【寒假作业】人教A版2019 高中数学 高二寒假提升训练专题11 离散型随机变量的数字特征（六大考点）-练习

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思维导图
核心考点聚焦
考点一：利用定义求离散型随机变量的均值
考点二：离散型随机变量均值的性质
考点三：离散型随机变量均值的应用
考点四：求离散型随机变量的方差
考点五：方差的性质的应用
考点六：均值与方差的综合应用
1、离散型随机变量的均值或数学期望
正确地求出离散型随机变量的分布列是求解期望的关键一般地，若离散型随机变量的分布列为
则称为随机变量的均值或数学期望，数学期望简称为期望．均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平．
2、两点分布的期望
一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么；
3、离散型随机变量的均值的性质
设X的分布列为．
一般地，下面的结论成立：．
4、离散型随机变量的方差、标准差
正确求解随机变量的方差的关键是正确求解分布列及其期望值
设离散型随机变量X的分布列为
考虑所有可能取值与的偏差的平方，因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值的偏离程度，我们称
为随机变量的方差，有时也记为，并称为随机变量的标准差，记为．
几个常见的结论
（1）．
（2）若服从两点分布，则．
考点剖析
考点一：利用定义求离散型随机变量的均值
例1．（2024·广东梅州·高二校考阶段练习）已知离散型随机变量的概率分布列如下表：则数学期望等于（ ）
A．B．C．D．
例2．（2024·河南驻马店·高二校考阶段练习）已知离散型随机变量X的分布列为
则X的数学期望（ ）
A．B．2C．D．3
例3．（2024·高二课时练习）现有10张奖券，8张2元的、2张5元的，某人从中随机抽取3张，则此人得奖金额的均值是（ ）
A．6B．7.8
C．9D．12
变式1．（2024·山东滨州·高二统考）已知随机变量X的分布列如下所示，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
考点二：离散型随机变量均值的性质
例4．（2024·黑龙江双鸭山·高二双鸭山一中校考阶段练习）设的分布列如图，又，则 .
例5．（2024·高二课时练习）已知随机变量X的概率分布为
若，且，则 ．
例6．（2024·陕西西安·高二校考阶段练习）已知离散型随机变量X的分布列如表：若离散型随机变量，则 ．
变式2．（2024·高二课时练习）设离散型随机变量的期望为，则 ．
变式3．（2024·全国·高二随堂练习）设随机变量X的概率分布列为：
已知，则 .
考点三：离散型随机变量均值的应用
例7．（2024·江西鹰潭·高二贵溪市第一中学校考阶段练习）某校在一次庆祝活动中，设计了一个“套圈游戏”，规则如下：每人3个套圈，向，两个目标投掷，先向目标掷一次，套中得1分，没有套中不得分，再向目标连续掷两次，每套中一次得2分，没套中不得分，根据累计得分发放奖品．已知小明每投掷一次，套中目标的概率为，套中目标的概率为，假设小明每次投掷的结果相互独立，累计得分记为．
(1)求小明恰好套中2次的概率；
(2)求的分布列及数学期望．
例8．（2024·江西南昌·高二南昌市八一中学校考期末）某高校在今年的自主招生考试中制定了如下的规则：笔试阶段，考生从6道备选试题中一次性抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题，至少正确完成其中2道试题则可以进入面试．已知考生甲能正确完成6道试题中的4道题，另外2道题不能完成．
(1)求考生甲能通过笔试进入面试的概率；
(2)记所抽取的三道题中考生甲能正确完成的题数为，求的分布列和数学期望．
例9．（2024·高二课时练习）某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，即可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为，求在一年内李明参加驾照考试次数的分布列和的均值．
变式4．（2024·辽宁大连·高二大连八中校考阶段练习）为选拔选手参加“中国汉字听写大会”，某中学举行了一次“汉字听写大赛”活动.为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为）进行统计.按照，，，，的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在，的数据）.

(1)求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；
(2)在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取4名学生参加“中国汉字听写大会”，设随机变量X表示所抽取的4名学生中得分在内的学生人数，求随机变量X的分布列及数学期望.
考点四：求离散型随机变量的方差
例10．（2024·辽宁辽阳·高二统考期末）小明参加某射击比赛，射中得1分，未射中扣1分，已知他每次能射中的概率为，记小明射击2次的得分为X，则（ ）
A．B．C．D．
例11．（2024·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第六十八中学校考）已知的分布列如下表所示，设，则的值为（ ）
A．B．C．D．
例12．（2024·福建龙岩·高二福建省连城县第一中学校考阶段练习）已知随机变量X的分布列如下表，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
变式5．（2024·高二课时练习）已知随机变量ξ的分布列如下：
若，则的最小值等于（ ）
A．0B．2
C．1D．
考点五：方差的性质的应用
例13．（2024·浙江温州·高二校联考）已知随机变量的分布列如表：
若，则 ．
例14．（2024·高二课时练习）随机变量的取值为，若，，则 ．
例15．（2024·海南海口·高二海南中学校考期末）设样本数据的均值和方差分别为1和4，若，，且的均值为5，则方差为 .
变式6．（2024·广东江门·高二统考期末）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次．X表示抽到的二等品件数，则 ；若将抽出的产品送往专门的检测部门检测，且检测费用Y元与二等品件数X满足：，则
变式7．（2024·高二课时练习）设随机变量满足为非零常数)，若，则 ， ．
考点六：均值与方差的综合应用
例16．（2024·全国·高二随堂练习）如图是2023年11月1日到11月20日，某地区甲流疫情新增数据的走势图．
(1)从这20天中任选1天，求新增确诊和新增疑似的人数都超过100的概率；
(2)从新增确诊的人数超过100的日任选两天，用表示新增确诊的人数超过140的天数，求的分布列和数学期望；
(3)记每天新增确诊的人数为，每天新增疑似的人数，根据这20天统计数据，试判断与的大小关系（结论不要求证明）．
例17．（2024·山东日照·高二山东省日照实验高级中学校考阶段练习）甲乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，.在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求随机变量的概率分布、数学期望和方差．
例18．（2024·全国·高二随堂练习）袋中有形状、大小完全相同的3个球，编号分别为1，2，3.用表示取出的2个球中的最大号码，有放回地从袋中取两次，每次取1个球
(1)写出的分布列；
(2)求的均值与方差.
变式8．（2024·广东东莞·高二东莞实验中学校考）不透明袋中装有质地，大小相同的个红球，个白球，若从中不放回地取出个球，在第一个取出的球是红球的前提下，第二个取出的球是白球的概率为．
(1)求白球的个数；
(2)若有放回的取出两个球，记取出的红球个数为，求的分布列、数学期望和方差．
过关检测
一、单选题
1．（2024·江西上饶·高二校考阶段练习）有两个随机变量和，它们的分布列分别如下表：
则关于它们的期望，和它们的方差和，下列关系正确的是（ ）
A．，且B．，且
C．，且D．，且
2．（2024·陕西渭南·高二合阳县合阳中学校考期末）已知随机变量的分布列如下，则（ ）
A．3B．9C．27D．11
3．（2024·浙江嘉兴·高二校联考）已知的分布列为
则下列说法错误的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·山东济宁·高二嘉祥县第一中学校考）若随机变量的分布列为
且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·高二课时练习）已知随机变量的分布列为：
则的均值是（ ）
A．2B．2.1
C．2.3D．随的变化而变化
6．（2024·高二单元测试）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业生得到面试的公司个数.若，则随机变量X的均值（ ）
A．B．
C．D．
7．（2024·高二课时练习）若离散型随机变量的标准差，则随机变量的标准差为（ ）
A．8B．15
C．16D．32
8．（2024·全国·高二随堂练习）已知离散型随机变量的分布列如下表所示.
则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2024·全国·高二随堂练习）投资甲，乙两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表2所示．
表1 股票甲收益的分布列
表2 股票乙收益的分布列
关于两种股票，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．投资股票甲的期望收益较大D．投资股票甲比投资股票乙风险高
10．（2024·山东青岛·高二统考阶段练习）已知随机变量的分布列为
若随机变量，，，则下列选项正确的为（ ）
A．B．C．D．
11．（2024·山西晋中·高二校考阶段练习）已知随机变量的分布列如下表所示，且满足，则下列选项正确的是（ ）
A．B．C．D．
12．（2024·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学校考阶段练习）编号为1，2，3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是，则（ ）
A．的所有取值是1，2，3B．
C．D．
三、填空题
13．（2024·山东德州·高二校考期末）体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球；否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为，发球次数为，若的数学期望，则的取值范围是
14．（2024·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第六十八中学校考）已知离散型随机变量的概率分布如下表，则其数学期望 ；
15．（2024·福建福州·高二校联考）随机变量的概率分布列如下：
其中，，成等差数列，若随机变量的期望，则其方差＝ ．
16．（2024·高二课时练习）甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮．已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，.在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，则ξ的方差为 ．
四、解答题
17．（2024·北京丰台·高二统考期末）2023年4月18日至27日，第二十届上海国际汽车工业展览会在上海国家会展中心举行，本次展会以“拥抱汽车行业新时代”为主题在今年的展会中，社会各界不仅能看到中国市场的强大活力，也能近距离了解各国产汽车自主品牌在推动“智电化”和可持续发展进程中取得的最新成果，为了解参观者对参展的某款国产新能源汽车的满意度，调研组从这款新能源汽车的参观者中随机抽取了50名参观者作为样本进行问卷测评，记录他们的评分，问卷满分100分.问卷结束后，将数据分成6组：，并整理得到如下频率分布直方图.

(1)求图中的a的值；
(2)在样本中，从分数在60分以下的参观者中随机抽取3人，用X表示分数在中的人数，求X的分布列及数学期望；
(3)在频率分布直方图中，用每一个小矩形底边中点的横坐标作为该组参观者评分的平均数，估计本次车展所有参观者对这款新能源汽车评分的平均数为m，若中位数的估计值为n，写出m与n的大小关系.（直接写出结果）
18．（2024·山西长治·高二统考期末）猜歌名游戏根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，节目组准备了两组歌曲的主旋律制成的铃声，随机从两组歌曲中各播放两首歌曲的主旋律制成的铃声，该嘉宾根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.已知该嘉宾猜对组中每首歌曲的歌名的概率均是，猜对组中每首歌曲的歌名的概率均是，且猜对每首歌曲的歌名相互独立.
(1)求该嘉宾至少猜对2首歌曲的歌名的概率；
(2)若嘉宾猜对一首组歌曲的歌名得1分，猜对一首组歌曲的歌名得2分，猜错均得0分，记该嘉宾累计得分为，求的分布列与期望.
19．（2024·河南开封·高二统考期末）某商场进行有奖促销，一次性消费5000元以上的顾客可以进行线上抽奖，游戏规则如下：盒中初始装有2个白球和1个红球．每次从盒中有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮，如果某轮取到的两个球都是红球，则记该轮中奖并停止抽球；否则，在盒中再放入一个白球，然后进行下一轮抽球，如此进行下去，最多进行三轮．已知顾客甲获得了抽奖机会．
(1)记甲进行抽球的轮次数为随机变量，求的分布列；
(2)按照三轮中奖概率由小到大分别发放代金券1500元、500元、200元，求甲抽取代金券金额的期望．
20．（2024·湖南长沙·高二长沙一中校考阶段练习）每年4月23日是世界读书日，设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，享受阅读带来的乐趣．为了鼓励同学们阅读四大名著，学校组织了相关知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下：
(1)从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率；
(2)从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以X表示这2人中团体赛获奖的人数，求X的分布列和数学期望．
21．（2024·高二课时练习）已知随机变量的分布列为
求．
22．（2024·高二课时练习）有甲、乙两家单位都愿意聘用你做兼职员工，而你能获得如下信息:
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位?
…
…
…
…
…
…
…
…
X
1
2
3
P
X
0
2
4
P
m
1
2
3
4
P
a
X
－2
－1
0
1
2
P
m
0
1
2
3
X
1
2
3
4
P
m
n
X
P
0
1
2
m
n
1
2
3
4
5
0.03
0.3
0.5
0.16
0.01
1
2
3
4
5
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
1
2
3
0.2
0.5
收益X（元）
0
2
概率
0.1
0.3
0.6
收益Y（元）
0
1
2
概率
0.3
0.4
0.3
0
2
P
－1
0
1
奖项组别
个人赛
团体赛获奖
一等奖
二等奖
三等奖
高一
20
20
60
50
高二
16
29
105
50
0
1
2
3
0.2
0.3
0.2
甲单位不同职位月工资/元
1200
1400
1600
1800
获得相应职位的概率
0.4
0.3
0.2
0.1
乙单位不同职位月工资/元
1000
1400
1800
2200
获得相应职位的概率
0.4
0.3
0.2
0.1