06对数函数-上海市2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（沪教版2020）

这是一份06对数函数-上海市2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（沪教版2020），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．（2023上·上海·高一曹杨二中校考期末）已知且，则“”是“函数是严格增函数”的（ ）.
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分条件又非必要条件
2．（2024上·上海·高一上海市进才中学校考期末）中国5G技术领先世界，其数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了（ ）．
A．20%B．23%C．28%D．50%
3．（2022上·上海徐汇·高一上海市第二中学校考期末）如果，那么，，的大小顺序为（ ）．
A．B．
C．D．
4．（2023上·上海宝山·高一上海市吴淞中学校考期末）已知函数，定义域为，值域为.则以下选项正确的是（ ）
A．存在实数使得
B．存在实数使得
C．对任意实数
D．对任意实数
5．（2021上·上海浦东新·高一上海市实验学校校考期末）如果，那么（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022上·上海松江·高一统考期末）下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
7．（2023上·上海奉贤·高一统考期末）在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标.其值[单位：dB（分贝）]定义为.其中，为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值.则声强级为dB时的声强度是声强级为dB时的声强度的（ ）倍.
A．B．C．D．
8．（2023上·上海松江·高一校考期末）若满足时，恒有，则不可能是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．（2024上·上海宝山·高一上海交大附中校考期末）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 .
10．（2024上·上海·高一上海市建平中学校考期末）若函数（且）的图象恒过定点，则的坐标是 .
11．（2024上·上海·高一校考期末）函数的严格增区间为 .
12．（2024上·上海·高一校考期末）已知，若，则 .
13．（2024上·上海虹口·高一统考期末）设，若，则实数的取值范围是 ．
14．（2024上·上海虹口·高一统考期末）若表示不大于的最大整数，比如，则不等式的解集为 ．
三、解答题
15．（2024上·上海·高一上海市建平中学校考期末）若函数满足：对任意正数，都有，则称函数为“H函数”．
(1)试判断函数与是否为“H函数”，并说明理由；
(2)若函数是“H函数”，求实数a的取值范围；
(3)若函数为“H函数”，，对任意正数s、t，都有，，证明：对任意，都有．
16．（2024上·上海·高一上海南汇中学校考期末）设集合存在正实数，使得定义域内任意x都有．
(1)若，证明：；
(2)若，且，求实数a的取值范围；
(3)若，且，求函数的最小值．
17．（2021上·上海嘉定·高一统考期末）对于函数，函数图象上任意一点A关于点P的对称点仍在函数图象上，那么称点P为函数图象的对称中心.如果足够大时，图象上的点到直线的距离比任意给定的正数还要小，那么称函数图象无限趋近于该直线，也称直线是函数图象的非垂直渐近线.
(1)研究函数的性质，填表但无需过程：
(2)根据（1），在所给的坐标系中，画出大致图象，如有对称中心，则在图象中标为点P，如有非垂直渐近线，用虚线画出;
(3)由（1）（2），选择以下两个问题之一来答题.
①如果函数的图象有对称中心，请根据题设的定义来证明，如果没有，请说明理由；
②请根据题设的定义，证明：函数的图象在x轴上方，且无限趋近于x轴，但永不相交.
值域
单调性
奇偶性
图象对称中心
图象非垂直渐近线
参考答案：
1．A
【分析】根据充分性和必要性分别讨论即可.
【详解】充分性：当“”时，，单调递增，
则是单调递增函数，充分性满足；
必要性：当是单调递增函数，则或，必要性不满足，
则“”是“函数是严格增函数”的充分不必要条件.
故选：A
2．B
【分析】由已知公式，将信噪比看作整体，分别取求出相应的值，再利用对数运算性质与换底公式变形求解增加率即可.
【详解】由题意，将信噪比从1000提升至5000，
则最大信息传递速率从增加至，
所以.
故选：B.
3．C
【分析】借助指数函数和对数函数的性质确定范围，即可解决.
【详解】设，由指数函数图像性质可知，
当时，函数值大于1，所以，
设，由指数函数图像性质可知，
当时，时函数值小于1，所以，
设，由对数函数图像性质可知，
当时，时函数值小于0，所以，
所以.
故选：C
4．D
【分析】设，考虑，，，，，几种情况，分别计算集合和，再对比选项得到答案..
【详解】设，当，即时，
设对应方程的两根为，，不妨取，
当时，，，且；
当时，，；
当时，，，；
当时，，；
当时，，，，故；
当时，函数无意义.
对选项A：根据以上情况知不存在的情况，错误；
对选项B：根据以上情况知不存在的情况，错误；
对选项C：假设任意实数，，
取，解得，则，
对于，有，
此时应满足，解得，
易得不在此范围内，假设不成立，此时，错误；
对选项D：根据以上情况知对任意实数，正确；
故选：D
【点睛】关键点睛：本题考查了对数型复合函数的定义域和值域，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，根据二次函数的开口方向和的正负讨论的范围，进而计算集合和是解题的关键，分类讨论的方法是常考方法，需要熟练掌握.
5．C
【分析】根据换底公式可得，再利用单调性可以判断C正确.
【详解】因为，则，
又因为在上单调递减，
那么，
故选：C．
6．C
【分析】根据相同函数的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，的定义域是，的定义域是，不是相同函数.
B选项，的定义域是，的定义域是，不是相同函数.
C选项，，定义域、值域、和对应关系完全相同，是相同函数，C选项正确.
D选项，的定义域是，的定义域是，不是相同函数.
故选：C
7．B
【分析】根据对数运算，可得答案.
【详解】由题意可得：，，解得，，
则.
故选：B.
8．A
【分析】根据给定的不等式关系，结合均值不等式逐项判断作答.
【详解】对于A，取，，，
而，此时有，A不可能；
对于B，，于是，B可能；
对于C，，C可能；
对于D，，D可能.
故选：A
9．
【分析】根据题意，将问题转化为恒成立求参数，再结合二次函数性质即求解.
【详解】因为函数的定义域为，
所以在上恒成立，
则当时，满足题意；
当时，，解得.
综上所述，，即.
故答案为：.
10．
【分析】令真数为，求出的值，再代入函数解析式可得出定点的纵坐标.
【详解】由，得，
，的坐标是，
故答案为：.
11．（或）
【分析】求出函数的定义域，利用复合函数法可求得函数的单调递增区间.
【详解】对于函数，有，即，解得，
所以，函数的定义域为，
因为内层函数的增区间为，减区间为，
外层函数在其定义域上为增函数，
所以，函数函数的严格增区间为.
故答案为：（或）.
12．
【分析】利用对数的运算性质推得，从而得解.
【详解】因为，
所以，
则，则，
又，所以.
故答案为：.
13．
【分析】根据题意，由对数函数的单调性，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为在单调递增，且，
所以，则，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
14．
【分析】先将看成一个整体，把对数不等式解出来得，再根据的定义计算出结果.
【详解】因为，所以，且，
又因为表示不大于的最大整数，所以，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
15．(1)是“H函数”， 不是“H函数”，理由见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据“H函数”的定义并结合举反例的方法进行判断即可；
（2）根据函数是“H函数”列出不等式，转化为求最值问题即可；
（3）由题意令，得到，进而得到和即可得证.
【详解】（1）对于任意，，，
所以，
即成立，
故是“H函数”；
对于，
取，则，．
因为，故不是“H函数”
（2）因为函数是“H函数”，
所以对于任意的，有恒成立，
即恒成立，
所以恒成立，
又，故，则，
则，即，即实数a的取值范围为
（3）由函数为“H函数”，可知对于任意正数，
都有，，且，
令，可知，即，
故对于自然数k与正数s，
都有，
对任意，可得，又，
所以，
同理，
故
【点睛】方法点睛：针对一般的函数新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.
16．(1)证明见解析；
(2)
(3)
【分析】（1）利用集合定义证明即可；
（2），化简，通过判别式小于0，求出的范围即可．
（3）由，推出，得到对任意都成立，然后分离变量，通过当时，当时，分别求解最小值即可．
【详解】（1）设集合存在正实数，使得定义域内任意x都有，
则，，则，
所以，解得：，
不满足对定义域内任意x都有，．
（2）由
，
故；
（3）由，
即
对任意都成立，

当时，令在上单调递增，
在定义域内单调递增，由复合函数的单调性知，
在上单调递增，
；
当时，令在上单调递增，
在定义域内单调递增，由复合函数的单调性知，
在单调递增，
；
当时，令在上单调递减，在上单调递增，
在定义域内单调递增，由复合函数的单调性知，
在上单调递减，在上单调递增，
所以．
综上：.
17．(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）根据的解析式以及相关定义直接分析表中的各个性质；
（2）根据（1）的结果作出的大致图象即可；
（3）若选①：根据定义以及相关点法完成对称中心的证明；若选②：先分析函数取值，然后根据定义证明的图象与轴的关系.
【详解】（1）
因为时，，，，所以的值域为；
因为在上单调递增，所以在上单调递增，所以在上单调递减；
因为，所以，所以是非奇非偶函数；
因为，
所以图象的对称中心为；
当时，，当时，，
所以的非垂直渐近线为和；
（2）如下图所示：
（3）若选①：的对称中心为，
证明：设上任意一点为，其关于的对称点为，
所以，且，
所以，所以，
所以也在的图象上，
所以为的对称中心；
若选②：因为，所以，所以的图象在轴上方；
要证明：的图象无限趋近于x轴，但永不相交，
只要证明：，时（*），
当时，此时显然成立，
当时，只需取，此时成立，
由上可知，（*）成立，所以的图象无限趋近于直线，但不相交，
综上所述，函数的图象在x轴上方，且无限趋近于x轴，但永不相交.
【点睛】关键点点睛：本题考查指数型函数图象与性质的综合运用，要求学生熟练掌握用函数性质研究函数图象，难度较大.解答本题第三问的证明问题，关键是把握好题设的定义，对称中心的证明可以借助对称点坐标以及相关点法来完成，而非垂直渐近线的证明可以通过证明，时来完成.
值域
单调性
单调递减
奇偶性
非奇非偶函数
图象对称中心
图象非垂直渐近线
，