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2004年河北省中考数学试卷（大纲卷）
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这是一份2004年河北省中考数学试卷（大纲卷），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题，每小题2分，满分20分）
1．（2分）2的倒数是（ ）
A．B．﹣C．2D．﹣2
2．（2分）第五次全国人口普查结果显示，我国总人口约为1 300 000 000人，用科学记数法表示这个数正确的是（ ）
A．13×108B．1.3×109C．0.13×1010D．13×109
3．（2分）化简（﹣x）3（﹣x）2，结果正确的是（ ）
A．﹣x6B．x6C．x5D．﹣x5
4．（2分）若x1、x2是一元二次方程2x2﹣3x+1=0的两个根，则x12+x22的值是（ ）
A．B．C．D．7
5．（2分）如图所示的电路的总电阻为10Ω，若R1=2R2，则R1，R2的值分别是（ ）
A．R1=30Ω，R2=15ΩB．R1=Ω，R2=Ω
C．R1=15Ω，R2=30ΩD．R1=Ω，R2=Ω
6．（2分）如图，一个经过改造的台球桌面上四个角的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入（ ）球袋．
A．1号B．2号C．3号D．4号
7．（2分）如图，在图1所示的正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成图2所示的一个圆锥模型．设圆的半径为r，扇形的半径为R，则圆的半径与扇形的半径之间的关系为（ ）
A．R=2rB．R=rC．R=3rD．R=4r
8．（2分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致所示中的（ ）
A．B．C．D．
9．（2分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC=12，BD=9，则该梯形两腰中点的连线EF长为（ ）
A．10B．C．D．12
10．（2分）小明爸爸的风筝厂准备购进甲、乙两种规格相同但颜色不同的布料生产一批形状如图所示的风筝，点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点．其中阴影部分用甲布料，其余部分用乙布料（裁剪两种布料时，均不计余料）．若生产这批风筝需要甲布料30匹，那么需要乙布料（ ）
A．15匹B．20匹C．30匹D．60匹
二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）
11．（2分）﹣|﹣8|的值是 ．
12．（2分）已知：∠a=36°，则∠a的余角等于 度．
13．（2分）不等式组的解集是 ．
14．（2分）分解因式：x2+2xy+y2﹣4= ．
15．（2分）若将二次函数y=x2﹣2x+3配方为y=（x﹣h）2+k的形式，则y= ．
16．（2分）用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可化为关于y的一元二次方程的一般形式是 ．
17．（2分）如图，若将四根木条钉成的矩形木框变成平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的最小内角等于 度．
18．（2分）如果反比例函数y=（k≠0）的图象经过点A（3，﹣4），那么k的值是 ．
19．（2分）如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为 mm．
20．（2分）扑克牌游戏：
小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：
第一步分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同；
第二步从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；
第三步从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；
第四步左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆．
这时，小明准确说出了中间一堆牌现有的张数．你认为中间一堆牌的张数是 ．
三、解答题（共8小题，满分80分）
21．（8分）已知x=+1，求x+1﹣的值．
22．（8分）如图所示，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF，求证：DE=BF．
23．（8分）为了普及环保知识，增强环保意识，某中学组织了环保知识竞赛活动，
初三各年级根据初赛成绩分别选出了10名同学参加决赛，这些选手的决赛成绩（满分为100分）如下表所示：
（1）请你填写表二：
（2）请从以下两个不同的角度对三个年级的决赛成绩进行分析：
①从众数和平均数相结合看（分析哪个年级成绩好些）；
②从平均数和中位数相结合看（分析哪个年级成绩好些）．
（3）如果在每个年级参加决赛的选手中分别选出3人参加总决赛，你认为哪个年级的实力更强些？并说明理由．
24．（8分）如图1，一个圆球放置在V型架中．图2是它的平面示意图，CA、CB都是⊙O的切线，切点分别是A、B，如果⊙O的半径为cm，且AB=6cm，求∠ACB．
25．（12分）如图1是某段河床横断面的示意图．查阅该河段的水文资料，得到下表中的数据：
（1）请你以上表中的各对数据（x，y）作为点的坐标，尝试在图2所示的坐标系中画出y关于x的函数图象；
（2）①填写下表：
②根据所填表中数据呈现的规律，猜想出用x表示y的二次函数的表达式： ；
（3）当水面宽度为36米时，一艘吃水深度（船底部到水面的距离）为1.8米的货船能否在这个河段安全通过？为什么？
26．（12分）探索下列问题：
（1）在图1给出的四个正方形中，各画出一条直线（依次是：水平方向的直线、竖直方向的直线、与水平方向成45°角的直线和任意的直线），将每个正方形都分割成面积相等的两部分；
（2）一条竖直方向的直线m以及任意的直线n，在由左向右平移的过程中，将正六边形分成左右两部分，其面积分别记为S1和S2．①请你在图2中相应图形下方的横线上分别填写S1与S2的数量关系式（用“＜”，“=”，“＞”连接）；
②请你在图3中分别画出反映S1与S2三种大小关系的直线n，并在相应图形下方的横线上分别填写S1与S2的数量关系式（用“＜”，“=”，“＞”连接）．
（3）是否存在一条直线，将一个任意的平面图形（如图4）分割成面积相等的两部分，请简略说出理由．
27．（12分）光华农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台，先将这50台联合收割机派往A、B两地区收割小麦，其中30台派往A地区，20台派往B地区．两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见表：
（1）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y（元），求y与x间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79 600元，说明有多少种分配方案，并将各种方案设计出来；
（3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提一条合理化建议．
28．（12分）已知：如图，等边三角形ABC的边长为6，点D，E分别在边AB，AC上，且AD=AE=2．若点F从点B开始以每秒1个单位长的速度沿射线BC方向运动，设点F运动的时间为t秒．当t＞0时，直线FD与过点A且平行于BC的直线相交于点G，GE的延长线与BC的延长线相交于点H，AB与GH相交于点O．
（1）设△EGA的面积为S，写出S与t的函数关系式；
（2）当t为何值时，AB⊥GH；
（3）请你证明△GFH的面积为定值；
（4）当t为何值时，点F和点C是线段BH的三等分点．
2004年河北省中考数学试卷（大纲卷）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题2分，满分20分）
1．（2分）（2013•福州）2的倒数是（ ）
A．B．﹣C．2D．﹣2
【分析】根据倒数的概念求解．
【解答】解：2的倒数是．
故选A．
【点评】主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是倒数的性质：负数的倒数是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．
倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2．（2分）（2005•内江）第五次全国人口普查结果显示，我国总人口约为1 300 000 000人，用科学记数法表示这个数正确的是（ ）
A．13×108B．1.3×109C．0.13×1010D．13×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数，当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：1 300 000 000=1.3×109．
故选B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（2分）（2016•呼伦贝尔）化简（﹣x）3（﹣x）2，结果正确的是（ ）
A．﹣x6B．x6C．x5D．﹣x5
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算后选取答案．
【解答】解：（﹣x）3（﹣x）2=（﹣x）3+2=﹣x5．
故选D．
【点评】主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
4．（2分）（2004•河北）若x1、x2是一元二次方程2x2﹣3x+1=0的两个根，则x12+x22的值是（ ）
A．B．C．D．7
【分析】欲求x12+x22的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
【解答】解：由题意知，
x1x2=，x1+x2=，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=﹣2×=．
故选A．
【点评】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
5．（2分）（2004•河北）如图所示的电路的总电阻为10Ω，若R1=2R2，则R1，R2的值分别是（ ）
A．R1=30Ω，R2=15ΩB．R1=Ω，R2=Ω
C．R1=15Ω，R2=30ΩD．R1=Ω，R2=Ω
【分析】本题属于并联电路，等量关系为：=+，把R1=2R2代入=+，得=+，解这个分式方程即可．
【解答】解：∵=+，R1=2R2
∴=+，
解得R2=15
∴R1=2R2=30．
故选A．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
6．（2分）（2004•河北）如图，一个经过改造的台球桌面上四个角的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入（ ）球袋．
A．1号B．2号C．3号D．4号
【分析】根据反射角等于入射角，找出每一次反射的对称轴，最后即可确定落入的球袋．
【解答】解：根据题意：每次反射，都成轴对称变化，
∴一个球按图中所示的方向被击出，经过3次反射后，落入1号球袋．
故选A．
【点评】本题考查轴对称图形的定义与判定，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴；画出图形是正确解答本题的关键．
7．（2分）（2007•乌兰察布）如图，在图1所示的正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成图2所示的一个圆锥模型．设圆的半径为r，扇形的半径为R，则圆的半径与扇形的半径之间的关系为（ ）
A．R=2rB．R=rC．R=3rD．R=4r
【分析】根据弧长公式计算．
【解答】解：因为扇形的弧长等于圆锥底面周长，
所以×2πR=2πr，
化简得R=4r．
故选D．
【点评】圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．
8．（2分）（2004•河北）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致所示中的（ ）
A．B．C．D．
【分析】本题可先由一次函数y=ax+c图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+c的图象相比较看是否一致．反之也可．
【解答】解：A、由一次函数的图象可知a＞0 c＞0，由二次函数的图象可知a＜0，两者相矛盾；
B、由一次函数的图象可知a＜0 c＞0，由二次函数的图象可知a＜0，两者相吻合；
C、由一次函数的图象可知a＜0 c＞0，由二次函数的图象可知a＞0，两者相矛盾；
D、由一次函数的图象可知a＜0 c＜0，由二次函数的图象可知a＞0，两者相矛盾．
故选B．
【点评】考查数形结合思想，由函数图象确定函数解析式各项系数的性质符号，由函数解析式各项系数的性质符号画出函数图象的大致形状．
9．（2分）（2004•河北）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC=12，BD=9，则该梯形两腰中点的连线EF长为（ ）
A．10B．C．D．12
【分析】根据梯形的中位线定理，需求得梯形的上、下底的和．结合已知条件，只需平移梯形的对角线，根据平行四边形的性质和勾股定理即可计算．
【解答】解：过点C作CG∥BD，交AD的延长线于点G⊅
则四边形BCGD是平行四边形
∴DG=BC，BD=CG
∵AC⊥CG
∴∠ACG=90°
∴AG==15（根据勾股定理）．
∴AD+BC=15．
∴梯形的中位线等于．
故选C．
【点评】通过作辅助线，将梯形中位线问题转化为平行四边形的问题来解答．
10．（2分）（2004•河北）小明爸爸的风筝厂准备购进甲、乙两种规格相同但颜色不同的布料生产一批形状如图所示的风筝，点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点．其中阴影部分用甲布料，其余部分用乙布料（裁剪两种布料时，均不计余料）．若生产这批风筝需要甲布料30匹，那么需要乙布料（ ）
A．15匹B．20匹C．30匹D．60匹
【分析】先连接AC、BD，利用三角形中位线定理，可得S△ABD=4S△AEH，同理，可得S△ACD=4S△DGH，S△BCD=4S△CFG，S△ABC=4S△BEF，四个式子相加，可得空白的四个三角形的面积和等于四边形ABCD面积的一半，于是可得阴影部分面积等于空白部分四个三角形的面积，那么所需甲乙布料相等，乙也需30匹．
【解答】解：连接AC，BD，
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
∴△AEH∽△ABD，相似比为，面积比为，
即S△ABD=4S△AEH，
同理S△ABC=4S△BEF，S△BCD=4S△GCF，S△ADC=4S△HGD，
故S△ABD+S△ABC+S△BCD+S△ADC=4（S△AEH+S△BEF+S△GCF+S△HGD）=2S四边形ABCD，
故S△AEH+S△BEF+S△GCF+S△HGD=S四边形ABCD，
又∵S阴影+S△AEH+S△BEF+S△GCF+S△HGD=S四边形ABCD，
∴S阴影=S△AEH+S△BEF+S△GCF+S△HGD=S四边形ABCD，
故需要乙布料30匹．
故选C．
【点评】此题很简单，只要连接AC，BD，熟知三角形的中位线定理，及相似三角形的性质就可解答．
二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）
11．（2分）（2004•河北）﹣|﹣8|的值是 ﹣8 ．
【分析】绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
【解答】解：∵﹣8＜0，
∴根据绝对值的化简有|﹣8|=8．
故﹣|﹣8|=﹣8．
【点评】本题考查绝对值的化简．
12．（2分）（2004•河北）已知：∠a=36°，则∠a的余角等于 54 度．
【分析】本题考查互余的概念，和为90度的两个角互为余角．
【解答】解：根据定义，∠a的余角度数是90°﹣36°=54°．
【点评】此题属于基础题，较简单，主要记住互为余角的两个角的和为90度．
13．（2分）（2004•河北）不等式组的解集是 2＜x＜3 ．
【分析】先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．
【解答】解：由（1）得，x＜3
由（2）得，x＞2
根据“小大大小中间找”的原则可知不等式组的解集为
2＜x＜3．
【点评】求不等式组的解集应遵循“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则．
14．（2分）（2004•河北）分解因式：x2+2xy+y2﹣4= （x+y+2）（x+y﹣2） ．
【分析】此题先把前三项利用完全平方公式分解因式，再与第四项利用平方差公式分解．
【解答】解：x2+2xy+y2﹣4，
=（x+y）2﹣4，
=（x+y﹣2）（x+y+2）．
【点评】本题考查了分组分解法分解因式，公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式，平方差公式的结构是解题的关键，合理分组也比较重要．
15．（2分）（2004•河北）若将二次函数y=x2﹣2x+3配方为y=（x﹣h）2+k的形式，则y= （x﹣1）2+2 ．
【分析】利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【解答】解：y=x2﹣2x+3=（x2﹣2x+1）+2=（x﹣1）2+2
故本题答案为：y=（x﹣1）2+2．
【点评】，二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y=a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．
16．（2分）（2004•河北）用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可化为关于y的一元二次方程的一般形式是 y2﹣3y+2=0 ．
【分析】观察方程的两个分式具备的关系，如果设，则原方程另一个分式为2×．可用换元法转化为关于y的分式方程．去分母、移项即可．
【解答】解：把代入原方程得：y+2×=3，
方程两边同乘以y整理得：y2﹣3y+2=0．
【点评】换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．
17．（2分）（2009•安顺）如图，若将四根木条钉成的矩形木框变成平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的最小内角等于 30 度．
【分析】要使其面积为矩形面积的一半，平行四边形ABCD的高必须是矩形宽的一半，根据直角三角形中30°的角对的直角边等于斜边的一半可知，这个平行四边形的最小内角等于30度．
【解答】
解：∵平行四边形的面积为矩形的一半且同底BC，
∴平行四边形ABCD的高AE是矩形宽AB的一半．
在直角三角形ABE中，AE=AB，
∴∠ADC=30°．
故答案为：30．
【点评】主要考查了平行四边形的面积公式和基本性质．平行四边形的面积等于底乘高．
18．（2分）（2004•北碚区）如果反比例函数y=（k≠0）的图象经过点A（3，﹣4），那么k的值是 ﹣12 ．
【分析】将此点坐标代入函数解析式y=（k≠0）即可求得k的值．
【解答】解：将点（3，﹣4）代入解析式可得k=3×（﹣4）=﹣12．
故答案为：﹣12．
【点评】本题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的比例系数，是中学阶段的重点内容．
19．（2分）（2007•扬州）如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为 150 mm．
【分析】根据图形标出的长度，可以知道AC和BC的长度，从而构造直角三角形，根据勾股定理就可求出斜边A和B的距离．
【解答】解：∵AC=150﹣60=90mm，BC=180﹣60=120mm，
∴AB==mm．
【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
20．（2分）（2005•扬州）扑克牌游戏：
小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：
第一步分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同；
第二步从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；
第三步从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；
第四步左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆．
这时，小明准确说出了中间一堆牌现有的张数．你认为中间一堆牌的张数是 5 ．
【分析】此题看似复杂，其实只是考查了整式的基本运算．把每堆牌的数量用相应的字母表示出来，列式表示变化情况即可找出最后答案．
【解答】解：设第一步时，每堆牌的数量都是x（x≥2）；
第二步时：左边x﹣2，中间x+2，右边x；
第三步时：左边x﹣2，中级x+3，右边x﹣1；
第四步开始时，左边有（x﹣2）张牌，则从中间拿走（x﹣2）张，则中间所剩牌数为（x+3）﹣（x﹣2）=x+3﹣x+2=5．
故答案为：5．
【点评】解决此题，根据题目中所给的数量关系，建立数学模型．根据运算提示，找出相应的等量关系．
三、解答题（共8小题，满分80分）
21．（8分）（2004•河北）已知x=+1，求x+1﹣的值．
【分析】根据异分母分式相加减的法则计算：先将它们转化成相同分母的分式，然后再进行加减，最后代入x的值计算．
【解答】解：
=，
当时，
原式=﹣．
【点评】本题考查了整式与分式的通分运算，需要熟练掌握．
22．（8分）（2004•河北）如图所示，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF，求证：DE=BF．
【分析】利用同角的余角相等得出∠FAB=∠EAD，利用ASA判定Rt△ABF≌Rt△ADE，全等三角形的对应边相等从而得到DE=BF．
【解答】证明：∵EA⊥AF，∠BAD=90°，
∴∠FAE=90°，
∴∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠EAD，
∴∠FAB=∠EAD，
在△ABF和△ADE中，
（ASA），
∴Rt△ABF≌Rt△ADE，
∴DE=BF．
【点评】此题主要考查学生对正方形的性质及全等三角形的判定方法的理解及运用．
23．（8分）（2004•河北）为了普及环保知识，增强环保意识，某中学组织了环保知识竞赛活动，
初三各年级根据初赛成绩分别选出了10名同学参加决赛，这些选手的决赛成绩（满分为100分）如下表所示：
（1）请你填写表二：
（2）请从以下两个不同的角度对三个年级的决赛成绩进行分析：
①从众数和平均数相结合看（分析哪个年级成绩好些）；
②从平均数和中位数相结合看（分析哪个年级成绩好些）．
（3）如果在每个年级参加决赛的选手中分别选出3人参加总决赛，你认为哪个年级的实力更强些？并说明理由．
【分析】（1）平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．对于中位数，因图中是按从小到大的顺序排列的，所以只要找出最中间的一个数（或最中间的两个数）即可，本题是最中间两个数的平均数．对于众数是出现次数最多的数据；
（2）可由（1）得出的表格，将三个年级的平均数，众数和中位数进行比较即可得出正确的结论；
（3）都抽取3人参加比赛，因此只需比较这三个年级前三名的成绩及其平均数即可．
【解答】解：（1）
（2）①∵平均数都相同，初二年级的众数最高，
∴初二年级的成绩好一些，
②∵平均数都相同，初一年级的中位数最高，
∴初一年级的成绩好一些．
（3）∵初一、初二、初三各年级前三名学生决赛成绩的平均分分别是93、91、94，
∴从各年级参加决赛的选手中分别选出3人参加总决赛，初三年级的实力更强一些．
【点评】本题考查的是平均数、众数和中位数；弄清平均数、众数和中位数的定义和它们之间的区别是解题的关键．
24．（8分）（2015•新疆）如图1，一个圆球放置在V型架中．图2是它的平面示意图，CA、CB都是⊙O的切线，切点分别是A、B，如果⊙O的半径为cm，且AB=6cm，求∠ACB．
【分析】我们可通过构建直角三角形，将数据转换到直角三角形中进行计算．连接OC交AB于点D，那么我们不难得出BD是AB的一半，CD平分∠ACB，那么只要求出∠COB的度数就能求出∠ACB的度数，已知了OB的长，BD（AB的一半）的长，这样在直角三角形ODB中根据三角形函数我们不难得出∠DOB的值，也就能求出∠ACB的度数了．
【解答】解：如图，
连接OC交AB于点D
∵CA、CB分别是⊙O的切线
∴CA=CB，OC平分∠ACB
∴OC⊥AB
∵AB=6
∴BD=3
在Rt△OBD中
∵OB=
∴sin∠BOD=
∴∠BOD=60°
∵B是切点
∴OB⊥BC
∴∠OCB=30°
∴∠ACB=60°．
【点评】本题主要考查切线的性质，解直角三角形等知识点，通过构建直角三角形来求度数是比较常用的方法．
25．（12分）（2004•河北）如图1是某段河床横断面的示意图．查阅该河段的水文资料，得到下表中的数据：
（1）请你以上表中的各对数据（x，y）作为点的坐标，尝试在图2所示的坐标系中画出y关于x的函数图象；
（2）①填写下表：
②根据所填表中数据呈现的规律，猜想出用x表示y的二次函数的表达式： ；
（3）当水面宽度为36米时，一艘吃水深度（船底部到水面的距离）为1.8米的货船能否在这个河段安全通过？为什么？
【分析】根据已知示意图可知该函数图象应形如y=x2的图象，故（1）（2）问不难解决．（3）中当水面宽度为36米时，相应x应为18米，由（2）中所求解析式，易求出y值，即可判断该船能否通过这个河段．
【解答】解：（1）图象如下图所示；（2分）
（2）①填表正确；（5分）
②∵由上表可知=200，
∴．（6分）
（3）当水面宽度为36m时，相应的x=18，
则y=x2=×182=1.62，
此时该河段的最大水深为1.62m（8分）
因为货船吃水深为1.8m，而1.62m＜1.8m，
所以当水面宽度为36m时，该货船不能通过这个河段．（10分）
【点评】本题考查了同学们的动手能力和探索能力，而将实际问题转化为数学模型，即二次函数，来利用二次函数知识解决问题，这正是学习数学的目的．
26．（12分）（2004•河北）探索下列问题：
（1）在图1给出的四个正方形中，各画出一条直线（依次是：水平方向的直线、竖直方向的直线、与水平方向成45°角的直线和任意的直线），将每个正方形都分割成面积相等的两部分；
（2）一条竖直方向的直线m以及任意的直线n，在由左向右平移的过程中，将正六边形分成左右两部分，其面积分别记为S1和S2．①请你在图2中相应图形下方的横线上分别填写S1与S2的数量关系式（用“＜”，“=”，“＞”连接）；
②请你在图3中分别画出反映S1与S2三种大小关系的直线n，并在相应图形下方的横线上分别填写S1与S2的数量关系式（用“＜”，“=”，“＞”连接）．
（3）是否存在一条直线，将一个任意的平面图形（如图4）分割成面积相等的两部分，请简略说出理由．
【分析】（1）易得只要过正方形对角线交点的任意直线都可平分正方形的面积，按照所给的方向画即可；
（2）由（1）得只有过中心的直线才平分六边形的面积．那么可根据所给的直线进行平移，以过六边形的中心为界限；
（3）在分割所成的两部分的面积不断变化中，会出现面积相等的情况，所以存在．
【解答】解：（1）
（2）①S1＜S2，S1=S2，S1＞S2（2分）
②S1＜S2，S1=S2，S1＞S2．（6分）
（3）存在．
对于任意一条直线l，在直线l从平面图形的一侧向另一侧平移的过程中，
当图形被直线l分割后，
设直线l两侧图形的面积分别为S1，S2．
两侧图形的面积由S1＜S2（或S1＞S2）的情形，逐渐变为S1＞S2（或S1＜S2）的情形，
在这个平移过程中，一定会存在S1=S2的时刻．
因此，一定存在一条直线，将一个任意平面图形分割成面积相等的两部分．（8分）
【点评】解决本题的关键是先得到只要过正多边形中心的直线就能把正多边形的面积分为相等的两部分，进而得到存在把任意平面图形分为面积相等的两个图形的情形．
27．（12分）（2004•河北）光华农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台，先将这50台联合收割机派往A、B两地区收割小麦，其中30台派往A地区，20台派往B地区．两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见表：
（1）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y（元），求y与x间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79 600元，说明有多少种分配方案，并将各种方案设计出来；
（3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提一条合理化建议．
【分析】（1）在A、B两地分配甲、乙两种类型的收割机，注意各数之间的联系；
（2）由租金总额不低于79 600元求出x的取值范围设计分配方案；
（3）此为求函数的最大值问题．
【解答】解：（1）若派往A地区的乙型收割机为x台，
则派往A地区的甲型收割机为（30﹣x）台，
派往B地区的乙型收割机为（30﹣x）台，
派往B地区的甲型收割机为20﹣（30﹣x）=（x﹣10）台．
∴y=1600x+1800（30﹣x）+1200（30﹣x）+1600（x﹣10）=200x+74 000，
x的取值范围是：10≤x≤30，（x是正整数）；
（2）由题意得200x+74 000≥79 600，解不等式得x≥28，
由于10≤x≤30，x是正整数，
∴x取28，29，30这三个值，
∴有3种不同的分配方案．
①当x=28时，即派往A地区的甲型收割机为2台，乙型收割机为28台；派往B地区的甲型收割机为18台，乙型收割机为2台；
②当x=29时，即派往A地区的甲型收割机为1台，乙型收割机为29台；派往B地区的甲型收割机为19台，乙型收割机为1台；
③当x=30时，即30台乙型收割机全部派往A地区；20台甲型收割机全部派往B地区；
（3）由于一次函数y=200x+74 000的值y是随着x的增大而增大的，
所以当x=30时，y取得最大值，
如果要使农机租赁公司这50台联合收割机每天获得租金最高，只需x=30，此时y=6000+74 000=80 000．
建议农机租赁公司将30台乙型收割机全部派往A地区；20台甲型收割机全部派往B地区，可使公司获得的租金最高．
【点评】本题是贴近社会生活的应用题，赋予了生活气息，使学生真切地感受到“数学来源于生活”，体验到数学的“有用性”．这样设计体现了《新课程标准》的“问题情景﹣建立模型﹣解释、应用和拓展”的数学学习模式．
28．（12分）（2004•河北）已知：如图，等边三角形ABC的边长为6，点D，E分别在边AB，AC上，且AD=AE=2．若点F从点B开始以每秒1个单位长的速度沿射线BC方向运动，设点F运动的时间为t秒．当t＞0时，直线FD与过点A且平行于BC的直线相交于点G，GE的延长线与BC的延长线相交于点H，AB与GH相交于点O．
（1）设△EGA的面积为S，写出S与t的函数关系式；
（2）当t为何值时，AB⊥GH；
（3）请你证明△GFH的面积为定值；
（4）当t为何值时，点F和点C是线段BH的三等分点．
【分析】（1）三角形EGA中，底边AG的长可通过相似三角形ADG和BDF求出，而AG边上的高可用AE•sin60°来表示，由此可得出S、t的函数关系式；
（2）当AB⊥GE时，连接DE，由已知推出三角形ADE是等边三角形，可得∠AEG=60°，即∠EG=30°，根据等角对等边可得出AG=AE=2，在（1）中已经求出了AG的表达式，根据得出的等量关系即可求出t的值；
（3）本题只需证FH是定值即可；
（4）本题要分两种情况：
①点F在C点左侧时，如果F、C是BH的三点分点，那么F必为BC的中点，因此BF=3，由此可求出t的值；
②当点F在C点右侧时，同①可知：BF=2BC=12，由此可求出t的值．
【解答】解：（1）如图，
∵GA∥BC
∴
又∵AB=6，AD=2
∴DB=4
∵BF=t
∴=，
∴AG=t
过点E作EK⊥AG，垂足为K
∵∠BCA=60°
∴∠CAK=60°
∴∠AEK=30°
∵AE=2
∴AK=1
∴EK=
∴S=AG•EK=×t×=t；
（2）如图，连接DE，由AD=AE可知，△ADE为等边三角形．
∵AB⊥HG
∴AO=OD，∠AEO=∠DEO
∵GA∥DE
∴∠AGE=∠GED
∴AG=AE=2
∴t=2
∴t=4
即当t=4时，AB⊥HG；
（3）∵GA∥BC
∴
∴
∵DE∥BC
∴
∴FH=BC
∵△ABC与△GFH的高相等
∴S△GFH=S△ABC=×6×3=9
∴不论t为何值，△GFH的面积均为9；
（4）∵BC=FH
∴BF=CH
①当点F在线段BC上时，若点F和点C是线段BH的三等分点，则BF=FC=CH
∵BF=CH
∴BF=FC
∵BC=6
∴BF=FC=3
∴当t=3时，点F和点C是线段BH的三等分点；
②如右图，当点F在BC的延长线上时，若点F和点C是线段BH的三等分点，则BC=CF=FH
∵BC=FH
∴BC=CF
∵BC=6
∴CF=6
∴BF=12
∴当t=12时，点F和点C是线段BH的三等分点．
【点评】主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质等知识点的综合运用．
参与本试卷答题和审题的老师有：HJJ；蓝月梦；zhjh；算术；wdxwwzy；Liuzhx；郝老师；ck2360；lanchng；星期八；自由人；xiu；zhangCF；天马行空；心若在；CJX；王岑；wdxwzk；lanyan；HLing；mmll852；fuaisu；zxw；刘超；lf2﹣9；ln_86；zzz；MMCH；hayujun；张超（排名不分先后）
菁优网
2017年6月23日决赛成绩（单位：分）
初中一年级
80 86 88 80 88 99 80 74 91 89
初中二年级
85 85 87 97 85 76 88 77 87 88
初中三年级
82 80 78 78 81 96 97 88 89 86
平均数
众数
中位数
一年级
85.5
87
二年级
85.5
85
三年级
84
x/m
5
10
20
30
40
50
y/m
0.125
0.5
2
4.5
8
12.5
x
5
10
20
30
40
50
每台甲型收割机的租金
每台乙型收割机的租金
A地区
1800
1600
B地区
1600
1200
决赛成绩（单位：分）
初中一年级
80 86 88 80 88 99 80 74 91 89
初中二年级
85 85 87 97 85 76 88 77 87 88
初中三年级
82 80 78 78 81 96 97 88 89 86
平均数
众数
中位数
一年级
85.5
87
二年级
85.5
85
三年级
84
平均数
众数
中位数
一年级
85.5
80
87
二年级
85.5
85
86
三年级
85.5
78
84
x/m
5
10
20
30
40
50
y/m
0.125
0.5
2
4.5
8
12.5
x
5
10
20
30
40
50
x
5
10
20
30
40
50
200
200
200
200
200
200
每台甲型收割机的租金
每台乙型收割机的租金
A地区
1800
1600
B地区
1600
1200
一、选择题（共10小题，每小题2分，满分20分）
1．（2分）2的倒数是（ ）
A．B．﹣C．2D．﹣2
2．（2分）第五次全国人口普查结果显示，我国总人口约为1 300 000 000人，用科学记数法表示这个数正确的是（ ）
A．13×108B．1.3×109C．0.13×1010D．13×109
3．（2分）化简（﹣x）3（﹣x）2，结果正确的是（ ）
A．﹣x6B．x6C．x5D．﹣x5
4．（2分）若x1、x2是一元二次方程2x2﹣3x+1=0的两个根，则x12+x22的值是（ ）
A．B．C．D．7
5．（2分）如图所示的电路的总电阻为10Ω，若R1=2R2，则R1，R2的值分别是（ ）
A．R1=30Ω，R2=15ΩB．R1=Ω，R2=Ω
C．R1=15Ω，R2=30ΩD．R1=Ω，R2=Ω
6．（2分）如图，一个经过改造的台球桌面上四个角的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入（ ）球袋．
A．1号B．2号C．3号D．4号
7．（2分）如图，在图1所示的正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成图2所示的一个圆锥模型．设圆的半径为r，扇形的半径为R，则圆的半径与扇形的半径之间的关系为（ ）
A．R=2rB．R=rC．R=3rD．R=4r
8．（2分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致所示中的（ ）
A．B．C．D．
9．（2分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC=12，BD=9，则该梯形两腰中点的连线EF长为（ ）
A．10B．C．D．12
10．（2分）小明爸爸的风筝厂准备购进甲、乙两种规格相同但颜色不同的布料生产一批形状如图所示的风筝，点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点．其中阴影部分用甲布料，其余部分用乙布料（裁剪两种布料时，均不计余料）．若生产这批风筝需要甲布料30匹，那么需要乙布料（ ）
A．15匹B．20匹C．30匹D．60匹
二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）
11．（2分）﹣|﹣8|的值是 ．
12．（2分）已知：∠a=36°，则∠a的余角等于 度．
13．（2分）不等式组的解集是 ．
14．（2分）分解因式：x2+2xy+y2﹣4= ．
15．（2分）若将二次函数y=x2﹣2x+3配方为y=（x﹣h）2+k的形式，则y= ．
16．（2分）用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可化为关于y的一元二次方程的一般形式是 ．
17．（2分）如图，若将四根木条钉成的矩形木框变成平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的最小内角等于 度．
18．（2分）如果反比例函数y=（k≠0）的图象经过点A（3，﹣4），那么k的值是 ．
19．（2分）如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为 mm．
20．（2分）扑克牌游戏：
小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：
第一步分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同；
第二步从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；
第三步从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；
第四步左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆．
这时，小明准确说出了中间一堆牌现有的张数．你认为中间一堆牌的张数是 ．
三、解答题（共8小题，满分80分）
21．（8分）已知x=+1，求x+1﹣的值．
22．（8分）如图所示，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF，求证：DE=BF．
23．（8分）为了普及环保知识，增强环保意识，某中学组织了环保知识竞赛活动，
初三各年级根据初赛成绩分别选出了10名同学参加决赛，这些选手的决赛成绩（满分为100分）如下表所示：
（1）请你填写表二：
（2）请从以下两个不同的角度对三个年级的决赛成绩进行分析：
①从众数和平均数相结合看（分析哪个年级成绩好些）；
②从平均数和中位数相结合看（分析哪个年级成绩好些）．
（3）如果在每个年级参加决赛的选手中分别选出3人参加总决赛，你认为哪个年级的实力更强些？并说明理由．
24．（8分）如图1，一个圆球放置在V型架中．图2是它的平面示意图，CA、CB都是⊙O的切线，切点分别是A、B，如果⊙O的半径为cm，且AB=6cm，求∠ACB．
25．（12分）如图1是某段河床横断面的示意图．查阅该河段的水文资料，得到下表中的数据：
（1）请你以上表中的各对数据（x，y）作为点的坐标，尝试在图2所示的坐标系中画出y关于x的函数图象；
（2）①填写下表：
②根据所填表中数据呈现的规律，猜想出用x表示y的二次函数的表达式： ；
（3）当水面宽度为36米时，一艘吃水深度（船底部到水面的距离）为1.8米的货船能否在这个河段安全通过？为什么？
26．（12分）探索下列问题：
（1）在图1给出的四个正方形中，各画出一条直线（依次是：水平方向的直线、竖直方向的直线、与水平方向成45°角的直线和任意的直线），将每个正方形都分割成面积相等的两部分；
（2）一条竖直方向的直线m以及任意的直线n，在由左向右平移的过程中，将正六边形分成左右两部分，其面积分别记为S1和S2．①请你在图2中相应图形下方的横线上分别填写S1与S2的数量关系式（用“＜”，“=”，“＞”连接）；
②请你在图3中分别画出反映S1与S2三种大小关系的直线n，并在相应图形下方的横线上分别填写S1与S2的数量关系式（用“＜”，“=”，“＞”连接）．
（3）是否存在一条直线，将一个任意的平面图形（如图4）分割成面积相等的两部分，请简略说出理由．
27．（12分）光华农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台，先将这50台联合收割机派往A、B两地区收割小麦，其中30台派往A地区，20台派往B地区．两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见表：
（1）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y（元），求y与x间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79 600元，说明有多少种分配方案，并将各种方案设计出来；
（3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提一条合理化建议．
28．（12分）已知：如图，等边三角形ABC的边长为6，点D，E分别在边AB，AC上，且AD=AE=2．若点F从点B开始以每秒1个单位长的速度沿射线BC方向运动，设点F运动的时间为t秒．当t＞0时，直线FD与过点A且平行于BC的直线相交于点G，GE的延长线与BC的延长线相交于点H，AB与GH相交于点O．
（1）设△EGA的面积为S，写出S与t的函数关系式；
（2）当t为何值时，AB⊥GH；
（3）请你证明△GFH的面积为定值；
（4）当t为何值时，点F和点C是线段BH的三等分点．
2004年河北省中考数学试卷（大纲卷）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题2分，满分20分）
1．（2分）（2013•福州）2的倒数是（ ）
A．B．﹣C．2D．﹣2
【分析】根据倒数的概念求解．
【解答】解：2的倒数是．
故选A．
【点评】主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是倒数的性质：负数的倒数是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．
倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2．（2分）（2005•内江）第五次全国人口普查结果显示，我国总人口约为1 300 000 000人，用科学记数法表示这个数正确的是（ ）
A．13×108B．1.3×109C．0.13×1010D．13×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数，当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：1 300 000 000=1.3×109．
故选B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（2分）（2016•呼伦贝尔）化简（﹣x）3（﹣x）2，结果正确的是（ ）
A．﹣x6B．x6C．x5D．﹣x5
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算后选取答案．
【解答】解：（﹣x）3（﹣x）2=（﹣x）3+2=﹣x5．
故选D．
【点评】主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
4．（2分）（2004•河北）若x1、x2是一元二次方程2x2﹣3x+1=0的两个根，则x12+x22的值是（ ）
A．B．C．D．7
【分析】欲求x12+x22的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
【解答】解：由题意知，
x1x2=，x1+x2=，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=﹣2×=．
故选A．
【点评】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
5．（2分）（2004•河北）如图所示的电路的总电阻为10Ω，若R1=2R2，则R1，R2的值分别是（ ）
A．R1=30Ω，R2=15ΩB．R1=Ω，R2=Ω
C．R1=15Ω，R2=30ΩD．R1=Ω，R2=Ω
【分析】本题属于并联电路，等量关系为：=+，把R1=2R2代入=+，得=+，解这个分式方程即可．
【解答】解：∵=+，R1=2R2
∴=+，
解得R2=15
∴R1=2R2=30．
故选A．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
6．（2分）（2004•河北）如图，一个经过改造的台球桌面上四个角的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入（ ）球袋．
A．1号B．2号C．3号D．4号
【分析】根据反射角等于入射角，找出每一次反射的对称轴，最后即可确定落入的球袋．
【解答】解：根据题意：每次反射，都成轴对称变化，
∴一个球按图中所示的方向被击出，经过3次反射后，落入1号球袋．
故选A．
【点评】本题考查轴对称图形的定义与判定，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴；画出图形是正确解答本题的关键．
7．（2分）（2007•乌兰察布）如图，在图1所示的正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成图2所示的一个圆锥模型．设圆的半径为r，扇形的半径为R，则圆的半径与扇形的半径之间的关系为（ ）
A．R=2rB．R=rC．R=3rD．R=4r
【分析】根据弧长公式计算．
【解答】解：因为扇形的弧长等于圆锥底面周长，
所以×2πR=2πr，
化简得R=4r．
故选D．
【点评】圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．
8．（2分）（2004•河北）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致所示中的（ ）
A．B．C．D．
【分析】本题可先由一次函数y=ax+c图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+c的图象相比较看是否一致．反之也可．
【解答】解：A、由一次函数的图象可知a＞0 c＞0，由二次函数的图象可知a＜0，两者相矛盾；
B、由一次函数的图象可知a＜0 c＞0，由二次函数的图象可知a＜0，两者相吻合；
C、由一次函数的图象可知a＜0 c＞0，由二次函数的图象可知a＞0，两者相矛盾；
D、由一次函数的图象可知a＜0 c＜0，由二次函数的图象可知a＞0，两者相矛盾．
故选B．
【点评】考查数形结合思想，由函数图象确定函数解析式各项系数的性质符号，由函数解析式各项系数的性质符号画出函数图象的大致形状．
9．（2分）（2004•河北）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC=12，BD=9，则该梯形两腰中点的连线EF长为（ ）
A．10B．C．D．12
【分析】根据梯形的中位线定理，需求得梯形的上、下底的和．结合已知条件，只需平移梯形的对角线，根据平行四边形的性质和勾股定理即可计算．
【解答】解：过点C作CG∥BD，交AD的延长线于点G⊅
则四边形BCGD是平行四边形
∴DG=BC，BD=CG
∵AC⊥CG
∴∠ACG=90°
∴AG==15（根据勾股定理）．
∴AD+BC=15．
∴梯形的中位线等于．
故选C．
【点评】通过作辅助线，将梯形中位线问题转化为平行四边形的问题来解答．
10．（2分）（2004•河北）小明爸爸的风筝厂准备购进甲、乙两种规格相同但颜色不同的布料生产一批形状如图所示的风筝，点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点．其中阴影部分用甲布料，其余部分用乙布料（裁剪两种布料时，均不计余料）．若生产这批风筝需要甲布料30匹，那么需要乙布料（ ）
A．15匹B．20匹C．30匹D．60匹
【分析】先连接AC、BD，利用三角形中位线定理，可得S△ABD=4S△AEH，同理，可得S△ACD=4S△DGH，S△BCD=4S△CFG，S△ABC=4S△BEF，四个式子相加，可得空白的四个三角形的面积和等于四边形ABCD面积的一半，于是可得阴影部分面积等于空白部分四个三角形的面积，那么所需甲乙布料相等，乙也需30匹．
【解答】解：连接AC，BD，
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
∴△AEH∽△ABD，相似比为，面积比为，
即S△ABD=4S△AEH，
同理S△ABC=4S△BEF，S△BCD=4S△GCF，S△ADC=4S△HGD，
故S△ABD+S△ABC+S△BCD+S△ADC=4（S△AEH+S△BEF+S△GCF+S△HGD）=2S四边形ABCD，
故S△AEH+S△BEF+S△GCF+S△HGD=S四边形ABCD，
又∵S阴影+S△AEH+S△BEF+S△GCF+S△HGD=S四边形ABCD，
∴S阴影=S△AEH+S△BEF+S△GCF+S△HGD=S四边形ABCD，
故需要乙布料30匹．
故选C．
【点评】此题很简单，只要连接AC，BD，熟知三角形的中位线定理，及相似三角形的性质就可解答．
二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）
11．（2分）（2004•河北）﹣|﹣8|的值是 ﹣8 ．
【分析】绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
【解答】解：∵﹣8＜0，
∴根据绝对值的化简有|﹣8|=8．
故﹣|﹣8|=﹣8．
【点评】本题考查绝对值的化简．
12．（2分）（2004•河北）已知：∠a=36°，则∠a的余角等于 54 度．
【分析】本题考查互余的概念，和为90度的两个角互为余角．
【解答】解：根据定义，∠a的余角度数是90°﹣36°=54°．
【点评】此题属于基础题，较简单，主要记住互为余角的两个角的和为90度．
13．（2分）（2004•河北）不等式组的解集是 2＜x＜3 ．
【分析】先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．
【解答】解：由（1）得，x＜3
由（2）得，x＞2
根据“小大大小中间找”的原则可知不等式组的解集为
2＜x＜3．
【点评】求不等式组的解集应遵循“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则．
14．（2分）（2004•河北）分解因式：x2+2xy+y2﹣4= （x+y+2）（x+y﹣2） ．
【分析】此题先把前三项利用完全平方公式分解因式，再与第四项利用平方差公式分解．
【解答】解：x2+2xy+y2﹣4，
=（x+y）2﹣4，
=（x+y﹣2）（x+y+2）．
【点评】本题考查了分组分解法分解因式，公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式，平方差公式的结构是解题的关键，合理分组也比较重要．
15．（2分）（2004•河北）若将二次函数y=x2﹣2x+3配方为y=（x﹣h）2+k的形式，则y= （x﹣1）2+2 ．
【分析】利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【解答】解：y=x2﹣2x+3=（x2﹣2x+1）+2=（x﹣1）2+2
故本题答案为：y=（x﹣1）2+2．
【点评】，二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y=a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．
16．（2分）（2004•河北）用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可化为关于y的一元二次方程的一般形式是 y2﹣3y+2=0 ．
【分析】观察方程的两个分式具备的关系，如果设，则原方程另一个分式为2×．可用换元法转化为关于y的分式方程．去分母、移项即可．
【解答】解：把代入原方程得：y+2×=3，
方程两边同乘以y整理得：y2﹣3y+2=0．
【点评】换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．
17．（2分）（2009•安顺）如图，若将四根木条钉成的矩形木框变成平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的最小内角等于 30 度．
【分析】要使其面积为矩形面积的一半，平行四边形ABCD的高必须是矩形宽的一半，根据直角三角形中30°的角对的直角边等于斜边的一半可知，这个平行四边形的最小内角等于30度．
【解答】
解：∵平行四边形的面积为矩形的一半且同底BC，
∴平行四边形ABCD的高AE是矩形宽AB的一半．
在直角三角形ABE中，AE=AB，
∴∠ADC=30°．
故答案为：30．
【点评】主要考查了平行四边形的面积公式和基本性质．平行四边形的面积等于底乘高．
18．（2分）（2004•北碚区）如果反比例函数y=（k≠0）的图象经过点A（3，﹣4），那么k的值是 ﹣12 ．
【分析】将此点坐标代入函数解析式y=（k≠0）即可求得k的值．
【解答】解：将点（3，﹣4）代入解析式可得k=3×（﹣4）=﹣12．
故答案为：﹣12．
【点评】本题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的比例系数，是中学阶段的重点内容．
19．（2分）（2007•扬州）如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为 150 mm．
【分析】根据图形标出的长度，可以知道AC和BC的长度，从而构造直角三角形，根据勾股定理就可求出斜边A和B的距离．
【解答】解：∵AC=150﹣60=90mm，BC=180﹣60=120mm，
∴AB==mm．
【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
20．（2分）（2005•扬州）扑克牌游戏：
小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：
第一步分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同；
第二步从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；
第三步从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；
第四步左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆．
这时，小明准确说出了中间一堆牌现有的张数．你认为中间一堆牌的张数是 5 ．
【分析】此题看似复杂，其实只是考查了整式的基本运算．把每堆牌的数量用相应的字母表示出来，列式表示变化情况即可找出最后答案．
【解答】解：设第一步时，每堆牌的数量都是x（x≥2）；
第二步时：左边x﹣2，中间x+2，右边x；
第三步时：左边x﹣2，中级x+3，右边x﹣1；
第四步开始时，左边有（x﹣2）张牌，则从中间拿走（x﹣2）张，则中间所剩牌数为（x+3）﹣（x﹣2）=x+3﹣x+2=5．
故答案为：5．
【点评】解决此题，根据题目中所给的数量关系，建立数学模型．根据运算提示，找出相应的等量关系．
三、解答题（共8小题，满分80分）
21．（8分）（2004•河北）已知x=+1，求x+1﹣的值．
【分析】根据异分母分式相加减的法则计算：先将它们转化成相同分母的分式，然后再进行加减，最后代入x的值计算．
【解答】解：
=，
当时，
原式=﹣．
【点评】本题考查了整式与分式的通分运算，需要熟练掌握．
22．（8分）（2004•河北）如图所示，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF，求证：DE=BF．
【分析】利用同角的余角相等得出∠FAB=∠EAD，利用ASA判定Rt△ABF≌Rt△ADE，全等三角形的对应边相等从而得到DE=BF．
【解答】证明：∵EA⊥AF，∠BAD=90°，
∴∠FAE=90°，
∴∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠EAD，
∴∠FAB=∠EAD，
在△ABF和△ADE中，
（ASA），
∴Rt△ABF≌Rt△ADE，
∴DE=BF．
【点评】此题主要考查学生对正方形的性质及全等三角形的判定方法的理解及运用．
23．（8分）（2004•河北）为了普及环保知识，增强环保意识，某中学组织了环保知识竞赛活动，
初三各年级根据初赛成绩分别选出了10名同学参加决赛，这些选手的决赛成绩（满分为100分）如下表所示：
（1）请你填写表二：
（2）请从以下两个不同的角度对三个年级的决赛成绩进行分析：
①从众数和平均数相结合看（分析哪个年级成绩好些）；
②从平均数和中位数相结合看（分析哪个年级成绩好些）．
（3）如果在每个年级参加决赛的选手中分别选出3人参加总决赛，你认为哪个年级的实力更强些？并说明理由．
【分析】（1）平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．对于中位数，因图中是按从小到大的顺序排列的，所以只要找出最中间的一个数（或最中间的两个数）即可，本题是最中间两个数的平均数．对于众数是出现次数最多的数据；
（2）可由（1）得出的表格，将三个年级的平均数，众数和中位数进行比较即可得出正确的结论；
（3）都抽取3人参加比赛，因此只需比较这三个年级前三名的成绩及其平均数即可．
【解答】解：（1）
（2）①∵平均数都相同，初二年级的众数最高，
∴初二年级的成绩好一些，
②∵平均数都相同，初一年级的中位数最高，
∴初一年级的成绩好一些．
（3）∵初一、初二、初三各年级前三名学生决赛成绩的平均分分别是93、91、94，
∴从各年级参加决赛的选手中分别选出3人参加总决赛，初三年级的实力更强一些．
【点评】本题考查的是平均数、众数和中位数；弄清平均数、众数和中位数的定义和它们之间的区别是解题的关键．
24．（8分）（2015•新疆）如图1，一个圆球放置在V型架中．图2是它的平面示意图，CA、CB都是⊙O的切线，切点分别是A、B，如果⊙O的半径为cm，且AB=6cm，求∠ACB．
【分析】我们可通过构建直角三角形，将数据转换到直角三角形中进行计算．连接OC交AB于点D，那么我们不难得出BD是AB的一半，CD平分∠ACB，那么只要求出∠COB的度数就能求出∠ACB的度数，已知了OB的长，BD（AB的一半）的长，这样在直角三角形ODB中根据三角形函数我们不难得出∠DOB的值，也就能求出∠ACB的度数了．
【解答】解：如图，
连接OC交AB于点D
∵CA、CB分别是⊙O的切线
∴CA=CB，OC平分∠ACB
∴OC⊥AB
∵AB=6
∴BD=3
在Rt△OBD中
∵OB=
∴sin∠BOD=
∴∠BOD=60°
∵B是切点
∴OB⊥BC
∴∠OCB=30°
∴∠ACB=60°．
【点评】本题主要考查切线的性质，解直角三角形等知识点，通过构建直角三角形来求度数是比较常用的方法．
25．（12分）（2004•河北）如图1是某段河床横断面的示意图．查阅该河段的水文资料，得到下表中的数据：
（1）请你以上表中的各对数据（x，y）作为点的坐标，尝试在图2所示的坐标系中画出y关于x的函数图象；
（2）①填写下表：
②根据所填表中数据呈现的规律，猜想出用x表示y的二次函数的表达式： ；
（3）当水面宽度为36米时，一艘吃水深度（船底部到水面的距离）为1.8米的货船能否在这个河段安全通过？为什么？
【分析】根据已知示意图可知该函数图象应形如y=x2的图象，故（1）（2）问不难解决．（3）中当水面宽度为36米时，相应x应为18米，由（2）中所求解析式，易求出y值，即可判断该船能否通过这个河段．
【解答】解：（1）图象如下图所示；（2分）
（2）①填表正确；（5分）
②∵由上表可知=200，
∴．（6分）
（3）当水面宽度为36m时，相应的x=18，
则y=x2=×182=1.62，
此时该河段的最大水深为1.62m（8分）
因为货船吃水深为1.8m，而1.62m＜1.8m，
所以当水面宽度为36m时，该货船不能通过这个河段．（10分）
【点评】本题考查了同学们的动手能力和探索能力，而将实际问题转化为数学模型，即二次函数，来利用二次函数知识解决问题，这正是学习数学的目的．
26．（12分）（2004•河北）探索下列问题：
（1）在图1给出的四个正方形中，各画出一条直线（依次是：水平方向的直线、竖直方向的直线、与水平方向成45°角的直线和任意的直线），将每个正方形都分割成面积相等的两部分；
（2）一条竖直方向的直线m以及任意的直线n，在由左向右平移的过程中，将正六边形分成左右两部分，其面积分别记为S1和S2．①请你在图2中相应图形下方的横线上分别填写S1与S2的数量关系式（用“＜”，“=”，“＞”连接）；
②请你在图3中分别画出反映S1与S2三种大小关系的直线n，并在相应图形下方的横线上分别填写S1与S2的数量关系式（用“＜”，“=”，“＞”连接）．
（3）是否存在一条直线，将一个任意的平面图形（如图4）分割成面积相等的两部分，请简略说出理由．
【分析】（1）易得只要过正方形对角线交点的任意直线都可平分正方形的面积，按照所给的方向画即可；
（2）由（1）得只有过中心的直线才平分六边形的面积．那么可根据所给的直线进行平移，以过六边形的中心为界限；
（3）在分割所成的两部分的面积不断变化中，会出现面积相等的情况，所以存在．
【解答】解：（1）
（2）①S1＜S2，S1=S2，S1＞S2（2分）
②S1＜S2，S1=S2，S1＞S2．（6分）
（3）存在．
对于任意一条直线l，在直线l从平面图形的一侧向另一侧平移的过程中，
当图形被直线l分割后，
设直线l两侧图形的面积分别为S1，S2．
两侧图形的面积由S1＜S2（或S1＞S2）的情形，逐渐变为S1＞S2（或S1＜S2）的情形，
在这个平移过程中，一定会存在S1=S2的时刻．
因此，一定存在一条直线，将一个任意平面图形分割成面积相等的两部分．（8分）
【点评】解决本题的关键是先得到只要过正多边形中心的直线就能把正多边形的面积分为相等的两部分，进而得到存在把任意平面图形分为面积相等的两个图形的情形．
27．（12分）（2004•河北）光华农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台，先将这50台联合收割机派往A、B两地区收割小麦，其中30台派往A地区，20台派往B地区．两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见表：
（1）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y（元），求y与x间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79 600元，说明有多少种分配方案，并将各种方案设计出来；
（3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提一条合理化建议．
【分析】（1）在A、B两地分配甲、乙两种类型的收割机，注意各数之间的联系；
（2）由租金总额不低于79 600元求出x的取值范围设计分配方案；
（3）此为求函数的最大值问题．
【解答】解：（1）若派往A地区的乙型收割机为x台，
则派往A地区的甲型收割机为（30﹣x）台，
派往B地区的乙型收割机为（30﹣x）台，
派往B地区的甲型收割机为20﹣（30﹣x）=（x﹣10）台．
∴y=1600x+1800（30﹣x）+1200（30﹣x）+1600（x﹣10）=200x+74 000，
x的取值范围是：10≤x≤30，（x是正整数）；
（2）由题意得200x+74 000≥79 600，解不等式得x≥28，
由于10≤x≤30，x是正整数，
∴x取28，29，30这三个值，
∴有3种不同的分配方案．
①当x=28时，即派往A地区的甲型收割机为2台，乙型收割机为28台；派往B地区的甲型收割机为18台，乙型收割机为2台；
②当x=29时，即派往A地区的甲型收割机为1台，乙型收割机为29台；派往B地区的甲型收割机为19台，乙型收割机为1台；
③当x=30时，即30台乙型收割机全部派往A地区；20台甲型收割机全部派往B地区；
（3）由于一次函数y=200x+74 000的值y是随着x的增大而增大的，
所以当x=30时，y取得最大值，
如果要使农机租赁公司这50台联合收割机每天获得租金最高，只需x=30，此时y=6000+74 000=80 000．
建议农机租赁公司将30台乙型收割机全部派往A地区；20台甲型收割机全部派往B地区，可使公司获得的租金最高．
【点评】本题是贴近社会生活的应用题，赋予了生活气息，使学生真切地感受到“数学来源于生活”，体验到数学的“有用性”．这样设计体现了《新课程标准》的“问题情景﹣建立模型﹣解释、应用和拓展”的数学学习模式．
28．（12分）（2004•河北）已知：如图，等边三角形ABC的边长为6，点D，E分别在边AB，AC上，且AD=AE=2．若点F从点B开始以每秒1个单位长的速度沿射线BC方向运动，设点F运动的时间为t秒．当t＞0时，直线FD与过点A且平行于BC的直线相交于点G，GE的延长线与BC的延长线相交于点H，AB与GH相交于点O．
（1）设△EGA的面积为S，写出S与t的函数关系式；
（2）当t为何值时，AB⊥GH；
（3）请你证明△GFH的面积为定值；
（4）当t为何值时，点F和点C是线段BH的三等分点．
【分析】（1）三角形EGA中，底边AG的长可通过相似三角形ADG和BDF求出，而AG边上的高可用AE•sin60°来表示，由此可得出S、t的函数关系式；
（2）当AB⊥GE时，连接DE，由已知推出三角形ADE是等边三角形，可得∠AEG=60°，即∠EG=30°，根据等角对等边可得出AG=AE=2，在（1）中已经求出了AG的表达式，根据得出的等量关系即可求出t的值；
（3）本题只需证FH是定值即可；
（4）本题要分两种情况：
①点F在C点左侧时，如果F、C是BH的三点分点，那么F必为BC的中点，因此BF=3，由此可求出t的值；
②当点F在C点右侧时，同①可知：BF=2BC=12，由此可求出t的值．
【解答】解：（1）如图，
∵GA∥BC
∴
又∵AB=6，AD=2
∴DB=4
∵BF=t
∴=，
∴AG=t
过点E作EK⊥AG，垂足为K
∵∠BCA=60°
∴∠CAK=60°
∴∠AEK=30°
∵AE=2
∴AK=1
∴EK=
∴S=AG•EK=×t×=t；
（2）如图，连接DE，由AD=AE可知，△ADE为等边三角形．
∵AB⊥HG
∴AO=OD，∠AEO=∠DEO
∵GA∥DE
∴∠AGE=∠GED
∴AG=AE=2
∴t=2
∴t=4
即当t=4时，AB⊥HG；
（3）∵GA∥BC
∴
∴
∵DE∥BC
∴
∴FH=BC
∵△ABC与△GFH的高相等
∴S△GFH=S△ABC=×6×3=9
∴不论t为何值，△GFH的面积均为9；
（4）∵BC=FH
∴BF=CH
①当点F在线段BC上时，若点F和点C是线段BH的三等分点，则BF=FC=CH
∵BF=CH
∴BF=FC
∵BC=6
∴BF=FC=3
∴当t=3时，点F和点C是线段BH的三等分点；
②如右图，当点F在BC的延长线上时，若点F和点C是线段BH的三等分点，则BC=CF=FH
∵BC=FH
∴BC=CF
∵BC=6
∴CF=6
∴BF=12
∴当t=12时，点F和点C是线段BH的三等分点．
【点评】主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质等知识点的综合运用．
参与本试卷答题和审题的老师有：HJJ；蓝月梦；zhjh；算术；wdxwwzy；Liuzhx；郝老师；ck2360；lanchng；星期八；自由人；xiu；zhangCF；天马行空；心若在；CJX；王岑；wdxwzk；lanyan；HLing；mmll852；fuaisu；zxw；刘超；lf2﹣9；ln_86；zzz；MMCH；hayujun；张超（排名不分先后）
菁优网
2017年6月23日决赛成绩（单位：分）
初中一年级
80 86 88 80 88 99 80 74 91 89
初中二年级
85 85 87 97 85 76 88 77 87 88
初中三年级
82 80 78 78 81 96 97 88 89 86
平均数
众数
中位数
一年级
85.5
87
二年级
85.5
85
三年级
84
x/m
5
10
20
30
40
50
y/m
0.125
0.5
2
4.5
8
12.5
x
5
10
20
30
40
50
每台甲型收割机的租金
每台乙型收割机的租金
A地区
1800
1600
B地区
1600
1200
决赛成绩（单位：分）
初中一年级
80 86 88 80 88 99 80 74 91 89
初中二年级
85 85 87 97 85 76 88 77 87 88
初中三年级
82 80 78 78 81 96 97 88 89 86
平均数
众数
中位数
一年级
85.5
87
二年级
85.5
85
三年级
84
平均数
众数
中位数
一年级
85.5
80
87
二年级
85.5
85
86
三年级
85.5
78
84
x/m
5
10
20
30
40
50
y/m
0.125
0.5
2
4.5
8
12.5
x
5
10
20
30
40
50
x
5
10
20
30
40
50
200
200
200
200
200
200
每台甲型收割机的租金
每台乙型收割机的租金
A地区
1800
1600
B地区
1600
1200
相关试卷
2006年河北省中考数学试卷（课标卷）： 这是一份2006年河北省中考数学试卷（课标卷），共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2006年河北省中考数学试卷（大纲卷）： 这是一份2006年河北省中考数学试卷（大纲卷），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2005年河北省中考数学试卷（课标卷）： 这是一份2005年河北省中考数学试卷（课标卷），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
