03幂、指数与对数-上海市2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（沪教版2020）

这是一份03幂、指数与对数-上海市2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（沪教版2020），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．（2024上·上海宝山·高一上海交大附中校考期末）在中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且关于的二次方程有两个相等的实根，则的形状是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
2．（2024上·上海奉贤·高一统考期末）已知的三边长分别为、、，且，，，有以下2个命题：
①以、、为边长的三角形一定存在；
②以、、为边长的三角形一定存在；
则下列选项正确的是（ ）
A．①成立，②不成立；B．①不成立，②成立；
C．①②都成立；D．①②都不成立.
3．（2024上·上海嘉定·高一统考期末）已知，则的值( )
A．B．C．D．
4．（2023上·上海奉贤·高一校考期末）在有声世界里，声强级是表示声强度相对大小的指标，其值y[单位：dB（分贝）]定义为，其中I为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值．则声强级为60dB时的声强度是声强级为50dB时的声强度的（ ）倍．
A．10B．100C．1.2D．12
5．（2023上·上海闵行·高一统考期末）历史上数学计算方面的三大发明是阿拉伯数字､十进制和对数，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特的优势.已知，则的估算值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023上·上海徐汇·高一统考期末）香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大数据传输速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．根据香农公式，若当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．（2021上·上海徐汇·高一上海中学校考期末）（且），则的值为（ ）
A．B．4C．1D．或1
8．（2022上·上海徐汇·高一上海中学校考期末）将函数的图像向左、向下各平移1个单位长度，得到的函数图像，则（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
9．（2024上·上海·高一上海市向明中学校考期末）设，，则 ．（结果用和表示）
10．（2023上·上海·高一曹杨二中校考期末）已知，，则可以用a、b表示为 .
11．（2024上·上海·高一上海市行知中学校考期末）方程的解 .
12．（2024上·上海·高一上海南汇中学校考期末）若，则 ．（结果用a、b表示）．
13．（2024上·上海·高一校考期末）已知，用表示 .
14．（2024上·上海虹口·高一统考期末）若实数和满足，则 ．
三、解答题
15．（2023上·上海徐汇·高一上海市西南位育中学校考期末）解答下列问题：
(1)用表示；
(2)已知，且，求M的值．
16．（2023上·上海浦东新·高一上海市建平中学校考期末）已知函数在定义域上是严格增函数.
(1)若，求的值域；
(2)若的值域为，求的值；
(3)若，且对定义域内任意自变量均有成立，试求的解析式.
17．（2023上·上海闵行·高一统考期末）已知函数的定义域为，为大于的常数，对任意，都满足，则称函数在上具有“性质”．
(1)试判断函数和函数是否具有“性质”（无需证明）；
(2)若函数具有“性质”，且，求证：对任意，都有；
(3)若函数的定义域为，且具有“性质”，试判断下列命题的真假，并说明理由，
①若在区间上是严格增函数，则此函数在上也是严格增函数；
②若在区间上是严格减函数，则此函数在上也是严格减函数．
参考答案：
1．B
【分析】根据结合对数运算求解.
【详解】由题意可知：，
因为关于的二次方程有两个相等的实根，
则，可得，
则，即，可知角C为直角，即直角三角形.
故选：B.
2．A
【分析】对于①：根据三角形的性质结合作差法分析判断；对于②：举反例结合对数运算判断.
【详解】不妨设，则，即，
对于①：显然，则，
因为，可得，
所以以、、为边长的三角形一定存在，故①正确；
对于②：例如，此时，符合题设，
但，
所以、、不能构成三角形，故②错误；
故选：A.
3．D
【分析】根据指数的运算性质即可求得.
【详解】因为，所以.
故选：D.
4．A
【分析】根据题意，得到可得，两式相减得，即可求解.
【详解】由题意知，声强级是表示声强度相对大小的指标值的定义为，
可得，
两式相减得，
即，解得，
所以声强级为dB时的声强度是声强级为dB时的声强度的倍．
故选：A.
5．A
【分析】现根据对数运算结合已知数据求出，根据指对互化，即可得出答案.
【详解】，
所以，.
故选：A.
6．C
【分析】根据新定义结合对数运算求解即可
【详解】由题意可知，
故选：C.
7．A
【分析】化简原式得，即，解出此式即可.
【详解】化为
可得，，或（舍去）.
故选:A.
8．B
【分析】根据函数的图象变换的原则，结合对数的运算性质，准确运算，即可求解.
【详解】由题意，将函数的图像向左、向下各平移1个单位长度，
可得.
故选：B.
9．
【分析】根据换底公式求解即可.
【详解】.
故答案为：
10．
【分析】利用指数、对数互化关系及对数换底公式求解即得.
【详解】由，得，而，
所以.
故答案为：
11．11
【分析】由对数运算可得答案.
【详解】因为，所以，解得，
故答案为：11.
12．
【分析】根据对数的运算法则直接计算即可.
【详解】由题意得，，即，，
所以.
故答案为：
13．/
【分析】利用对数的运算法则计算即可.
【详解】因为，所以，
故答案为：
14．1
【分析】根据指对数互化可得，再结合对数的运算性质求解.
【详解】因为，则，可得，
所以.
故答案为：1.
15．(1)；
(2).
【分析】(1)根据对数的运算公式化简即可；
(2)由题意可得，再根据换底公式可得由，可得，代入计算即可.
【详解】（1）解：因为；
（2）解：因为，所以，
所以
又因为，
即，
所以，
所以.
16．(1)；
(2)4；
(3).
【分析】（1）先求出函数的定义域，然后根据函数的单调性可求出函数的最值，从而可求出函数的值域；
（2）根据函数在上是严格增函数，可得，，然后相加化简可得答案；
（3）由已知可得，则有，再根据其单调性和已知条件可得，从而可求出的解析式.
【详解】（1）由，解得，
因为和在上均为增函数，
所以在上为增函数，
所以 ，
，
所以的值域为；
（2）因为的值域为，且在定义域上是严格增函数，
所以，，
所以
；
（3）因为对定义域内任意自变量均有成立，
所以，
所以，
所以，
因为函数在定义域上是严格增函数，
所以，
所以，
所以，
所以，解得，
因为函数在定义域上是严格增函数，
所以.
17．(1)函数不具有“性质”，函数具有“性质”
(2)证明见解析
(3)命题①为假命题，命题②为真命题，理由见解析
【分析】（1）利用作差法结合“性质”的定义判断可得出结论；
（2）利用“性质”的定义结合不等式可推导出，，利用不等式的基本性质可证得结论成立；
（3）取可判断命题①为假命题，对命题②，对任意的、且，取，根据“性质”的定义结合基本不等式的性质、单调性的定义证得，即可证得结论成立.
【详解】（1）解：函数不具有“性质”，函数具有“性质”，理由如下：
设，，
对任意的，
，
所以，，所以，函数不具有“性质”，
对任意的，，
所以，，所以，函数具有“性质”.
（2）证明：因为函数具有“性质”，对任意的，，
所以，，
又因为，所以，
，
所以，，由不等式的可加性可得，
故对任意的，.
（3）解：命题①是假命题，命题②是真命题，理由如下：
对于命题①，取函数，由（1）可知，函数具有“性质”，
函数在区间上是严格增函数，但该函数在上不单调；
对于命题②，对任意的，对任意的，，
所以，，
对任意的、且，取，
必存在且，满足，
因为函数在区间上是严格减函数，
所以，，即，
所以，，
故，即，
故函数在上是严格减函数.
所以，命题②为真命题.
【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.