D错误.
故选：B.
6．（多选）（2023春·浙江金华·高二学业考试）设是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，，，则
【答案】ACD
【详解】对选项A：垂直于同一平面的两条直线平行，正确；
对选项B：当时结论未必成立，错误；
对选项C：，故，又，故，正确；
对选项D：，，则或，排除，则，正确.
故选：ACD.
考点五：空间直线、平面的平行
真题讲解
例题1．（2023·河北·高三学业考试）设a，b是两条不同的直线，是平面，，那么“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】由线面平行性质定理，，，方可推出，“”不是“”的充分条件；
可在平面内找到一条直线与平行，不一定有，故“”不是“”的
必要条件；
综上， “”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
例题2．（2023春·天津南开·高一学业考试）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，．

(1)求三棱柱的表面积；
(2)求证：平面．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）因为侧棱底面，所以三棱柱为直三棱柱，
所以侧面，，均为矩形．
因为，所以底面，均为直角三角形．
因为，，所以．
所以三棱柱的表面积为
．
（2）连接交于点，连接，因为四边形为矩形，
所以为的中点．因为为的中点，所以．
因为平面，平面，所以平面．

例题3．（2023·山西·高二统考学业考试）如图所示，三棱柱，底面是边长为2的正三角形，侧棱底面，点分别是棱，上的点，点是线段的中点，．

(1)求证平面；
(2)求与所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)与所成角的余弦值为.
【详解】（1）取的中点，连接，

∵分别为的中点，∴，，
由，且，
∴，且 ，
∴四边形为平行四边形，故，
又平面，平面，
∴平面；
（2）因为，
所以为直线与所成角，
中，，
直角梯形中，，过作，为垂足，如图所示，

则，，，，
，所以为等腰三角形，则，
中，，
所以，
中，，
所以
所以与所成角的余弦值为.
例题4．（2023春·湖南·高二统考学业考试）如图，P为圆锥的顶点，O为底面圆的圆心，AC为底面圆的直径，B是底面圆周上不同于A，C的任意一点，点D，E分别为母线PB，PC的中点.

(1)求证：平面ABC；
(2)若，，求圆锥PO的体积.
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）由于D，E分别为母线PB，PC的中点,所以,
由于平面ABC,平面ABC,所以平面ABC
（2）AC为底面圆的直径，B是底面圆周上不同于A，C的任意一点，
所以,又，所以,
因此底面圆的半径为,
故圆锥PO的体积为，
真题演练
1．（2023·广东·高三学业考试）设为两个不同的平面，为两条不同的直线，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】①若，且，
可能平行，可能垂直，可能异面，
故“”是“”的不充分条件；
②若，
可能平行，可能相交，可能垂直.
故则“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选:D.
2．（2023春·福建·高二统考学业考试）如图，长方体，，.
(1)求三棱锥的体积；
(2)证明：平面.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）解：在长方体中，平面，且，
因为，，则，，
因此，三棱锥的体积为.
（2）证明：在长方体中，且，
所以，四边形为平行四边形，则，
因为平面，平面，因此，平面.
3．（2023春·宁夏银川·高二统考学业考试）如图，在直四棱柱中，底面为菱形，为中点．求证：平面．

【答案】证明见解析
【详解】连接交于点，接，
∵底面是菱形，
为中点，
又∵是的中点，
，
面，平面，
平面

4．（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中学校考学业考试）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）
如图，连接交于点，再连接,
在中，为中点，为的中，所以,
且平面，平面,所以平面.
（2）因为该几何体为正方体，所以点到平面的距离等于，
所以点到平面的距离等于，
根据等体积法可知.
考点六：空间直线、平面的垂直
真题讲解
例题1．（2023·浙江温州·高二统考学业考试）在正四面体中，，，分别为，，的中点，则（ ）

A．与平行，平面平面
B．与异面，平面平面
C．与平行，与平面平行
D．与异面，与平面平行
【答案】B
【详解】与：
平面，平面，，
所以与异面，A选项错误.
与：
由于分别是的中点，所以，
由于，所以与是异面直线，C选项错误.
连接，由于是等边三角形，
所以，由于平面，
所以平面，由于平面，
所以平面平面，所以B选项正确.
设是的中点，连接，
由于是的中点，所以，
所以，所以平面也即平面，
平面，所以D选项错误.
故选：B

例题2．（2023春·福建·高二统考学业考试）已知四棱锥底面为正方形，平面，则（ ）

A．B．
C．平面D．平面
【答案】B
【详解】对于A选项，因为平面，平面，则，
因为四边形为正方形，则，
因为，、平面，所以，平面，
因为平面，则，故为锐角，A错；
对于B选项，因为平面，平面，则，B对；
对于C选项，若平面，且平面，则、平行或重合，
矛盾，假设不成立，C错；
对于D选项，若平面，则与平面无公共点，
这与平面矛盾，假设不成立，D错.
故选：B.
例题3．（2023春·新疆·高二统考学业考试）在三棱锥中，底面，，E ， F分别是BC，PC的中点．
(1)证明：平面；
(2)证明．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）在中，因为E，F分别是BC，PC的中点，则，
因为平面，平面，所以平面．
（2）因为底面，平面，则，
又平面，因此平面，
而平面，于是，由（1）知，
所以.
例题4．（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）如图，在四棱锥中，底面是菱形，且，为正三角形，.

(1)求证：面；
(2)若是的中点，求与面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：连接，设，
在菱形中，，则，
由余弦定理，可得，
因为是等边三角形，所以，
因为，所以，
所以，同理，
因为，、平面，
所以平面.
（2）取线段的中点，连接、、，

因为、分别为、的中点，则且，
因为平面，所以平面，
在中，，，，
由余弦定理，可得，
因为平面，所以，
所以，
所以，
，
设点到平面的距离为，因为，
所以由，可得，
所以，
因此，点为线段的中点，所以点到平面的距离为，
设与面所成角为，则，
因此，与面所成角的正弦值为.
例题5．（2023·安徽·高二马鞍山二中校考学业考试）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，E为PB的中点．
(1)求证：EO平面PDC；
(2)求证：平面PAC⊥平面PBD．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）∵底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，
∴O为BD中点，又E为PB的中点，∴，
∵平面PDC，平面PDC，
∴平面PDC；
（2）∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
又PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PD⊥AC，
∵平面，∴AC⊥平面PBD，
又平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD．
真题演练
1．（2023春·新疆·高二统考学业考试）已知直线和两个不重合的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】D
【详解】若，则不一定平行，还可以相交，故A错误；
若，则，故B错误；
若，则不一定平行，还可以相交，故C错误；
若，则必存在直线，且，
而，所以，所以，故D正确.
故选：D
2．（2023春·天津河北·高二学业考试）如图，已知正方体.

(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)求直线与平面所成的角的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）由题意，在正方体中，
，平面，平面，
平面.
（2）平面，
，在正方形中，，
又，且平面，平面
平面.
（3）设正方体棱长为，，连接（如图）.
由（2）得，平面，则即为在平面的射影，
所以，即所求直线与平面所成的角.
在中，，，
则，即，
故所求直线与平面所成的角的大小为.

3．（2023·云南·高二统考学业考试）如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，平面.
(1)求四棱锥的体积；
(2)求证：平面.
【答案】(1)
(2)证明见详解
【详解】（1）已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，由平面得四棱锥的高为，
所以四棱锥的体积；
（2）因为四棱锥的底面是正方形，
所以,
因为平面，平面，
所以，又，平面，平面，
所以平面.
4．（2023春·安徽马鞍山·高二安徽省马鞍山市第二十二中学校考学业考试）如图：平面，．
(1)求证：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵平面，平面，
∴，
又∵，,
∴平面．
（2）解：由（1）得平面，
∴在平面内的射影为，
∴就是直线与平面所成的角，
在中，
，
∴
∴，
∴直线与平面所成的角为．
5．（2023·河北·高三学业考试）如图，已知矩形ABCD所在平面，BD与AC相交于O点，M，N分别是AB，PC的中点.
(1)求证：平面PAD；
(2)若，求证：平面PCD.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析
【详解】（1）∵M，O分别是AB，BD的中点，∴.
又∵平面PAD，平面PAD，
∴平面PAD.
（2）如图，连接PM，MC，NO，
∵，∴.
由矩形ABCD所在平面，可得，
易证，得.
∵N为PC的中点，∴.
∵N，O分别是PC，AC的中点，∴.
∵平面ABCD，∴平面ABCD，又平面ABCD，
∴，∵，，∴.
又∵，平面MNO，平面MNO.
∴平面MNO,又∵平面MNO，∴.
又，，平面PCD，平面PCD
∴平面PCD.
第七章 立体几何初步实战训练
一、单选题
1．（2023·湖南衡阳·高二校联考学业考试）在空间中，设m，n为两条不同的直线，为一个平面，下列条件可判定的是（ ）
A．，B．，C．，D．，且
【答案】C
【详解】A选项，当，时，，所以A选项错误.
B选项，当，时，可能平行，所以B选项错误.
C选项，当，时，，所以C选项正确.
D选项，当，且时，可能平行，所以D选项错误.
故选：C
2．（2023春·湖南·高二统考学业考试）如图，在正方体中，异面直线AC与所成的角为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意，正方体中得，故异面直线AC与所成的角，即正方形对角线与的夹角，
故选：D
3．（2023春·浙江·高二统考学业考试）已知一个圆柱的侧面展开图内切圆的半径为1，则该圆柱的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设圆柱的底面圆半径为，高为，由侧面展开图的内切圆半径为1可知：，
所以圆柱的体积为，
故选：A
4．（2023·北京·高三统考学业考试）四棱锥如图所示，则直线PC（ ）
A．与直线AD平行B．与直线AD相交
C．与直线BD平行D．与直线BD是异面直线
【答案】D
【详解】根据异面直线的定义，不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线，可以判断直线PC与直线AD、直线BD是异面直线.
故选：D.
5．（2023·上海·高三统考学业考试）在空间中，设是不同的直线，是不同的平面，则下形命题中真命题是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】B
【详解】若，则或与相交或与是异面直线，故A错误；
若，则，故B正确；
若，则或与相交，故C错误；
若，则或与相交，故D错误.
故选：B.
6．（2023·广东·高三学业考试）如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成的角的大小为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【详解】如图，连接，，则,

，分别是，的中点，
，
是异面直线与所成的角，且是等边三角形，
.
故选：.
7．（2023春·天津河北·高二学业考试）长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】依题意得长方体的对角线长为，
又长方体的外接球的直径是长方体的对角线，
所以长方体的外接球的直径，
所以长方体的外接球的表面积为.
故选：C
8．（2023春·浙江·高二学业考试）若不同直线a，b，l与平面，且满足，则“a与b异面”是“b与l相交”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】因为，又因为a与b异面，所以b与l相交；
因为，又因为b与l相交，所以a与b异面.
所以“a与b异面”是“b与l相交”的充要条件.
故选：C
9．（2023春·福建·高二统考学业考试）已知四棱锥底面为正方形，平面，则（ ）

A．B．
C．平面D．平面
【答案】B
【详解】对于A选项，因为平面，平面，则，
因为四边形为正方形，则，
因为，、平面，所以，平面，
因为平面，则，故为锐角，A错；
对于B选项，因为平面，平面，则，B对；
对于C选项，若平面，且平面，则、平行或重合，
矛盾，假设不成立，C错；
对于D选项，若平面，则与平面无公共点，
这与平面矛盾，假设不成立，D错.
故选：B.
10．（2023·河北·高三学业考试）如图，在三棱柱中，所有的棱长都相等，侧棱底面ABC，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】取的中点，连接，易得
因为侧棱底面ABC，侧棱侧棱，
所以侧棱底面ABC，底面ABC，
所以，
因为，平面，
故平面，
所以所求直线与平面所成的角为，
由平面，平面可得
因为所有的棱长都相等，不妨假设棱长为，则，，
则.
故选：A
11．（2023秋·广东·高三统考学业考试）下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下判断：①BF与DN平行；②CM与BN是异面直线；③DF与BN垂直；④AE与DN是异面直线．则判断正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】把平面展开图折起，得到如图所示的正方体,
则BF与DN是异面直线，故①错误；
CM与BN平行，故②错误；
由题可知，所以DF与BN垂直，故③正确；
AE与DN是异面直线，故④正确；
故正确个数为2．
故选：B.
二、填空题
12．（2023·湖南衡阳·高二校联考学业考试）如图，在正方体中，E是的中点，则直线BE与平面ABCD所成角的正弦值为 ．

【答案】
【详解】连接，由于平面，
所以是直线与平面所成角，
设正方体的边长为，则，
所以，
所以直线BE与平面ABCD所成角的正弦值为.
故答案为：

13．（2023·上海·高三统考学业考试）如图，在直三棱柱中，是等腰直角三角形.若，则该直三棱柱的体积为 .
【答案】24
【详解】因为在直三棱柱中，是等腰直角三角形，
，则 为直角，
故可得：，
故答案为：24
14．（2023·安徽·高二马鞍山二中校考学业考试）如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形ABC的直观图，其中，则三角形的面积为 .
【答案】
【详解】由已知可得
则
故答案为：.
15．（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）在公元前4世纪中叶，中国天文学家有一套测定天体球面坐标的仪器称作浑仪，比古希腊早了近60年.浑仪是由两个重重的同心圆环构成，整体看上去，近似一个球体.它的运行制作原理可以如下解释，同心圆环的小球半径为r，大球的半径为R，大球内安放六根等长的金属丝（不计粗细），使小球能够在金属丝框架内任意转动，若，则r的最大值为 .
【答案】
【详解】由题意，小球与正四面体的各条棱相切，大球为正四面体的外接球，即可保证最大，
如图所示，设正四面体的棱长为，为的中心，可得平面，
因为平面，则，且，
所以，
在直角中，，可得，
解得，
过点作，垂足为，
在直角中，可得，
即小球的最大半径为
故答案为：.
16．（2023·北京·高三统考学业考试）如图，在正方体中，是正方形ABCD及其内部的点构成的集合．给出下列三个结论：
①，；
②，；
③，与不垂直．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②③
【详解】对于①，平面，，，故①正确；
对于②，当到达点时，，,是平行四边形，,,，，故②正确；
对于③，平面
过作平面的平行面与平面的交线在正方形ABCD外，
，与不垂直,故③正确.
故答案为：①②③.
三、解答题
17．（2023春·天津河北·高二学业考试）如图，已知正方体.

(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)求直线与平面所成的角的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）由题意，在正方体中，
，平面，平面，
平面.
（2）平面，
，在正方形中，，
又，且平面，平面
平面.
（3）设正方体棱长为，，连接（如图）.
由（2）得，平面，则即为在平面的射影，
所以，即所求直线与平面所成的角.
在中，，，
则，即，
故所求直线与平面所成的角的大小为.

18．（2023春·湖南·高二统考学业考试）如图，P为圆锥的顶点，O为底面圆的圆心，AC为底面圆的直径，B是底面圆周上不同于A，C的任意一点，点D，E分别为母线PB，PC的中点.

(1)求证：平面ABC；
(2)若，，求圆锥PO的体积.
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）由于D，E分别为母线PB，PC的中点,所以,
由于平面ABC,平面ABC,所以平面ABC
（2）AC为底面圆的直径，B是底面圆周上不同于A，C的任意一点，
所以,又，所以,
因此底面圆的半径为,
故圆锥PO的体积为，
19．（2023·湖南衡阳·高二校联考学业考试）如图所示，平面平面，四边形为矩形，，，，．

(1)求多面体的体积；
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）如图，连接BD，

∵四边形AEFB为矩形，
∴，，
∵平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面，
平面ABEF，平面ABEF，
∴AE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，
∵平面ABCD，
∴，
又，AB∩AE＝A，平面，
∴AD⊥平面AEFB，
∴，
∵，，
∴．
∴，
∴多面体ABCDEF的体积为
．
（2）如图，过B作交DC的延长线于点G，连接FG，

∵FB⊥平面ABCD，平面，
∴DG⊥FB，
又DG⊥BG，BG∩FB＝B，平面，
∴DG⊥平面FBG，
∵平面，
∴DG⊥FG，
∴∠FGB为二面角F-CD-A的平面角，由题意得，
∵，
∴，
在Rt△FBG中，，，
∴，
∴，
∴二面角F-CD-A的余弦值为．
20．（2023·安徽·高二马鞍山二中校考学业考试）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，E为PB的中点．
(1)求证：EO平面PDC；
(2)求证：平面PAC⊥平面PBD．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）∵底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，
∴O为BD中点，又E为PB的中点，∴，
∵平面PDC，平面PDC，
∴平面PDC；
（2）∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
又PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PD⊥AC，
∵平面，∴AC⊥平面PBD，
又平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD．
21．（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）如图，在四棱锥中，底面是菱形，且，为正三角形，.

(1)求证：面；
(2)若是的中点，求与面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：连接，设，
在菱形中，，则，
由余弦定理，可得，
因为是等边三角形，所以，
因为，所以，
所以，同理，
因为，、平面，
所以平面.
（2）取线段的中点，连接、、，

因为、分别为、的中点，则且，
因为平面，所以平面，
在中，，，，
由余弦定理，可得，
因为平面，所以，
所以，
所以，
，
设点到平面的距离为，因为，
所以由，可得，
所以，
因此，点为线段的中点，所以点到平面的距离为，
设与面所成角为，则，
因此，与面所成角的正弦值为.
22．（2023·河北·高三学业考试）如图，已知矩形ABCD所在平面，BD与AC相交于O点，M，N分别是AB，PC的中点.
(1)求证：平面PAD；
(2)若，求证：平面PCD.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析
【详解】（1）∵M，O分别是AB，BD的中点，∴.
又∵平面PAD，平面PAD，
∴平面PAD.
（2）如图，连接PM，MC，NO，
∵，∴.
由矩形ABCD所在平面，可得，
易证，得.
∵N为PC的中点，∴.
∵N，O分别是PC，AC的中点，∴.
∵平面ABCD，∴平面ABCD，又平面ABCD，
∴，∵，，∴.
又∵，平面MNO，平面MNO.
∴平面MNO,又∵平面MNO，∴.
又，，平面PCD，平面PCD
∴平面PCD.
几何体
表面积
体积
柱体（棱柱，圆柱）
椎体（棱锥，圆锥）
台体（棱台，圆台）
球
几何体
圆柱
圆锥
圆台
图示
侧面积公式
直线与直线
直线与平面
平面与平面
平行关系
图形语言
符号语言

相交关系
图形语言
图形语言
独有关系
图形语言
图形语言
与是异面直线