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数学七年级上册第5章 走进图形世界5.1 丰富的图形世界课时作业
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这是一份数学七年级上册第5章 走进图形世界5.1 丰富的图形世界课时作业，共25页。试卷主要包含了1 丰富的图形世界，61，14），28 ；等内容，欢迎下载使用。
考试时间：90分钟 试卷满分：100分 难度：0.61
姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2022秋•兴化市校级期末）如图，由27个相同的小正方体拼成一个大正方体，从中取出一块小正方体，剩下的图形表面积最大的取法为（ ）
A．取走①号B．取走②号C．取走③号D．取走④号
2．（2分）（2019秋•兴化市月考）下列几何体中，属于柱体的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（2分）（2021秋•建湖县期末）下列四个几何体中，是四棱锥的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2分）（2022秋•张家港市期中）如图所示，连接边长为1的正方形各边的中点，连接正方形的对角线，则图中共有三角形（ ）
A．16个B．32个C．22个D．44个
5．（2分）（2022秋•东台市月考）下列说法中，正确的有（ ）
①圆锥和圆柱的底面都是圆；
②正方体是四棱柱，四棱柱是正方体；
③棱柱的上下底面是形状、大小相同的多边形；
④棱锥底面边数与侧棱数相等．
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．（2分）（2022秋•苏州期中）李明有9根a厘米长的小棒和6根b厘米长的小棒（其中a≠b），他用其中的12根搭成了一个长方体框架，则这个长方体框架的棱长总和为（ ）
A．9a+6bB．8a+4bC．6（a+b）D．9a+3b
7．（2分）（2022秋•赣榆区校级月考）下列几何体中，属于棱柱的是（ ）
A．B．C．D．
8．（2分）（2017秋•灌云县月考）如图，都是由棱长为1的正方体叠成的立体图形，例如第（1）个图形由1个正方体叠成，第（2）个图形由4个正方体叠成，第（3）个图形由10个正方体叠成，依次规律，第（6）个图形由（ ）个正方体叠成．
A．36B．37C．56D．84
9．（2分）（2022秋•江阴市期末）下列几何体的表面中，不含有曲面的是（ ）
A．圆柱B．四棱柱C．圆锥D．球体
10．（2分）（2019•站前区校级一模）10个棱长为1的正方体木块堆成如图所示的形状，则它的表面积是（ ）
A．30B．34C．36D．48
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2022秋•姜堰区月考）下列图形属于柱体的有 个．
12．（2分）（2013秋•泰兴市校级期中）定义：两个直角三角形，若一个三角形的两条直角边分别与另一个三角形的两条直角边相等，我们就说这两个直角三角形是“同胞直角三角形”．如图，在边长为10的正方形中有两个直角三角形，当直角三角形①和直角三角形②是同胞直角三角形时，a的值是 ．
13．（2分）（2020秋•高淳区校级期末）若一个棱柱有9个面，则它是 棱柱．
14．（2分）（2021秋•兴化市校级月考）如图所示的某种玩具是由两个正方体用胶水黏合而成的，它们的棱长分别为1dm和2dm，为了美观，现要在其表面喷涂油漆，如果喷涂1dm2需用油漆4g，那么喷涂这个玩具共需油漆 g．
15．（2分）（2021秋•江阴市校级月考）如果一个棱锥由5个面围成，这个棱锥底面是 边形．
16．（2分）（2021秋•高邮市期中）如图正方形ABCD边长为2，若图中阴影两个部分的面积分别为S1、S2．则S1﹣S2＝ ．
17．（2分）（2022秋•梁溪区期中）有一张长和宽分别是5和4的长方形纸片，现在把它正好分成5张形状各不相同的长方形（包括正方形）纸片，且每张纸片的边长都为整数．这样的5张长方形纸片共有 种．
18．（2分）（2019秋•建湖县期末）如图，把14个棱长为1cm的正方体木块，在地面上堆成如图所示的立体图形，然后向露出的表面部分喷漆，若1cm2需用漆2g，那么共需用漆 g．
19．（2分）（2019秋•玄武区期末）如图，有两个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是12cm，6cm，2cm，现要用这两个纸盒搭成一个大长方体，搭成的大长方体的表面积最小为 cm2．
20．（2分）（2016秋•海陵区校级期末）如图，一个表面涂满颜色的正方体，现将每条棱三等分，再把它切开变成若干个小正方体，两面都涂色的有 个．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2022秋•崇川区校级月考）如图，半径为1个单位长度的圆片上有一点Q与数轴上的原点重合（提示：圆的周长C＝2πr，π取3.14）
（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置，点A表示的数是 ；
（2）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：2，﹣1，﹣5，4，3，﹣2．
①第几次滚动后，Q点距离原点最近？第几次滚动后，Q点距离原点最远？
②当圆片结束运动时，Q点运动的路程共有多少？此时点Q所表示的数是多少？
22．（6分）（2020秋•无锡期末）如图是一个长方体储水箱和一个长方体水池的侧面示意图（厚度忽略不计），储水箱中水深12dm，把一高度为14dm的长方体石柱放置于水池中央后水池中水深2dm．现将储水箱中的水匀速注入水池．注水4min时水池水面与石柱上底面持平；继续注水2min后，储水箱中的水全部注入水池，此时水池中水深19dm．根据上述信息，解答下列问题：
（1）注水多长时间时，储水箱和水池中的水的深度相同？
（2）若水池底面积为42dm2，求石柱的底面积；
（3）若石柱的体积为168dm3，请直接写出注水前储水箱中水的体积．
23．（8分）（2021秋•高新区期末）如图，将一张正方形纸片的4个角剪去4个大小一样的小正方形，然后折起来就可以制成一个无盖的长方体纸盒，设这个正方形纸片的边长为a，这个无盖的长方体盒子高为h．
（1）若a＝18cm，h＝4cm，则这个无盖长方体盒子的底面面积为 cm2；
（2）用含a和h的代数式表示这个无盖长方体盒子的容积V＝ cm3；
（3）若a＝18cm，试探究：当h越大，无盖长方体盒子的容积V就越大吗？请举例说明；当h是正整数时，这个无盖长方体盒子的最大容积是 cm3．
24．（8分）（2022秋•南京期中）我们知道乌鸦喝水的故事．现在来做一个道理相同的游戏：如图，在圆柱形玻璃桶里已有定量的水，将大小相同的围棋棋子一个个慢慢投入其中．显然，在有水溢出之前，每投入一个棋子，桶里水位的高度都会有变化．根据如图信息，解答下列各题：
（1）投入第1个围棋子后，水位上升了 cm，此时桶里的水位高度达到了 cm；
（2）设投入了n个棋子，没有水溢出．用n表示此时桶里水位的高度；
（3）小亮认为投入72个棋子，正好可使水位达到桶的高度．你同意他的观点吗？说说理由．
25．（8分）（2021秋•梁溪区校级期中）如图，把一张长方形纸板裁去两个边长为3cm的小正方形和两个全等的小长方形，再把剩余部分（阴影部分）四周折起，恰好做成一个有底有盖的长方体纸盒，纸盒底面长方形的长为3kcm，宽为2kcm，则：
（1）裁去的每个小长方形面积为 cm2．（用k的代数式表示）
（2）若长方体纸盒的表面积是底面积的正整数倍，则正整数k的值为 ．
26．（8分）（2017秋•苏州期中）如图，某品牌卷简纸的高度为10厘米，中间空心硬纸轴的直径是5厘米
（1）制作中间的纸轴至少需要多少平方厘米的硬纸板？（用π表示结果）
（2）如果围成的纸张厚度为5厘米，请问：能将一卷新的卷筒纸放入一个长10厘米、宽10厘米、高1厘米的长方体纸巾盒中吗？（请从数学的角度进行分析、判断）
27．（8分）（2019秋•盱眙县期末）如图，在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为10cm的小正方体堆成一个几何体．
（1）这个几何体由 个小正方体组成．
（2）如果在这个几何体的表面喷上黄色的漆，则在所有的小正方体中，有 个正方体只有一个面是黄色，有 个正方体只有两个面是黄色，有 个正方体只有三个面是黄色．
（3）这个几何体喷漆的面积为 cm2．
28．（8分）（2020秋•射阳县校级月考）综合与实践
某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为acm的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒），请你动手操作验证并完成任务．（纸板厚度及接缝处忽略不计）
动手操作一：
根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子．方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为bcm的小正方形，再沿虚线折合起来．
问题解决：
（1）该长方体纸盒的底面边长为 cm；（请你用含a，b的代数式表示）
（2）若a＝24cm，b＝6cm，则长方体纸盒的表面积和体积分别为多少；
拓展延伸：
动手操作二：根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒．
方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为bcm的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．
（3）若a＝24cm，b＝6cm，该长方体纸盒的体积为多少cm3？
（4）现有两张边长a均为30cm的正方形纸板，分别按图1、图2的要求制作无盖和有盖的两个长方体盒子，若b＝5cm，求无盖盒子的体积是有盖盒子体积的 倍．
2023-2024学年苏科版数学七年级上册同步专题热点难点专项练习
专题5.1 丰富的图形世界（专项拔高卷）
考试时间：90分钟 试卷满分：100分 难度：0.61
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2022秋•兴化市校级期末）如图，由27个相同的小正方体拼成一个大正方体，从中取出一块小正方体，剩下的图形表面积最大的取法为（ ）
A．取走①号B．取走②号C．取走③号D．取走④号
解：取走①号或③号剩下的图形表面积不变，取走②号剩下的图形表面积增大两个小正方体的面，取走④号剩下的图形表面积增大4个小正方体的面，
故选：D．
2．（2分）（2019秋•兴化市月考）下列几何体中，属于柱体的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
解：第一个图是圆锥；第二个图是三棱锥；第三个图是正方体，也是四棱柱；第四个图是球；第五个图是圆柱；其中柱体有2个，即第三个和第五个，
故选：B．
3．（2分）（2021秋•建湖县期末）下列四个几何体中，是四棱锥的是（ ）
A．B．
C．D．
解：四棱锥是底面是四边形的锥体，因此选项A中的几何体符合题意，
故选：A．
4．（2分）（2022秋•张家港市期中）如图所示，连接边长为1的正方形各边的中点，连接正方形的对角线，则图中共有三角形（ ）
A．16个B．32个C．22个D．44个
解：根据图形得：最小的三角形有4×4＝16个；
两个三角形组成的三角形有4×4＝16；
四个三角形组成的三角形有：8个；
八个三角形组成的三角形有：4个．
∴共有16+16+8+4＝44个．
故选：D．
5．（2分）（2022秋•东台市月考）下列说法中，正确的有（ ）
①圆锥和圆柱的底面都是圆；
②正方体是四棱柱，四棱柱是正方体；
③棱柱的上下底面是形状、大小相同的多边形；
④棱锥底面边数与侧棱数相等．
A．1个B．2个C．3个D．4个
解：①由圆柱和圆锥的特征可以得知：圆柱、圆锥的底面都是圆形．故①正确；
②正方体是四棱柱，但四棱柱不一定是正方体，故②错误；
③棱柱的上下底面是全等的多边形，则棱柱的上下底面是形状、大小相同的多边形．故③正确；
④棱锥底面边数与侧棱数相等，故④正确．
综上所述，正确的说法是：①③④．
故选：C．
6．（2分）（2022秋•苏州期中）李明有9根a厘米长的小棒和6根b厘米长的小棒（其中a≠b），他用其中的12根搭成了一个长方体框架，则这个长方体框架的棱长总和为（ ）
A．9a+6bB．8a+4bC．6（a+b）D．9a+3b
解：∵长方体有4个长，4个宽和4个高，有9根a厘米长的小棒和6根b厘米长的小棒（其中a≠b），
∴长、宽、高应该是4个a厘米，4个a厘米，4个b厘米，
∴这个长方体框架的棱长总和为（8a+4b）厘米．
故选：B．
7．（2分）（2022秋•赣榆区校级月考）下列几何体中，属于棱柱的是（ ）
A．B．C．D．
解：A、圆锥属于锥体，故此选项不合题意；
B、圆柱属于柱体，故此选项不合题意；
C、棱锥属于锥体，故此选项不合题意；
D、长方体属于棱柱，故此选项符合题意；
故选：D．
8．（2分）（2017秋•灌云县月考）如图，都是由棱长为1的正方体叠成的立体图形，例如第（1）个图形由1个正方体叠成，第（2）个图形由4个正方体叠成，第（3）个图形由10个正方体叠成，依次规律，第（6）个图形由（ ）个正方体叠成．
A．36B．37C．56D．84
解：由图可得：
第（1）个图形中正方体的个数为1；
第（2）个图形中正方体的个数为4＝1+3；
第（3）个图形中正方体的个数为10＝1+3+6；
第（4）个图形中正方体的个数为20＝1+3+6+10；
故第n个图形中的正方体的个数为1+3+6+…+，
∴第（5）个图形中正方体的个数为1+3+6+10+15＝35；
第（6）个图形中正方体的个数为1+3+6+10+15+21＝56；
故选：C．
9．（2分）（2022秋•江阴市期末）下列几何体的表面中，不含有曲面的是（ ）
A．圆柱B．四棱柱C．圆锥D．球体
解：A．圆柱的侧面是曲面，因此选项A不符合题意；
B．四棱柱的6个面都是平面，因此选项B符合题意；
C．圆锥的侧面是曲面，因此选项C不符合题意；
D．球体的表面是曲面，因此选项D不符合题意．
故选：B．
10．（2分）（2019•站前区校级一模）10个棱长为1的正方体木块堆成如图所示的形状，则它的表面积是（ ）
A．30B．34C．36D．48
解：根据以上分析露出的面积＝5+4×2+2+4×2+3+2×1+2+6＝36．
故选：C．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2022秋•姜堰区月考）下列图形属于柱体的有 4 个．
解：下列图形中有3个棱柱和1个圆柱，共4个柱体．
故答案为：4．
12．（2分）（2013秋•泰兴市校级期中）定义：两个直角三角形，若一个三角形的两条直角边分别与另一个三角形的两条直角边相等，我们就说这两个直角三角形是“同胞直角三角形”．如图，在边长为10的正方形中有两个直角三角形，当直角三角形①和直角三角形②是同胞直角三角形时，a的值是 5或6 ．
解：由“同胞直角三角形”的定义可得：当a＝6时，b＝4，c＝4符合题意；
当a＝5时，b＝5，c＝6，符合题意，
故a＝5或6，
故答案为：5或6．
13．（2分）（2020秋•高淳区校级期末）若一个棱柱有9个面，则它是 七 棱柱．
解：∵棱柱有9个面，
∴它有7个侧面，
∴它是七棱柱．
故答案为：七．
14．（2分）（2021秋•兴化市校级月考）如图所示的某种玩具是由两个正方体用胶水黏合而成的，它们的棱长分别为1dm和2dm，为了美观，现要在其表面喷涂油漆，如果喷涂1dm2需用油漆4g，那么喷涂这个玩具共需油漆 112 g．
解：玩具的表面积为：6×（2×2）+4×（1×1）＝28平方分米，
所以喷涂这个玩具共需油漆28×4＝112克．
故答案为：112．
15．（2分）（2021秋•江阴市校级月考）如果一个棱锥由5个面围成，这个棱锥底面是 四 边形．
解：如果一个棱锥由5个面围成，则这个棱锥为四棱锥，
其底面为四边形，
故答案为：四．
16．（2分）（2021秋•高邮市期中）如图正方形ABCD边长为2，若图中阴影两个部分的面积分别为S1、S2．则S1﹣S2＝ 2π﹣4 ．
解：根据题意得：×π×22×2﹣S1+S2＝22，
∴S1﹣S2＝2π﹣4，
故答案为：2π﹣4．
17．（2分）（2022秋•梁溪区期中）有一张长和宽分别是5和4的长方形纸片，现在把它正好分成5张形状各不相同的长方形（包括正方形）纸片，且每张纸片的边长都为整数．这样的5张长方形纸片共有 7 种．
解：把可以分得的边长为整数的长方形（或正方形）按照面积从小到大排列有：
1×1，1×2，1×3，1×4，2×2，1×5，2×3，2×4，3×3，2×5，3×4，3×5，4×4，4×5，
若能分成5张满足条件的纸片，因为其面积之和正好为20，
那么满足条件的有：
1×1，1×2，1×3，1×4，2×5；
1×1，1×2，1×3，2×2，2×5；
1×2，1×3，1×4，1×5，2×3；
1×2，1×3，2×2，1×5，2×3；
1×1，1×2，1×4，1×5，2×4；
1×1，1×3，2×2，1×5，2×4；
1×1，1×2，1×3，1×5，3×3；
故这样的5张长方形纸片共有7种．
故答案为：7．
18．（2分）（2019秋•建湖县期末）如图，把14个棱长为1cm的正方体木块，在地面上堆成如图所示的立体图形，然后向露出的表面部分喷漆，若1cm2需用漆2g，那么共需用漆 66 g．
解：最上层，侧面积为4，上表面面积为1，总面积为4+1＝5，
中间一层，侧面积为2×4＝8，上表面面积为4﹣1＝3，总面积为8+3＝11，
最下层，侧面积为3×4＝12，上表面面积为9﹣4＝5，总面积为12+5＝17，
5+11+17＝33，
所以33×2＝66（g）．
答：共需用漆66g．
故答案为：66．
19．（2分）（2019秋•玄武区期末）如图，有两个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是12cm，6cm，2cm，现要用这两个纸盒搭成一个大长方体，搭成的大长方体的表面积最小为 288 cm2．
解：（1）图1中，长方体的高为4，表面积＝2（12×6+12×4+4×6）＝288cm2．
图2中，长为24，表面积＝2（24×6+24×2+6×2）＝408cm2．
图3中，宽为12，表面积＝2（12×12+12×2+12×2）＝384cm2．
∴图1的表面积最小．
故答案为：288．
20．（2分）（2016秋•海陵区校级期末）如图，一个表面涂满颜色的正方体，现将每条棱三等分，再把它切开变成若干个小正方体，两面都涂色的有 12 个．
解：根据以上分析：有一条边在棱上的正方体有12个两面涂色；
故答案为：12．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2022秋•崇川区校级月考）如图，半径为1个单位长度的圆片上有一点Q与数轴上的原点重合（提示：圆的周长C＝2πr，π取3.14）
（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置，点A表示的数是 ﹣6.28 ；
（2）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：2，﹣1，﹣5，4，3，﹣2．
①第几次滚动后，Q点距离原点最近？第几次滚动后，Q点距离原点最远？
②当圆片结束运动时，Q点运动的路程共有多少？此时点Q所表示的数是多少？
解：（1）∵2πr＝2×3.14×1＝6.28，
∴点A表示的数是﹣6.28，
故答案为：﹣6.28；
（2）①∵+2﹣1﹣5+4＝0，
∴第4次滚动后，Q点距离原点最近；
∵（+2）+（﹣1）+（﹣5）＝﹣4，
∴第3次滚动后，Q点距离原点最远；
②∵|+2|+|﹣1|+|﹣5|+|+4|+|+3|+|﹣2|＝17，
∴17×2π×1＝106.76，
∴当圆片结束运动时，Q点运动的路程共有106.76，
∵2﹣1﹣5+4+3﹣2＝1，
∴1×2π×1≈6.28，
∴此时点Q所表示的数是6.28．
22．（6分）（2020秋•无锡期末）如图是一个长方体储水箱和一个长方体水池的侧面示意图（厚度忽略不计），储水箱中水深12dm，把一高度为14dm的长方体石柱放置于水池中央后水池中水深2dm．现将储水箱中的水匀速注入水池．注水4min时水池水面与石柱上底面持平；继续注水2min后，储水箱中的水全部注入水池，此时水池中水深19dm．根据上述信息，解答下列问题：
（1）注水多长时间时，储水箱和水池中的水的深度相同？
（2）若水池底面积为42dm2，求石柱的底面积；
（3）若石柱的体积为168dm3，请直接写出注水前储水箱中水的体积．
（1）储水箱出水速度：12÷6＝2（dm/min），水池注水速度：（14﹣2）÷4＝3（dm/min），
设tmin时深度相同，则：
12﹣2t＝2+3t，
解得：t＝2，
答：注水2min时，储水箱和水池中的水的深度相同．
（2）设石柱底面积S＝adm2，
则：（14﹣2）×（42﹣a）＝2×（19﹣14）×42，
解得：a＝7，
故石柱的底面积为7dm2．
（3）∵石柱的体积为168dm3，
∴石柱的底面积为：168÷14＝12（dm2），
依题意，得：
（19﹣14）•S水池÷（6﹣4）＝（14﹣2）•（S水池﹣12）÷4，
解得：S水池＝72（dm2），
12÷6×4×S储水箱＝（72﹣12）×（14﹣2），
解得：S储水箱＝90（dm2），
∴注水前储水箱中水的体积V＝S储水箱•h＝90×12＝1080（dm3）．
23．（8分）（2021秋•高新区期末）如图，将一张正方形纸片的4个角剪去4个大小一样的小正方形，然后折起来就可以制成一个无盖的长方体纸盒，设这个正方形纸片的边长为a，这个无盖的长方体盒子高为h．
（1）若a＝18cm，h＝4cm，则这个无盖长方体盒子的底面面积为 100 cm2；
（2）用含a和h的代数式表示这个无盖长方体盒子的容积V＝ h（a﹣2h）2 cm3；
（3）若a＝18cm，试探究：当h越大，无盖长方体盒子的容积V就越大吗？请举例说明；当h是正整数时，这个无盖长方体盒子的最大容积是 432 cm3．
解：由题意可得：
（18﹣2×4）×（18﹣2×4）
＝10×10
＝100（平方厘米），
∴这个无盖长方体盒子的底面面积为100cm2，
故答案为：100；
（2）由题意可得：
这个无盖长方体盒子的容积V＝h（a﹣2h）2cm3，
故答案为h（a﹣2h）2；
（3）若a＝18cm，当h越大，无盖长方体盒子的容积V不一定就越大，
当h＝3时，这个无盖长方体盒子的最大容积是：
V＝3×（18﹣2×3）＝432（立方厘米），
故答案为：当h越大，无盖长方体盒子的容积V不一定就越大，432．
24．（8分）（2022秋•南京期中）我们知道乌鸦喝水的故事．现在来做一个道理相同的游戏：如图，在圆柱形玻璃桶里已有定量的水，将大小相同的围棋棋子一个个慢慢投入其中．显然，在有水溢出之前，每投入一个棋子，桶里水位的高度都会有变化．根据如图信息，解答下列各题：
（1）投入第1个围棋子后，水位上升了 0.25 cm，此时桶里的水位高度达到了 12.25 cm；
（2）设投入了n个棋子，没有水溢出．用n表示此时桶里水位的高度；
（3）小亮认为投入72个棋子，正好可使水位达到桶的高度．你同意他的观点吗？说说理由．
解：（1）无小球时，水位12cm，加入12个围棋子时，水位增长了3cm，所以每增加一个小球，水位上升3÷12＝0.25cm．故投入第1个小球后，水位上升了0.25cm，此时量筒里的水位高度达到了12.25cm；
故答案为：0.25，12.25；
（2）∵每增加一个围棋子，水位上升0.25cm，
故桶里水位的高度为0.25n+12，
（3）同意．
理由：∵当n＝72时，0.25n+12＝30，
∴正好使水位达到桶的高度．
25．（8分）（2021秋•梁溪区校级期中）如图，把一张长方形纸板裁去两个边长为3cm的小正方形和两个全等的小长方形，再把剩余部分（阴影部分）四周折起，恰好做成一个有底有盖的长方体纸盒，纸盒底面长方形的长为3kcm，宽为2kcm，则：
（1）裁去的每个小长方形面积为 （6k+9） cm2．（用k的代数式表示）
（2）若长方体纸盒的表面积是底面积的正整数倍，则正整数k的值为 1或5 ．
解：（1）由题意，小长方形的长为（3+2k ）cm，宽为3cm，
∴裁去的每个小长方形面积为（6k+9）（cm2），
故答案为：（6k+9）；
（2）由题意得：
12k+18k＝n•6k2（n为正整数），
可得nk＝5，
∴n＝1，k＝5或n＝5，k＝1，
∴k＝1或5，
故答案为：1或5．
26．（8分）（2017秋•苏州期中）如图，某品牌卷简纸的高度为10厘米，中间空心硬纸轴的直径是5厘米
（1）制作中间的纸轴至少需要多少平方厘米的硬纸板？（用π表示结果）
（2）如果围成的纸张厚度为5厘米，请问：能将一卷新的卷筒纸放入一个长10厘米、宽10厘米、高1厘米的长方体纸巾盒中吗？（请从数学的角度进行分析、判断）
解：（1）π×5×10＝50π 平方厘米，
（2）不能，
∵围成的纸张厚度为5厘米，
∴一卷新的卷筒纸底面直径为15cm，
又∵长方体纸巾盒的长10厘米、宽10厘米、高1厘米，
∴不能放进去．
27．（8分）（2019秋•盱眙县期末）如图，在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为10cm的小正方体堆成一个几何体．
（1）这个几何体由 10 个小正方体组成．
（2）如果在这个几何体的表面喷上黄色的漆，则在所有的小正方体中，有 1 个正方体只有一个面是黄色，有 2 个正方体只有两个面是黄色，有 3 个正方体只有三个面是黄色．
（3）这个几何体喷漆的面积为 3200 cm2．
解：（1）这个几何体由 10个小正方体组成．
（2）如果在这个几何体的表面喷上黄色的漆，则在所有的小正方体中，有 1个正方体只有一个面是黄色，有 2个正方体只有两个面是黄色，有 3个正方体只有三个面是黄色．
（3）露出表面的面一共有32个，则这个几何体喷漆的面积为3200cm2，
故答案为：10；1，2，3；3200．
28．（8分）（2020秋•射阳县校级月考）综合与实践
某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为acm的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒），请你动手操作验证并完成任务．（纸板厚度及接缝处忽略不计）
动手操作一：
根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子．方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为bcm的小正方形，再沿虚线折合起来．
问题解决：
（1）该长方体纸盒的底面边长为 （a﹣2b） cm；（请你用含a，b的代数式表示）
（2）若a＝24cm，b＝6cm，则长方体纸盒的表面积和体积分别为多少；
拓展延伸：
动手操作二：根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒．
方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为bcm的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．
（3）若a＝24cm，b＝6cm，该长方体纸盒的体积为多少cm3？
（4）现有两张边长a均为30cm的正方形纸板，分别按图1、图2的要求制作无盖和有盖的两个长方体盒子，若b＝5cm，求无盖盒子的体积是有盖盒子体积的 2 倍．
解：（1）根据折叠可知，底面是边长为（a﹣2b）（cm）的正方形；
故答案为：（a﹣2b）；
（2）将a＝24cm，b＝6cm代入得（a﹣2b）2＝（24﹣2×6）2＝144（cm2），
所以长方体纸盒的底面积为144cm2，
长方体纸盒的表面积为：a2﹣4b2＝242﹣4×62＝432（cm2），
长方体纸盒的体积为：144×6＝864（cm3）；
答：长方体纸盒的表面积为432cm2，体积为864cm3；
（3）裁剪后折叠成长方体的长为：（a﹣2b）cm，宽为 cm，高为bcm，
所以，折叠后长方体的体积为（a﹣2b）××b，即b（a﹣2b）2，
当a＝24cm，b＝6cm时，b（a﹣2b）2＝×6×（24﹣2×6）2＝432（cm3）；
答：长方体的体积为432cm3；
（4）按照图1的折叠方法所得到的无盖的长方体的体积为b（a﹣2b）2 cm3，
按照图2的折叠方法所得到的有盖的长方体的体积为cm3，
所以按照图1的折叠方法所得到的无盖的长方体的体积是按照图2的折叠方法所得到的有盖的长方体的体积的2倍，
答：无盖盒子的体积是有盖盒子体积的2倍．
故答案为：2
题号
一
二
三
总分
得分
评卷人
得 分
评卷人
得 分
评卷人
得 分
考试时间：90分钟 试卷满分：100分 难度：0.61
姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2022秋•兴化市校级期末）如图，由27个相同的小正方体拼成一个大正方体，从中取出一块小正方体，剩下的图形表面积最大的取法为（ ）
A．取走①号B．取走②号C．取走③号D．取走④号
2．（2分）（2019秋•兴化市月考）下列几何体中，属于柱体的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（2分）（2021秋•建湖县期末）下列四个几何体中，是四棱锥的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2分）（2022秋•张家港市期中）如图所示，连接边长为1的正方形各边的中点，连接正方形的对角线，则图中共有三角形（ ）
A．16个B．32个C．22个D．44个
5．（2分）（2022秋•东台市月考）下列说法中，正确的有（ ）
①圆锥和圆柱的底面都是圆；
②正方体是四棱柱，四棱柱是正方体；
③棱柱的上下底面是形状、大小相同的多边形；
④棱锥底面边数与侧棱数相等．
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．（2分）（2022秋•苏州期中）李明有9根a厘米长的小棒和6根b厘米长的小棒（其中a≠b），他用其中的12根搭成了一个长方体框架，则这个长方体框架的棱长总和为（ ）
A．9a+6bB．8a+4bC．6（a+b）D．9a+3b
7．（2分）（2022秋•赣榆区校级月考）下列几何体中，属于棱柱的是（ ）
A．B．C．D．
8．（2分）（2017秋•灌云县月考）如图，都是由棱长为1的正方体叠成的立体图形，例如第（1）个图形由1个正方体叠成，第（2）个图形由4个正方体叠成，第（3）个图形由10个正方体叠成，依次规律，第（6）个图形由（ ）个正方体叠成．
A．36B．37C．56D．84
9．（2分）（2022秋•江阴市期末）下列几何体的表面中，不含有曲面的是（ ）
A．圆柱B．四棱柱C．圆锥D．球体
10．（2分）（2019•站前区校级一模）10个棱长为1的正方体木块堆成如图所示的形状，则它的表面积是（ ）
A．30B．34C．36D．48
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2022秋•姜堰区月考）下列图形属于柱体的有 个．
12．（2分）（2013秋•泰兴市校级期中）定义：两个直角三角形，若一个三角形的两条直角边分别与另一个三角形的两条直角边相等，我们就说这两个直角三角形是“同胞直角三角形”．如图，在边长为10的正方形中有两个直角三角形，当直角三角形①和直角三角形②是同胞直角三角形时，a的值是 ．
13．（2分）（2020秋•高淳区校级期末）若一个棱柱有9个面，则它是 棱柱．
14．（2分）（2021秋•兴化市校级月考）如图所示的某种玩具是由两个正方体用胶水黏合而成的，它们的棱长分别为1dm和2dm，为了美观，现要在其表面喷涂油漆，如果喷涂1dm2需用油漆4g，那么喷涂这个玩具共需油漆 g．
15．（2分）（2021秋•江阴市校级月考）如果一个棱锥由5个面围成，这个棱锥底面是 边形．
16．（2分）（2021秋•高邮市期中）如图正方形ABCD边长为2，若图中阴影两个部分的面积分别为S1、S2．则S1﹣S2＝ ．
17．（2分）（2022秋•梁溪区期中）有一张长和宽分别是5和4的长方形纸片，现在把它正好分成5张形状各不相同的长方形（包括正方形）纸片，且每张纸片的边长都为整数．这样的5张长方形纸片共有 种．
18．（2分）（2019秋•建湖县期末）如图，把14个棱长为1cm的正方体木块，在地面上堆成如图所示的立体图形，然后向露出的表面部分喷漆，若1cm2需用漆2g，那么共需用漆 g．
19．（2分）（2019秋•玄武区期末）如图，有两个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是12cm，6cm，2cm，现要用这两个纸盒搭成一个大长方体，搭成的大长方体的表面积最小为 cm2．
20．（2分）（2016秋•海陵区校级期末）如图，一个表面涂满颜色的正方体，现将每条棱三等分，再把它切开变成若干个小正方体，两面都涂色的有 个．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2022秋•崇川区校级月考）如图，半径为1个单位长度的圆片上有一点Q与数轴上的原点重合（提示：圆的周长C＝2πr，π取3.14）
（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置，点A表示的数是 ；
（2）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：2，﹣1，﹣5，4，3，﹣2．
①第几次滚动后，Q点距离原点最近？第几次滚动后，Q点距离原点最远？
②当圆片结束运动时，Q点运动的路程共有多少？此时点Q所表示的数是多少？
22．（6分）（2020秋•无锡期末）如图是一个长方体储水箱和一个长方体水池的侧面示意图（厚度忽略不计），储水箱中水深12dm，把一高度为14dm的长方体石柱放置于水池中央后水池中水深2dm．现将储水箱中的水匀速注入水池．注水4min时水池水面与石柱上底面持平；继续注水2min后，储水箱中的水全部注入水池，此时水池中水深19dm．根据上述信息，解答下列问题：
（1）注水多长时间时，储水箱和水池中的水的深度相同？
（2）若水池底面积为42dm2，求石柱的底面积；
（3）若石柱的体积为168dm3，请直接写出注水前储水箱中水的体积．
23．（8分）（2021秋•高新区期末）如图，将一张正方形纸片的4个角剪去4个大小一样的小正方形，然后折起来就可以制成一个无盖的长方体纸盒，设这个正方形纸片的边长为a，这个无盖的长方体盒子高为h．
（1）若a＝18cm，h＝4cm，则这个无盖长方体盒子的底面面积为 cm2；
（2）用含a和h的代数式表示这个无盖长方体盒子的容积V＝ cm3；
（3）若a＝18cm，试探究：当h越大，无盖长方体盒子的容积V就越大吗？请举例说明；当h是正整数时，这个无盖长方体盒子的最大容积是 cm3．
24．（8分）（2022秋•南京期中）我们知道乌鸦喝水的故事．现在来做一个道理相同的游戏：如图，在圆柱形玻璃桶里已有定量的水，将大小相同的围棋棋子一个个慢慢投入其中．显然，在有水溢出之前，每投入一个棋子，桶里水位的高度都会有变化．根据如图信息，解答下列各题：
（1）投入第1个围棋子后，水位上升了 cm，此时桶里的水位高度达到了 cm；
（2）设投入了n个棋子，没有水溢出．用n表示此时桶里水位的高度；
（3）小亮认为投入72个棋子，正好可使水位达到桶的高度．你同意他的观点吗？说说理由．
25．（8分）（2021秋•梁溪区校级期中）如图，把一张长方形纸板裁去两个边长为3cm的小正方形和两个全等的小长方形，再把剩余部分（阴影部分）四周折起，恰好做成一个有底有盖的长方体纸盒，纸盒底面长方形的长为3kcm，宽为2kcm，则：
（1）裁去的每个小长方形面积为 cm2．（用k的代数式表示）
（2）若长方体纸盒的表面积是底面积的正整数倍，则正整数k的值为 ．
26．（8分）（2017秋•苏州期中）如图，某品牌卷简纸的高度为10厘米，中间空心硬纸轴的直径是5厘米
（1）制作中间的纸轴至少需要多少平方厘米的硬纸板？（用π表示结果）
（2）如果围成的纸张厚度为5厘米，请问：能将一卷新的卷筒纸放入一个长10厘米、宽10厘米、高1厘米的长方体纸巾盒中吗？（请从数学的角度进行分析、判断）
27．（8分）（2019秋•盱眙县期末）如图，在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为10cm的小正方体堆成一个几何体．
（1）这个几何体由 个小正方体组成．
（2）如果在这个几何体的表面喷上黄色的漆，则在所有的小正方体中，有 个正方体只有一个面是黄色，有 个正方体只有两个面是黄色，有 个正方体只有三个面是黄色．
（3）这个几何体喷漆的面积为 cm2．
28．（8分）（2020秋•射阳县校级月考）综合与实践
某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为acm的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒），请你动手操作验证并完成任务．（纸板厚度及接缝处忽略不计）
动手操作一：
根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子．方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为bcm的小正方形，再沿虚线折合起来．
问题解决：
（1）该长方体纸盒的底面边长为 cm；（请你用含a，b的代数式表示）
（2）若a＝24cm，b＝6cm，则长方体纸盒的表面积和体积分别为多少；
拓展延伸：
动手操作二：根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒．
方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为bcm的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．
（3）若a＝24cm，b＝6cm，该长方体纸盒的体积为多少cm3？
（4）现有两张边长a均为30cm的正方形纸板，分别按图1、图2的要求制作无盖和有盖的两个长方体盒子，若b＝5cm，求无盖盒子的体积是有盖盒子体积的 倍．
2023-2024学年苏科版数学七年级上册同步专题热点难点专项练习
专题5.1 丰富的图形世界（专项拔高卷）
考试时间：90分钟 试卷满分：100分 难度：0.61
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2022秋•兴化市校级期末）如图，由27个相同的小正方体拼成一个大正方体，从中取出一块小正方体，剩下的图形表面积最大的取法为（ ）
A．取走①号B．取走②号C．取走③号D．取走④号
解：取走①号或③号剩下的图形表面积不变，取走②号剩下的图形表面积增大两个小正方体的面，取走④号剩下的图形表面积增大4个小正方体的面，
故选：D．
2．（2分）（2019秋•兴化市月考）下列几何体中，属于柱体的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
解：第一个图是圆锥；第二个图是三棱锥；第三个图是正方体，也是四棱柱；第四个图是球；第五个图是圆柱；其中柱体有2个，即第三个和第五个，
故选：B．
3．（2分）（2021秋•建湖县期末）下列四个几何体中，是四棱锥的是（ ）
A．B．
C．D．
解：四棱锥是底面是四边形的锥体，因此选项A中的几何体符合题意，
故选：A．
4．（2分）（2022秋•张家港市期中）如图所示，连接边长为1的正方形各边的中点，连接正方形的对角线，则图中共有三角形（ ）
A．16个B．32个C．22个D．44个
解：根据图形得：最小的三角形有4×4＝16个；
两个三角形组成的三角形有4×4＝16；
四个三角形组成的三角形有：8个；
八个三角形组成的三角形有：4个．
∴共有16+16+8+4＝44个．
故选：D．
5．（2分）（2022秋•东台市月考）下列说法中，正确的有（ ）
①圆锥和圆柱的底面都是圆；
②正方体是四棱柱，四棱柱是正方体；
③棱柱的上下底面是形状、大小相同的多边形；
④棱锥底面边数与侧棱数相等．
A．1个B．2个C．3个D．4个
解：①由圆柱和圆锥的特征可以得知：圆柱、圆锥的底面都是圆形．故①正确；
②正方体是四棱柱，但四棱柱不一定是正方体，故②错误；
③棱柱的上下底面是全等的多边形，则棱柱的上下底面是形状、大小相同的多边形．故③正确；
④棱锥底面边数与侧棱数相等，故④正确．
综上所述，正确的说法是：①③④．
故选：C．
6．（2分）（2022秋•苏州期中）李明有9根a厘米长的小棒和6根b厘米长的小棒（其中a≠b），他用其中的12根搭成了一个长方体框架，则这个长方体框架的棱长总和为（ ）
A．9a+6bB．8a+4bC．6（a+b）D．9a+3b
解：∵长方体有4个长，4个宽和4个高，有9根a厘米长的小棒和6根b厘米长的小棒（其中a≠b），
∴长、宽、高应该是4个a厘米，4个a厘米，4个b厘米，
∴这个长方体框架的棱长总和为（8a+4b）厘米．
故选：B．
7．（2分）（2022秋•赣榆区校级月考）下列几何体中，属于棱柱的是（ ）
A．B．C．D．
解：A、圆锥属于锥体，故此选项不合题意；
B、圆柱属于柱体，故此选项不合题意；
C、棱锥属于锥体，故此选项不合题意；
D、长方体属于棱柱，故此选项符合题意；
故选：D．
8．（2分）（2017秋•灌云县月考）如图，都是由棱长为1的正方体叠成的立体图形，例如第（1）个图形由1个正方体叠成，第（2）个图形由4个正方体叠成，第（3）个图形由10个正方体叠成，依次规律，第（6）个图形由（ ）个正方体叠成．
A．36B．37C．56D．84
解：由图可得：
第（1）个图形中正方体的个数为1；
第（2）个图形中正方体的个数为4＝1+3；
第（3）个图形中正方体的个数为10＝1+3+6；
第（4）个图形中正方体的个数为20＝1+3+6+10；
故第n个图形中的正方体的个数为1+3+6+…+，
∴第（5）个图形中正方体的个数为1+3+6+10+15＝35；
第（6）个图形中正方体的个数为1+3+6+10+15+21＝56；
故选：C．
9．（2分）（2022秋•江阴市期末）下列几何体的表面中，不含有曲面的是（ ）
A．圆柱B．四棱柱C．圆锥D．球体
解：A．圆柱的侧面是曲面，因此选项A不符合题意；
B．四棱柱的6个面都是平面，因此选项B符合题意；
C．圆锥的侧面是曲面，因此选项C不符合题意；
D．球体的表面是曲面，因此选项D不符合题意．
故选：B．
10．（2分）（2019•站前区校级一模）10个棱长为1的正方体木块堆成如图所示的形状，则它的表面积是（ ）
A．30B．34C．36D．48
解：根据以上分析露出的面积＝5+4×2+2+4×2+3+2×1+2+6＝36．
故选：C．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2022秋•姜堰区月考）下列图形属于柱体的有 4 个．
解：下列图形中有3个棱柱和1个圆柱，共4个柱体．
故答案为：4．
12．（2分）（2013秋•泰兴市校级期中）定义：两个直角三角形，若一个三角形的两条直角边分别与另一个三角形的两条直角边相等，我们就说这两个直角三角形是“同胞直角三角形”．如图，在边长为10的正方形中有两个直角三角形，当直角三角形①和直角三角形②是同胞直角三角形时，a的值是 5或6 ．
解：由“同胞直角三角形”的定义可得：当a＝6时，b＝4，c＝4符合题意；
当a＝5时，b＝5，c＝6，符合题意，
故a＝5或6，
故答案为：5或6．
13．（2分）（2020秋•高淳区校级期末）若一个棱柱有9个面，则它是 七 棱柱．
解：∵棱柱有9个面，
∴它有7个侧面，
∴它是七棱柱．
故答案为：七．
14．（2分）（2021秋•兴化市校级月考）如图所示的某种玩具是由两个正方体用胶水黏合而成的，它们的棱长分别为1dm和2dm，为了美观，现要在其表面喷涂油漆，如果喷涂1dm2需用油漆4g，那么喷涂这个玩具共需油漆 112 g．
解：玩具的表面积为：6×（2×2）+4×（1×1）＝28平方分米，
所以喷涂这个玩具共需油漆28×4＝112克．
故答案为：112．
15．（2分）（2021秋•江阴市校级月考）如果一个棱锥由5个面围成，这个棱锥底面是 四 边形．
解：如果一个棱锥由5个面围成，则这个棱锥为四棱锥，
其底面为四边形，
故答案为：四．
16．（2分）（2021秋•高邮市期中）如图正方形ABCD边长为2，若图中阴影两个部分的面积分别为S1、S2．则S1﹣S2＝ 2π﹣4 ．
解：根据题意得：×π×22×2﹣S1+S2＝22，
∴S1﹣S2＝2π﹣4，
故答案为：2π﹣4．
17．（2分）（2022秋•梁溪区期中）有一张长和宽分别是5和4的长方形纸片，现在把它正好分成5张形状各不相同的长方形（包括正方形）纸片，且每张纸片的边长都为整数．这样的5张长方形纸片共有 7 种．
解：把可以分得的边长为整数的长方形（或正方形）按照面积从小到大排列有：
1×1，1×2，1×3，1×4，2×2，1×5，2×3，2×4，3×3，2×5，3×4，3×5，4×4，4×5，
若能分成5张满足条件的纸片，因为其面积之和正好为20，
那么满足条件的有：
1×1，1×2，1×3，1×4，2×5；
1×1，1×2，1×3，2×2，2×5；
1×2，1×3，1×4，1×5，2×3；
1×2，1×3，2×2，1×5，2×3；
1×1，1×2，1×4，1×5，2×4；
1×1，1×3，2×2，1×5，2×4；
1×1，1×2，1×3，1×5，3×3；
故这样的5张长方形纸片共有7种．
故答案为：7．
18．（2分）（2019秋•建湖县期末）如图，把14个棱长为1cm的正方体木块，在地面上堆成如图所示的立体图形，然后向露出的表面部分喷漆，若1cm2需用漆2g，那么共需用漆 66 g．
解：最上层，侧面积为4，上表面面积为1，总面积为4+1＝5，
中间一层，侧面积为2×4＝8，上表面面积为4﹣1＝3，总面积为8+3＝11，
最下层，侧面积为3×4＝12，上表面面积为9﹣4＝5，总面积为12+5＝17，
5+11+17＝33，
所以33×2＝66（g）．
答：共需用漆66g．
故答案为：66．
19．（2分）（2019秋•玄武区期末）如图，有两个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是12cm，6cm，2cm，现要用这两个纸盒搭成一个大长方体，搭成的大长方体的表面积最小为 288 cm2．
解：（1）图1中，长方体的高为4，表面积＝2（12×6+12×4+4×6）＝288cm2．
图2中，长为24，表面积＝2（24×6+24×2+6×2）＝408cm2．
图3中，宽为12，表面积＝2（12×12+12×2+12×2）＝384cm2．
∴图1的表面积最小．
故答案为：288．
20．（2分）（2016秋•海陵区校级期末）如图，一个表面涂满颜色的正方体，现将每条棱三等分，再把它切开变成若干个小正方体，两面都涂色的有 12 个．
解：根据以上分析：有一条边在棱上的正方体有12个两面涂色；
故答案为：12．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2022秋•崇川区校级月考）如图，半径为1个单位长度的圆片上有一点Q与数轴上的原点重合（提示：圆的周长C＝2πr，π取3.14）
（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置，点A表示的数是 ﹣6.28 ；
（2）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：2，﹣1，﹣5，4，3，﹣2．
①第几次滚动后，Q点距离原点最近？第几次滚动后，Q点距离原点最远？
②当圆片结束运动时，Q点运动的路程共有多少？此时点Q所表示的数是多少？
解：（1）∵2πr＝2×3.14×1＝6.28，
∴点A表示的数是﹣6.28，
故答案为：﹣6.28；
（2）①∵+2﹣1﹣5+4＝0，
∴第4次滚动后，Q点距离原点最近；
∵（+2）+（﹣1）+（﹣5）＝﹣4，
∴第3次滚动后，Q点距离原点最远；
②∵|+2|+|﹣1|+|﹣5|+|+4|+|+3|+|﹣2|＝17，
∴17×2π×1＝106.76，
∴当圆片结束运动时，Q点运动的路程共有106.76，
∵2﹣1﹣5+4+3﹣2＝1，
∴1×2π×1≈6.28，
∴此时点Q所表示的数是6.28．
22．（6分）（2020秋•无锡期末）如图是一个长方体储水箱和一个长方体水池的侧面示意图（厚度忽略不计），储水箱中水深12dm，把一高度为14dm的长方体石柱放置于水池中央后水池中水深2dm．现将储水箱中的水匀速注入水池．注水4min时水池水面与石柱上底面持平；继续注水2min后，储水箱中的水全部注入水池，此时水池中水深19dm．根据上述信息，解答下列问题：
（1）注水多长时间时，储水箱和水池中的水的深度相同？
（2）若水池底面积为42dm2，求石柱的底面积；
（3）若石柱的体积为168dm3，请直接写出注水前储水箱中水的体积．
（1）储水箱出水速度：12÷6＝2（dm/min），水池注水速度：（14﹣2）÷4＝3（dm/min），
设tmin时深度相同，则：
12﹣2t＝2+3t，
解得：t＝2，
答：注水2min时，储水箱和水池中的水的深度相同．
（2）设石柱底面积S＝adm2，
则：（14﹣2）×（42﹣a）＝2×（19﹣14）×42，
解得：a＝7，
故石柱的底面积为7dm2．
（3）∵石柱的体积为168dm3，
∴石柱的底面积为：168÷14＝12（dm2），
依题意，得：
（19﹣14）•S水池÷（6﹣4）＝（14﹣2）•（S水池﹣12）÷4，
解得：S水池＝72（dm2），
12÷6×4×S储水箱＝（72﹣12）×（14﹣2），
解得：S储水箱＝90（dm2），
∴注水前储水箱中水的体积V＝S储水箱•h＝90×12＝1080（dm3）．
23．（8分）（2021秋•高新区期末）如图，将一张正方形纸片的4个角剪去4个大小一样的小正方形，然后折起来就可以制成一个无盖的长方体纸盒，设这个正方形纸片的边长为a，这个无盖的长方体盒子高为h．
（1）若a＝18cm，h＝4cm，则这个无盖长方体盒子的底面面积为 100 cm2；
（2）用含a和h的代数式表示这个无盖长方体盒子的容积V＝ h（a﹣2h）2 cm3；
（3）若a＝18cm，试探究：当h越大，无盖长方体盒子的容积V就越大吗？请举例说明；当h是正整数时，这个无盖长方体盒子的最大容积是 432 cm3．
解：由题意可得：
（18﹣2×4）×（18﹣2×4）
＝10×10
＝100（平方厘米），
∴这个无盖长方体盒子的底面面积为100cm2，
故答案为：100；
（2）由题意可得：
这个无盖长方体盒子的容积V＝h（a﹣2h）2cm3，
故答案为h（a﹣2h）2；
（3）若a＝18cm，当h越大，无盖长方体盒子的容积V不一定就越大，
当h＝3时，这个无盖长方体盒子的最大容积是：
V＝3×（18﹣2×3）＝432（立方厘米），
故答案为：当h越大，无盖长方体盒子的容积V不一定就越大，432．
24．（8分）（2022秋•南京期中）我们知道乌鸦喝水的故事．现在来做一个道理相同的游戏：如图，在圆柱形玻璃桶里已有定量的水，将大小相同的围棋棋子一个个慢慢投入其中．显然，在有水溢出之前，每投入一个棋子，桶里水位的高度都会有变化．根据如图信息，解答下列各题：
（1）投入第1个围棋子后，水位上升了 0.25 cm，此时桶里的水位高度达到了 12.25 cm；
（2）设投入了n个棋子，没有水溢出．用n表示此时桶里水位的高度；
（3）小亮认为投入72个棋子，正好可使水位达到桶的高度．你同意他的观点吗？说说理由．
解：（1）无小球时，水位12cm，加入12个围棋子时，水位增长了3cm，所以每增加一个小球，水位上升3÷12＝0.25cm．故投入第1个小球后，水位上升了0.25cm，此时量筒里的水位高度达到了12.25cm；
故答案为：0.25，12.25；
（2）∵每增加一个围棋子，水位上升0.25cm，
故桶里水位的高度为0.25n+12，
（3）同意．
理由：∵当n＝72时，0.25n+12＝30，
∴正好使水位达到桶的高度．
25．（8分）（2021秋•梁溪区校级期中）如图，把一张长方形纸板裁去两个边长为3cm的小正方形和两个全等的小长方形，再把剩余部分（阴影部分）四周折起，恰好做成一个有底有盖的长方体纸盒，纸盒底面长方形的长为3kcm，宽为2kcm，则：
（1）裁去的每个小长方形面积为 （6k+9） cm2．（用k的代数式表示）
（2）若长方体纸盒的表面积是底面积的正整数倍，则正整数k的值为 1或5 ．
解：（1）由题意，小长方形的长为（3+2k ）cm，宽为3cm，
∴裁去的每个小长方形面积为（6k+9）（cm2），
故答案为：（6k+9）；
（2）由题意得：
12k+18k＝n•6k2（n为正整数），
可得nk＝5，
∴n＝1，k＝5或n＝5，k＝1，
∴k＝1或5，
故答案为：1或5．
26．（8分）（2017秋•苏州期中）如图，某品牌卷简纸的高度为10厘米，中间空心硬纸轴的直径是5厘米
（1）制作中间的纸轴至少需要多少平方厘米的硬纸板？（用π表示结果）
（2）如果围成的纸张厚度为5厘米，请问：能将一卷新的卷筒纸放入一个长10厘米、宽10厘米、高1厘米的长方体纸巾盒中吗？（请从数学的角度进行分析、判断）
解：（1）π×5×10＝50π 平方厘米，
（2）不能，
∵围成的纸张厚度为5厘米，
∴一卷新的卷筒纸底面直径为15cm，
又∵长方体纸巾盒的长10厘米、宽10厘米、高1厘米，
∴不能放进去．
27．（8分）（2019秋•盱眙县期末）如图，在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为10cm的小正方体堆成一个几何体．
（1）这个几何体由 10 个小正方体组成．
（2）如果在这个几何体的表面喷上黄色的漆，则在所有的小正方体中，有 1 个正方体只有一个面是黄色，有 2 个正方体只有两个面是黄色，有 3 个正方体只有三个面是黄色．
（3）这个几何体喷漆的面积为 3200 cm2．
解：（1）这个几何体由 10个小正方体组成．
（2）如果在这个几何体的表面喷上黄色的漆，则在所有的小正方体中，有 1个正方体只有一个面是黄色，有 2个正方体只有两个面是黄色，有 3个正方体只有三个面是黄色．
（3）露出表面的面一共有32个，则这个几何体喷漆的面积为3200cm2，
故答案为：10；1，2，3；3200．
28．（8分）（2020秋•射阳县校级月考）综合与实践
某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为acm的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒），请你动手操作验证并完成任务．（纸板厚度及接缝处忽略不计）
动手操作一：
根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子．方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为bcm的小正方形，再沿虚线折合起来．
问题解决：
（1）该长方体纸盒的底面边长为 （a﹣2b） cm；（请你用含a，b的代数式表示）
（2）若a＝24cm，b＝6cm，则长方体纸盒的表面积和体积分别为多少；
拓展延伸：
动手操作二：根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒．
方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为bcm的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．
（3）若a＝24cm，b＝6cm，该长方体纸盒的体积为多少cm3？
（4）现有两张边长a均为30cm的正方形纸板，分别按图1、图2的要求制作无盖和有盖的两个长方体盒子，若b＝5cm，求无盖盒子的体积是有盖盒子体积的 2 倍．
解：（1）根据折叠可知，底面是边长为（a﹣2b）（cm）的正方形；
故答案为：（a﹣2b）；
（2）将a＝24cm，b＝6cm代入得（a﹣2b）2＝（24﹣2×6）2＝144（cm2），
所以长方体纸盒的底面积为144cm2，
长方体纸盒的表面积为：a2﹣4b2＝242﹣4×62＝432（cm2），
长方体纸盒的体积为：144×6＝864（cm3）；
答：长方体纸盒的表面积为432cm2，体积为864cm3；
（3）裁剪后折叠成长方体的长为：（a﹣2b）cm，宽为 cm，高为bcm，
所以，折叠后长方体的体积为（a﹣2b）××b，即b（a﹣2b）2，
当a＝24cm，b＝6cm时，b（a﹣2b）2＝×6×（24﹣2×6）2＝432（cm3）；
答：长方体的体积为432cm3；
（4）按照图1的折叠方法所得到的无盖的长方体的体积为b（a﹣2b）2 cm3，
按照图2的折叠方法所得到的有盖的长方体的体积为cm3，
所以按照图1的折叠方法所得到的无盖的长方体的体积是按照图2的折叠方法所得到的有盖的长方体的体积的2倍，
答：无盖盒子的体积是有盖盒子体积的2倍．
故答案为：2
题号
一
二
三
总分
得分
评卷人
得 分
评卷人
得 分
评卷人
得 分
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